Cote n° 63 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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41Les pages 41 à 54 sont la suite (pages dactylographiées « atkin 2 » à « atkin 15 ») de la copie de l'article de A. O. L. Atkin, « Congruences for modular forms », commencée page 40. Texte d'un autre auteur : il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note. Les formules y sont complétées à la main, d'une écriture anglaise ronde et droite qui n'est pas la sienne ; les marques marginales sont des corrections d'épreuves et des instructions à l'imprimeur, en anglais, qui font partie de l'image photocopiée. Aucune marque de sa main n'est discernable sur ces pages. Page « atkin 2 » : remerciements (Churchhouse, Fossey, Stokoe, système Atlas Hartran) ; public visé ; §2 « Ramanujan congruences for primes \(q\leq 11\) » : la conjecture de Ramanujan (2.1), si \(24n-1\equiv 0 \pmod{5^a7^b11^c}\) alors \(p(n)\equiv 0\pmod{5^a7^b11^c}\) ; (2.2) \(x=e^{2\pi i\tau}\), \(f(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots\), \(\eta(\tau)=e^{\pi i\tau/12}f(x)\), \(\sum p(n)x^n=1/f(x)\). Marques d'épreuve : « (comma) » dans la marge droite, un trait oblique dans la marge gauche.

42Page « atkin 3 » : l'échec pour \(7^3\) (Chowla, Gupta) ; Watson (1938), Atkin (1967) ; forme correcte (2.3) avec \(\beta=[(b+2)/2]\) ; Lehner et les coefficients \(c(n)\) de \(j(\tau)=\sum_{n\geq -1}c(n)x^n=\lbrace 1+240\sum\sigma_3(n)x^n\rbrace^3/xf^{24}(x)-744\) (2.4), \(j\) Hauptmodul du groupe modulaire ; début de (2.5). Seules marques : corrections d'épreuve (une lettre à insérer dans « propty », signalée dans la marge gauche).

43Page « atkin 4 » : fin de (2.5), dû à Lehner sauf les cas \(e>3\) (Atkin 1967) ; §3 « Congruences for \(q=13\) » : Newman (1958), \(c(13^2n)\equiv 8c(13n)\pmod{13}\) (3.1), et pour \(t(n)=-c(13n)\), \(t(np)-t(n)t(p)+p^{11}t(n/p)\equiv 0\pmod{13}\) (3.2) ; (3.3) \(c(7\cdot 13^n)\equiv 0\), (3.4) \(c(91n)\equiv 0\pmod{13}\) si \((n,7)=1\). Aucune marque en dehors des formules manuscrites du texte.

44Page « atkin 5 » : \(t(n)\equiv\tau(n)\pmod{13}\), \(\sum\tau(n)x^n=xf^{24}(x)\), la relation (3.5) \(\tau(np)-\tau(n)\tau(p)+p^{11}\tau(n/p)=0\) (Ramanujan, Mordell), (3.6) multiplicativité ; Glaisher (1907), Rankin. La page s'arrête à mi-hauteur. Aucune marque en dehors du texte.

45Page dactylographiée « atkin 5 », le 5 surchargé à la main en 6 : §3.2, le résultat d'Atkin et O'Brien (3.7) : \(c(13^{\alpha+1}n)\equiv k_\alpha c(13^\alpha n)\pmod{13^\alpha}\) ; calculs sur Atlas (1964) de \(c(13^6n)\) modulo \(13^6\) pour \(n\leq 40960\), sous la forme \(a(n)\,13^{b(n)}\). Aucune marque en dehors du texte.

46Page dactylographiée « atkin 6 », surchargée à la main en 7 : les conjectures (3.8), puis (3.9) \(t(np)-t(n)t(p)+p^{-1}t(n/p)\equiv 0\pmod{13^\alpha}\) pour \(t(n)=c(13^\alpha n)/c(13^\alpha)\) ; (3.10) forme ramifiée \(t(13n)\equiv t(13)t(n)\) ; définition des « M-results » et « R-results » ; (3.11) \(c(13^\alpha P n)\equiv 0\pmod{13^\alpha}\) si \((n,P)=1\). Marques d'épreuve dans la marge droite (une marque en face de (3.9), « /n », « from (3.2) » à insérer après « show »).

47Page « atkin 8 » : \(P=\prod p_i^{\theta_i}\) ; divisibilité de \(c(n)\) par \(13^\alpha\) en densité positive ; le cas de \(p(n)\) et des formes de dimension demi-entière (13 « accidents ») ; §4 « The cases \(q=17\), 19, and 23 » : les conjectures (3.9) et (3.10) valent mot pour mot pour ces \(q\). Marques d'épreuve dans la marge gauche (suppressions).

48Page « atkin 9 » : l'opérateur \(U_q\), \(\sum c(q^\alpha n)x^n=U^\alpha j(x)\) ; pour \(q=19\), les fonctions \(g_n(x)\) et le système (4.1) \(U_{19}\,j\equiv a_1g_1+19a_2g_2+19a_3g_3\pmod{19^2}\), etc. ; certaines constantes \(c_{ij}\) contiennent des puissances de 19 non déductibles a priori. Marques d'épreuve : « etc. » biffé, « \(a_i\) and » ajouté, « (hyphen) ».

49Page « atkin 10 » : les programmes s'auto-vérifient ; genres \(0,1,1,2\) de \(\Gamma_0(13)\), \(\Gamma_0(17)\), \(\Gamma_0(19)\), \(\Gamma_0(23)\) ; §5 « The cases \(q\geq 29\) » : le système modulo 29 et la congruence \(\mu^2-8\mu+5\equiv 0\pmod{29}\) sans racine, d'où le passage à \(\mathrm{GF}(29^2)\). Marques d'épreuve : « (hyphen) », « not » à insérer.

50Page « atkin 11 » : \(c(29n)=a\lambda(n)+\bar a\bar\lambda(n)\) dans \(\mathrm{GF}(29^2)\) et (5.2), (5.3), la conjecture générale (5.4) pour les puissances de 29, prouvée pour \(\alpha\leq 5\) ; \(q=31\) analogue, \(q=37\) demande une extension cubique ; pour \(41\leq q\leq 67\), \(c(q^\alpha n)\) combinaison de \([q/12]\) coefficients multiplicatifs. Marques d'épreuve : « (GF) » entouré, « multiplicative » inséré, « l/ ».

51Page « atkin 12 » : §6 « The analogy with Hecke theory » : l'exemple de Hecke \(\sum t_2(n)x^n=x^2f^{48}(x)\), \(t_2(n)=a\lambda(n)+\bar a\bar \lambda(n)\) dans \(\mathbf{Q}(\sqrt{144169})\), (6.1) ; conjecture d'une théorie de Hecke « \(\mathfrak{p}\)-adique » pour les formes de dimension positive ou nulle ; §7 « Non-Ramanujan congruences for primes \(q\leq 11\) ». Marques d'épreuve : « (German p) », « \(\tau=\) » à insérer deux fois devant « \(i\infty\) », lettres à insérer.

52Page « atkin 13 » : exemple \(q=5\), \(t(n)=c(5^\alpha n)/c(5^\alpha)\), (7.1) ; ramanujaniennes et multiplicatives ; §8 « Notes on computation » : coût \(O(N)\) des opérations sur les séries. Marques d'épreuve : « online » en face de la note de bas de page, lettres et « \(x^n\) » à insérer.

53Page « atkin 14 » : \(O(\sum_{p\leq N}N/p)=O(N\log\log N)\) ; multiplication par la série d'Euler \(f(x)=\prod(1-x^r)\), en \(O(N^{3/2})\) ; limites de taille ; série de Jacobi \(f^3(x)\) ; la mémoire comme facteur limitant sur Atlas. Une marque d'épreuve dans la marge gauche.

54Page « atkin 15 », dernière de l'article dans cette copie : mémoire, programmes Fortran, la fonction IJMODK de Don Russell, et une panne matérielle révélée en 1964. Marques d'épreuve (« e/ » deux fois, « timing » inséré). La page s'arrête au premier tiers ; pas de bibliographie.

56Les pages 56 à 60 sont les cinq premiers feuillets d'une copie dactylographiée d'un second texte de A. O. L. Atkin, « Congruence Hecke Operators » (titre et auteur dactylographiés en tête de cette page). Texte d'un autre auteur : non recomposé, une note par page. Mêmes caractères que pour l'article précédent : formules complétées à la main par l'auteur, corrections d'épreuve et instructions à l'imprimeur en anglais, toutes dans l'image photocopiée ; aucune marque qui soit de sa main. Page 1 : §1 « Introduction » : l'article (2) de l'auteur a suivi l'ordre de la découverte ; celui-ci part de l'autre bout et esquisse une théorie « \(\mathfrak{p}\)-adique » des opérateurs de Hecke ; les congruences de Ramanujan pour \(p(5n+4)\), \(p(7n+5)\), \(p(11n+6)\) et \(p(206839n+2623)\equiv 0\pmod{17}\). Instructions à l'imprimeur : « German 'pee' », « Cap. gamma ».

57Page « atkin page 2 » : §2 « The full modular group » : \(\Gamma\), \(x=e^{2\pi iz}\), formes modulaires de dimension \(k\), conditions (M1), (M2), (M3a-c) ; formes entières, régulières, paraboliques, espaces \(C\), \(C^+\), \(C^0\) ; série de Fourier \(F(x)=\sum_{n\geq N}a(n)x^n\). Instructions : « pi », « (are) », suppressions.

58Page dactylographiée 3 (en-tête coupé) : l'opérateur de Hecke \(T_pF(x)=\sum\lbrace a(np)+p^{-k-1}a(n/p)\rbrace x^n\), propriétés (H1), (H2), produit de Petersson, (H3), (H4) ; Théorème 1 (Hecke-Petersson) : base de formes propres, relation (1) \(a(np)-a(n)a(p)+p^{-k-1}a(n/p)=0\). Instructions à l'imprimeur : « lambda », « alpha », « xi eta », « footnote on cover page », un signe dièse (espace). Dans la marge gauche, en face de « the group of \(T_p\) » (« group » biffé), trois mots d'une écriture rapide qui paraît être celle des instructions à l'imprimeur (comparer le « S » de « Sigma », page 59), et non la sienne : « multiplicat. semi group! ».

59Page « atkin page 4 » : l'extension du Théorème 1 à \(C\) échoue par (H4) ; le choix de \(j(z)=x^{-1}+744+\sum c(n)x^n\) et la question d'une propriété (2) \(a(1)=1\), \(a(np)-a(n)a(p)+p^{-1}a(n/p)=0\) pour des \(a(n)\) dans \(\mathbf{Z}/q^\alpha\mathbf{Z}\). Instructions : « Sigma », « alpha ».

60Page dactylographiée 5 (en-tête coupé) : Conjecture 1 (\(q\leq 23\), \(a(n)=c(q^\alpha n)/c(q^\alpha)\) multiplicatif modulo \(q^\alpha\)) ; congruences (3) de type Ramanujan ; Conjecture 2 (\(q=29\) ou 31, extension quadratique \(E\) de \(\mathbf{Z}/q^\alpha\mathbf{Z}\)) ; le cas \(q\geq 37\) ; passage à \(\Gamma_0(q)\). Instructions : « theta », « beta », un signe dièse (espace), mots à insérer. La copie se poursuit dans le lot suivant.