Les pages 41 à 54 sont la suite (pages dactylographiées « atkin 2 » à
« atkin 15 ») de la copie de l'article de A. O. L. Atkin, « Congruences for
modular forms », commencée page 40. Texte d'un autre auteur : il n'est pas
recomposé ; chaque page reçoit une note. Les formules y sont complétées à la
main, d'une écriture anglaise ronde et droite qui n'est pas la sienne ; les
marques marginales sont des corrections d'épreuves et des instructions à
l'imprimeur, en anglais, qui font partie de l'image photocopiée. Aucune
marque de sa main n'est discernable sur ces pages.
Page « atkin 2 » : remerciements (Churchhouse, Fossey, Stokoe, système
Atlas Hartran) ; public visé ; §2 « Ramanujan congruences for primes
q\leq 11 » : la conjecture de Ramanujan (2.1), si
24n-1\equiv 0 \pmod{5^a7^b11^c} alors p(n)\equiv 0\pmod{5^a7^b11^c} ;
(2.2) x=e^{2\pi i\tau}, f(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots,
\eta(\tau)=e^{\pi i\tau/12}f(x), \sum p(n)x^n=1/f(x). Marques
d'épreuve : « (comma) » dans la marge droite, un trait oblique dans la
marge gauche.
Page « atkin 3 » : l'échec pour 7^3 (Chowla, Gupta) ; Watson (1938),
Atkin (1967) ; forme correcte (2.3) avec \beta=[(b+2)/2] ; Lehner et les
coefficients c(n) de
j(\tau)=\sum_{n\geq -1}c(n)x^n=\lbrace 1+240\sum\sigma_3(n)x^n\rbrace^3/xf^{24}(x)-744
(2.4), j Hauptmodul du groupe modulaire ; début de (2.5). Seules marques :
corrections d'épreuve (une lettre à insérer dans « propty », signalée dans
la marge gauche).
Page « atkin 4 » : fin de (2.5), dû à Lehner sauf les cas e>3
(Atkin 1967) ; §3 « Congruences for q=13 » : Newman (1958),
c(13^2n)\equiv 8c(13n)\pmod{13} (3.1), et pour t(n)=-c(13n),
t(np)-t(n)t(p)+p^{11}t(n/p)\equiv 0\pmod{13} (3.2) ; (3.3)
c(7\cdot 13^n)\equiv 0, (3.4) c(91n)\equiv 0\pmod{13} si (n,7)=1.
Aucune marque en dehors des formules manuscrites du texte.
Page « atkin 5 » : t(n)\equiv\tau(n)\pmod{13},
\sum\tau(n)x^n=xf^{24}(x), la relation (3.5)
\tau(np)-\tau(n)\tau(p)+p^{11}\tau(n/p)=0 (Ramanujan, Mordell), (3.6)
multiplicativité ; Glaisher (1907), Rankin. La page s'arrête à mi-hauteur.
Aucune marque en dehors du texte.
Page dactylographiée « atkin 5 », le 5 surchargé à la main en 6 :
§3.2, le résultat d'Atkin et O'Brien (3.7) :
c(13^{\alpha+1}n)\equiv k_\alpha c(13^\alpha n)\pmod{13^\alpha} ; calculs
sur Atlas (1964) de c(13^6n) modulo 13^6 pour n\leq 40960, sous la
forme a(n)\,13^{b(n)}. Aucune marque en dehors du texte.
Page dactylographiée « atkin 6 », surchargée à la main en 7 : les
conjectures (3.8), puis (3.9)
t(np)-t(n)t(p)+p^{-1}t(n/p)\equiv 0\pmod{13^\alpha} pour
t(n)=c(13^\alpha n)/c(13^\alpha) ; (3.10) forme ramifiée
t(13n)\equiv t(13)t(n) ; définition des « M-results » et
« R-results » ; (3.11) c(13^\alpha P n)\equiv 0\pmod{13^\alpha} si
(n,P)=1. Marques d'épreuve dans la marge droite (une marque en face de (3.9),
« /n », « from (3.2) » à insérer après « show »).
Page « atkin 8 » : P=\prod p_i^{\theta_i} ; divisibilité de c(n)
par 13^\alpha en densité positive ; le cas de p(n) et des formes de
dimension demi-entière (13 « accidents ») ; §4 « The cases q=17, 19, and
23 » : les conjectures (3.9) et (3.10) valent mot pour mot pour ces q.
Marques d'épreuve dans la marge gauche (suppressions).
Page « atkin 9 » : l'opérateur U_q, \sum c(q^\alpha n)x^n=U^\alpha
j(x) ; pour q=19, les fonctions g_n(x) et le système (4.1)
U_{19}\,j\equiv a_1g_1+19a_2g_2+19a_3g_3\pmod{19^2}, etc. ; certaines
constantes c_{ij} contiennent des puissances de 19 non déductibles
a priori. Marques d'épreuve : « etc. » biffé, « a_i and » ajouté,
« (hyphen) ».
Page « atkin 10 » : les programmes s'auto-vérifient ; genres 0,1,1,2
de \Gamma_0(13), \Gamma_0(17), \Gamma_0(19), \Gamma_0(23) ; §5 « The
cases q\geq 29 » : le système modulo 29 et la congruence
\mu^2-8\mu+5\equiv 0\pmod{29} sans racine, d'où le passage à
\mathrm{GF}(29^2). Marques d'épreuve : « (hyphen) », « not » à insérer.
Page « atkin 11 » : c(29n)=a\lambda(n)+\bar a\bar\lambda(n)
dans \mathrm{GF}(29^2) et (5.2), (5.3), la conjecture générale (5.4) pour
les puissances de 29, prouvée pour \alpha\leq 5 ; q=31 analogue,
q=37 demande une extension cubique ; pour 41\leq q\leq 67, c(q^\alpha
n) combinaison de [q/12] coefficients multiplicatifs. Marques d'épreuve :
« (GF) » entouré, « multiplicative » inséré, « l/ ».
Page « atkin 12 » : §6 « The analogy with Hecke theory » : l'exemple
de Hecke \sum t_2(n)x^n=x^2f^{48}(x), t_2(n)=a\lambda(n)+\bar a\bar
\lambda(n) dans \mathbf{Q}(\sqrt{144169}), (6.1) ; conjecture d'une
théorie de Hecke « \mathfrak{p}-adique » pour les formes de dimension
positive ou nulle ; §7 « Non-Ramanujan congruences for primes q\leq 11 ».
Marques d'épreuve : « (German p) », « \tau= » à insérer deux fois devant
« i\infty », lettres à insérer.
Page « atkin 13 » : exemple q=5, t(n)=c(5^\alpha n)/c(5^\alpha),
(7.1) ; ramanujaniennes et multiplicatives ; §8 « Notes on computation » :
coût O(N) des opérations sur les séries. Marques d'épreuve : « online »
en face de la note de bas de page, lettres et « x^n » à insérer.
Page « atkin 14 » : O(\sum_{p\leq N}N/p)=O(N\log\log N) ;
multiplication par la série d'Euler f(x)=\prod(1-x^r), en O(N^{3/2}) ;
limites de taille ; série de Jacobi f^3(x) ; la mémoire comme facteur
limitant sur Atlas. Une marque d'épreuve dans la marge gauche.
Page « atkin 15 », dernière de l'article dans cette copie : mémoire,
programmes Fortran, la fonction IJMODK de Don Russell, et une panne
matérielle révélée en 1964. Marques d'épreuve (« e/ » deux fois, « timing »
inséré). La page s'arrête au premier tiers ; pas de bibliographie.
Les pages 56 à 60 sont les cinq premiers feuillets d'une copie
dactylographiée d'un second texte de A. O. L. Atkin, « Congruence Hecke
Operators » (titre et auteur dactylographiés en tête de cette page). Texte
d'un autre auteur : non recomposé, une note par page. Mêmes caractères que
pour l'article précédent : formules complétées à la main par l'auteur,
corrections d'épreuve et instructions à l'imprimeur en anglais, toutes dans
l'image photocopiée ; aucune marque qui soit de sa main.
Page 1 : §1 « Introduction » : l'article (2) de l'auteur a suivi
l'ordre de la découverte ; celui-ci part de l'autre bout et esquisse une
théorie « \mathfrak{p}-adique » des opérateurs de Hecke ; les
congruences de Ramanujan pour p(5n+4), p(7n+5), p(11n+6) et
p(206839n+2623)\equiv 0\pmod{17}. Instructions à l'imprimeur : « German
'pee' », « Cap. gamma ».
Page « atkin page 2 » : §2 « The full modular group » : \Gamma,
x=e^{2\pi iz}, formes modulaires de dimension k, conditions (M1), (M2),
(M3a-c) ; formes entières, régulières, paraboliques, espaces C, C^+,
C^0 ; série de Fourier F(x)=\sum_{n\geq N}a(n)x^n. Instructions :
« pi », « (are) », suppressions.
Page dactylographiée 3 (en-tête coupé) : l'opérateur de Hecke
T_pF(x)=\sum\lbrace a(np)+p^{-k-1}a(n/p)\rbrace x^n, propriétés (H1),
(H2), produit de Petersson, (H3), (H4) ; Théorème 1 (Hecke-Petersson) :
base de formes propres, relation (1)
a(np)-a(n)a(p)+p^{-k-1}a(n/p)=0. Instructions à l'imprimeur : « lambda »,
« alpha », « xi eta », « footnote on cover page », un signe dièse (espace). Dans la marge
gauche, en face de « the group of T_p » (« group » biffé), trois mots
d'une écriture rapide qui paraît être celle des instructions à
l'imprimeur (comparer le « S » de « Sigma », page 59), et non la sienne :
« multiplicat. semi group! ».
Page « atkin page 4 » : l'extension du Théorème 1 à C échoue par
(H4) ; le choix de j(z)=x^{-1}+744+\sum c(n)x^n et la question d'une
propriété (2) a(1)=1, a(np)-a(n)a(p)+p^{-1}a(n/p)=0 pour des a(n)
dans \mathbf{Z}/q^\alpha\mathbf{Z}. Instructions : « Sigma », « alpha ».
Page dactylographiée 5 (en-tête coupé) : Conjecture 1 (q\leq 23,
a(n)=c(q^\alpha n)/c(q^\alpha) multiplicatif modulo q^\alpha) ;
congruences (3) de type Ramanujan ; Conjecture 2 (q=29 ou 31, extension
quadratique E de \mathbf{Z}/q^\alpha\mathbf{Z}) ; le cas q\geq 37 ;
passage à \Gamma_0(q). Instructions : « theta », « beta », un signe dièse (espace),
mots à insérer. La copie se poursuit dans le lot suivant.