Cote n° 63 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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2Les pages 2 à 13 sont la copie d'un manuscrit qui n'est pas de la main de Grothendieck : une écriture ronde et posée, en anglais, sans rien de sa main rapide (comparer le dossier 62), et le texte dit lui-même « See Serre's "Courbes Elliptiques - Formulaire" » (page 4) et « (Serre tells me) » (page 8). C'est la lettre de J. Tate à Cassels publiée, légèrement retouchée, sous le titre « Algorithm for determining the type of a singular fiber in an elliptic pencil », Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Math. 476 (1975), p. 33-52 ; la table ci-dessous reproduit exactement ses sections 1 à 8. Texte d'un autre auteur, publié depuis : il n'est pas recomposé ici, chaque page reçoit une note. Aucune annotation d'une autre main n'y est visible. Page 2 : table des matières (« Contents ») de Tate, renvoyant à sa propre pagination : 1. Generalized Weierstrass form, p. 1 ; 2. Change of coordinates, p. 2 ; 3. « Minimal » Weierstrass equations over a valuation ring, p. 3 ; 4. The canonical filtration on the group of \(v\)-adic points, p. 4 ; 5. Application : the relation between \(L_v(1)\) and \(\int_{E_v}|\omega_v|\) in case \(k\) is finite, p. 6 ; 6. The Néron minimum model, p. 7 ; 7. Algorithm for analysing singular fibers (first five cases), p. 8 ; 8. Algorithm continued (last five cases), p. 10.

3Tate, p. 1 : §1 « Generalized Weierstrass form ». Équation (1.1) \(y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6\) d'une courbe elliptique sur un corps \(K\) munie d'un point rationnel \(O\) ; les quantités \(b_2,b_4,b_6,b_8\), \(c_4,c_6\), \(\Delta\), \(j=c_4^3/\Delta\) (1.2) et leurs relations (1.3) \(4b_8=b_2b_6-b_4^2\), \(1728\Delta=c_4^3-c_6^2\) ; la différentielle de première espèce \(\omega\) (1.4)-(1.5) ; le passage (1.6)-(1.7) à la forme \(\eta^2=\xi^3-\tfrac{c_4}{48}\xi-\tfrac{c_6}{864}\) et la comparaison (1.8) avec \(\wp\), \(g_2\), \(g_3\).

4Tate, p. 2 : §2 « Change of coordinates ». Les changements de coordonnées (2.1) \(x=u^2x'+r\), \(y=u^3y'+su^2x'+t\), les formules (2.2) donnant \(a_i'\) et \(b_i'\), les invariances (2.3) \(u^4c_4'=c_4\), \(u^6c_6'=c_6\), \(u^{12}\Delta'=\Delta\), \(j'=j\) ; l'exemple (2.4) d'une courbe « générique » de module \(j\) ; renvoi au formulaire de Serre pour les automorphismes.

5Tate, p. 3 : §3 « The "minimal" Weierstrass equations over a valuation ring ». Définition 3.1 (équation minimale relativement à \(v\)), Théorème 3.2 (existence et unicité à un changement de coordonnées près avec \(r,s,t\in R\), \(u\) inversible), Corollaire 3.3 (unicité de \(\omega\) à une unité près) et quatre remarques : critère \(v(\Delta)<12\), discriminant minimal \(\mathfrak{D}_E=\sum v(\Delta_v)\,v\), cas d'un anneau principal, borne sur \(v(\Delta)\) lorsque \(j\in R\).

6Tate, p. 4 : §4 « The canonical filtration on the group of \(v\)-adic points ». Réduction \(\tilde E\), sa partie lisse \(\tilde E_0\) (courbe elliptique, groupe multiplicatif éventuellement tordu, ou groupe additif), \(E_0(K)=\rho^{-1}(\tilde E_0(k))\), Théorème 4.1 (\(E_0(K)\) d'indice fini, \(\rho\) homomorphisme), les \(E_m(K)\), Théorème 4.2 (paramètre uniformisant \(z=-x/y\), développements (4.3) à coefficients dans \(R\), loi de groupe formel \(\Phi\)).

7Tate, p. 5 : démonstration du Théorème 4.2 par (4.4)-(4.6) (équation en \(w=-1/y\), \(z\) ; somme des trois racines ; « (sauf erreur) » en marge, de la main de Tate), puis la « canonical filtration » (4.7) \(E(K)\supset E_0(K)\supset E_1(K)\supset E_2(K)\supset\cdots\) et ses quotients.

8Tate, p. 6 : §5 « Application ». Corollaire 5.1 (\(\int_{E_1(K)}|\omega| =1/q\) pour \(\omega\) issue d'une équation minimale), le facteur local (5.2) \(L_v(s)\) dans les trois cas de réduction, et Théorème 5.2 (5.3) \(\int_{E(K)}|\omega|=(E(K):E_0(K))/L_v(1)\) : les « fudge factors » de Birch et Swinnerton-Dyer sont les indices \((E(K):E_0(K))\).

9Tate, p. 7 : §6 « The Néron minimum model ». Le modèle régulier minimal \(X\) sur \(R\), et le tableau des dix types de fibres (symboles de Kodaira \(\mathrm{I}_0\), \(\mathrm{I}_\nu\), \(\mathrm{II}\), \(\mathrm{III}\), \(\mathrm{IV}\), \(\mathrm{I}_0^*\), \(\mathrm{I}_\nu^*\), \(\mathrm{IV}^*\), \(\mathrm{III}^*\), \(\mathrm{II}^*\) : dessins, nombre de composantes, groupe \(E(K)/E_0(K)\), \(\tilde E_0(k)\), et, pour la caractéristique résiduelle \(\neq 2,3\), \(v(\Delta)\), exposant du conducteur, comportement de \(j\)), puis commentaires sur \(\tilde X_0\) et la minimalité.

10Tate, p. 8 : §7 « Algorithm for analysing singular fibers (first five cases) ». Conducteur \(\mathfrak{p}^f\) avec \(f=v(\Delta)+1-n\), ordre \(c\) de \(E(K)/E_0(K)\), groupe \(\tilde E_0(k)\) ; étapes (1) (type \(\mathrm{I}_0\)) et (2) (type \(\mathrm{I}_\nu\), sous-cas (2a), (2b) selon le corps de décomposition de \(T^2+a_1T-a_2\)).

11Tate, p. 9 : étapes (3) (type \(\mathrm{II}\)), (4) (type \(\mathrm{III}\), équation (7.1) et conique (*)), (5) (type \(\mathrm{IV}\)), chacune avec sa justification entre crochets.

12Tate, p. 10 : §8 « Algorithm continued, the last five cases ». Le polynôme (8.1) \(P(T)=T^3+a_{2,1}T^2+a_{4,2}T+a_{6,3}\), l'équation (8.2) ; étapes (6) (type \(\mathrm{I}_0^*\)) et (7) (type \(\mathrm{I}_\nu^*\), avec la « subprocedure » (7.1)-(7.2)) ; « (continued) » en bas de page.

13Tate, p. 11 : fin de la sous-procédure de l'étape (7) (7.3), puis étapes (8) (type \(\mathrm{IV}^*\), (8.1)), (9) (type \(\mathrm{III}^*\), (9.1)) et (10) (type \(\mathrm{II}^*\) ; si \(\mathfrak{p}^6\mid a_6\), l'équation n'était pas minimale). Fin de la copie du manuscrit de Tate dans ce lot.

15Les pages 15 à 20 sont les six premiers feuillets (pages dactylographiées 1 à 6) du tapuscrit « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis au goût du jour par P. Deligne », publié sous ce titre dans Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Math. 476 (1975), p. 53-73. Texte de Deligne et publié : il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note donnant en entier les marques manuscrites, toutes au crayon. Page 1 du tapuscrit : titre, §1 « Formules générales » : courbes de genre \(1\) sur \(S\), fibres de type elliptique, multiplicatif ou additif, faisceau \(\omega=e^*\Omega^1_{E/S}\). Au crayon : « genre arithmétique » est souligné d'un trait ondulé, et un « ? » est porté dans la marge gauche en face.

16Page 2 du tapuscrit : \(R^1p_*\mathcal{O}(ne)=0\) pour \(n>0\), les \(p_*\mathcal{O}(ne)\) localement libres de rang \(n\), la filtration de gradué (1.1), le faisceau dualisant \(\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}\). Au crayon, dans la marge droite : rf en face de « a un seul groupe de cohomologie non nulle » ; \(\omega_{E/S}\) en face de « Là où \(p\) est lisse, on a » ; rf de nouveau en face de « de formation compatible à tout changement de base » ; un petit trait oblique sépare « donc » de « localement ».

17Page 3 du tapuscrit : \(p_*\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}\simeq e^*\Omega^1_{E/S}=\omega\) et \(p^*\omega\simeq\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}\), différentielles invariantes, bases \((y,x,1)\) de \(p_*\mathcal{O}(3e)\), les changements (1.2), l'équation (1.3). Au crayon : un « ? » dans la marge droite en face de \(p^*\omega\simeq\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}\) ; le « 1 » de « \((x, y, 1)\) » est entouré d'une parenthèse.

18Page 4 du tapuscrit : existence et unicité de l'équation, la forme \(\pi=dx/F_y\), la réciproque (cubique à point d'inflexion en \((0,1,0)\)), les formules (1.4) pour \(b_2,b_4,b_6,b_8,d_6,d_8\). Au crayon : \(2^2\) écrit au-dessus du coefficient \(4\) de \(4a_2a_6\) ; \(2\cdot 3^2\) au-dessus du \(18\) de \(18b_6\) ; une accolade suivie de « ? » dans la marge droite en face de « et présentant un point d'inflexion en \((0,1,0)\) » ; une parenthèse ouvrante devant « \(12\,d_6\) » et devant « \(12\,d_8\) ».

19Page 5 du tapuscrit : (1.5) \(c_4\), \(c_6\), \(\Delta\) ; (1.6)-(1.7) les formules de changement de coordonnées pour les \(a_i'\), \(b_i'\), \(d_i'\). Au crayon, les coefficients numériques de (1.5) sont décomposés en facteurs premiers au-dessus de chacun : \(2^3 3\) sur \(24\), \(2^2 3^2\) sur \(36\), \(2^3 3^3\) sur \(216\) (entouré), \(2^3\) sur \(8\), \(3^3\) sur \(27\), \(3^2\) sur \(9\), puis dans la seconde expression de \(\Delta\), \(3^3\) sur \(27\) et \(2^2 3^2\) sur \(36\) ; l'exposant de \(b_2^2\) dans \(b_8(36b_4-b_2^2)\) est entouré, avec un « ? » au-dessus à droite.

20Page 6 du tapuscrit : (1.8) \(u^4c_4'=c_4\), \(u^6c_6'=c_6\), \(u^{12}\Delta'=\Delta\) ; §2 « Cas où 2 et 3 sont inversibles » : (2.1)-(2.4), retour à \(Y^2=4X^3-g_2X-g_3\), et la Proposition 2.5 (schéma de modules \(\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}[2^{-1},3^{-1}][g_2,g_3]\) …). Dans la marge, au crayon, sous la phrase qui suit (1.8), une note dont l'écriture rapide paraît être la sienne (attribution non certaine) :

Sur un corps

} les trois cas sont réunis par une accolade ; « Sur un corps » est souligné.