Les pages 2 à 13 sont la copie d'un manuscrit qui n'est pas de la main de
Grothendieck : une écriture ronde et posée, en anglais, sans rien de sa main
rapide (comparer le dossier 62), et le texte dit lui-même « See Serre's
"Courbes Elliptiques - Formulaire" » (page 4) et « (Serre tells me) »
(page 8). C'est la lettre de J. Tate à Cassels publiée, légèrement retouchée,
sous le titre « Algorithm for determining the type of a singular fiber in an
elliptic pencil », Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes
in Math. 476 (1975), p. 33-52 ; la table ci-dessous reproduit exactement ses
sections 1 à 8. Texte d'un autre auteur, publié depuis : il n'est pas
recomposé ici, chaque page reçoit une note. Aucune annotation d'une autre main
n'y est visible.
Page 2 : table des matières (« Contents ») de Tate, renvoyant à sa propre
pagination : 1. Generalized Weierstrass form, p. 1 ; 2. Change of coordinates,
p. 2 ; 3. « Minimal » Weierstrass equations over a valuation ring, p. 3 ;
4. The canonical filtration on the group of v-adic points, p. 4 ;
5. Application : the relation between L_v(1) and \int_{E_v}|\omega_v| in
case k is finite, p. 6 ; 6. The Néron minimum model, p. 7 ; 7. Algorithm for
analysing singular fibers (first five cases), p. 8 ; 8. Algorithm continued
(last five cases), p. 10.
Tate, p. 1 : §1 « Generalized Weierstrass form ». Équation (1.1)
y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6 d'une courbe elliptique sur un corps K
munie d'un point rationnel O ; les quantités b_2,b_4,b_6,b_8, c_4,c_6,
\Delta, j=c_4^3/\Delta (1.2) et leurs relations (1.3)
4b_8=b_2b_6-b_4^2, 1728\Delta=c_4^3-c_6^2 ; la différentielle de première
espèce \omega (1.4)-(1.5) ; le passage (1.6)-(1.7) à la forme
\eta^2=\xi^3-\tfrac{c_4}{48}\xi-\tfrac{c_6}{864} et la comparaison (1.8) avec
\wp, g_2, g_3.
Tate, p. 2 : §2 « Change of coordinates ». Les changements de
coordonnées (2.1) x=u^2x'+r, y=u^3y'+su^2x'+t, les formules (2.2) donnant
a_i' et b_i', les invariances (2.3) u^4c_4'=c_4, u^6c_6'=c_6,
u^{12}\Delta'=\Delta, j'=j ; l'exemple (2.4) d'une courbe « générique » de
module j ; renvoi au formulaire de Serre pour les automorphismes.
Tate, p. 3 : §3 « The "minimal" Weierstrass equations over a valuation
ring ». Définition 3.1 (équation minimale relativement à v), Théorème 3.2
(existence et unicité à un changement de coordonnées près avec r,s,t\in R,
u inversible), Corollaire 3.3 (unicité de \omega à une unité près) et
quatre remarques : critère v(\Delta)<12, discriminant minimal
\mathfrak{D}_E=\sum v(\Delta_v)\,v, cas d'un anneau principal, borne sur
v(\Delta) lorsque j\in R.
Tate, p. 4 : §4 « The canonical filtration on the group of v-adic
points ». Réduction \tilde E, sa partie lisse \tilde E_0 (courbe
elliptique, groupe multiplicatif éventuellement tordu, ou groupe additif),
E_0(K)=\rho^{-1}(\tilde E_0(k)), Théorème 4.1 (E_0(K) d'indice fini,
\rho homomorphisme), les E_m(K), Théorème 4.2 (paramètre uniformisant
z=-x/y, développements (4.3) à coefficients dans R, loi de groupe formel
\Phi).
Tate, p. 5 : démonstration du Théorème 4.2 par (4.4)-(4.6) (équation en
w=-1/y, z ; somme des trois racines ; « (sauf erreur) » en marge, de la
main de Tate), puis la « canonical filtration » (4.7)
E(K)\supset E_0(K)\supset E_1(K)\supset E_2(K)\supset\cdots et ses
quotients.
Tate, p. 6 : §5 « Application ». Corollaire 5.1 (\int_{E_1(K)}|\omega|
=1/q pour \omega issue d'une équation minimale), le facteur local (5.2)
L_v(s) dans les trois cas de réduction, et Théorème 5.2 (5.3)
\int_{E(K)}|\omega|=(E(K):E_0(K))/L_v(1) : les « fudge factors » de Birch et
Swinnerton-Dyer sont les indices (E(K):E_0(K)).
Tate, p. 7 : §6 « The Néron minimum model ». Le modèle régulier minimal
X sur R, et le tableau des dix types de fibres (symboles de Kodaira
\mathrm{I}_0, \mathrm{I}_\nu, \mathrm{II}, \mathrm{III}, \mathrm{IV},
\mathrm{I}_0^*, \mathrm{I}_\nu^*, \mathrm{IV}^*, \mathrm{III}^*,
\mathrm{II}^* : dessins, nombre de composantes, groupe
E(K)/E_0(K), \tilde E_0(k), et, pour la caractéristique résiduelle
\neq 2,3, v(\Delta), exposant du conducteur, comportement de j), puis
commentaires sur \tilde X_0 et la minimalité.
Tate, p. 8 : §7 « Algorithm for analysing singular fibers (first five
cases) ». Conducteur \mathfrak{p}^f avec f=v(\Delta)+1-n, ordre c de
E(K)/E_0(K), groupe \tilde E_0(k) ; étapes (1) (type \mathrm{I}_0) et
(2) (type \mathrm{I}_\nu, sous-cas (2a), (2b) selon le corps de
décomposition de T^2+a_1T-a_2).
Tate, p. 9 : étapes (3) (type \mathrm{II}), (4) (type \mathrm{III},
équation (7.1) et conique (*)), (5) (type \mathrm{IV}), chacune avec sa
justification entre crochets.
Tate, p. 10 : §8 « Algorithm continued, the last five cases ». Le
polynôme (8.1) P(T)=T^3+a_{2,1}T^2+a_{4,2}T+a_{6,3}, l'équation (8.2) ;
étapes (6) (type \mathrm{I}_0^*) et (7) (type \mathrm{I}_\nu^*, avec la
« subprocedure » (7.1)-(7.2)) ; « (continued) » en bas de page.
Tate, p. 11 : fin de la sous-procédure de l'étape (7) (7.3), puis
étapes (8) (type \mathrm{IV}^*, (8.1)), (9) (type \mathrm{III}^*, (9.1))
et (10) (type \mathrm{II}^* ; si \mathfrak{p}^6\mid a_6, l'équation
n'était pas minimale). Fin de la copie du manuscrit de Tate dans ce lot.
Les pages 15 à 20 sont les six premiers feuillets (pages dactylographiées
1 à 6) du tapuscrit « Courbes elliptiques : formulaire, d'après J. Tate, mis
au goût du jour par P. Deligne », publié sous ce titre dans Modular
Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Math. 476 (1975), p. 53-73.
Texte de Deligne et publié : il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une
note donnant en entier les marques manuscrites, toutes au crayon.
Page 1 du tapuscrit : titre, §1 « Formules générales » : courbes de genre
1 sur S, fibres de type elliptique, multiplicatif ou additif, faisceau
\omega=e^*\Omega^1_{E/S}. Au crayon : « genre arithmétique » est souligné
d'un trait ondulé, et un « ? » est porté dans la marge gauche en face.
Page 2 du tapuscrit : R^1p_*\mathcal{O}(ne)=0 pour n>0, les
p_*\mathcal{O}(ne) localement libres de rang n, la filtration de gradué
(1.1), le faisceau dualisant \Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}. Au crayon, dans la
marge droite : rf en face de « a un seul groupe de cohomologie
non nulle » ; \omega_{E/S} en face de « Là où p est lisse, on a » ;
rf de nouveau en face de « de formation compatible à tout
changement de base » ; un petit trait oblique sépare « donc » de
« localement ».
Page 3 du tapuscrit : p_*\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S}\simeq
e^*\Omega^1_{E/S}=\omega et p^*\omega\simeq\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S},
différentielles invariantes, bases (y,x,1) de p_*\mathcal{O}(3e), les
changements (1.2), l'équation (1.3). Au crayon : un « ? » dans la marge droite
en face de p^*\omega\simeq\Omega^{\mathrm{reg}}_{E/S} ; le « 1 » de
« (x, y, 1) » est entouré d'une parenthèse.
Page 4 du tapuscrit : existence et unicité de l'équation, la forme
\pi=dx/F_y, la réciproque (cubique à point d'inflexion en (0,1,0)), les
formules (1.4) pour b_2,b_4,b_6,b_8,d_6,d_8. Au crayon : 2^2 écrit
au-dessus du coefficient 4 de 4a_2a_6 ; 2\cdot 3^2 au-dessus du
18 de 18b_6 ; une accolade suivie de « ? » dans la marge droite en face de
« et présentant un point d'inflexion en (0,1,0) » ; une parenthèse ouvrante
devant « 12\,d_6 » et devant « 12\,d_8 ».
Page 5 du tapuscrit : (1.5) c_4, c_6, \Delta ; (1.6)-(1.7) les
formules de changement de coordonnées pour les a_i', b_i', d_i'. Au
crayon, les coefficients numériques de (1.5) sont décomposés en facteurs
premiers au-dessus de chacun : 2^3 3 sur 24, 2^2 3^2 sur 36, 2^3 3^3
sur 216 (entouré), 2^3 sur 8, 3^3 sur 27, 3^2 sur 9, puis dans
la seconde expression de \Delta, 3^3 sur 27 et 2^2 3^2 sur 36 ;
l'exposant de b_2^2 dans b_8(36b_4-b_2^2) est entouré, avec un « ? »
au-dessus à droite.
Page 6 du tapuscrit : (1.8) u^4c_4'=c_4, u^6c_6'=c_6,
u^{12}\Delta'=\Delta ; §2 « Cas où 2 et 3 sont inversibles » : (2.1)-(2.4),
retour à Y^2=4X^3-g_2X-g_3, et la Proposition 2.5 (schéma de modules
\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}[2^{-1},3^{-1}][g_2,g_3] …). Dans la marge,
au crayon, sous la phrase qui suit (1.8), une note dont l'écriture rapide
paraît être la sienne (attribution non certaine) :
Sur un corps
- cas elliptique : \Delta\neq 0
- cas multiplicatif : \Delta=0, c_4\neq 0 (équiv. à c_6\neq 0)
- cas additif : \Delta=0, c_4=0 i.e. \Delta=0, c_6=0
}
les trois cas sont réunis par une accolade ; « Sur un corps » est
souligné.