Cote n° 62 · batch 5 · pages 81–96 · Transcription · Courbes elliptiques (généralités - vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1963]
Édition de démonstration

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81(on calcule \(\int z\wp z\) le long d'un parallélogramme de périodes auquel […] […] l'origine) suite de la section 3) « Fonction \(\zeta(u)\) » de la page 80

Formule d'Hermite. Si \(f\) […] fonction elliptique \(f(z)\), dans le parallélogramme des périodes \(\mathfrak{P}\), […] […] […] […] de pôles \(a_i\), de parties principales \[\frac{A_{i,1}}{z-a_i} + \frac{A_{i,2}}{(z-a_i)^2} + \cdots + \frac{A_{i,k_i}}{(z-a_i)^{k_i}}\] … \(f(z) = c^{te} + \sum_i \bigl(A_{i,1}\zeta(z-a_i) + A_{i,2}\wp(z-a_i)\bigr)\) \[(12)\quad f(z) = c^{te} + \sum_i \Bigl(A_{i,1}\,\zeta(z-a_i) + A_{i,2}\,\wp(z-a_i) + \cdots + \frac{(-1)^{k_i}}{(k_i-1)!}\,A_{i,k_i}\,\wp^{(?)}(z-a_i)\Bigr)\] le numéro (12) est entouré ; dans le dernier terme, le signe et la factorielle sont noircis et récrits, et l'ordre de dérivation de \(\wp\) se lit mal (le deuxième membre est elliptique, grâce à \(\sum A_i = 0\)) une ligne horizontale traverse la page après cette phrase

4) Fonction \(\sigma z\) titre encadré ; le numéro « 4) » est en marge \[(13)\quad \sigma z = z \prod_{\omega\in\mathfrak{P}^*} \Bigl(1 - \frac{z}{\omega}\Bigr) e^{\frac{z}{\omega} + \frac{z^2}{2\omega^2}}\] sous « \(\sigma z = z\) », quelques signes biffés \[(14)\quad \frac{\sigma' z}{\sigma z} = (\log\sigma z)' = \zeta z \qquad \sigma z = z\, e^{\int_0^z (\zeta u - \frac{1}{u})\,du}\] \(\sigma\) est fonction entière impaire, ayant les \(\omega\in\mathfrak{P}\) pour […] zéros simples (et pas d'autres zéros) \[(15)\quad \sigma u = u - c_1\frac{u^5}{12} - c_2\frac{u^7}{30}\] les numéros (13), (14), (15) sont entourés

82\[(16)\quad \sigma(u+2\omega_i) = \sigma u\, e^{2\eta_i(u+\omega_i) + 2i\pi}\] ainsi sur la page : \(2i\pi\) dans l'exposant ; en (26), page 84, et dans la relation analogue de la page 84, il écrit \(i\pi\)

Formule de Jacobi. \(f\) fonction elliptique, \((a_i)\) et \((b_j)\) \((i=1,\ldots p)\) système fondamental de zéros et de pôles, tel que \(\sum a_i = \sum b_i\). Alors \[(17)\quad f(z) = c^{te}\times\frac{\prod\sigma(u-a_i)}{\prod\sigma(u-b_i)}\] (le deuxième membre est en effet elliptique, grâce à (16), et à \(\sum a_i = \sum b_i\))

5) Formules d'addition des fonctions elliptiques titre encadré

La formule de Jacobi, appliquée à la fonction de \(u\) \(\wp u - \wp v\), donne facilement \[(18)\quad \wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u+v)\,\sigma(u-v)}{\sigma^2 u\,\sigma^2 v}\] Prenant la dérivée logarithmique en \(u\), en \(v\) […] […], il vient \[(19)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \frac{\wp' u}{\wp u - \wp v} &= \zeta(u+v) + \zeta(u-v) - 2\zeta u\\ -\frac{\wp' v}{\wp u - \wp v} &= \zeta(u+v) - \zeta(u-v) - 2\zeta v \end{aligned} \right.\] \[(20)\quad \zeta(u+v) - \zeta u - \zeta v = \frac{1}{2}\,\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\] faisant \(v=u\) : \[(20\ \mathrm{bis})\quad \zeta(2u) - 2\zeta u = \frac{1}{2}\,\frac{\wp'' u}{\wp' u}\] Autres formules les numéros (16) à (20) sont entourés ; « (20 bis) » ne l'est pas

83\[(21)\quad \wp(u+v) + \wp u + \wp v = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\Bigr)^2\] (on dérive en \(u\) et \(v\) […] l'expression de \(\frac{\wp' u}{\wp u - \wp v}\), et y remplaçant \(\wp''\) en fonction de \(\wp\)) faisant \(v=u\) \[(21\ \mathrm{bis})\quad \wp(2u) + 2\wp u = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{\wp'' u}{\wp' u}\Bigr)^2\] L'application de la formule d'Hermite à \(\wp(2u)\) donne \[(22)\quad 4\wp(2u) = \wp u + \wp(u+\omega_1) + \wp(u+\omega_2) + \wp(u+\omega_3)\]

5) Fonctions \(\wp u - e_i\) titre encadré ; le numéro « 5) » est répété, après la section 5) de la page 82

L'application de la formule d'Hermite à \(\wp u - e_i\) donne \[(23)\quad \frac{1}{\wp u - e_i} = \frac{\wp(u+\omega_i) - e_i}{(e_j - e_i)(e_k - e_i)} \qquad (i,j,k \ \text{permutation de}\ 1,2,3)\] (compte tenu de \(e_1 + e_2 + e_3 = 0\))

La racine carrée de cette fonction est une fonction […] méromorphe ; la formule d'addition précédente […] \[(24)\quad \wp u - e_i = -\frac{\sigma(u+\omega_i)\,\sigma(u-\omega_i)}{\sigma^2 u\,\sigma^2\omega_i} = \Bigl(\frac{\sigma_i u}{\sigma u}\Bigr)^2 \quad\text{où}\] \[(25)\quad \sigma_i u = \frac{1}{\sigma\omega_i}\,\sigma(u+\omega_i)\,e^{-\eta_i u}\] On démontre que \(\sqrt{\wp u - e_i} = \frac{\sigma_i u}{\sigma u}\) a les périodes \(2\omega_i\) et \(4\omega_j\) (mais non \(2\omega_i\) et \(2\omega_j\)) — \(i\neq j\) ; elle change de signe […] […] ajoute \(2\omega_j\) à \(u\). En d'autres termes les numéros (23), (24), (25) sont entourés

84\[(26)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \sigma_i(u+2\omega_i) &= \sigma_i u\, e^{2\eta_i(u+\omega_i) + i\pi}\\ \sigma_i(u+2\omega_j) &= \sigma_i u\, e^{2\eta_j(u+\omega_j)} \qquad (j\neq i) \end{aligned} \right.\] Ainsi \(\sqrt{\wp u - e_1}\) a \(2\omega_1\), \(4\omega_2\) comme système fondamental de périodes, \(\sqrt{\wp u - e_2}\) admet \(2\omega_2\), \(4\omega_3\), et \(\sqrt{\wp u - e_3}\) admet \(2\omega_3\), \(4\omega_1\).

La fonction \(\sigma_i u\) est paire, \(\sigma_i(0) = 1\). un double trait horizontal traverse la page ici

Les fonctions \(\Theta\)

titre encadré, de sa main, au milieu de la page 84

S'introduisent pour le calcul numérique des fonctions elliptiques ; introduisent une dissymétrie entre \(\omega_1\) et \(\omega_2\).

Par la substitution \(u\to u+2\omega_1\), \(\sigma u\) et […] \(e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1} - \frac{i\pi u}{2\omega_1}}\) sont multipliés par le même facteur \(e^{2\eta_1(u+\omega_1) - i\pi}\), donc leur quotient admet la période \(2\omega_1\), et se développe donc en série de Fourier ; il en résulte \[\sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}} \sum_{-\infty}^{+\infty} A_n\, e^{(2n-1)i\pi\frac{u}{2\omega_1}}\] un « 1 » isolé, dans la marge, devant cette formule En exprimant que \(\sigma(u+2\omega_2) = \sigma u\, e^{2\eta_2(u+\omega_2) - i\pi}\), on obtient une relation de récurrence \[A_{n+1} = -h^{2n}A_n, \quad\text{où}\quad h = e^{i\pi\frac{\omega_2}{\omega_1}} \qquad \Bigl(\Im\frac{\omega_2}{\omega_1} > 0\Bigr),\] l'exposant de \(h\), petit, est lu \(2n\) sous réserve ; le \(h\) est surchargé ce qui détermine les \(A_n\) […] au facteur \(A_0\) près. L'expression de \(\sigma u\) amène à introduire la fonction

85\[(1)\quad \Theta(v|t) = -\frac{1}{i}\sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^n e^{(n-\frac{1}{2})^2 i\pi t + (2n-1)i\pi v}\] série qui peut aussi s'écrire, en groupant distinguant les termes en \(\sum_1^\infty\) et \(\sum_{-\infty}^{0}\) et groupant les termes deux à deux \[(2)\quad \Theta(v|t) = 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{(n-\frac{1}{2})^2 i\pi t} \sin(2n-1)\pi v\] devant le \(2\) de (2), une lettre biffée On a alors, par construction, \(\Theta\) est définie ⌜et holomorphe⌝ pour \(\Im t > 0\) et pour \(v\) quelconque \[(3)\quad \sigma(u|\omega_1,\omega_2) = \frac{2\omega_1}{\Theta'_v(0|\frac{\omega_2}{\omega_1})}\, e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\,\Theta\Bigl(\frac{u}{2\omega_1}\Big|\frac{\omega_2}{\omega_1}\Bigr)\] La fonction \(\Theta\) est exprimée par une série très rapidement convergente. — \(\Theta(v|t)\) est fonction impaire de \(v\), et on a \[(4)\quad \left\lbrace \begin{aligned} &\Theta(v+1|t) = -\Theta(v|t) \qquad \Theta(v+2|t) = \Theta(v|t)\\ &\Theta(v+t|t) = \Theta(v|t)\, e^{-2i\pi v - i\pi t - i\pi} \end{aligned} \right.\] Ces relations caractérisent \(\Theta\) à un facteur constant près, pour \(t\) donné (comme on voit par le calcul qui avait donné \(\Theta\)).

Notons aussi la formule (vérification immédiate) \[(5)\quad \Theta(v|t+4) = -\Theta(v|t), \quad\text{d'où}\quad \Theta(v|t+8) = \Theta(v|t)\] Les zéros de \(\Theta(v|t)\) sont déterminés par ceux de \(\sigma u\), ce sont les nombres \(v = m_1 + m_2 t\). — […] […] expression de (1), (2), […] […] […], on pose souvent \(h(t) = h = e^{i\pi t}\) ; alors les numéros (1) à (5) sont entourés, et de même (1), (2) dans la dernière phrase

86\[(6)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \Theta(v|t) &= -\frac{1}{i}\sum_{-\infty}^{\infty}(-1)^n\, h(t)^{(n-\frac12)^2} e^{(2n-1)i\pi v}\\ &= 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\, h(t)^{(n-\frac12)^2}\sin(2n-1)\pi v\\ &= 2\bigl[h(t)^{\frac14}\sin\pi v - h(t)^{\frac94}\sin 3\pi v + \cdots\bigr] \end{aligned} \right.\] devant le \(2\) de la dernière ligne, quelques signes biffés On peut poser \(t = iT\), où \(\Re T > 0\), et on a \[\Theta(v|iT) = 2\sum_{1}^{+\infty}(-1)^{n-1} e^{-(n-\frac12)^2\pi T}\sin(2n-1)\pi v\] la borne inférieure de la somme est surchargée ; une lettre biffée à la fin de l'exposant

La fonction \(\Theta(v|t)\) (et les séries analogues qui vont suivre) permet d'exprimer la somme d'une série de la forme \(\sum_{-\infty}^{+\infty} e^{-an^2+bn+c}\) où \(\Re a > 0\), — et réciproquement bien entendu. On a \[(7)\quad \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{-an^2+bn+c} = -e^{c+\frac{b}{2}-\frac{a}{4}}\, \Theta\Bigl(\frac{b-a-i\pi}{2i\pi}\Big|\frac{ia}{\pi}\Bigr)\]

Formule de transformation pour \(t\to -\frac{1}{t}\)

En exprimant que \(\sigma(u|\omega_1,\omega_2) = \sigma(u|\omega_2,-\omega_1)\), on obtient une identité fonctionnelle pour \(\Theta\) \[(8)\quad \Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\, \Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr) \times \frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac{1}{t})}\] le signe devant la fraction ressemble à un \(+\) ; il est lu comme un produit, et le même signe précède la fraction de la ligne suivante Pour expliciter \(\frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac1t)} = H(t)\), on note d'abord que \(\Theta(v|t)\) est solution de l'équation de la chaleur : \[(9)\quad \frac{\partial^2\Theta}{\partial v^2} = 4i\pi\,\frac{\partial\Theta}{\partial t}\] les numéros (6) à (9) sont entourés

87(vérification immédiate par la série). En appliquant au deuxième membre de (8), où \(\frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac1t)}\) se laisse sous forme indéterminée, on trouve une relation sur \(H(t)\) : \(\frac{H'(t)}{H(t)} = -\frac{1}{2t}\), d'où suit que \(H(t)\) est proportionnel à \(\frac{1}{\sqrt t}\) ; le facteur de proportionnalité s'obtient en faisant dans \[\Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\,\Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)\frac{a}{\sqrt t},\] \(t = i\) (d'où \(t = -\frac{1}{t}\)) et \(v = \ill{}\), on trouve \(a = \sqrt i\), d'où enfin \[(10)\quad \boxed{\ \Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\, \Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)\, i\sqrt{\frac{i}{t}}\ }\] (bien la détermination de \(\sqrt{\frac{i}{t}}\) est celle […] […] comprise […] \(-\frac{\pi}{?}\leq\operatorname{Arg}\frac{i}{t}\leq+\frac{\pi}{?}\)). Comparant avec (8), on trouve donc les dénominateurs des deux bornes se lisent mal \[(11)\quad \Theta'_v(0|t) = \frac{i}{t}\sqrt{\frac{i}{t}}\;\Theta'_v\Bigl(0\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)\] le \(i\) du numérateur est écrit sur un \(1\) Relation exprimée généralement, faisant \(t = iT\) (où \(\Re T > 0\)) \[(12)\quad \sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\pi T} = \frac{1}{T^{\frac32}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\frac{\pi}{T}}\] le second membre est surchargé (le facteur \(\frac{1}{T^{3/2}}\) et le signe \((-1)^{n-1}\) récrits) (car \[(12\ \mathrm{bis})\quad \Theta'_v(v|t) = 2\pi\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\, e^{(n-\frac12)^2 i\pi t}\cos(2n-1)\pi v\] d'où \[\Theta'_v(0|iT) = 2\pi\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\pi T}\] dans (12 bis), le premier membre se lit \(\Theta'_v(0|t)\) et le cosinus est écrit sous l'exponentielle ; le numéro « (12 bis) » est entouré, comme (10), (11), (12)

88La formule (10) est importante pour le calcul numérique des fonctions \(\Theta\), car ramène le calcul de \(\Theta(v|iT)\) à celui de \(\Theta(v|\frac{i}{T})\) ; si donc \(\Re T \ngtr 1\), alors […] \(\Re\frac{1}{T} > 1\) ⌜ou \(\Re T > 1\)⌝, d'où résulte que dans l'expression \[\Theta(v|iT) = 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}h^{(n-\frac12)^2}\sin(2n-1)\pi v, \quad\text{où}\quad h = e^{-\pi T}\ \text{ou}\ e^{-\frac{\pi}{T}},\] on peut supposer \(|h| \leq e^{-\pi} \mathbin{\#} \frac{1}{10}\) ; comme l'exposant de \(h\) augmente rapidement, on voit qu'on a bien une série très rapidement convergente. le numéro (10) est entouré ; « \(\Re T>1\) » est écrit en bout de ligne ; dans \(e^{-\frac{\pi}{T}}\) l'exposant est noirci ; « \(\#\) » est son signe d'approximation

Autres fonctions \(\Theta\) liées aux fonctions elliptiques

Les fonctions \(\Theta_i\) \((i=1,2,3)\) se définissent par \[(13)\quad \sigma_i u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\Theta_i(\frac{u}{2\omega_1}|\frac{\omega_2}{\omega_1})}{\Theta_i(0|\frac{\omega_2}{\omega_1})}\] et s'expriment par une série du type \(\Theta\) : \[(14)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \Theta_1(v|t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} e^{(n-\frac12)^2 i\pi t + (2n-1)i\pi v}\\ &= 2\sum_{1}^{\infty} e^{(n-\frac12)^2 i\pi t}\cos(2n-1)\pi v = \vartheta_2(v)\\ \Theta_2(v|t) &= \sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^n e^{n^2 i\pi t + 2ni\pi v}\\ &= 1 + 2\sum_{1}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}\cos 2n\pi v = \vartheta_0(v) \end{aligned} \right.\] devant la première somme, un \(2\) biffé ; à droite de la troisième ligne, un griffonnage couvert de hachures ; la quatrième ligne est ainsi sur la page, sans \((-1)^n\)

89\[\left\lbrace \begin{aligned} \Theta_3(v|t) &= \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{n^2 i\pi t + 2ni\pi v} = 1 + 2\sum_{1}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}\cos 2n\pi v = \vartheta_3(v) \end{aligned} \right.\] (\(\Theta(v|t) = \vartheta_1(v)\) — \(\vartheta_i\), fonctions de Weierstrass) suite de l'accolade de (14)

Les autres quantités de la théorie des fonctions elliptiques se calculent aussi au moyen des fonctions \(\Theta\), une fois fixés \(\omega_1\) et \(t = \frac{\omega_2}{\omega_1}\). Le calcul des \(e_i\) par exemple donne \[e_i = \Bigl(\frac{1}{2\omega_1}\Bigr)^2\Bigl(\frac{1}{3}\,\frac{\Theta'''0}{\Theta'0} - \frac{\Theta''_i 0}{\Theta_i 0}\Bigr)\] […] […] \[(15)\quad \left\lbrace \begin{aligned} e_1 &= \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[(\Theta_2 0)^4 + (\Theta_3 0)^4\bigr]\\ e_2 &= \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[-(\Theta_1 0)^4 - (\Theta_3 0)^4\bigr]\\ e_3 &= \frac12\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[(\Theta_1 0)^4 - (\Theta_? 0)^4\bigr] \end{aligned} \right.\] ainsi sur la page : \(\frac12\) devant \(e_3\), où l'on attendrait \(\frac13\) ; les indices des \(\Theta\) de \(e_2\), \(e_3\) se lisent mal Signalons les relations \[2\eta_1\omega_1 = -\frac{\Theta'''0}{6\,\Theta'0}\ ; \qquad \Theta'0 = \pi\,\Theta_1 0\;\Theta_2 0\;\Theta_3 0\] le \(\Theta_2\) du dernier produit est noirci

90feuille récapitulative (papier brun clair), donnée dans l'ordre de la page \[\omega_1\ \ \omega_2 \qquad \Bigl[\frac{\omega_1}{\omega_2}\notin\mathbf{R}\Bigr]\] \[g_2\ \ g_3 \qquad \boxed{\ g_2 = 20c_1 \quad g_3 = 28c_2\ } \qquad \bigl(g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0\bigr)\] \[c_1\ \ c_2\] \[e_1\ \ e_2\ \ e_3 \qquad 4z^3 - g_2 z - g_3 = 4(z-e_1)(z-e_2)(z-e_3) \quad (\text{les } e_i \text{ distincts})\] un trait sépare cet en-tête du reste de la page

Expression en fonction de \(\omega_1\), \(\omega_2\) \[c_1 = 3\sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}\Bigl(\frac{1}{2\omega}\Bigr)^4 \qquad c_2 = 5\sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}\Bigl(\frac{1}{2\omega}\Bigr)^6\] \[g_2 = 20c_1 \qquad g_3 = 28c_2\] \[e_i = \wp\omega_i = \frac{1}{\omega_i^2} + \sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*} \frac{1}{(\omega_i + 2\omega)^2}\] ainsi sur la page ; le \(2\omega\) du dénominateur est surchargé

Expression en fonction de \(g_2\), \(g_3\) \(e_3\) \[c_1 = \frac{1}{20}\,g_2\,, \qquad c_2 = \frac{1}{28}\,g_3\] \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) racines de l'équation \(4z^3 - g_2 z - g_3 = 0\) \[\omega_i = \int_\infty^{e_i}\frac{dz}{\sqrt{4z^3 - g_2 z - g_3}} \qquad (i,j,k\ \uncertain{distincts})\] déterminations telles que \(\sum_{i=1,2,3}\omega_i = 0\) la somme est surchargée ; au-dessus, « \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) »

Expression en fonction de \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) : \(\omega_i = \int_{e_j}^{e_k}\frac{dz}{\sqrt{4z^3 - g_2 z - g_3}}\) pour des déterminations convenables. \[g_2 = 4(e_2e_3 + e_3e_1 + e_1e_2) \qquad g_3 = 4e_1e_2e_3\] les autres choses comme ci-dessus ainsi sur la page, sans signe \(-\) devant le \(4\) de \(g_2\) ; le premier \(+\) est surchargé. Dans l'intégrale, le radicande est lu sous réserve

Expression en fonction de \(c_1\), \(c_2\) \[g_2 = 20c_1\,, \qquad g_? = 20\,c_?\,,\] le reste comme ci-dessus. ainsi sur la page, semble-t-il : \(20\), où l'on attendrait \(g_3 = 28c_2\)

91Fonction modulaire

En considérant \(g_2\), \(g_3\) comme fonctions de \(\omega_1\), \(\omega_2\), où \(\Im\frac{\omega_2}{\omega_1} > 0\), qui sont homogènes de degré \(2\) et \(3\) respectivement, on peut former la fonction \[\frac{g_2^3}{g_2^3 - 27g_3^2}\] (bien […] puisque \(\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0\)), qui est homogène de degré zéro, donc une fonction de \(\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}\). On l'appelle fonction modulaire, notation \(J(\tau)\) ; \(J(\tau)\) est holomorphe pour \(\Im\tau > 0\), et par définition, on a pour \(\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}\) \[J(\tau) = \frac{g_2^3}{\Delta} = \frac{1}{1 - 27\frac{g_3^2}{g_2^3}}\] ainsi sur la page : « de degré \(2\) et \(3\) » Comme \(g_2\) et \(g_3\) peuvent être pris arbitraires, […] […] la condition \(\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0\) près, \(J(\tau)\) prend […] les valeurs ; de plus, le fait que \(g_2\) et \(g_3\) ne dépendent que du groupe engendré par \(\omega_1\) et \(\omega_2\) s'exprime par le fait que \(J(\tau)\) est invariant par le […] groupe arithmétique ou modulaire — groupe des substitutions \(\tau\to\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\), où \(a,b,c,d\) sont entiers, et \(ad - bc = 1\). De plus,

92il est immédiat que la donnée de \(J\tau = a\) (\(a\) arbitraire dans \(\mathbf{C}\)) détermine \(\tau\) à une transformation arithmétique près, (car il détermine à une homothétie près le groupe des périodes engendré par \(\omega_1\) et \(\omega_2\), comme on vérifie très facilement). Il suit aussitôt que \(J\) est […] ⌜biunivoque⌝ au voisinage de tout point du demi-plan supérieur qui n'est point double d'aucune transformation \(\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr)\) arithmétique, et en ces points seulement. Des autres ⌜On⌝ voit […] d'autre part qu'il y a exactement deux classes de points doubles, savoir \(i\) (\(i = -\frac{1}{i}\)) et \(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\). Par suite, les seuls points singuliers ⌜[…]⌝ de la fonction inverse \(\tau(J)\) de \(J(\tau)\) sont les deux points \(J(i)\) et \(J(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2})\). Le calcul donne respectivement \(0\) et \(1\), i.e. \(g_2 = 0\) et \(g_3 = 0\) (car en partant de \(g_2 = 0\) resp. \(g_3 = 0\), on trouve bien \(\frac{\omega_2}{\omega_1} = i\) resp. \(\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\), par un calcul d'intégrale très simple). — Ces propriétés sont à la base des théorèmes de Picard sur les fonctions entières. ainsi sur la page : \(J(i)\) est apparié à \(0\) et à \(g_2 = 0\), \(J(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2})\) à \(1\) et à \(g_3 = 0\) ; avec la normalisation \(J = g_2^3/\Delta\) on a d'ordinaire \(J(i) = 1\) (\(g_3 = 0\)) et \(J(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}) = 0\) (\(g_2 = 0\)). Le mot écrit au-dessus de « singuliers » biffé ne se lit pas

93Fonctions elliptiques de Legendre

\(\mathrm{sn}\,u\) est fonction inverse de \(\int_0^u\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\), impaire.

On pose \[(1)\quad \left. \begin{aligned} &\mathrm{cn}^2u + \mathrm{sn}^2u = 1\\ &\mathrm{dn}^2u + k^2\mathrm{sn}^2u = 1\\ &(\mathrm{dn}^2u - k^2\mathrm{cn}^2u = 1 - k^2 = k'^2) \end{aligned} \right\rbrace \quad \begin{aligned} &\mathrm{sn}\,0 = 0\\ &\mathrm{cn}\,0 = \mathrm{dn}\,0 = 1 \end{aligned}\] (cn et dn sont uniformes, paires)

On a les équations différentielles \[(2)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{sn}^2u)(1-k^2\mathrm{sn}^2u)} = \mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u\\ \mathrm{cn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{cn}^2u)(k'^2+k^2\mathrm{cn}^2u)} = -\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u\\ \mathrm{dn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{dn}^2u)(\mathrm{dn}^2u-k'^2)} = -k^2\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u \end{aligned} \right.\] Les développements de Taylor sont, en \(0\) \[(3)\quad \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}\,u &= u - \frac{2\alpha k}{3!}u^3 + \frac{4k^2(\alpha^2+3)}{5!}u^5 - \frac{8k^3(\alpha^3+33\alpha)}{7!}u^7 + \cdots\\ \mathrm{cn}\,u &= 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{1+4k^2}{4!}u^4 - \frac{1+44k^2+16k^4}{6!}u^6 + \cdots\\ \mathrm{dn}\,u &= 1 - \frac{k^2u^2}{2!} + \frac{k^2(4+k^2)}{4!}u^4 - k^2\,\frac{16+44k^2+k^4}{6!}u^6 + \cdots \end{aligned} \right.\] \[\Bigl(\alpha = \frac12\Bigl(k + \frac1k\Bigr)\Bigr)\] les numéros (1), (2), (3) sont entourés

Dégénérescence \[\left\lbrace \begin{aligned} &k = 0 \quad \mathrm{sn} = \sin \quad \mathrm{cn} = \cos, \quad \mathrm{dn} = 1,\\ &k = 1 \quad \mathrm{sn} = \mathrm{th} \quad \mathrm{cn} = \frac{1}{\mathrm{ch}} \quad \mathrm{dn} = \frac{1}{\mathrm{th}} \end{aligned} \right.\] ainsi sur la page : \(\mathrm{dn} = \frac{1}{\mathrm{th}}\) pour \(k=1\), où l'on attendrait \(\frac{1}{\mathrm{ch}}\)

Périodes ⌜et valeurs remarquables⌝ Posons \[K = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \qquad K' = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k'^2x^2)}}\] \(\mathrm{sn}\,u, \ldots\) ont les périodes \(4K\) et \(4iK'\). Posons \(K'' = -K - iK'\), (\(4K''\) est une autre période) « Périodes » est souligné deux fois ; « et valeurs remarquables » est écrit dessous, dans la marge gauche, et souligné deux fois

94\[\begin{array}{llll} \mathrm{sn}\,u & \text{périodes} & 4K\quad 2iK' & \\ & \text{zéros} & 2mK + 2m'iK' & \\ & \text{pôles} & iK' + 2mK + 2m'iK' & \\[1ex] \mathrm{cn}\,u & \text{périodes} & 4K,\ -2K'' & \\ & \text{zéros} & K + 2mK + 2m'iK & \\ & \text{pôles} & iK' + 2mK + 2m'iK' & \\[1ex] \mathrm{dn}\,u & \text{périodes} & 2K,\ 4iK' & \\ & \text{zéros} & K'' + 2mK + 2m'iK & \\ & & iK' + 2mK + 2m'iK' & \end{array}\] chaque fonction porte une accolade ; pour dn, le mot « pôles » manque devant la troisième ligne ; dans les zéros de cn et de dn, le dernier terme se lit \(2m'iK\) si […] \(k<1\) : \(\mathrm{sn}\,u\) n'a pas de zéros ni de pôles pour \(u\) réel, et période \(4K\) | pas de pôles pour \(u\) réel, zéros \(K + 2mK\) ; période \(4K\) | pas de pôles ni de zéros pour \(u\) réel, période réelle \(2K\) trois colonnes à droite, en face de sn, cn, dn, séparées par des traits verticaux ; ainsi sur la page : « n'a pas de zéros » pour sn

sn, cn, dn sont, pour […] […] périodes, […], d'ordre \(2\) ; pour […] […] périodes communes, d'ordre \(4\). \[\left\lbrace \begin{aligned} &\mathrm{sn}(u+2K) = -\mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2K) = -\mathrm{cn}\,u && \mathrm{dn}(u+2K) = \mathrm{dn}\,u\\ &\mathrm{sn}(u+2iK') = \mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2iK') = -\mathrm{cn}\,u && \mathrm{dn}(u+2iK') = -\mathrm{dn}\,u\\ &\mathrm{sn}(u+2K'') = -\mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2K'') = \mathrm{cn}\,u && \mathrm{dn}(u+2K'') = -\mathrm{dn}\,u \end{aligned} \right.\] les \(2\) de \(2K''\) sont surchargés \[\left\lbrace \begin{aligned} &\mathrm{sn}(u+K) = \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} && \mathrm{cn}(u+K) = -k'\frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u} && \mathrm{dn}(u+K) = \frac{k'}{\mathrm{dn}\,u}\\ &\mathrm{sn}(u+iK') = \frac{1}{k\,\mathrm{sn}\,u} && \mathrm{cn}(u+iK') = -\frac{i}{k}\frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u} && \mathrm{dn}(u+iK') = -i\,\frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u}\\ &\mathrm{sn}(u+K'') = -\frac{1}{k}\frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} && \mathrm{cn}(u+K'') = -\frac{ik'}{k\,\mathrm{cn}\,u} && \mathrm{dn}(u+K'') = ik'\frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u} \end{aligned} \right.\] dans \(\mathrm{sn}(u+K'')\) un \(2\) est écrit puis noirci devant \(K''\) ; les numérateurs de \(\mathrm{cn}(u+iK')\), \(\mathrm{dn}(u+iK')\) et \(\mathrm{dn}(u+K'')\) sont surchargés \[\left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}(iu|k) &= i\,\frac{\mathrm{sn}(u|k')}{\mathrm{cn}(u|k')}\\ \mathrm{cn}(iu|k) &= \frac{1}{\mathrm{cn}(u|k')}\\ \mathrm{dn}(iu|k) &= \frac{\mathrm{dn}(u|k')}{\mathrm{cn}(u|k')} \end{aligned} \right.\] \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} & 0 & K & 2K & 3K & iK' & 2iK' & 3iK' & K'' & 2K'' & 3K''\\ \hline \mathrm{sn}\,u & 0 & 1 & 0 & -1 & \infty & 0 & \infty & -\frac1k & 0 & \frac1k\\ \mathrm{cn}\,u & 1 & 0 & -1 & 0 & \infty & -1 & \infty & -i\frac{k'}{k} & 1 & -i\frac{k'}{k}\\ \mathrm{dn}\,u & 1 & k' & 1 & k' & \infty & -1 & \infty & 0 & -1 & 0 \end{array}\] tableau au bas de la page ; la case d'angle est hachurée ; après \(3K\) et après \(3iK'\), une colonne commencée (\(4K\), \(4iK'\) ?) est biffée et fermée par un trait épais ; un signe biffé suit \(3K''\)

95Relations entre les fonctions de Weierstrass et de Legendre

Supposons \(\omega_1\) réel, \(\omega_2\) purement imaginaire (\(\Im\omega_2 > 0\)), alors les \(e_i\) sont réels ; prenons \(e_2 < e_3 < e_1\), posons \(k = \sqrt{\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}}\), \(M = \sqrt{e_1-e_2}\). Alors \[\left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}(u|k) &= M\,\frac{\sigma(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_2(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}\\ \mathrm{cn}(u|k) &= \frac{\sigma_1(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_2(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}\\ \mathrm{dn}(u|k) &= \frac{\sigma_3(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_?(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)} \end{aligned} \right.\] le trait de fraction de sn est repassé ; devant la fraction de cn, un signe biffé ; devant celle de dn, une virgule ; l'indice du dénominateur de dn se lit mal \[\wp(u|\omega_1,\omega_2) = e_2 + \frac{M^2}{\mathrm{sn}^2(Mu|k)}\] \[K = M\omega_1,\quad iK' = M\omega_2,\quad K'' = M\omega_3\] (Pour […] […], pour […] des fonctions \(\mathrm{sn}(u|k)\ldots\) aux fonctions de Weierstrass, on prend \(M\) arbitraire, puis on détermine \(\omega_1\), \(\omega_2\), \(\omega_3\) par \(K = M\omega_1\), \(iK' = M\omega_2\), \(K'' = M\omega_3\), et on a les formules ci-dessus ; […] alors \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) sont donnés par \[3e_1 = (1+k'^2)M^2 \qquad 3e_2 = (?+k'^2)M^2 \qquad 3e_3 = (1-2k'^2)M^2\] le premier terme de \(3e_2\) est surchargé (un \(2\) sur un autre signe) On prend souvent ⌜[…]⌝ pour convenance \(M = \frac12\), donc prenant des périodes \(2\omega_1 = 4K\), \(2\omega_2 = 4iK'\) ; alors sn, cn, dn sont fonctions elliptiques d'ordre \(4\) pour les périodes \(2\omega_1\), \(2\omega_2\))

96Fonctions de Legendre et fonctions \(\Theta\) \[\left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}(u|k) &= \frac{1}{\sqrt k}\, \frac{\Theta(\frac{u}{2K}|\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K}|\frac{iK'}{K})}\\ \mathrm{cn}(u|k) &= \sqrt{\frac{k'}{k}}\, \frac{\Theta_1(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}\\ \mathrm{dn}(u|k) &= \sqrt{k'}\, \frac{\Theta_3(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})} \end{aligned} \right.\] deux traits horizontaux ferment ce bloc

Formules d'addition \[\mathrm{sn}(u+v) = \frac{\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,v\,\mathrm{dn}\,v + \mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}\] \[\mathrm{cn}(u+v) = \frac{\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v - \mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}\] \[\mathrm{dn}(u+v) = \frac{\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v - k^2\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}\] la page s'arrête ici ; c'est la dernière du dossier