Les fonctions
\Theta
titre encadré, de sa main, au milieu de la page 84
S'introduisent pour le calcul numérique des fonctions elliptiques ;
introduisent une dissymétrie entre \omega_1 et \omega_2.
Par la substitution u\to u+2\omega_1, \sigma u et
(1)\quad \Theta(v|t) = -\frac{1}{i}\sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^n
e^{(n-\frac{1}{2})^2 i\pi t + (2n-1)i\pi v}
série qui peut aussi s'écrire, en groupant distinguant les termes en
\sum_1^\infty et \sum_{-\infty}^{0} et groupant les termes deux à deux
(2)\quad \Theta(v|t) = 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{(n-\frac{1}{2})^2 i\pi t}
\sin(2n-1)\pi v
devant le 2 de (2), une lettre biffée
On a alors, par construction, \Theta est définie et holomorphe pour
\Im t > 0 et pour v quelconque
(3)\quad \sigma(u|\omega_1,\omega_2) = \frac{2\omega_1}{\Theta'_v(0|\frac{\omega_2}{\omega_1})}\,
e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\,\Theta\Bigl(\frac{u}{2\omega_1}\Big|\frac{\omega_2}{\omega_1}\Bigr)
La fonction \Theta est exprimée par une série très rapidement convergente. —
\Theta(v|t) est fonction impaire de v, et on a
(4)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
&\Theta(v+1|t) = -\Theta(v|t) \qquad \Theta(v+2|t) = \Theta(v|t)\\
&\Theta(v+t|t) = \Theta(v|t)\, e^{-2i\pi v - i\pi t - i\pi}
\end{aligned}
\right.
Ces relations caractérisent \Theta à un facteur constant près, pour t donné
(comme on voit par le calcul qui avait donné \Theta).
Notons aussi la formule (vérification immédiate)
(5)\quad \Theta(v|t+4) = -\Theta(v|t), \quad\text{d'où}\quad \Theta(v|t+8) = \Theta(v|t)
Les zéros de \Theta(v|t) sont déterminés par ceux de \sigma u, ce sont les
nombres v = m_1 + m_2 t. — expression de (1), (2),
, on pose souvent h(t) = h = e^{i\pi t} ; alors
les numéros (1) à (5) sont entourés, et de même (1), (2) dans la
dernière phrase
(6)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
\Theta(v|t) &= -\frac{1}{i}\sum_{-\infty}^{\infty}(-1)^n\, h(t)^{(n-\frac12)^2}
e^{(2n-1)i\pi v}\\
&= 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}\, h(t)^{(n-\frac12)^2}\sin(2n-1)\pi v\\
&= 2\bigl[h(t)^{\frac14}\sin\pi v - h(t)^{\frac94}\sin 3\pi v + \cdots\bigr]
\end{aligned}
\right.
devant le 2 de la dernière ligne, quelques signes biffés
On peut poser t = iT, où \Re T > 0, et on a
\Theta(v|iT) = 2\sum_{1}^{+\infty}(-1)^{n-1} e^{-(n-\frac12)^2\pi T}\sin(2n-1)\pi v
la borne inférieure de la somme est surchargée ; une lettre biffée à la
fin de l'exposant
La fonction \Theta(v|t) (et les séries analogues qui vont suivre) permet
d'exprimer la somme d'une série de la forme
\sum_{-\infty}^{+\infty} e^{-an^2+bn+c} où \Re a > 0, — et
réciproquement bien entendu. On a
(7)\quad \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{-an^2+bn+c} = -e^{c+\frac{b}{2}-\frac{a}{4}}\,
\Theta\Bigl(\frac{b-a-i\pi}{2i\pi}\Big|\frac{ia}{\pi}\Bigr)
Formule de transformation pour t\to -\frac{1}{t}
En exprimant que \sigma(u|\omega_1,\omega_2) = \sigma(u|\omega_2,-\omega_1), on
obtient une identité fonctionnelle pour \Theta
(8)\quad \Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\,
\Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr) \times
\frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac{1}{t})}
le signe devant la fraction ressemble à un + ; il est lu comme un
produit, et le même signe précède la fraction de la ligne suivante
Pour expliciter \frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac1t)} = H(t), on note
d'abord que \Theta(v|t) est solution de l'équation de la chaleur :
(9)\quad \frac{\partial^2\Theta}{\partial v^2} = 4i\pi\,\frac{\partial\Theta}{\partial t}
les numéros (6) à (9) sont entourés
(vérification immédiate par la série). En appliquant au deuxième membre de
(8), où \frac{\Theta'_v(0|t)}{\Theta'_v(0|-\frac1t)} se laisse sous forme
indéterminée, on trouve une relation sur H(t) :
\frac{H'(t)}{H(t)} = -\frac{1}{2t}, d'où suit que H(t) est proportionnel à
\frac{1}{\sqrt t} ; le facteur de proportionnalité s'obtient en faisant
dans
\Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\,\Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)\frac{a}{\sqrt t},
t = i (d'où t = -\frac{1}{t}) et v = \ill{}, on trouve a = \sqrt i,
d'où enfin
(10)\quad \boxed{\ \Theta(v|t) = e^{-\frac{i\pi v^2}{t}}\,
\Theta\Bigl(\frac{v}{t}\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)\, i\sqrt{\frac{i}{t}}\ }
(bien la détermination de \sqrt{\frac{i}{t}} est celle
comprise
-\frac{\pi}{?}\leq\operatorname{Arg}\frac{i}{t}\leq+\frac{\pi}{?}).
Comparant avec (8), on trouve donc
les dénominateurs des deux bornes se lisent mal
(11)\quad \Theta'_v(0|t) = \frac{i}{t}\sqrt{\frac{i}{t}}\;\Theta'_v\Bigl(0\Big|-\frac{1}{t}\Bigr)
le i du numérateur est écrit sur un 1
Relation exprimée généralement, faisant t = iT (où \Re T > 0)
(12)\quad \sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\pi T}
= \frac{1}{T^{\frac32}}\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\frac{\pi}{T}}
le second membre est surchargé (le facteur \frac{1}{T^{3/2}} et le signe
(-1)^{n-1} récrits)
(car
(12\ \mathrm{bis})\quad \Theta'_v(v|t) = 2\pi\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,
e^{(n-\frac12)^2 i\pi t}\cos(2n-1)\pi v
d'où
\Theta'_v(0|iT) = 2\pi\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)\,e^{-(n-\frac12)^2\pi T}
dans (12 bis), le premier membre se lit \Theta'_v(0|t) et le cosinus est
écrit sous l'exponentielle ; le numéro « (12 bis) » est entouré, comme (10),
(11), (12)
La formule (10) est importante pour le calcul numérique des fonctions
\Theta, car ramène le calcul de \Theta(v|iT) à celui de
\Theta(v|\frac{i}{T}) ; si donc \Re T \ngtr 1, alors
\Re\frac{1}{T} > 1 ou \Re T > 1, d'où résulte que dans
l'expression
\Theta(v|iT) = 2\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}h^{(n-\frac12)^2}\sin(2n-1)\pi v,
\quad\text{où}\quad h = e^{-\pi T}\ \text{ou}\ e^{-\frac{\pi}{T}},
on peut supposer |h| \leq e^{-\pi} \mathbin{\#} \frac{1}{10} ; comme l'exposant de
h augmente rapidement, on voit qu'on a bien une série très rapidement
convergente.
le numéro (10) est entouré ; « \Re T>1 » est écrit en bout de ligne ;
dans e^{-\frac{\pi}{T}} l'exposant est noirci ; « \# » est son signe
d'approximation
Autres fonctions \Theta liées aux fonctions elliptiques
Les fonctions \Theta_i (i=1,2,3) se définissent par
(13)\quad \sigma_i u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\,
\frac{\Theta_i(\frac{u}{2\omega_1}|\frac{\omega_2}{\omega_1})}{\Theta_i(0|\frac{\omega_2}{\omega_1})}
et s'expriment par une série du type \Theta :
(14)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
\Theta_1(v|t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} e^{(n-\frac12)^2 i\pi t + (2n-1)i\pi v}\\
&= 2\sum_{1}^{\infty} e^{(n-\frac12)^2 i\pi t}\cos(2n-1)\pi v = \vartheta_2(v)\\
\Theta_2(v|t) &= \sum_{-\infty}^{+\infty}(-1)^n e^{n^2 i\pi t + 2ni\pi v}\\
&= 1 + 2\sum_{1}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}\cos 2n\pi v = \vartheta_0(v)
\end{aligned}
\right.
devant la première somme, un 2 biffé ; à droite de la troisième ligne,
un griffonnage couvert de hachures ; la quatrième ligne est ainsi sur la
page, sans (-1)^n
\left\lbrace
\begin{aligned}
\Theta_3(v|t) &= \sum_{-\infty}^{+\infty} e^{n^2 i\pi t + 2ni\pi v}
= 1 + 2\sum_{1}^{\infty} e^{n^2 i\pi t}\cos 2n\pi v = \vartheta_3(v)
\end{aligned}
\right.
(\Theta(v|t) = \vartheta_1(v) — \vartheta_i, fonctions de
Weierstrass)
suite de l'accolade de (14)
Les autres quantités de la théorie des fonctions elliptiques se calculent
aussi au moyen des fonctions \Theta, une fois fixés \omega_1 et
t = \frac{\omega_2}{\omega_1}. Le calcul des e_i par exemple donne
e_i = \Bigl(\frac{1}{2\omega_1}\Bigr)^2\Bigl(\frac{1}{3}\,\frac{\Theta'''0}{\Theta'0}
- \frac{\Theta''_i 0}{\Theta_i 0}\Bigr)
(15)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
e_1 &= \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[(\Theta_2 0)^4 + (\Theta_3 0)^4\bigr]\\
e_2 &= \frac13\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[-(\Theta_1 0)^4 - (\Theta_3 0)^4\bigr]\\
e_3 &= \frac12\Bigl(\frac{\pi}{2\omega_1}\Bigr)^2\bigl[(\Theta_1 0)^4 - (\Theta_? 0)^4\bigr]
\end{aligned}
\right.
ainsi sur la page : \frac12 devant e_3, où l'on attendrait
\frac13 ; les indices des \Theta de e_2, e_3 se lisent mal
Signalons les relations
2\eta_1\omega_1 = -\frac{\Theta'''0}{6\,\Theta'0}\ ; \qquad
\Theta'0 = \pi\,\Theta_1 0\;\Theta_2 0\;\Theta_3 0
le \Theta_2 du dernier produit est noirci
feuille récapitulative (papier brun clair), donnée dans l'ordre de la
page
\omega_1\ \ \omega_2 \qquad \Bigl[\frac{\omega_1}{\omega_2}\notin\mathbf{R}\Bigr]
g_2\ \ g_3 \qquad \boxed{\ g_2 = 20c_1 \quad g_3 = 28c_2\ } \qquad
\bigl(g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0\bigr)
c_1\ \ c_2
e_1\ \ e_2\ \ e_3 \qquad 4z^3 - g_2 z - g_3 = 4(z-e_1)(z-e_2)(z-e_3)
\quad (\text{les } e_i \text{ distincts})
un trait sépare cet en-tête du reste de la page
Expression en fonction de \omega_1, \omega_2
c_1 = 3\sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}\Bigl(\frac{1}{2\omega}\Bigr)^4 \qquad
c_2 = 5\sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}\Bigl(\frac{1}{2\omega}\Bigr)^6
g_2 = 20c_1 \qquad g_3 = 28c_2
e_i = \wp\omega_i = \frac{1}{\omega_i^2} + \sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}
\frac{1}{(\omega_i + 2\omega)^2}
ainsi sur la page ; le 2\omega du dénominateur est surchargé
Expression en fonction de g_2, g_3 e_3
c_1 = \frac{1}{20}\,g_2\,, \qquad c_2 = \frac{1}{28}\,g_3
e_1, e_2, e_3 racines de l'équation 4z^3 - g_2 z - g_3 = 0
\omega_i = \int_\infty^{e_i}\frac{dz}{\sqrt{4z^3 - g_2 z - g_3}}
\qquad (i,j,k\ \uncertain{distincts})
déterminations telles que \sum_{i=1,2,3}\omega_i = 0
la somme est surchargée ; au-dessus, « \omega_1+\omega_2+\omega_3=0 »
Expression en fonction de e_1, e_2, e_3 :
\omega_i = \int_{e_j}^{e_k}\frac{dz}{\sqrt{4z^3 - g_2 z - g_3}} pour des
déterminations convenables.
g_2 = 4(e_2e_3 + e_3e_1 + e_1e_2) \qquad g_3 = 4e_1e_2e_3
les autres choses comme ci-dessus
ainsi sur la page, sans signe - devant le 4 de g_2 ; le premier
+ est surchargé. Dans l'intégrale, le radicande est lu sous réserve
Expression en fonction de c_1, c_2
g_2 = 20c_1\,, \qquad g_? = 20\,c_?\,,
le reste comme ci-dessus.
ainsi sur la page, semble-t-il : 20, où l'on attendrait
g_3 = 28c_2
Fonction modulaire
En considérant g_2, g_3 comme fonctions de \omega_1, \omega_2, où
\Im\frac{\omega_2}{\omega_1} > 0, qui sont homogènes de degré 2 et 3
respectivement, on peut former la fonction
\frac{g_2^3}{g_2^3 - 27g_3^2}
(bien puisque \Delta = g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0), qui est
homogène de degré zéro, donc une fonction de \tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}.
On l'appelle fonction modulaire, notation J(\tau) ; J(\tau) est holomorphe
pour \Im\tau > 0, et par définition, on a pour \tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}
J(\tau) = \frac{g_2^3}{\Delta} = \frac{1}{1 - 27\frac{g_3^2}{g_2^3}}
ainsi sur la page : « de degré 2 et 3 »
Comme g_2 et g_3 peuvent être pris arbitraires,
il est immédiat que la donnée de J\tau = a (a arbitraire dans \mathbf{C})
détermine \tau à une transformation arithmétique près, (car il détermine à une
homothétie près le groupe des périodes engendré par \omega_1 et \omega_2,
comme on vérifie très facilement). Il suit aussitôt que J est
tout point du
demi-plan supérieur qui n'est point double d'aucune transformation
\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) arithmétique, et en
ces points seulement. Des autres On voit
d'autre part qu'il y a exactement deux classes de points doubles, savoir i
(i = -\frac{1}{i}) et \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}. Par suite, les seuls
points singuliers de la fonction inverse \tau(J) de
J(\tau) sont les deux points J(i) et J(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}).
Le calcul donne respectivement 0 et 1, i.e. g_2 = 0 et g_3 = 0 (car en
partant de g_2 = 0 resp. g_3 = 0, on trouve bien
\frac{\omega_2}{\omega_1} = i resp. \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2},
par un calcul d'intégrale très simple). — Ces propriétés sont à la base des
théorèmes de Picard sur les fonctions entières.
ainsi sur la page : J(i) est apparié à 0 et à g_2 = 0, J(\frac12 +
i\frac{\sqrt3}{2}) à 1 et à g_3 = 0 ; avec la normalisation
J = g_2^3/\Delta on a d'ordinaire J(i) = 1 (g_3 = 0) et
J(\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}) = 0 (g_2 = 0). Le mot écrit au-dessus de
« singuliers » biffé ne se lit pas
Fonctions elliptiques de Legendre
\mathrm{sn}\,u est fonction inverse de
\int_0^u\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}, impaire.
On pose
(1)\quad \left.
\begin{aligned}
&\mathrm{cn}^2u + \mathrm{sn}^2u = 1\\
&\mathrm{dn}^2u + k^2\mathrm{sn}^2u = 1\\
&(\mathrm{dn}^2u - k^2\mathrm{cn}^2u = 1 - k^2 = k'^2)
\end{aligned}
\right\rbrace \quad
\begin{aligned}
&\mathrm{sn}\,0 = 0\\
&\mathrm{cn}\,0 = \mathrm{dn}\,0 = 1
\end{aligned}
(cn et dn sont uniformes, paires)
On a les équations différentielles
(2)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{sn}^2u)(1-k^2\mathrm{sn}^2u)} = \mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u\\
\mathrm{cn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{cn}^2u)(k'^2+k^2\mathrm{cn}^2u)} = -\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{dn}\,u\\
\mathrm{dn}'u &= \sqrt{(1-\mathrm{dn}^2u)(\mathrm{dn}^2u-k'^2)} = -k^2\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,u
\end{aligned}
\right.
Les développements de Taylor sont, en 0
(3)\quad \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}\,u &= u - \frac{2\alpha k}{3!}u^3 + \frac{4k^2(\alpha^2+3)}{5!}u^5
- \frac{8k^3(\alpha^3+33\alpha)}{7!}u^7 + \cdots\\
\mathrm{cn}\,u &= 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{1+4k^2}{4!}u^4
- \frac{1+44k^2+16k^4}{6!}u^6 + \cdots\\
\mathrm{dn}\,u &= 1 - \frac{k^2u^2}{2!} + \frac{k^2(4+k^2)}{4!}u^4
- k^2\,\frac{16+44k^2+k^4}{6!}u^6 + \cdots
\end{aligned}
\right.
\Bigl(\alpha = \frac12\Bigl(k + \frac1k\Bigr)\Bigr)
les numéros (1), (2), (3) sont entourés
Dégénérescence
\left\lbrace
\begin{aligned}
&k = 0 \quad \mathrm{sn} = \sin \quad \mathrm{cn} = \cos, \quad \mathrm{dn} = 1,\\
&k = 1 \quad \mathrm{sn} = \mathrm{th} \quad \mathrm{cn} = \frac{1}{\mathrm{ch}} \quad
\mathrm{dn} = \frac{1}{\mathrm{th}}
\end{aligned}
\right.
ainsi sur la page : \mathrm{dn} = \frac{1}{\mathrm{th}} pour k=1, où
l'on attendrait \frac{1}{\mathrm{ch}}
Périodes et valeurs remarquables
Posons
K = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} \qquad
K' = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k'^2x^2)}}
\mathrm{sn}\,u, \ldots ont les périodes 4K et 4iK'. Posons
K'' = -K - iK', (4K'' est une autre période)
« Périodes » est souligné deux fois ; « et valeurs remarquables » est
écrit dessous, dans la marge gauche, et souligné deux fois
\begin{array}{llll}
\mathrm{sn}\,u & \text{périodes} & 4K\quad 2iK' & \\
& \text{zéros} & 2mK + 2m'iK' & \\
& \text{pôles} & iK' + 2mK + 2m'iK' & \\[1ex]
\mathrm{cn}\,u & \text{périodes} & 4K,\ -2K'' & \\
& \text{zéros} & K + 2mK + 2m'iK & \\
& \text{pôles} & iK' + 2mK + 2m'iK' & \\[1ex]
\mathrm{dn}\,u & \text{périodes} & 2K,\ 4iK' & \\
& \text{zéros} & K'' + 2mK + 2m'iK & \\
& & iK' + 2mK + 2m'iK' &
\end{array}
chaque fonction porte une accolade ; pour dn, le mot « pôles » manque
devant la troisième ligne ; dans les zéros de cn et de dn, le dernier terme
se lit 2m'iK
si
sn, cn, dn sont, pour périodes, , d'ordre 2 ; pour
périodes communes, d'ordre 4.
\left\lbrace
\begin{aligned}
&\mathrm{sn}(u+2K) = -\mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2K) = -\mathrm{cn}\,u
&& \mathrm{dn}(u+2K) = \mathrm{dn}\,u\\
&\mathrm{sn}(u+2iK') = \mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2iK') = -\mathrm{cn}\,u
&& \mathrm{dn}(u+2iK') = -\mathrm{dn}\,u\\
&\mathrm{sn}(u+2K'') = -\mathrm{sn}\,u && \mathrm{cn}(u+2K'') = \mathrm{cn}\,u
&& \mathrm{dn}(u+2K'') = -\mathrm{dn}\,u
\end{aligned}
\right.
les 2 de 2K'' sont surchargés
\left\lbrace
\begin{aligned}
&\mathrm{sn}(u+K) = \frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{dn}\,u}
&& \mathrm{cn}(u+K) = -k'\frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{dn}\,u}
&& \mathrm{dn}(u+K) = \frac{k'}{\mathrm{dn}\,u}\\
&\mathrm{sn}(u+iK') = \frac{1}{k\,\mathrm{sn}\,u}
&& \mathrm{cn}(u+iK') = -\frac{i}{k}\frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{sn}\,u}
&& \mathrm{dn}(u+iK') = -i\,\frac{\mathrm{cn}\,u}{\mathrm{sn}\,u}\\
&\mathrm{sn}(u+K'') = -\frac{1}{k}\frac{\mathrm{dn}\,u}{\mathrm{cn}\,u}
&& \mathrm{cn}(u+K'') = -\frac{ik'}{k\,\mathrm{cn}\,u}
&& \mathrm{dn}(u+K'') = ik'\frac{\mathrm{sn}\,u}{\mathrm{cn}\,u}
\end{aligned}
\right.
dans \mathrm{sn}(u+K'') un 2 est écrit puis noirci devant K'' ;
les numérateurs de \mathrm{cn}(u+iK'), \mathrm{dn}(u+iK') et
\mathrm{dn}(u+K'') sont surchargés
\left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}(iu|k) &= i\,\frac{\mathrm{sn}(u|k')}{\mathrm{cn}(u|k')}\\
\mathrm{cn}(iu|k) &= \frac{1}{\mathrm{cn}(u|k')}\\
\mathrm{dn}(iu|k) &= \frac{\mathrm{dn}(u|k')}{\mathrm{cn}(u|k')}
\end{aligned}
\right.
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 0 & K & 2K & 3K & iK' & 2iK' & 3iK' & K'' & 2K'' & 3K''\\
\hline
\mathrm{sn}\,u & 0 & 1 & 0 & -1 & \infty & 0 & \infty & -\frac1k & 0 & \frac1k\\
\mathrm{cn}\,u & 1 & 0 & -1 & 0 & \infty & -1 & \infty & -i\frac{k'}{k} & 1 & -i\frac{k'}{k}\\
\mathrm{dn}\,u & 1 & k' & 1 & k' & \infty & -1 & \infty & 0 & -1 & 0
\end{array}
tableau au bas de la page ; la case d'angle est hachurée ; après 3K et
après 3iK', une colonne commencée (4K, 4iK' ?) est biffée et fermée par
un trait épais ; un signe biffé suit 3K''
Relations entre les fonctions de Weierstrass et de Legendre
Supposons \omega_1 réel, \omega_2 purement imaginaire (\Im\omega_2 > 0),
alors les e_i sont réels ; prenons e_2 < e_3 < e_1, posons
k = \sqrt{\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}}, M = \sqrt{e_1-e_2}. Alors
\left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}(u|k) &= M\,\frac{\sigma(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_2(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}\\
\mathrm{cn}(u|k) &= \frac{\sigma_1(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_2(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}\\
\mathrm{dn}(u|k) &= \frac{\sigma_3(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}{\sigma_?(\frac{u}{M}|\omega_1,\omega_2)}
\end{aligned}
\right.
le trait de fraction de sn est repassé ; devant la fraction de cn, un
signe biffé ; devant celle de dn, une virgule ; l'indice du dénominateur de dn se lit mal
\wp(u|\omega_1,\omega_2) = e_2 + \frac{M^2}{\mathrm{sn}^2(Mu|k)}
K = M\omega_1,\quad iK' = M\omega_2,\quad K'' = M\omega_3
(Pour , pour des fonctions \mathrm{sn}(u|k)\ldots aux
fonctions de Weierstrass, on prend M arbitraire, puis on détermine
\omega_1, \omega_2, \omega_3 par K = M\omega_1, iK' = M\omega_2,
K'' = M\omega_3, et on a les formules ci-dessus ;
Fonctions de Legendre et fonctions \Theta
\left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}(u|k) &= \frac{1}{\sqrt k}\,
\frac{\Theta(\frac{u}{2K}|\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K}|\frac{iK'}{K})}\\
\mathrm{cn}(u|k) &= \sqrt{\frac{k'}{k}}\,
\frac{\Theta_1(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}\\
\mathrm{dn}(u|k) &= \sqrt{k'}\,
\frac{\Theta_3(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}{\Theta_2(\frac{u}{2K},\frac{iK'}{K})}
\end{aligned}
\right.
deux traits horizontaux ferment ce bloc
Formules d'addition
\mathrm{sn}(u+v) = \frac{\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{cn}\,v\,\mathrm{dn}\,v
+ \mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{dn}\,u}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}
\mathrm{cn}(u+v) = \frac{\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v
- \mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}
\mathrm{dn}(u+v) = \frac{\mathrm{dn}\,u\,\mathrm{dn}\,v
- k^2\mathrm{sn}\,u\,\mathrm{sn}\,v\,\mathrm{cn}\,u\,\mathrm{cn}\,v}{1 - k^2\mathrm{sn}^2u\,\mathrm{sn}^2v}
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