Cote n° 62, pages 61–80

Cote n° 62 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Courbes elliptiques (généralités - vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1963]
Édition de démonstration

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611. fonction $\wp z$ titre souligné ; le numéro « 1. » est de sa main

Définition intrinsèque : c'est une fonction elliptique d'ordre $2$, admettant l'origine pour pôle double, y ayant pour […] ⌜la fonction⌝ $\wp z - \frac{1}{z^2}$ s'annulant à l'origine. Si $\omega_1$ et $\omega_2$ sont donnés, cela détermine sans plus cette fonction elliptique.

Elle est paire [car $\varphi(z)-\varphi(-z)$ est elliptique, n'a pas de pôle, s'annule à l'origine] et vérifie l'équation ⌜et est donc de la forme⌝ \[\wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots\] à gauche de la formule, un début de formule biffé ; les indices et les exposants de $c_1z^2 + c_2z^4$ sont petits et se lisent mal Elle vérifie l'équation \[\wp'^2 z = 4\wp^3 z - g_2\wp z - g_3 \qquad g_2 = 20c_1 \quad g_3 = 28 c_2\] C'est donc la fonction inverse de \[z = \int_\infty^{Z} \frac{dZ}{\sqrt{4Z^3 - g_2 Z - g_3}}\] On en déduit que si on pose \[\wp\omega_1 = e_1 \qquad \wp\omega_2 = e_2 \qquad \wp\omega_3 = e_3\] $e_1, e_2, e_3$ sont les racines de l'équation $4Z^3 - g_2Z - g_3 = 0$ ; on a donc \[\wp'\omega_1 = \wp'\omega_2 = \wp'\omega_3 = 0 .\] $\wp'\omega_1 = e_1$formule biffée, lue sous réserve

On a \[\wp'' z = 6\wp^2 z - \frac{g_2}{2} \qquad \wp''' z = 12\,\wp z\,\wp' z\] la seconde formule est soulignée en pointillé $\wp^{(2n)}z$ s'exprime en fonction de $\wp z$ par un polynôme de degré $n+1$ ; $\wp^{(2n+1)}z$ par le produit par $\wp' z$ d'un polynôme en $\wp z$ de degré $n$. ⌜Développement en série double⌝ écrit sous la ligne et appelé par un signe d'insertion après « $\wp^{(2n+1)}z$ par »

1. fonction $\zeta z$. titre souligné ; le chiffre ressemble au « 1. » du premier titre S'introduit par l'intégration des fonctions elliptiques. La fonction $\int_0^z \bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\bigr)dz$ est uniforme, en lui ajoutant $\frac{1}{z}$ on obtient une primitive de $\wp z$) ; on pose \[\zeta z = \frac{1}{z} - \int_0^z \Bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\Bigr)dz \qquad \text{on a} \qquad \zeta' z = -\wp z\] ainsi sur la page : « primitive de $\wp z$ », suivi d'une parenthèse fermante sans ouvrante ; la formule qui suit donne $\zeta' = -\wp$

62$\zeta z$ est une fonction impaire, […] périodique, […]. On a ⌜admettant les $w$ pour pôles simples (avec $1$ comme résidu)⌝. l'ajout est écrit au-dessus de la ligne ; « avec $1$ comme résidu » est repris sous la ligne, dans la marge gauche \[\zeta(z+2\omega_1) - \zeta z = \text{c}^{\text{te}} = 2\zeta\omega_1 = 2\eta_1\] on définit de même $\eta_2$ et $\eta_3$.

On établit par une intégration de $\int \zeta z\,dz$ sur un contour convenable \[\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2 = \frac{\pi i}{2} \quad \text{etc.} ; \qquad \text{d'ailleurs} \quad \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0 .\]

La fonction $\zeta z$ permet de calculer l'intégrale \[\int \frac{Z\,dZ}{\sqrt{4Z^3 - g_2Z - g_3}}\] on pose $Z = \wp z$ d'où \[\Bigl|\ \int \wp z\,dz = -\zeta z + \text{c}^{\text{te}}\] le trait vertical renvoie à l'intégrale qui précède

[…] […] […],

Formule de décomposition de Hermite. Soit $f(z)$ une fonction elliptique de périodes $2\omega_1$ et $2\omega_2$ ; $a, b, \ldots$ ses pôles, distincts à une période près deux à deux, \[\frac{A_\alpha}{(z-a)^\alpha} + \cdots + \frac{A_1}{z-a} \ ; \qquad \frac{B_\beta}{(z-b)^\beta} + \cdots + \frac{B_1}{z-b} \ ; \qquad \ldots\] la partie principale de ses pôles ; on a alors \[\begin{aligned} f(z) = \text{c}^{\text{te}} &+ \Bigl\lbrace A_1\zeta(z-a) + A_2\wp(z-a) - \frac{A_3}{2!}\wp'(z-a) + \cdots + (-1)^\alpha \frac{A_\alpha}{(\alpha-1)!}\wp^{(\alpha-2)}(z-a) \Bigr\rbrace \\ &+ \Bigl\lbrace B_1\zeta(z-b) + \cdots \Bigr\rbrace + \cdots \end{aligned}\] suit une ligne de tirets qui sépare la section suivante

Fonction $\sigma z$titre encadré et souligné Nous saurons intégrer toute la fonction elliptique au moyen de fonctions connues, si nous savons intégrer $\zeta z\,dz$, son intégrale est complexe, et admet pour les point $w$ pour points logarithmiques. Il suffira de chercher $\sigma z$ tel que \[\int \zeta z\,dz = \log \sigma z\] $\sigma z$ s'annulant aux points $w$.

63On peut montrer directement que \[\sigma z = e^{\int \zeta z\,dz}\] est uniforme, est donc ⌜et même⌝ une fonction entière, il est on peut aussi procéder directement :

On a en effet \[\wp z = \frac{1}{z^2} + \sum\mathop{{\sum}'} \left[\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]\] la série étant uniformément convergente pour $z$ borné, à distance $>\varepsilon$ de $w$. Les dérivées successives s'obtiennent par dérivation terme à terme, la convergence est comme précédemment.

Notons que l'on obtient ainsi les coefficients du développement de $\wp z$ \[c_1 = 3\sum\mathop{{\sum}'} \frac{1}{w^4} \qquad c_2 = 5\sum\mathop{{\sum}'} \frac{1}{w^6} \qquad \cdots\] l'exposant de $w$ dans $c_1$ est petit et peu net On a \[\zeta z = \frac{1}{z} + \sum\mathop{{\sum}'} \left[\frac{1}{z-w} + \frac{1}{w} + \frac{z}{w^2}\right]\] le dénominateur du dernier terme est surchargé (un $2w^2$ corrigé en $w^2$, semble-t-il) Posons enfin \[\sigma z = z \prod\mathop{{\prod}'} \Bigl(1 - \frac{z}{w}\Bigr) e^{\frac{z}{w} + \frac{z^2}{2w^2}}\] Le produit est converge uniformément ⌜et absolument⌝ si $z$ est borné ; $\sigma z$ est une fonction entière, qui s'annule pour les $z = w$ et pas d'autres points. Elle a été construite de sorte à avoir \[\frac{\sigma' z}{\sigma z} = \zeta z\] (À remarquer que, si on voulait construire a priori une fonction entière s'annulant aux points $w$, aussi simple que possible, c'est $\sigma z$ qu'on aurait trouvé)

$\sigma z$ est une fonction paire.ainsi sur la page ; $\sigma$ est en fait impaire On a \[\sigma(z+2\omega_1) = -e^{2\eta_1(z+\omega_1)}\sigma z \qquad \sigma(z+2\omega_2) = -e^{2\eta_2(z+\omega_2)}\sigma z\] de même pour $\omega_3$.

64Formule de Jacobi. Soient $a, b, \ldots, l$ les pôles d'une ⌜d'une⌝ fonction elliptique de pér. $2\omega_1$ et $2\omega_2$ (distincts à une pér. près) $a_1, b_1, \ldots, l_1$ les zéros ; … \[a + b + \cdots + l = a_1 + b_1 + \cdots + l_1 + \Omega .\] $\Omega$ est une [période].la phrase s'arrête au bord droit sur « $\Omega$ est une » On a alors \[f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times \frac{\sigma(z-a_1)\sigma(z-b_1)\cdots\sigma(z-l_1-\Omega)} {\sigma(z-a)\sigma(z-b)\cdots\sigma(z-l)}\] soit \[f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times \frac{\sigma(z-a_1)\sigma(z-b_1)\cdots\sigma(z-l_1)} {\sigma(z-a)\sigma(z-b)\cdots\sigma(z-l+\Omega)}\] soit encore, […] \[f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times e^{2(n_1\eta_1+n_2\eta_2)z}\, \frac{\sigma(z-a_1)\cdots\sigma(z-l_1)}{\sigma(z-a)\cdots\sigma(z-l)}\] en posant $\Omega = 2n_1\omega_1 + 2n_2\omega_2$. plusieurs lettres des deux premières fractions sont surchargées

Formules d'addition \[\wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u+v)\,\sigma(u-v)}{\sigma^2 u\,\sigma^2 v}\] \[\zeta(u+v) = \zeta u + \zeta v + \frac{1}{2}\,\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\] \[\wp(u+v) + \wp u + \wp v = \frac{1}{4}\left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2 = \bigl[\zeta(u+v) - \zeta u - \zeta v\bigr]^2\] le dénominateur du coefficient $\frac14$ est lu $4$ sous réserve

65Fonction de Legendre $\mathrm{sn}\,z$titre souligné

La fonction \[\int \frac{dZ}{\sqrt{(1-Z^2)(1-k^2Z^2)}}\] est tentant, car elle paraît très symétrique, et rappelle des intégrales élémentaires liées aux fonctions trigonométriques et hyperboliques ($k=0$, $k=1$).

Appelons $\mathrm{sn}\,z$ l'intégrale de l'équation \[\Bigl(\frac{dZ}{dz}\Bigr)^2 = (1-Z^2)(1-k^2Z^2)\] qui prend la valeur zéro au point $z=0$, avec $Z'(0) = +1$. L'unicité de cette solution se montre de diverses façons.

1° En faisant un changement de variable convenable, on obtient \[Z = \frac{12\wp(z-z_0) - (5-k^2)}{12\wp(z-z_0) - (5k^2-1)} \qquad \begin{array}{l} e_1 = \frac{1}{6}(1+k^2)\\[2pt] e_2 = -\frac{1}{12}(k^2+6k+1)\\[2pt] e_3 = -\frac{1}{12}(k^2-6k+1) \end{array}\] au dénominateur de cette première formule, le $\wp$ semble porter un accent ; il ne le porte pas dans la formule (1) qui suit L'intégrale particulière est \[(1)\quad \mathrm{sn}\,z = \frac{12\wp(z-z_0) - (5-k^2)}{12\wp(z-z_0) - (5k^2-1)} \qquad \text{avec} \quad \wp z_0 = \frac{5-k^2}{12} \quad \wp' z_0 = -\frac{1-k^2}{2} .\] Ces formules sont de forme trop lourde, eu égard à d'autres plus simples. Mais on voit l'existence de $\mathrm{sn}\,z$, qui est une fonction elliptique dont les périodes s'expriment par des intégrales.

662° On obtient \[Z^2 = \frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-z_0) - e_1\bigr] \qquad (2)\ \left|\ \begin{array}{l} e_1 = -\frac{1+k^2}{3}\\[2pt] e_3 = \frac{2k^2-1}{3}\\[2pt] e_2 = \frac{2-k^2}{3} \end{array}\right.\] les dénominateurs $3$ de $e_1$ et de $e_3$ sont mal formés (le premier écrit sur un autre chiffre, le second proche d'un $7$) La solution envisagée est \[(3)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr]\ }\]

3° Avec la même fonction elliptique, on a une solution. Finale \[Z^2 = \frac{1}{\wp(z-z_0) - e_1}\] et la solution particulière est \[(4)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}\ }\] On montrerait facilement l'uniformité de $Z(z)$ $\mathrm{sn}\,z$ (les racines de $\wp z - e_1 = 0$ étant double)

Les deux formules impliquent une identité : \[(\wp z - e_1)\bigl(\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr) = k^2\] facile à vérifier, en passant à la fonction $\sigma$, on en montrant que le premier membre qui est elliptique, n'a pas de pôle, et est donc constant – ceci est vrai pour tte fonction $\wp z$ – on trouve d'ailleurs incidemment la formule \[\frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma^4\omega_1} = 3e_1^2 - \frac{g_2}{4}\] , qui permet le calcul de $\eta_1$ et de […] puis $\eta_2$ et $\eta_3$

Dans le cas actuel, on a \[k^2 = \frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma^4\omega_1} = 3e_1^2 - \frac{g_2}{4}\] à droite, quelques croix ; l'exposant de $\sigma$ est lu $4$ sous réserve Toujours est-il que nous avons $\mathrm{sn}^2(z+\omega_1)\,\mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{k^2}$ ; si nous choisissons $\omega_1$ et $k$ convenablement nous aurons \[(5)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}(z+\omega_1)\,\mathrm{sn}\,z = \frac{1}{k}\ }\] dans $\frac{1}{k^2}$, le numérateur est surchargé

67Expression au moyen de la fonction $\sigma$ \[(6)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}\,z = \sigma\omega_1\, e^{\eta_1 z}\, \frac{\sigma z}{\sigma(z+\omega_1)} = -\sigma\omega_1\, e^{-\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z-\omega_1)}\ }\] $\mathrm{sn}\,z$ admet … $\sigma(z$au-dessus du « $\mathrm{sn}$ » biffé, un « $q$ » isolé

On en déduit \[(7)\quad \left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{sn}(z+2\omega_1) = \mathrm{sn}\,z\\ \mathrm{sn}(z+2\omega_2) = -\mathrm{sn}\,z\\ \mathrm{sn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{sn}\,z\\[4pt] \text{d'où}\quad \mathrm{sn}(z+4\omega_2) = \mathrm{sn}\,z\\ \phantom{\text{d'où}}\quad \mathrm{sn}(z+4\omega_3) = \mathrm{sn}\,z \end{array} \right.\] dans la deuxième ligne, le « $\mathrm{sn}$ » est écrit sur un autre mot Donc $\mathrm{sn}\,z$ admet les périodes $2\omega_1$ et $4\omega_2$ (et $4\omega_3$).

Les pôles sont $z = \omega_1 + 2n_1\omega_1 + 4n_2\omega_2$, ses zéros $z = 2n_1\omega_1 + 4n_2\omega_2$; ainsi sur la page : les indices des pôles et des zéros se lisent mal ; on attendrait des pôles en $\omega_2$ pôles et zéros sont simples ; $\mathrm{sn}\,z$ est une fonction d'ordre $2$. Les zéros sont homologues de $0$ ou $2\omega_1$, où la dérivée est respectivement $1$ et $-1$ ; les pôles sont homologues des pôles $\omega_2$ et $\omega_2+2\omega_1$, dont les résidus sont resp. $\frac{1}{k}$ et $-\frac{1}{k}$ (en supposant toujours choisi ⌜le signe de⌝ $\frac{1}{k}$ tel que l'on ait (5), ou, ce qui revient au même \[k = -\frac{e^{\eta_1\omega_2}}{\sigma'\omega_2}\ \Bigr)\] ainsi sur la page : $e^{\eta_1\omega_2}$ et $\sigma'\omega_2$, indices lus sous réserve

On voit sur 3 ou 4 que $\mathrm{sn}^2 z$ est pair ou impair ; elle n'est pas impaire, car on aurait $\mathrm{sn}\,\omega_2 = \mathrm{sn}\,\omega_2$, mais aussi $\mathrm{sn}\,\omega_1 = -\mathrm{sn}\,{-\omega_1}$, d'où $\mathrm{sn}\,\omega_1 = 0$, ce qui n'est pas. On peut aussi s'en assurer sur 6 \[\boxed{\ \mathrm{sn}(-z) = -\mathrm{sn}\,z\ }\] « 3 ou 4 », « 6 » : les formules (3), (4) et (6) ; dans la phrase, les indices $\omega_1$, $\omega_2$ se lisent mal

Sur 3 ou 4, on voit $\mathrm{sn}^2\omega_2 = \frac{1}{k}$ ;le dénominateur est écrit sur un autre signe en choisissant convenablement le signe de $\omega_2$, on aura \[\mathrm{sn}\,\omega_2 = \frac{1}{?}\,,\] le dénominateur est surchargé et ne se lit pas ; la formule est soulignée l'équation différentielle vérifiée par $\mathrm{sn}\,z$ donne \[\mathrm{sn}'\omega_2 = 0 \qquad \text{de même} \qquad \mathrm{sn}\,{-\omega_2} = -1 \quad \mathrm{sn}'\,{-\omega_2} = 0\] le « $1$ » de $\mathrm{sn}\,{-\omega_2} = -1$ est une grosse tache d'encre On voit alors sur 4 que[…], puis sur l'équation différentielle, que \[\mathrm{sn}(\omega_1+\omega_2) = \frac{1}{k} \quad \text{soit} \quad \mathrm{sn}\,\omega_3 = -\frac{1}{k} \qquad \mathrm{sn}'\omega_3 = 0 .\]

68On pose \[(8)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{cn}^2 z &= 1 - \mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_2}{\wp z - e_1} = -\frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_3\bigr] &\qquad& \boxed{\mathrm{cn}\,0 = +1}\\ \mathrm{dn}^2 z &= 1 - k^2\mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_3}{\wp z - e_1} = -\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_2\bigr] && \boxed{\mathrm{dn}\,0 = +1} \end{aligned} \right.\] avant $-\frac{1}{k^2}[\ldots]$, un premier « $-\wp(z-\omega_1)$ » est biffé ; dans $\mathrm{cn}\,0 = +1$ le signe est surchargé On a \[(9)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{cn}\,z &= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_2}\,e^{(\eta_2-\eta_1)z}\, \frac{\sigma(z-\omega_2)}{\sigma(z-\omega_1)} = \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_2}\,e^{-(\eta_2-\eta_1)z}\, \frac{\sigma(z+\omega_2)}{\sigma(z+\omega_1)}\\ \mathrm{dn}\,z &= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_3}\,e^{(\eta_3-\eta_1)z}\, \frac{\sigma(z-\omega_3)}{\sigma(z-\omega_1)} = \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_3}\,e^{-(\eta_3-\eta_1)z}\, \frac{\sigma(z+\omega_3)}{\sigma(z+\omega_1)} \end{aligned} \right.\] les indices des $\omega$ dans les quotients $\frac{\sigma\omega}{\sigma\omega}$ sont petits et se lisent mal

\[(10)\ \left\lbrace \begin{array}{lll} {}^{*}\ \mathrm{cn}(-z) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(-z) = \mathrm{dn}\,z & \text{$\mathrm{cn}\,z$ et $\mathrm{dn}\,z$ sont paires}\\[4pt] {}^{*}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_1) = -\mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{dn}\,z & \\ \phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_1) = -\mathrm{dn}\,z & \\[4pt] {}^{*}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_2) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_2) = \mathrm{dn}\,z & \text{$\mathrm{cn}$ admet pour périodes}\\ \phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+4\omega_1) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+4\omega_3) = \mathrm{dn}\,z & \quad 2\omega_2,\ 4\omega_1,\ 4\omega_3\\ \phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+4\omega_3) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+4\omega_1) = \mathrm{dn}\,z & \text{$\mathrm{dn}$ admet pour périodes}\\ & & \quad 2\omega_3,\ 4\omega_1,\ 4\omega_2 \end{array} \right.\] les astérisques sont de sa main, en tête de trois lignes ; plusieurs indices des $\omega$ (dans les lignes en $\mathrm{dn}$ surtout) se lisent mal, et dans la liste des périodes de $\mathrm{dn}$ les indices sont surchargés $\mathrm{cn}\,z$ et $\mathrm{dn}\,z$ sont fonctions elliptiques d'ordre $2$ ;

Pôles de $\mathrm{cn}\,z$souligné deux fois homologues de $\omega_2$, résidu $\frac{i}{k}$, et $\omega_2$ ⌜$-\omega_2$⌝ résidu $-\frac{i}{k}$ si $\omega_1$, $\omega_2$ est direct⌜(si $\omega_2$) […]⌝ l'ajout au-dessus de la ligne est entouré et biffé ; « direct » est biffé et souligné (l'ambiguïté de signe est levée par 9, joint à 6)

Pôles Zéros de $\mathrm{cn}\,z$souligné deux fois homologues de $+\omega_2$ et $-\omega_2$ ; on a \[\mathrm{cn}'\omega_2 = -\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2} \qquad (9,\ \text{puis } 6)\,;\] à partir de la relation de définition de $\mathrm{cn}\,z$, on montrera $\mathrm{cn}'^2\omega_2 = -\mathrm{sn}'^2\omega_2$ \[\mathrm{cn}'\omega_2 = \pm\sqrt{1-k^2}\] ainsi sur la page : « pôles » et « zéros » de $\mathrm{cn}$ tous deux homologues de $\omega_2$ ; les exposants $\eta_2\omega_2$ se lisent mal Enfin \[\mathrm{cn}\,\omega_3 = \frac{i}{k}\,\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2} = -\frac{i}{k}\,\mathrm{cn}'\omega_2 = \pm\frac{i}{k}\sqrt{1-k^2} \qquad \mathrm{cn}'\omega_3 = 0\]

69Pôles de $\mathrm{dn}\,z$souligné deux fois homologues de $\omega_2$, résidu $i$, et $-\omega_2$, résidu $-i$« $\omega_2$, résidu $i$ » est souligné ; l'indice du premier $\omega$ se lit mal

Zérosun premier mot, en tête, est surchargé Zéros de $\mathrm{dn}\,z$souligné deux fois homologues de $\omega_3$, dérivée $k\,\mathrm{cn}\,\omega_3$ $= i\,\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2} = -i\,\mathrm{cn}'\omega_2 = \pm i\sqrt{1-k^2}$ et de $-\omega_3$, (dérivée opposée […]) « dérivée $k\,\mathrm{cn}\,\omega_3$ » est souligné ; la lecture de la parenthèse finale est douteuse

Enfin \[\mathrm{dn}\,\omega_2 = -\mathrm{cn}'\omega_2 = \frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2} = \pm\sqrt{1-k^2} \qquad \mathrm{dn}'\omega_2 = 0\] ainsi sur la page : « $\mathrm{dn}\,\omega_2$ » ; l'indice du premier $\omega$ se lit mal

Formules de dérivation \[(11)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}'z &= \mathrm{cn}\,z\;\mathrm{dn}\,z\\ \mathrm{cn}'z &= -\mathrm{sn}\,z\;\mathrm{dn}\,z\\ \mathrm{dn}'z &= -k^2\,\mathrm{sn}\,z\;\mathrm{cn}\,z \end{aligned} \right.\] Formules liant $\mathrm{sn}\,z$, $\mathrm{cn}\,z$, $\mathrm{dn}\,z$ deux à deux \[(12)\quad \boxed{\ \mathrm{cn}^2 z + \mathrm{sn}^2 z = 1 \qquad \mathrm{dn}^2 z + k^2\mathrm{sn}^2 z = 1 \qquad \mathrm{dn}^2 z - k^2\mathrm{cn}^2 z = 1 - k^2\ }\] devant $\mathrm{dn}^2z + k^2\mathrm{sn}^2z$, un signe est barré de hachures ; le « $\mathrm{cn}$ » de la première formule de (11) est écrit sur une autre lettre, et le numéro « (12) » se lit « (11) »

$\mathrm{cn}\,z$ et $\mathrm{dn}\,z$ vérifient des équations analogues à celle de $\mathrm{sn}\,z$ \[(13)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{cn}'^2 z &= (1-\mathrm{cn}^2 z)(1-k^2+k^2\mathrm{cn}^2 z) = (1-k^2)(1-\mathrm{cn}^2 z)\Bigl(1 + \frac{k^2}{1-k^2}\mathrm{cn}^2 z\Bigr)\\ \mathrm{dn}'^2 z &= (1-\mathrm{dn}^2 z)\bigl(\mathrm{dn}^2 z - (1-k^2)\bigr) = -(1-k^2)(1-\mathrm{dn}^2 z)\Bigl(1 - \frac{1}{1-k^2}\mathrm{dn}^2 z\Bigr) \end{aligned} \right.\] le second facteur de la première ligne, « $1-k^2+k^2\mathrm{cn}^2z$ », est lu sous réserve

Aussi $\mathrm{cn}\,z$ et $\mathrm{dn}\,z$ s'exprimeraient-ils directement au moyen de la fonction $\mathrm{sn}\,z$ qui correspond respectivement à $\rho = \frac{k}{\sqrt{1-k^2}}$ et $\rho = \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$, la solution de l'équation \[\Bigl(\frac{dZ}{dz}\Bigr)^2 = (1-Z^2)(1-\rho^2 Z^2) \qquad\] ainsi sur la page, en deux morceaux : « la solution de l'équation » est écrit à gauche, sous « la fonction $\mathrm{sn}\,z$ » ; « autre » est biffé, et la page s'arrête là

70la page reprend la fonction $\mathrm{sn}$ sous le nom $\mathrm{sn}_1$, avec une nouvelle numérotation des formules, (1) à (4) \[(1)\quad \mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1} \qquad (\mathrm{sn}_1'0 = +1)\] \[(2)\quad \mathrm{sn}_1 z = \sigma\omega_1\,e^{\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z+\omega_1)} = -\sigma\omega_1\,e^{-\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z-\omega_1)}\] $\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}$ \[(3)\quad \mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{sn}_1(z+\omega_1) = \frac{1}{k_1} \qquad \mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{k_1^2}\bigl(\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr) \qquad \begin{array}{l} k_1 = -\frac{e^{\eta_1\omega_1}}{\sigma'\omega_1}\\[2pt] k_1^2 = (e_3-e_1)(e_2-e_1) \end{array}\] l'indice de $\omega$ dans l'exposant de $k_1$ est surchargé ; le second facteur de $k_1^2$ se lit « $(e_3-e_1)$ » une seconde fois, un indice étant peu net \[(4)\ \left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{sn}_1(z+2\omega_1) = \mathrm{sn}_1 z\\ \mathrm{sn}_1(z+2\omega_2) = -\mathrm{sn}_1 z\\ \mathrm{sn}_1(z+2\omega_3) = -\mathrm{sn}_1 z\\[4pt] \mathrm{sn}_1(z+4\omega_2) = \mathrm{sn}_1 z\\ \mathrm{sn}_1(z+4\omega_3) = \mathrm{sn}_1 z\\[4pt] \mathrm{sn}_1(-z) = -\mathrm{sn}_1 z\\[4pt] \mathrm{sn}_1(2\omega_2 - z) = \mathrm{sn}_1 z\\ \mathrm{sn}_1(2\omega_3 - z) = \mathrm{sn}_1 z \end{array} \right.\] le numéro (4) est souligné $\mathrm{sn}_1 z$ a les périodes $2\omega_1$, $4\omega_2$, $4\omega_3$. La substitution $z\to z+2\omega_2$ et $z\to z+2\omega_3$ équivaut à un changement de signe. $\mathrm{sn}_1 z$ est impair. Les substitutions $z\to 2\omega_2 - z$ et $z\to 2\omega_3 - z$ laissent $\mathrm{sn}_1 z$ invariante.

$\mathrm{sn}_1 z$, fonction elliptique ayant les périodes $2\omega_1$, $4\omega_2$, $4\omega_3$, d'ordre deux

pôles de $\mathrm{sn}_1 z$ les homologues de $\omega_1$, résidu $+\frac{1}{k_1}$, et $\omega_1+2\omega_2$ ou $\omega_1+2\omega_3$, résidu $-\frac{1}{k_1}$

zéros de $\mathrm{sn}_1 z$ homologues de $0$, dérivée $+1$, et $2\omega_2$ ou $2\omega_3$, dér. $-1$ \[\left\|\ \begin{array}{ll} \mathrm{sn}_1\omega_2 = \frac{\sigma\omega_1\,\sigma\omega_2}{\sigma(\omega_1+\omega_2)}\, e^{\eta_1\omega_2} = \pm\frac{1}{\sqrt{e_2-e_1}} & \mathrm{sn}_1'\omega_2 = 0\\[6pt] \mathrm{sn}_1\omega_3 = \frac{\sigma\omega_1\,\sigma\omega_3}{\sigma(\omega_1+\omega_2)}\, e^{\eta_1\omega_3} = \pm\frac{1}{\sqrt{e_3-e_1}} & \mathrm{sn}_1'\omega_3 = 0 \end{array} \right.\] les deux lignes sont marquées d'un double trait vertical à gauche ; la dernière est coupée par le bas de la feuille, et son dénominateur se lit $\sigma(\omega_1+\omega_2)$

71On pose \[(5)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{cn}_1^2 z &= 1 - (e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{\wp z - e_2}{\wp z - e_1} &\qquad& (\mathrm{cn}_1 0 = 1)\\ \mathrm{dn}_1^2 z &= 1 - (e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{\wp z - e_3}{\wp z - e_1} && (\mathrm{dn}_1 0 = 1) \end{aligned} \right.\] le dernier dénominateur est lu $\wp z - e_1$ ; l'indice est peu net (6) pôles : les homologues de $\omega_1$, résidu $\frac{1}{k}$ ; et $\omega_1+2\omega_2$, résidu $-\frac{1}{k}$

zéros : les homologues de $0$, dérivée $+1$ ; et $2\omega_2$, dérivée $-1$ les deux lignes sont réunies par une accolade sous le numéro 6 ; « pôles », « zéros », $\omega_1$ et $0$ sont soulignés deux fois le $2$ de $2\omega_2$ est repassé à l'encre En choisissant convenablement $\omega_2$ : \[\underline{\ \mathrm{sn}\,\omega_2 = 1 \quad \mathrm{sn}'\omega_2 = 0 \qquad \mathrm{sn}\,\omega_3 = -\frac{1}{k} \quad \mathrm{sn}'\omega_3 = 0\ }\]

73\[(8)\ \left\lbrace \begin{aligned} \mathrm{sn}_1'z &= \mathrm{cn}_1 z\;\mathrm{dn}_1 z\\ \mathrm{cn}_1'z &= -(e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{dn}_1 z\\ \mathrm{dn}_1'z &= -(e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{cn}_1 z \end{aligned} \right.\] $\mathrm{sn}_1 z$, $\mathrm{cn}_1 z$, $\mathrm{dn}_1 z$ vérifient des équations différentielles de type analogue. On a notamment \[(9)\quad \mathrm{sn}_1'^2 z = \bigl(1-(e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z\bigr) \bigl(1-(e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z\bigr)\] le reste de la page est blanc

Fonctions elliptiques

titre encadré, de sa main, en tête de la page 74 ; sous lui, souligné deux fois, le sous-titre « Expression des fonctions elliptiques par $\wp u$, $\wp' u$ », relié par un trait au mot « généralités » de la ligne suivante

741) généralités. On appelle fonction elliptique une fonction méromorphe $f$ dans $\mathbf{C}$ qui admet deux périodes $\omega_1$, $\omega_2$ linéairement ind. sur $\mathbf{R}$ ; si $f$ n'est pas constante, le groupe des périodes (sous-groupe fermé de $\mathbf{C}$ ($=\mathbf{R}^2$)) est discret, soit $\mathfrak{P}$ ⌜et de rang $2$⌝. On étudie ⌜l'ensemble⌝ des fonctions elliptiques qui admettent $\mathfrak{P}$ comme groupe des périodes. la lettre notée $\mathfrak{P}$ est une grande majuscule gothique, qu'on rend ainsi dans tout le lot ; l'ajout « et de rang $2$ » est écrit au-dessus de la ligne, « l'ensemble » est appelé par un trait […], soit $\lbrace 2\omega_1, 2\omega_2\rbrace$ une base de $\mathfrak{P}$ sur $\mathbf{Z}$ (définie à une substitution entière de déterminant $\pm 1$ près) on étudie l'ens. des fonctions méromorphes telles que \[(1)\quad f(z+2\omega_1) = f(z+2\omega_2) = f(z)\] Il forme un corps $E$, qu'on peut évidemment identifier au corps des fonctions méromorphes sur la variété analytique quotient $\mathbf{C}/\mathfrak{P}$, qui est topologiquement isomorphe au tore. – On sait, d'après la théorie ⌜de Riemann,⌝ […]un mot souligné en tête de ligne, suivi d'un crochet fermant que ⌜pour⌝ […] toute $f\in E$ non constante (et il en existe) $E$ est de degré fini sur $\mathbf{C}(f)$, i.e. […] toute fonction elliptique $g\in E$ est […] solution d'une équation $P(f,g)=0$, $P$ polynôme en $f$ et $g$ ⌜etc.⌝ […] […]. Nous obtiendrons directement des résultats plus précis.

Une fonction elliptique sans pôle est une constante la phrase est rayée d'un trait épais

a) Existence d'une f[…]

a$'$) Somme des résidus nulle, ⌜nb. de⌝ zéros égal au nb. de pôles ⌜comptés avec leur multiplicité⌝ ; … – immédiat par Liouville ajouts serrés en interligne, lus sous réserve ; « immédiat par Liouville » est souligné

b) Existence d'une fonction elliptique \[(2)\quad \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \mathop{{\sum}'}_{m,n}\left( \frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^2}\right)\] définit une fonction holomorphe dans […] le plan, ayant […] $\mathfrak{P}$ comme ensemble des pôles (pôles doubles). On a \[(3)\quad \wp'(z) = -\frac{2}{z^3} - 2\mathop{{\sum}'}_{m,n} \frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^3} = -2\sum \frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^3}\]

75On voit directement que $\wp'(z)$ est elliptique […] changeant $z$ en $z+2\omega_1$.le mot biffé, en fin de ligne, se lit mal De $\wp'(z) - \wp'(z+2\omega_i) = 0$ on déduit $\wp(z) - \wp(z+2\omega_i) = \text{c}^{\text{te}}$, cette constante est nulle en particulier $z=-\omega_i$ : $\wp(-\omega_i) - \wp(\omega_i)$, or $\wp$ est paire, donc la constante est nulle. […] […]. le raisonnement se lit sous réserve ; les indices $i$ sont peu nets

Il existe une fonction elliptique et une seule (de périodes $2\omega_1$ et $2\omega_2$) qui n'ait comme pôles ⌜que les points de⌝ $2\mathfrak{P}$ainsi sur la page, semble-t-il : « $2\mathfrak{P}$ », et […] pôle […] […] ⌜et telle que⌝ $\wp(z) - \frac{1}{z^2}$ soit holomorphe ⌜et nulle⌝ à l'origine. […] […] […] […] […] […] […] la unicité $\wp(u)$, et de […] découle par l'expression de Mittag-Leffler (2), cette fonction est paire, et […] $\wp(z) - \frac{1}{z^2}$ est nulle : \[\wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots\] (L'unicité résulte immédiatement de a) ; la propriété […] […] immédiat) tout ce paragraphe est marqué d'un trait vertical à gauche ; le passage biffé l'est d'un trait ondulé

c) Toute fonction elliptique ⌜paire $f$⌝ n'ayant de pôles que aux points de $\mathfrak{P}$, est un polynôme en $\wp$ et un seulainsi sur la page, semble-t-il – Le polynôme est unitaire.l'énoncé est souligné ligne à ligne

La réciproque est évidente, ainsi que l'unicité, $\wp$ étant transcendant sur $\mathbf{C}$. – $f$ […] […] […] d'ordre pair $2k$ […] […] pair $0$, […] […], […] […] […] […] $k$ (évident si $k=0$). Or $\frac{f(z)}{\wp(z)}$ $c_k$ si \[f(z) = \frac{c_k}{z^{2k}} + \cdots, \qquad f(z) - c_k\,\wp(z)^k\] sera une fonction elliptique ayant […] […] […] fonction elliptique paire, n'ayant pour […] […] d'ordre $2(k-1)$ au point $0$, […] […] […] […] de pôles que dans $\mathfrak{P}$, et $0$ pour pôle d'ordre $\leqslant$lu sous réserve $2(k-1)$, […] […] […] […] la démonstration. Notons que le degré de $P$, où $f = P(\wp)$, est $k$ plusieurs lignes de ce passage sont soulignées

d) Toute fonction elliptique paire $f$ […] […] fonction rationnelle en $\wp$, et réciproquement. – unicité

Soit $\mathfrak{P}$ici une lettre en forme de $\mathfrak{P}$ plus petite, peut-être autre le polynôme […] […] […] par $f$, soient $a_1, \ldots, a_n$ ⌜l'ensemble des⌝ […] […] […] pôles de $f$ ⌜[…] […] $P$⌝ […] […] $\mathfrak{P}$, […] […] […]

76la page entière est barrée de longs traits obliques, et plusieurs lignes sont en outre rayées d'un trait horizontal ; elle se lit par fragments, qu'on donne ici sans marquer chaque rature … de la forme $\wp' R_2(\wp)$, $R_2$ fonction rationnelle en $\wp$, […] […] […] que le dénominateur $Q$ de $R_2$ est une constante. Autrement, $Q(\wp)$ ⌜$=\prod(\wp - a_i)$⌝ aurait des zéros hors de $\mathfrak{P}$, il faudrait que ces zéros fussent zéros de $\wp'$, avec une multiplicité au moins égale ; or $\wp'$ a …

Prouvons d'abord le lemme :

la Une fonction elliptique a au moins deux pôles non congruents mod $\mathfrak{P}$, ou un pôle double. On peut […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] deux lignes illisibles à gauche du paragraphe suivant, encadrées d'un trait … […] de deux simples a un degré […] […]. Plus élémentairement, s'il n'y avait qu'un pôle […] […] congruent mod $\mathfrak{P}$, […] […] […] […] […] […] pôle […] de $\mathfrak{P}$, […] […] […] […] $0$ […] […] pôle $f = \frac{1}{z} + \cdots$ […], […] […] […] […] … $\wp'$ serait fonction elliptique impaire, donc […] […] $\wp^3 = \text{c}^{\text{te}}\,\wp'$ (b), … […] […] […] $f\in \mathbf{C}(\wp)$, $f^2 = P$.

… $\wp'$ aurait […] de zéros (dans $\mathbf{C}/\mathfrak{P}$) … jamais $3$, d'ailleurs […] […], comme […] […] […], … $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ sont des pôles …

[…] […] des […] […] […] ; […] […] […] $=\mathbf{C}/\mathfrak{P}$ […] […] […] deux fois […] […] […] […] note en biais dans la marge gauche, à l'encre, bordée d'un trait vertical, lue par fragments $(2)$ que $\wp'$ fonction elliptique impaire n'ayant pas de pôles en $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3 = \omega_1+\omega_2$) $\wp'$ s'annule en ces points ($f(\omega_i) = -f(-\omega_i)$, or $f(-\omega_i) = f(\omega_i)$ … période). Il suit, … que $\wp'$ a $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ comme zéros simples (… […] dans $\mathfrak{P}$), … $\wp'$ … […] de $2$ … $f^3$.

77[…] $2\omega_1$ […] $2\omega_2$ […] […] […] la première ligne, qui achève le passage barré de la page 76, est rayée $l_i$ la multiplicité […] $a_i$. Alors \[g(z) = f(z)\prod_{1\leqslant i\leqslant n}\bigl[\wp(z) - \wp(a_i)\bigr]^{l_i}\] est fonction elliptique paire, n'ayant pour pôles que des points de $\mathfrak{P}$. Il suit donc d'ailleurs c). […] […] […] […] $f$ […] […] […] […] […] fonction elliptique paire deux lignes rayées et biffées d'un trait ondulé ; une première tentative de « e) », également biffée, les précède

e) Le corps $E$ des fonctions elliptiques est de degré $2$ sur $\mathbf{C}\langle\wp\rangle$. En effet, $\mathbf{C}\langle\wp\rangle$ est le corps des invariants de l'automorphisme $f\to\check{f}$ de $E$, qui est d'ordre $2$ (notons que $E\neq\mathbf{C}\langle\wp\rangle$, car $\wp'$ est impaire) comme nous verrons $\wp'\notin\mathbf{C}\langle\wp\rangle$. $\check{f}$ désigne manifestement $z\mapsto f(-z)$ ; le signe $\notin$ est lu d'après un $\in$ surchargé

f) Toute fonction elliptique $f$ se met d'une façon et d'une seule sous la forme \[(3)\quad f = R_1(\wp) + \wp' R_2(\wp)\] où $R_1$ et $R_2$ sont des fonctions rationnelles.

[…] N.B., comme

g) Le nombre de pôles ⌜Pour que la fonction $f$ de (3) ait ses pôles⌝ contenus dans $\mathfrak{P}$, il faut et il suffit que $R_1$ et $R_2$ soient des polynômes ; alors on a au moins pôle double.ainsi sur la page, semble-t-il ; l'énoncé est souligné

Il suffit de prouver que si le pôle de $f$ … […] dans $\mathfrak{P}$, $f$ est de la forme $P_1(\wp) + \wp' P_2(\wp)$, $P_1$ et $P_2$ polynômes. $\mathcal{E}$ écrivons $f = \frac{f+\check{f}}{2} + \frac{f-\check{f}}{2}$, on est ramené au cas où $f$ est paire – traité dans c) – ou au cas où $f$ est impaire. Mais sur (3), on voit que […] […] […] que $f$ … ce dernier paragraphe est encadré et barré de trois traits obliques

78La première de g) est […] ⌜multiplicité⌝ ajout en interligne, entre crochets facile (réciproquement, … […] du pôle à l'origine) puisque la suite est au moins d'ordre $2$) … […] ⌜aussi⌝ facilement que […] fonction elliptique impaire est de la forme $\wp' R(\wp)$ – $R$ fonction rationnelle – (évidemment d'après b)) et où $R$ est un polynôme si et seulement si l'ens. des pôles est $\subset\mathfrak{P}$ (c.-à-d. […] g)). paragraphe écrit vite ; plusieurs mots lus sous réserve

2) Les relations entre $\wp$, $\wp'$ titre encadré et souligné deux fois ; le numéro « 2) » est repassé sur un autre chiffre, entouré \[(1)\ \left\lbrace \begin{aligned} \wp &= \frac{1}{z^2} + \mathop{{\sum}'}_{m,n}\left( \frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^2}\right)\\ \wp' &= -2\sum_{m,n}\frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^3} \end{aligned} \right.\] après la seconde ligne, « $= -\frac{2}{z^3} + \cdots$ » biffé de hachures \[(2)\quad \wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots\] Les $c_i$ s'obtiennent aisément ⌜à partir de⌝ (1), en dérivant les deux membres, […] […] […] […] […] de $\wp z$, […] […] […] pour $z\to 0$ \[(3)\ \left\lbrace \begin{array}{l} c_1 = 3\displaystyle\mathop{{\sum}'}_{m,n}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^4}\\ \quad -\ -\ -\\ c_k = (2k+1)\displaystyle\mathop{{\sum}'}_{m,n}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^{2k+2}} \end{array} \right.\] le premier terme des dénominateurs de $c_1$ est surchargé

Les zéros de $\wp'(z)$ dans $\mathfrak{P}$ sont $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3 = \omega_1+\omega_2$. On pose \[\boxed{\ \wp\omega_i = e_i\ }\] ce sont racines doubles de l'équation $\wp z - e_i = 0$ ; il suit que les $e_i$ sont distincts, car $\wp z - e_i$ n'a que $2$ racines (distinctes ou non) dans $\mathbf{C}/\mathfrak{P}$. ainsi sur la page : « dans $\mathfrak{P}$ » ; $e_i$ et « sont distincts » sont soulignés

79Équations différentielles de $\wp u$. Il faut remarquer, que […] […] deux fonctions […] elliptiques, $f$ et $f'$ […] […] liées par une relation polynomiale – […] la fonction elliptique satisfait à une équation différentielle polynomiale du premier ordre. – Pour $\wp$, on voit que $\wp'^2$ est de degré $2$ dans $\mathbf{C}\langle\wp\rangle$, […] ; […] pour […] […] relation considérée : $\wp'^2$ est fonction elliptique paire, de degré $6$, donc … $\wp$ de degré $3$, … soit ⌜par identification⌝ […] … polynôme est de […] \[\wp'^2 = 4\wp^3 - 20c_1\,\wp - 28c_2\] un signe devant $20c_1$ est effacé d'une tache d'encre ; la dernière lettre, après $28c_2$, est un $\wp$ barré soit \[(?)\quad \boxed{\ \wp'^2 = 4\wp^3 - g_2\,\wp - g_3\ } \qquad (g_2 = 20c_1,\ g_3 = 28c_2)\] le numéro, petit, se lit mal (un $4$ ou un $7$) ; celui de la formule encadrée suivante (un $5$ ou un $8$) aussi ; la page 80 poursuit par (6), ce qui ferait attendre (4) et (5). Les deux derniers $\wp$ du cadre sont surchargés Le calcul (… […] […] […] multiplicité de $\wp'$) […] […] […] […], on remarquera que \[\frac{\wp'^2}{(\wp-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)}\] est fonction elliptique holomorphe, (car […] […] […] […] […] […] […] à l'origine, […] […] […] […] $e_i$) […], donc […] […] […] ; elle est égale à $4$ (regarder les développements de $\wp$ et $\wp'$ à l'origine) d'où \[(?)\quad \boxed{\ \wp'^2 = 4(\wp-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)\ }\] […] […] […] […] par la polynôme – […] précédent est $4(\wp^3-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)$.ainsi sur la page : $\wp^3$ au premier facteur $\Sigma e_i = 0$, […] […] […] […] […] […] $\wp'$ […] […] la dernière ligne est biffée

80En poussant plus loin le calcul d'identification, on obtiendrait les expressions de $c_3$, $c_4$ … en fonction de $c_1$, $c_2$. Le calcul est d'ailleurs simplifié […] […] […] […] […] […] […] dérivées de (4) et utilisons les formules […], par dérivationdeux mots barrés dans la quatrième ligne \[(6)\quad \boxed{\ \wp'' = 6\wp^2 - \tfrac{1}{2}g_2 \qquad \wp''' = 12\,\wp\wp'\ }\] Les relations précédentes […] \[\boxed{\ c_3 = \frac{c_1^2}{3}\,, \qquad c_4 = \frac{3}{11}\,c_1 c_2\ } \qquad (7)\]

3) Fonction $\zeta(u)$ titre encadré ; le numéro « 3) » est écrit à la suite d'un chiffre noirci \[(7)\quad \zeta u - \frac{1}{u} = \int_0^u -\Bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\Bigr)dz \qquad \zeta' u = -\wp u\] \[(8)\quad \zeta u = \frac{1}{u} - \frac{c_2}{3}u^3 - \cdots - \frac{c_n}{2n+1}u^{2n+1} - \cdots\] ainsi sur la page : le premier coefficient se lit $\frac{c_2}{3}$, avec un indice surchargé ; on attendrait $\frac{c_1}{3}$ $\zeta$ est impaire, admet les points de $\mathfrak{P}$ pour pôles simples, avec pour résidu $1$. \[(9)\quad \zeta z = \frac{1}{z} + \sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*} \Bigl(\frac{1}{z-\omega} + \frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2}\Bigr)\] le premier dénominateur de la parenthèse est noirci et récrit ; les $z$ de la formule sont surchargés sur d'autres lettres $\zeta'$ étant une elliptique ([…] […] […]), on […] \[(10)\quad \boxed{\ \zeta(z+2\omega) - \zeta(z) = 2\eta\ }\] ($= \text{c}^{\text{te}}$ ; […] dérivée de la première nulle) le numéro (10) est entouré en faisant à nouveau […] $z = -\omega$, on obtient \[(11)\quad \eta = \zeta(\omega)\,;\] le numéro (11) est entouré $\eta_1$, $\eta_2$, $\omega_1$, $\omega_2$ sont liés par une relation ; si $\omega_1$, $\omega_2$ sont en disposition directe, on a \[\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1 = \frac{i\pi}{2}\] la page s'arrête sur cette formule, au bord inférieur