1. fonction \wp z
titre souligné ; le numéro « 1. » est de sa main
Définition intrinsèque : c'est une fonction elliptique d'ordre 2, admettant
l'origine pour pôle double, y ayant pour la fonction
\wp z - \frac{1}{z^2} s'annulant à l'origine. Si \omega_1 et \omega_2 sont
donnés, cela détermine sans plus cette fonction elliptique.
Elle est paire [car \varphi(z)-\varphi(-z) est elliptique, n'a pas de pôle,
s'annule à l'origine] et vérifie l'équation et est donc de la forme
\wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots
à gauche de la formule, un début de formule biffé ; les indices et les
exposants de c_1z^2 + c_2z^4 sont petits et se lisent mal
Elle vérifie l'équation
\wp'^2 z = 4\wp^3 z - g_2\wp z - g_3 \qquad g_2 = 20c_1 \quad g_3 = 28 c_2
C'est donc la fonction inverse de
z = \int_\infty^{Z} \frac{dZ}{\sqrt{4Z^3 - g_2 Z - g_3}}
On en déduit que si on pose
\wp\omega_1 = e_1 \qquad \wp\omega_2 = e_2 \qquad \wp\omega_3 = e_3
e_1, e_2, e_3 sont les racines de l'équation 4Z^3 - g_2Z - g_3 = 0 ; on a
donc
\wp'\omega_1 = \wp'\omega_2 = \wp'\omega_3 = 0 .
\wp'\omega_1 = e_1formule biffée, lue sous réserve
On a
\wp'' z = 6\wp^2 z - \frac{g_2}{2} \qquad \wp''' z = 12\,\wp z\,\wp' z
la seconde formule est soulignée en pointillé
\wp^{(2n)}z s'exprime en fonction de \wp z par un polynôme de degré n+1 ;
\wp^{(2n+1)}z par le produit par \wp' z d'un polynôme en \wp z de degré n.
Développement en série double
écrit sous la ligne et appelé par un signe d'insertion après
« \wp^{(2n+1)}z par »
1. fonction \zeta z.
titre souligné ; le chiffre ressemble au « 1. » du premier titre
S'introduit par l'intégration des fonctions elliptiques. La fonction
\int_0^z \bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\bigr)dz est uniforme, en lui ajoutant
\frac{1}{z} on obtient une primitive de \wp z) ; on pose
\zeta z = \frac{1}{z} - \int_0^z \Bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\Bigr)dz
\qquad \text{on a} \qquad \zeta' z = -\wp z
ainsi sur la page : « primitive de \wp z », suivi d'une parenthèse
fermante sans ouvrante ; la formule qui suit donne \zeta' = -\wp
\zeta z est une fonction impaire, périodique, . On a
admettant les w pour pôles simples (avec 1 comme résidu).
l'ajout est écrit au-dessus de la ligne ; « avec 1 comme résidu » est
repris sous la ligne, dans la marge gauche
\zeta(z+2\omega_1) - \zeta z = \text{c}^{\text{te}} = 2\zeta\omega_1 = 2\eta_1
on définit de même \eta_2 et \eta_3.
On établit par une intégration de \int \zeta z\,dz sur un contour
convenable
\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2 = \frac{\pi i}{2} \quad \text{etc.} ;
\qquad \text{d'ailleurs} \quad \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0 .
La fonction \zeta z permet de calculer l'intégrale
\int \frac{Z\,dZ}{\sqrt{4Z^3 - g_2Z - g_3}}
on pose Z = \wp z d'où
\Bigl|\ \int \wp z\,dz = -\zeta z + \text{c}^{\text{te}}
le trait vertical renvoie à l'intégrale qui précède
,
Formule de décomposition de Hermite. Soit f(z) une fonction elliptique
de périodes 2\omega_1 et 2\omega_2 ; a, b, \ldots ses pôles, distincts à une
période près deux à deux,
\frac{A_\alpha}{(z-a)^\alpha} + \cdots + \frac{A_1}{z-a} \ ; \qquad
\frac{B_\beta}{(z-b)^\beta} + \cdots + \frac{B_1}{z-b} \ ; \qquad \ldots
la partie principale de ses pôles ; on a alors
\begin{aligned}
f(z) = \text{c}^{\text{te}} &+ \Bigl\lbrace A_1\zeta(z-a) + A_2\wp(z-a)
- \frac{A_3}{2!}\wp'(z-a) + \cdots
+ (-1)^\alpha \frac{A_\alpha}{(\alpha-1)!}\wp^{(\alpha-2)}(z-a) \Bigr\rbrace \\
&+ \Bigl\lbrace B_1\zeta(z-b) + \cdots \Bigr\rbrace + \cdots
\end{aligned}
suit une ligne de tirets qui sépare la section suivante
Fonction \sigma ztitre encadré et souligné
Nous saurons intégrer toute la fonction elliptique au moyen de fonctions connues,
si nous savons intégrer \zeta z\,dz, son intégrale est complexe,
et admet pour les point w pour points logarithmiques. Il suffira de
chercher \sigma z tel que
\int \zeta z\,dz = \log \sigma z
\sigma z s'annulant aux points w.
On peut montrer directement que
\sigma z = e^{\int \zeta z\,dz}
est uniforme, est donc et même une fonction entière,
il est on peut aussi procéder directement :
On a en effet
\wp z = \frac{1}{z^2} + \sum\mathop{{\sum}'} \left[\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]
la série étant uniformément convergente pour z borné, à distance
>\varepsilon de w. Les dérivées successives s'obtiennent par
dérivation terme à terme, la convergence est comme précédemment.
Notons que l'on obtient ainsi les coefficients du développement de \wp z
c_1 = 3\sum\mathop{{\sum}'} \frac{1}{w^4} \qquad
c_2 = 5\sum\mathop{{\sum}'} \frac{1}{w^6} \qquad \cdots
l'exposant de w dans c_1 est petit et peu net
On a
\zeta z = \frac{1}{z} + \sum\mathop{{\sum}'} \left[\frac{1}{z-w} + \frac{1}{w}
+ \frac{z}{w^2}\right]
le dénominateur du dernier terme est surchargé (un 2w^2 corrigé en
w^2, semble-t-il)
Posons enfin
\sigma z = z \prod\mathop{{\prod}'} \Bigl(1 - \frac{z}{w}\Bigr)
e^{\frac{z}{w} + \frac{z^2}{2w^2}}
Le produit est converge uniformément et absolument si z est borné ;
\sigma z est une fonction entière, qui s'annule pour les z = w et pas d'autres
points. Elle a été construite de sorte à avoir
\frac{\sigma' z}{\sigma z} = \zeta z
(À remarquer que, si on voulait construire a priori une fonction entière
s'annulant aux points w, aussi simple que possible, c'est \sigma z qu'on
aurait trouvé)
\sigma z est une fonction paire.ainsi sur la page ; \sigma est en fait
impaire On a
\sigma(z+2\omega_1) = -e^{2\eta_1(z+\omega_1)}\sigma z \qquad
\sigma(z+2\omega_2) = -e^{2\eta_2(z+\omega_2)}\sigma z
de même pour \omega_3.
Formule de Jacobi. Soient a, b, \ldots, l les pôles
d'une d'une fonction elliptique de pér. 2\omega_1 et 2\omega_2
(distincts à une pér. près) a_1, b_1, \ldots, l_1 les zéros ; …
a + b + \cdots + l = a_1 + b_1 + \cdots + l_1 + \Omega .
\Omega est une période.la phrase s'arrête au bord droit sur
« \Omega est une »
On a alors
f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times
\frac{\sigma(z-a_1)\sigma(z-b_1)\cdots\sigma(z-l_1-\Omega)}
{\sigma(z-a)\sigma(z-b)\cdots\sigma(z-l)}
soit
f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times
\frac{\sigma(z-a_1)\sigma(z-b_1)\cdots\sigma(z-l_1)}
{\sigma(z-a)\sigma(z-b)\cdots\sigma(z-l+\Omega)}
soit encore,
f(z) = \text{c}^{\text{te}} \times e^{2(n_1\eta_1+n_2\eta_2)z}\,
\frac{\sigma(z-a_1)\cdots\sigma(z-l_1)}{\sigma(z-a)\cdots\sigma(z-l)}
en posant \Omega = 2n_1\omega_1 + 2n_2\omega_2.
plusieurs lettres des deux premières fractions sont surchargées
Formules d'addition
\wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u+v)\,\sigma(u-v)}{\sigma^2 u\,\sigma^2 v}
\zeta(u+v) = \zeta u + \zeta v + \frac{1}{2}\,\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}
\wp(u+v) + \wp u + \wp v = \frac{1}{4}\left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2
= \bigl[\zeta(u+v) - \zeta u - \zeta v\bigr]^2
le dénominateur du coefficient \frac14 est lu 4 sous réserve
Fonction de Legendre \mathrm{sn}\,ztitre souligné
La fonction
\int \frac{dZ}{\sqrt{(1-Z^2)(1-k^2Z^2)}}
est tentant, car elle paraît très symétrique, et rappelle des intégrales
élémentaires liées aux fonctions trigonométriques et hyperboliques (k=0, k=1).
Appelons \mathrm{sn}\,z l'intégrale de l'équation
\Bigl(\frac{dZ}{dz}\Bigr)^2 = (1-Z^2)(1-k^2Z^2)
qui prend la valeur zéro au point z=0, avec Z'(0) = +1. L'unicité de cette
solution se montre de diverses façons.
1° En faisant un changement de variable convenable, on obtient
Z = \frac{12\wp(z-z_0) - (5-k^2)}{12\wp(z-z_0) - (5k^2-1)}
\qquad
\begin{array}{l}
e_1 = \frac{1}{6}(1+k^2)\\[2pt]
e_2 = -\frac{1}{12}(k^2+6k+1)\\[2pt]
e_3 = -\frac{1}{12}(k^2-6k+1)
\end{array}
au dénominateur de cette première formule, le \wp semble porter un
accent ; il ne le porte pas dans la formule (1) qui suit
L'intégrale particulière est
(1)\quad \mathrm{sn}\,z = \frac{12\wp(z-z_0) - (5-k^2)}{12\wp(z-z_0) - (5k^2-1)}
\qquad \text{avec} \quad \wp z_0 = \frac{5-k^2}{12} \quad
\wp' z_0 = -\frac{1-k^2}{2} .
Ces formules sont de forme trop lourde, eu égard à d'autres plus simples. Mais on
voit l'existence de \mathrm{sn}\,z, qui est une fonction elliptique dont les
périodes s'expriment par des intégrales.
2° On obtient
Z^2 = \frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-z_0) - e_1\bigr]
\qquad (2)\ \left|\
\begin{array}{l}
e_1 = -\frac{1+k^2}{3}\\[2pt]
e_3 = \frac{2k^2-1}{3}\\[2pt]
e_2 = \frac{2-k^2}{3}
\end{array}\right.
les dénominateurs 3 de e_1 et de e_3 sont mal formés (le premier
écrit sur un autre chiffre, le second proche d'un 7)
La solution envisagée est
(3)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr]\ }
3° Avec la même fonction elliptique, on a une solution. Finale
Z^2 = \frac{1}{\wp(z-z_0) - e_1}
et la solution particulière est
(4)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}\ }
On montrerait facilement l'uniformité de Z(z) \mathrm{sn}\,z (les
racines de \wp z - e_1 = 0 étant double)
Les deux formules impliquent une identité :
(\wp z - e_1)\bigl(\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr) = k^2
facile à vérifier, en passant à la fonction \sigma, on en montrant que
le premier membre qui est elliptique, n'a pas de pôle, et est donc constant –
ceci est vrai pour tte fonction \wp z – on trouve d'ailleurs
incidemment la formule
\frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma^4\omega_1} = 3e_1^2 - \frac{g_2}{4}
, qui permet le calcul de \eta_1 et de
puis \eta_2 et \eta_3
Dans le cas actuel, on a
k^2 = \frac{e^{2\eta_1\omega_1}}{\sigma^4\omega_1} = 3e_1^2 - \frac{g_2}{4}
à droite, quelques croix ; l'exposant de \sigma est lu 4 sous réserve
Toujours est-il que nous avons \mathrm{sn}^2(z+\omega_1)\,\mathrm{sn}^2 z =
\frac{1}{k^2} ; si nous choisissons \omega_1 et k
convenablement nous aurons
(5)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}(z+\omega_1)\,\mathrm{sn}\,z = \frac{1}{k}\ }
dans \frac{1}{k^2}, le numérateur est surchargé
Expression au moyen de la fonction \sigma
(6)\quad \boxed{\ \mathrm{sn}\,z = \sigma\omega_1\, e^{\eta_1 z}\,
\frac{\sigma z}{\sigma(z+\omega_1)}
= -\sigma\omega_1\, e^{-\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z-\omega_1)}\ }
\mathrm{sn}\,z admet … \sigma(zau-dessus du « \mathrm{sn} »
biffé, un « q » isolé
On en déduit
(7)\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathrm{sn}(z+2\omega_1) = \mathrm{sn}\,z\\
\mathrm{sn}(z+2\omega_2) = -\mathrm{sn}\,z\\
\mathrm{sn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{sn}\,z\\[4pt]
\text{d'où}\quad \mathrm{sn}(z+4\omega_2) = \mathrm{sn}\,z\\
\phantom{\text{d'où}}\quad \mathrm{sn}(z+4\omega_3) = \mathrm{sn}\,z
\end{array}
\right.
dans la deuxième ligne, le « \mathrm{sn} » est écrit sur un autre mot
Donc \mathrm{sn}\,z admet les périodes 2\omega_1 et 4\omega_2 (et
4\omega_3).
Les pôles sont z = \omega_1 + 2n_1\omega_1 + 4n_2\omega_2, ses zéros
z = 2n_1\omega_1 + 4n_2\omega_2; ainsi sur la page : les indices des pôles
et des zéros se lisent mal ; on attendrait des pôles en \omega_2
pôles et zéros sont simples ; \mathrm{sn}\,z est une fonction d'ordre 2. Les
zéros sont homologues de 0 ou 2\omega_1, où la dérivée est respectivement 1 et
-1 ; les pôles sont homologues des pôles \omega_2 et \omega_2+2\omega_1, dont
les résidus sont resp. \frac{1}{k} et -\frac{1}{k} (en supposant toujours
choisi le signe de \frac{1}{k} tel que l'on ait (5), ou, ce qui revient au
même
k = -\frac{e^{\eta_1\omega_2}}{\sigma'\omega_2}\ \Bigr)
ainsi sur la page : e^{\eta_1\omega_2} et \sigma'\omega_2, indices lus
sous réserve
On voit sur 3 ou 4 que \mathrm{sn}^2 z est pair ou impair ; elle n'est pas
impaire, car on aurait \mathrm{sn}\,\omega_2 = \mathrm{sn}\,\omega_2,
mais aussi \mathrm{sn}\,\omega_1 = -\mathrm{sn}\,{-\omega_1}, d'où
\mathrm{sn}\,\omega_1 = 0, ce qui n'est pas. On peut aussi s'en assurer sur 6
\boxed{\ \mathrm{sn}(-z) = -\mathrm{sn}\,z\ }
« 3 ou 4 », « 6 » : les formules (3), (4) et (6) ; dans la phrase, les
indices \omega_1, \omega_2 se lisent mal
Sur 3 ou 4, on voit \mathrm{sn}^2\omega_2 = \frac{1}{k} ;le dénominateur est
écrit sur un autre signe en choisissant convenablement le signe de \omega_2,
on aura
\mathrm{sn}\,\omega_2 = \frac{1}{?}\,,
le dénominateur est surchargé et ne se lit pas ; la formule est
soulignée
l'équation différentielle vérifiée par \mathrm{sn}\,z donne
\mathrm{sn}'\omega_2 = 0 \qquad \text{de même} \qquad \mathrm{sn}\,{-\omega_2} = -1
\quad \mathrm{sn}'\,{-\omega_2} = 0
le « 1 » de \mathrm{sn}\,{-\omega_2} = -1 est une grosse tache d'encre
On voit alors sur 4 que
On pose
(8)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{cn}^2 z &= 1 - \mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_2}{\wp z - e_1}
= -\frac{1}{k^2}\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_3\bigr]
&\qquad& \boxed{\mathrm{cn}\,0 = +1}\\
\mathrm{dn}^2 z &= 1 - k^2\mathrm{sn}^2 z = \frac{\wp z - e_3}{\wp z - e_1}
= -\bigl[\wp(z-\omega_1) - e_2\bigr]
&& \boxed{\mathrm{dn}\,0 = +1}
\end{aligned}
\right.
avant -\frac{1}{k^2}[\ldots], un premier « -\wp(z-\omega_1) » est biffé ; dans \mathrm{cn}\,0 = +1 le signe
est surchargé
On a
(9)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{cn}\,z &= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_2}\,e^{(\eta_2-\eta_1)z}\,
\frac{\sigma(z-\omega_2)}{\sigma(z-\omega_1)}
= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_2}\,e^{-(\eta_2-\eta_1)z}\,
\frac{\sigma(z+\omega_2)}{\sigma(z+\omega_1)}\\
\mathrm{dn}\,z &= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_3}\,e^{(\eta_3-\eta_1)z}\,
\frac{\sigma(z-\omega_3)}{\sigma(z-\omega_1)}
= \frac{\sigma\omega_1}{\sigma\omega_3}\,e^{-(\eta_3-\eta_1)z}\,
\frac{\sigma(z+\omega_3)}{\sigma(z+\omega_1)}
\end{aligned}
\right.
les indices des \omega dans les quotients \frac{\sigma\omega}{\sigma\omega}
sont petits et se lisent mal
(10)\ \left\lbrace
\begin{array}{lll}
{}^{*}\ \mathrm{cn}(-z) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(-z) = \mathrm{dn}\,z &
\text{$\mathrm{cn}\,z$ et $\mathrm{dn}\,z$ sont paires}\\[4pt]
{}^{*}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_1) = -\mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{dn}\,z & \\
\phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_3) = -\mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_1) = -\mathrm{dn}\,z & \\[4pt]
{}^{*}\ \mathrm{cn}(z+2\omega_2) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+2\omega_2) = \mathrm{dn}\,z &
\text{$\mathrm{cn}$ admet pour périodes}\\
\phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+4\omega_1) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+4\omega_3) = \mathrm{dn}\,z &
\quad 2\omega_2,\ 4\omega_1,\ 4\omega_3\\
\phantom{{}^{*}}\ \mathrm{cn}(z+4\omega_3) = \mathrm{cn}\,z & \mathrm{dn}(z+4\omega_1) = \mathrm{dn}\,z &
\text{$\mathrm{dn}$ admet pour périodes}\\
& & \quad 2\omega_3,\ 4\omega_1,\ 4\omega_2
\end{array}
\right.
les astérisques sont de sa main, en tête de trois lignes ; plusieurs
indices des \omega (dans les lignes en \mathrm{dn} surtout) se lisent mal, et
dans la liste des périodes de \mathrm{dn} les indices sont surchargés
\mathrm{cn}\,z et \mathrm{dn}\,z sont fonctions elliptiques d'ordre 2 ;
Pôles de \mathrm{cn}\,zsouligné deux fois homologues de \omega_2,
résidu \frac{i}{k}, et \omega_2 -\omega_2 résidu
-\frac{i}{k}
si \omega_1, \omega_2 est direct(si \omega_2)
l'ajout au-dessus de la ligne est entouré et biffé ; « direct » est biffé
et souligné
(l'ambiguïté de signe est levée par 9, joint à 6)
Pôles Zéros de \mathrm{cn}\,zsouligné deux fois homologues
de +\omega_2 et -\omega_2 ; on a
\mathrm{cn}'\omega_2 = -\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2}
\qquad (9,\ \text{puis } 6)\,;
à partir de la relation de définition de \mathrm{cn}\,z, on montrera
\mathrm{cn}'^2\omega_2 = -\mathrm{sn}'^2\omega_2
\mathrm{cn}'\omega_2 = \pm\sqrt{1-k^2}
ainsi sur la page : « pôles » et « zéros » de \mathrm{cn} tous deux
homologues de \omega_2 ; les exposants \eta_2\omega_2 se lisent mal
Enfin
\mathrm{cn}\,\omega_3 = \frac{i}{k}\,\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2}
= -\frac{i}{k}\,\mathrm{cn}'\omega_2 = \pm\frac{i}{k}\sqrt{1-k^2}
\qquad \mathrm{cn}'\omega_3 = 0
Pôles de \mathrm{dn}\,zsouligné deux fois homologues de
\omega_2, résidu i, et -\omega_2, résidu -i« \omega_2, résidu
i » est souligné ; l'indice du premier \omega se lit mal
Zérosun premier mot, en tête, est surchargé
Zéros de \mathrm{dn}\,zsouligné deux fois homologues de \omega_3,
dérivée k\,\mathrm{cn}\,\omega_3
= i\,\frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2} = -i\,\mathrm{cn}'\omega_2
= \pm i\sqrt{1-k^2} et de -\omega_3, (dérivée opposée )
« dérivée k\,\mathrm{cn}\,\omega_3 » est souligné ; la lecture de la
parenthèse finale est douteuse
Enfin
\mathrm{dn}\,\omega_2 = -\mathrm{cn}'\omega_2 = \frac{e^{\eta_2\omega_2}}{\sigma'\omega_2}
= \pm\sqrt{1-k^2} \qquad \mathrm{dn}'\omega_2 = 0
ainsi sur la page : « \mathrm{dn}\,\omega_2 » ; l'indice du premier
\omega se lit mal
Formules de dérivation
(11)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}'z &= \mathrm{cn}\,z\;\mathrm{dn}\,z\\
\mathrm{cn}'z &= -\mathrm{sn}\,z\;\mathrm{dn}\,z\\
\mathrm{dn}'z &= -k^2\,\mathrm{sn}\,z\;\mathrm{cn}\,z
\end{aligned}
\right.
Formules liant \mathrm{sn}\,z, \mathrm{cn}\,z, \mathrm{dn}\,z deux à deux
(12)\quad \boxed{\ \mathrm{cn}^2 z + \mathrm{sn}^2 z = 1 \qquad
\mathrm{dn}^2 z + k^2\mathrm{sn}^2 z = 1 \qquad
\mathrm{dn}^2 z - k^2\mathrm{cn}^2 z = 1 - k^2\ }
devant \mathrm{dn}^2z + k^2\mathrm{sn}^2z, un signe est barré de
hachures ; le « \mathrm{cn} » de la première formule de (11) est écrit sur
une autre lettre, et le numéro « (12) » se lit « (11) »
\mathrm{cn}\,z et \mathrm{dn}\,z vérifient des équations analogues à celle de
\mathrm{sn}\,z
(13)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{cn}'^2 z &= (1-\mathrm{cn}^2 z)(1-k^2+k^2\mathrm{cn}^2 z)
= (1-k^2)(1-\mathrm{cn}^2 z)\Bigl(1 + \frac{k^2}{1-k^2}\mathrm{cn}^2 z\Bigr)\\
\mathrm{dn}'^2 z &= (1-\mathrm{dn}^2 z)\bigl(\mathrm{dn}^2 z - (1-k^2)\bigr)
= -(1-k^2)(1-\mathrm{dn}^2 z)\Bigl(1 - \frac{1}{1-k^2}\mathrm{dn}^2 z\Bigr)
\end{aligned}
\right.
le second facteur de la première ligne, « 1-k^2+k^2\mathrm{cn}^2z »,
est lu sous réserve
Aussi \mathrm{cn}\,z et \mathrm{dn}\,z s'exprimeraient-ils directement au moyen
de la fonction \mathrm{sn}\,z qui correspond respectivement à
\rho = \frac{k}{\sqrt{1-k^2}} et \rho = \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}, la solution de
l'équation
\Bigl(\frac{dZ}{dz}\Bigr)^2 = (1-Z^2)(1-\rho^2 Z^2) \qquad
ainsi sur la page, en deux morceaux : « la solution de l'équation »
est écrit à gauche, sous « la fonction \mathrm{sn}\,z » ; « autre » est
biffé, et la page s'arrête là
la page reprend la fonction \mathrm{sn} sous le nom \mathrm{sn}_1, avec
une nouvelle numérotation des formules, (1) à (4)
(1)\quad \mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1} \qquad (\mathrm{sn}_1'0 = +1)
(2)\quad \mathrm{sn}_1 z = \sigma\omega_1\,e^{\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z+\omega_1)}
= -\sigma\omega_1\,e^{-\eta_1 z}\,\frac{\sigma z}{\sigma(z-\omega_1)}
\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{\wp z - e_1}
(3)\quad \mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{sn}_1(z+\omega_1) = \frac{1}{k_1} \qquad
\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{1}{k_1^2}\bigl(\wp(z-\omega_1) - e_1\bigr) \qquad
\begin{array}{l}
k_1 = -\frac{e^{\eta_1\omega_1}}{\sigma'\omega_1}\\[2pt]
k_1^2 = (e_3-e_1)(e_2-e_1)
\end{array}
l'indice de \omega dans l'exposant de k_1 est surchargé ; le second
facteur de k_1^2 se lit « (e_3-e_1) » une seconde fois, un indice étant
peu net
(4)\ \left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathrm{sn}_1(z+2\omega_1) = \mathrm{sn}_1 z\\
\mathrm{sn}_1(z+2\omega_2) = -\mathrm{sn}_1 z\\
\mathrm{sn}_1(z+2\omega_3) = -\mathrm{sn}_1 z\\[4pt]
\mathrm{sn}_1(z+4\omega_2) = \mathrm{sn}_1 z\\
\mathrm{sn}_1(z+4\omega_3) = \mathrm{sn}_1 z\\[4pt]
\mathrm{sn}_1(-z) = -\mathrm{sn}_1 z\\[4pt]
\mathrm{sn}_1(2\omega_2 - z) = \mathrm{sn}_1 z\\
\mathrm{sn}_1(2\omega_3 - z) = \mathrm{sn}_1 z
\end{array}
\right.
le numéro (4) est souligné
\mathrm{sn}_1 z a les périodes 2\omega_1, 4\omega_2, 4\omega_3. La
substitution z\to z+2\omega_2 et z\to z+2\omega_3 équivaut à un changement de
signe. \mathrm{sn}_1 z est impair. Les substitutions z\to 2\omega_2 - z et
z\to 2\omega_3 - z laissent \mathrm{sn}_1 z invariante.
\mathrm{sn}_1 z, fonction elliptique ayant les périodes 2\omega_1, 4\omega_2,
4\omega_3, d'ordre deux
pôles de \mathrm{sn}_1 z les homologues de \omega_1, résidu
+\frac{1}{k_1}, et \omega_1+2\omega_2 ou \omega_1+2\omega_3, résidu
-\frac{1}{k_1}
zéros de \mathrm{sn}_1 z homologues de 0, dérivée +1, et
2\omega_2 ou 2\omega_3, dér. -1
\left\|\
\begin{array}{ll}
\mathrm{sn}_1\omega_2 = \frac{\sigma\omega_1\,\sigma\omega_2}{\sigma(\omega_1+\omega_2)}\,
e^{\eta_1\omega_2} = \pm\frac{1}{\sqrt{e_2-e_1}} & \mathrm{sn}_1'\omega_2 = 0\\[6pt]
\mathrm{sn}_1\omega_3 = \frac{\sigma\omega_1\,\sigma\omega_3}{\sigma(\omega_1+\omega_2)}\,
e^{\eta_1\omega_3} = \pm\frac{1}{\sqrt{e_3-e_1}} & \mathrm{sn}_1'\omega_3 = 0
\end{array}
\right.
les deux lignes sont marquées d'un double trait vertical à gauche ; la
dernière est coupée par le bas de la feuille, et son dénominateur se lit
\sigma(\omega_1+\omega_2)
On pose
(5)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{cn}_1^2 z &= 1 - (e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{\wp z - e_2}{\wp z - e_1}
&\qquad& (\mathrm{cn}_1 0 = 1)\\
\mathrm{dn}_1^2 z &= 1 - (e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z = \frac{\wp z - e_3}{\wp z - e_1}
&& (\mathrm{dn}_1 0 = 1)
\end{aligned}
\right.
le dernier dénominateur est lu \wp z - e_1 ; l'indice est peu net
(6) pôles : les homologues de \omega_1, résidu \frac{1}{k} ;
et \omega_1+2\omega_2, résidu -\frac{1}{k}
zéros : les homologues de 0, dérivée +1 ; et 2\omega_2,
dérivée -1
les deux lignes sont réunies par une accolade sous le numéro 6 ;
« pôles », « zéros », \omega_1 et 0 sont soulignés deux fois
le 2 de 2\omega_2 est repassé à l'encre
En choisissant convenablement \omega_2 :
\underline{\ \mathrm{sn}\,\omega_2 = 1 \quad \mathrm{sn}'\omega_2 = 0 \qquad
\mathrm{sn}\,\omega_3 = -\frac{1}{k} \quad \mathrm{sn}'\omega_3 = 0\ }
(8)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\mathrm{sn}_1'z &= \mathrm{cn}_1 z\;\mathrm{dn}_1 z\\
\mathrm{cn}_1'z &= -(e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{dn}_1 z\\
\mathrm{dn}_1'z &= -(e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1 z\;\mathrm{cn}_1 z
\end{aligned}
\right.
\mathrm{sn}_1 z, \mathrm{cn}_1 z, \mathrm{dn}_1 z vérifient des équations
différentielles de type analogue. On a notamment
(9)\quad \mathrm{sn}_1'^2 z = \bigl(1-(e_2-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z\bigr)
\bigl(1-(e_3-e_1)\,\mathrm{sn}_1^2 z\bigr)
le reste de la page est blanc
Fonctions elliptiques
titre encadré, de sa main, en tête de la page 74 ; sous lui, souligné
deux fois, le sous-titre « Expression des fonctions elliptiques par \wp u,
\wp' u », relié par un trait au mot « généralités » de la ligne suivante
1) généralités. On appelle fonction elliptique une fonction
méromorphe f dans \mathbf{C} qui admet deux périodes \omega_1, \omega_2
linéairement ind. sur \mathbf{R} ; si f n'est pas constante, le groupe des
périodes (sous-groupe fermé de \mathbf{C} (=\mathbf{R}^2)) est discret, soit
\mathfrak{P} et de rang 2. On étudie l'ensemble des fonctions
elliptiques qui admettent \mathfrak{P} comme groupe des périodes.
la lettre notée \mathfrak{P} est une grande majuscule gothique, qu'on
rend ainsi dans tout le lot ; l'ajout « et de rang 2 » est écrit au-dessus de
la ligne, « l'ensemble » est appelé par un trait
corps E, qu'on peut évidemment identifier au corps des
fonctions méromorphes sur la variété analytique quotient \mathbf{C}/\mathfrak{P},
qui est topologiquement isomorphe au tore. – On sait, d'après la théorie
de Riemann, un mot souligné en tête de ligne, suivi d'un
crochet fermant que pour toute f\in E non
constante (et il en existe) E est de degré fini sur \mathbf{C}(f), i.e.
Une fonction elliptique sans pôle est une constante
la phrase est rayée d'un trait épais
a) Existence d'une f
a') Somme des résidus nulle, nb. de zéros égal au nb. de pôles
comptés avec leur multiplicité ; … – immédiat par Liouville
ajouts serrés en interligne, lus sous réserve ; « immédiat par
Liouville » est souligné
b) Existence d'une fonction elliptique
(2)\quad \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \mathop{{\sum}'}_{m,n}\left(
\frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^2}\right)
définit une fonction holomorphe dans
On voit directement que \wp'(z) est elliptique z+2\omega_1.le mot biffé, en fin de ligne, se lit mal
De \wp'(z) - \wp'(z+2\omega_i) = 0 on déduit
\wp(z) - \wp(z+2\omega_i) = \text{c}^{\text{te}}, cette constante est
nulle en particulier z=-\omega_i : \wp(-\omega_i) - \wp(\omega_i),
or \wp est paire, donc la constante est nulle. .
le raisonnement se lit sous réserve ; les indices i sont peu nets
Il existe une fonction elliptique et une seule (de périodes 2\omega_1 et
2\omega_2) qui n'ait comme pôles que les points de
2\mathfrak{P}ainsi sur la page, semble-t-il : « 2\mathfrak{P} »,
et pôle et telle que \wp(z) - \frac{1}{z^2}
soit holomorphe et nulle à l'origine.
la unicité \wp(u), et de découle par
l'expression de Mittag-Leffler (2), cette fonction est paire,
et \wp(z) - \frac{1}{z^2} est nulle :
\wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots
(L'unicité résulte immédiatement de a) ; la propriété
immédiat)
tout ce paragraphe est marqué d'un trait vertical à gauche ; le passage
biffé l'est d'un trait ondulé
c) Toute fonction elliptique paire f n'ayant
de pôles que aux points de \mathfrak{P}, est un polynôme en \wp et un
seulainsi sur la page, semble-t-il – Le polynôme est
unitaire.l'énoncé est souligné ligne à ligne
La réciproque est évidente, ainsi que l'unicité, \wp étant transcendant
sur \mathbf{C}. – f d'ordre pair 2k
pair 0, , k (évident si
k=0). Or
\frac{f(z)}{\wp(z)} c_k si
f(z) = \frac{c_k}{z^{2k}} + \cdots, \qquad f(z) - c_k\,\wp(z)^k
sera
une fonction elliptique ayant fonction elliptique
paire, n'ayant pour d'ordre 2(k-1) au point 0,
de pôles que dans \mathfrak{P}, et 0 pour pôle d'ordre
\leqslantlu sous réserve 2(k-1), la
démonstration.
Notons que le degré de P, où f = P(\wp), est k
plusieurs lignes
de ce passage sont soulignées
d) Toute fonction elliptique paire f fonction rationnelle
en \wp, et réciproquement. – unicité
Soit \mathfrak{P}ici une lettre en forme de \mathfrak{P} plus petite,
peut-être autre le polynôme par f,
soient a_1, \ldots, a_n l'ensemble des
pôles de f P \mathfrak{P},
la page entière est barrée de longs traits obliques, et plusieurs lignes
sont en outre rayées d'un trait horizontal ; elle se lit par fragments, qu'on
donne ici sans marquer chaque rature
… de la forme \wp' R_2(\wp), R_2 fonction rationnelle en \wp,
que le dénominateur Q de R_2 est une constante.
Autrement, Q(\wp) =\prod(\wp - a_i) aurait des zéros hors
de \mathfrak{P}, il faudrait que ces zéros fussent zéros de \wp', avec une
multiplicité au moins égale ; or \wp' a …
Prouvons d'abord le lemme :
la Une fonction elliptique a au moins deux pôles non congruents
mod \mathfrak{P}, ou un pôle double.On peut
deux lignes illisibles à gauche du paragraphe suivant, encadrées d'un
trait
… de deux simples a un degré . Plus
élémentairement, s'il n'y avait qu'un pôle congruent
mod \mathfrak{P}, pôle de
\mathfrak{P}, 0 pôle
f = \frac{1}{z} + \cdots ,
… \wp' serait fonction elliptique impaire, donc
\wp^3 = \text{c}^{\text{te}}\,\wp' (b), … f\in
\mathbf{C}(\wp), f^2 = P.
… \wp' aurait jamais 3, d'ailleurs , comme
, … \omega_1, \omega_2, \omega_3 sont des pôles …
des ;
=\mathbf{C}/\mathfrak{P} deux fois
note en biais dans la marge gauche, à l'encre, bordée d'un trait
vertical, lue par fragments
(2) que \wp' fonction elliptique impaire n'ayant pas de pôles en
\omega_1, \omega_2, \omega_3 = \omega_1+\omega_2) \wp' s'annule en ces
points (f(\omega_i) = -f(-\omega_i), or f(-\omega_i) = f(\omega_i) …
période). Il suit, … que \wp' a \omega_1, \omega_2, \omega_3
comme zéros simples (… dans \mathfrak{P}), … \wp' …
2\omega_1 2\omega_2
la première ligne, qui achève le passage barré de la page 76, est rayée
l_i la multiplicité a_i. Alors
g(z) = f(z)\prod_{1\leqslant i\leqslant n}\bigl[\wp(z) - \wp(a_i)\bigr]^{l_i}
est fonction elliptique paire, n'ayant pour pôles que des points de
\mathfrak{P}. Il suit donc d'ailleurs c).
f
fonction elliptique paire
deux lignes rayées et biffées d'un trait ondulé ; une première tentative
de « e) », également biffée, les précède
e) Le corps E des fonctions elliptiques est de degré 2 sur
\mathbf{C}\langle\wp\rangle. En effet, \mathbf{C}\langle\wp\rangle est le
corps des invariants de l'automorphisme f\to\check{f} de E, qui est d'ordre
2 (notons que E\neq\mathbf{C}\langle\wp\rangle, car \wp' est
impaire) comme nous verrons
\wp'\notin\mathbf{C}\langle\wp\rangle.
\check{f} désigne manifestement z\mapsto f(-z) ; le signe \notin est
lu d'après un \in surchargé
f) Toute fonction elliptique f se met d'une façon et d'une seule sous la
forme
(3)\quad f = R_1(\wp) + \wp' R_2(\wp)
où R_1 et R_2 sont des fonctions rationnelles.
g) Le nombre de pôles Pour que la fonction f de (3) ait ses
pôles contenus dans \mathfrak{P}, il faut et il suffit que
R_1 et R_2 soient des polynômes ; alors on a au moins pôle
double.ainsi sur la page, semble-t-il ; l'énoncé est souligné
Il suffit de prouver que si le pôle de f … dans
\mathfrak{P}, f est de la forme P_1(\wp) + \wp' P_2(\wp), P_1 et P_2
polynômes. \mathcal{E} écrivons f = \frac{f+\check{f}}{2} +
\frac{f-\check{f}}{2}, on est ramené au cas où f est paire – traité dans
c) – ou au cas où f est impaire. Mais sur (3), on voit que
que f …
ce dernier paragraphe est encadré et barré de trois traits obliques
La première de g) est
2) Les relations entre \wp, \wp'
titre encadré et souligné deux fois ; le numéro « 2) » est repassé sur
un autre chiffre, entouré
(1)\ \left\lbrace
\begin{aligned}
\wp &= \frac{1}{z^2} + \mathop{{\sum}'}_{m,n}\left(
\frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^2} - \frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^2}\right)\\
\wp' &= -2\sum_{m,n}\frac{1}{(z-2m\omega_1-2n\omega_2)^3}
\end{aligned}
\right.
après la seconde ligne, « = -\frac{2}{z^3} + \cdots » biffé de
hachures
(2)\quad \wp z = \frac{1}{z^2} + c_1 z^2 + c_2 z^4 + \cdots
Les c_i s'obtiennent aisément à partir de (1), en
dérivant les deux membres, de \wp z,
pour z\to 0
(3)\ \left\lbrace
\begin{array}{l}
c_1 = 3\displaystyle\mathop{{\sum}'}_{m,n}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^4}\\
\quad -\ -\ -\\
c_k = (2k+1)\displaystyle\mathop{{\sum}'}_{m,n}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^{2k+2}}
\end{array}
\right.
le premier terme des dénominateurs de c_1 est surchargé
Les zéros de \wp'(z) dans \mathfrak{P} sont \omega_1, \omega_2,
\omega_3 = \omega_1+\omega_2. On pose
\boxed{\ \wp\omega_i = e_i\ }
ce sont racines doubles de l'équation \wp z - e_i = 0 ; il suit que les e_i
sont distincts, car \wp z - e_i n'a que 2 racines (distinctes ou non) dans
\mathbf{C}/\mathfrak{P}.
ainsi sur la page : « dans \mathfrak{P} » ; e_i et « sont distincts »
sont soulignés
Équations différentielles de \wp u. Il faut remarquer, que
deux fonctions elliptiques, f et f' liées
par une relation polynomiale – la fonction elliptique
satisfait à une équation différentielle polynomiale du premier
ordre. – Pour \wp, on voit que \wp'^2 est de degré 2 dans
\mathbf{C}\langle\wp\rangle, ; pour relation
considérée : \wp'^2 est fonction elliptique paire, de degré
6, donc … \wp de degré 3, … soit
par identification Le calcul (… multiplicité de \wp')
, on remarquera que
\frac{\wp'^2}{(\wp-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)}
est fonction elliptique holomorphe, (car
à l'origine, e_i) , donc
; elle est égale à 4 (regarder
les développements de \wp et \wp' à l'origine) d'où
(?)\quad \boxed{\ \wp'^2 = 4(\wp-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3)\ }
par la polynôme –
précédent est 4(\wp^3-e_1)(\wp-e_2)(\wp-e_3).ainsi sur la
page : \wp^3 au premier facteur
\Sigma e_i = 0, \wp'
la dernière ligne est biffée
En poussant plus loin le calcul d'identification, on obtiendrait les
expressions de c_3, c_4 … en fonction de c_1, c_2. Le
calcul est d'ailleurs simplifié
dérivées de (4) et utilisons les
formules , par dérivationdeux mots barrés dans la
quatrième ligne
(6)\quad \boxed{\ \wp'' = 6\wp^2 - \tfrac{1}{2}g_2 \qquad \wp''' = 12\,\wp\wp'\ }
Les relations précédentes
\boxed{\ c_3 = \frac{c_1^2}{3}\,, \qquad c_4 = \frac{3}{11}\,c_1 c_2\ } \qquad (7)
3) Fonction \zeta(u)
titre encadré ; le numéro « 3) » est écrit à la suite d'un chiffre
noirci
(7)\quad \zeta u - \frac{1}{u} = \int_0^u -\Bigl(\wp z - \frac{1}{z^2}\Bigr)dz
\qquad \zeta' u = -\wp u
(8)\quad \zeta u = \frac{1}{u} - \frac{c_2}{3}u^3 - \cdots - \frac{c_n}{2n+1}u^{2n+1} - \cdots
ainsi sur la page : le premier coefficient se lit \frac{c_2}{3}, avec un
indice surchargé ; on attendrait \frac{c_1}{3}
\zeta est impaire, admet les points de \mathfrak{P} pour pôles simples, avec
pour résidu 1.
(9)\quad \zeta z = \frac{1}{z} + \sum_{\omega\in\mathfrak{P}^*}
\Bigl(\frac{1}{z-\omega} + \frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2}\Bigr)
le premier dénominateur de la parenthèse est noirci et récrit ; les z
de la formule sont surchargés sur d'autres lettres
\zeta' étant une elliptique (
), on
(10)\quad \boxed{\ \zeta(z+2\omega) - \zeta(z) = 2\eta\ }
(= \text{c}^{\text{te}} ; dérivée de la première nulle)
le numéro (10) est entouré
en faisant à nouveau
z = -\omega, on obtient
(11)\quad \eta = \zeta(\omega)\,;
le numéro (11) est entouré
\eta_1, \eta_2, \omega_1, \omega_2 sont liés par une relation ;
si \omega_1, \omega_2 sont en disposition
directe, on a
\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1 = \frac{i\pi}{2}
la page s'arrête sur cette formule, au bord inférieur