Cote n° 62 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Courbes elliptiques (généralités - vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1963]
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Courbes elliptiques

inscrit de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Modules des courbes elliptiques

titre de sa main, souligné, en tête de la page 3

3Soit \(C\) une « courbe elliptique » homogène sur \(S\) loc. noethérien. La section unité \(s\) définit un bon diviseur \(D\) [transversal aux fibres]« transversal aux fibres » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait sur \(C\), d'où un fibré [faisceau inv. \(\underline{L}\)], dont les [germes de] sections sont des fonctions germes de fonctions sur \(C\) (précisément celles qui sont des « multiples » de \(D\)). Notons que \(s^*(\underline{L}) \simeq\), \(C\) étant un schéma en groupes la formule inachevée \(s^*(\underline{L})\simeq\) est barrée de hachures ; la ligne suivante, « Proposition 1 Les \(\underline{L}^n\) (\(n\in\mathbf{Z}\)) sont […] […] [plats sur les […]] », est biffée d'un trait, et « Proposition 1 » est relié par une boucle au mot « dimension » plus bas, où la proposition est reprise à la page 4 \[\underline{V}_{C/S} = f^*\bigl(s^*(\underline{V}_{C/S})\bigr) = f^*(\mathcal{L}_{C/S}) \qquad [\,\mathcal{L} = \text{faisceau de Lie}\,]\] \[s^*(\underline{L}) \simeq s^*(\underline{L}\otimes_{C}\underline{O}_{S'}) \simeq s^*(\underline{N}_{C/S'}) \simeq s^*(\underline{V}_{C/S}) = \mathcal{L}\] le \(S'\) désigne manifestement la section unité vue comme sous-schéma de \(C\) ; le dernier signe, au bord de la feuille, se lit mal ce faisceau sera noté \(\mathcal{L}_{C/S}\) [« Lie »]. On a \[s^*(\underline{L}^{\otimes n}) \simeq \mathcal{L}_{C/S}^{\otimes n}.\] On a une section canonique de \(\underline{L}\), savoir la section constante \(1\) de \(\underline{O}_C\), \[\sigma\colon \underline{O}_C \longrightarrow \underline{L}, \qquad \sigma\in\Gamma(C,\underline{L})\] qui définit des homomorphismes (d'ailleurs injectifs) \[\cdots \longrightarrow \underline{L}^{\otimes n} \longrightarrow \underline{L}^{\otimes(n+1)} \longrightarrow \cdots \longrightarrow \underline{L}^{\otimes(n+k)} \longrightarrow \cdots\] \(\subset\) faisceau des fonctions rationnelles […] sur \(C/S\) d'où […] des homomorphismes \[\cdots \longrightarrow f_*(\underline{L}^{\otimes n}) \longrightarrow f_*(\underline{L}^{\otimes(n+1)}) \longrightarrow \cdots\] i.e. \[\cdots \longrightarrow \mathcal{E}_n \longrightarrow \mathcal{E}_{n+1} \longrightarrow \cdots\] en posant \[\mathcal{E}_n = f_*(\underline{L}^{\otimes n}).\]

4Proposition 1. Les faisceaux \(\underline{L}^{\otimes n}\) sont coh. plats en toute dimension. Le faisceau \(f_*(\underline{L}^{\otimes n})\) est localement libre, de rang \(0\) si \(n<0\), \(1\) si \(n=0\) ou \(1\), \(n\) si \(n\geqslant 1\). […] Le faisceau \(\underline{L}\) est ample, et de façon précise \(\underline{L}^{\otimes n}\) est très ample pour ssi \(n\geqslant 1\), très ample ssi \(n\geqslant 3\). la proposition est encadrée d'un trait vertical à gauche ; « ssi » est écrit au-dessus d'un « pour » biffé

La formule de RR, où \(g=1\), d'où \(2g-2=0\), nous montre que tout faisceau loc. libre inversible sur \(C\), de degré [relatif]« relatif » en interligne \(d\neq 0\), est coh. plat, et que sa dimension est donc nulle si \(d<0\), et \(d\) […] si \(d\geqslant 1\). Donc la première assertion est démontrée pour \(n\neq 0\), et pour \(n=0\) elle est connue par ailleurs, car \(\underline{L}^{\otimes 0}=\underline{O}_C\). […] […] […] […] faisceau inv. sur \(C\) de degré relatif […] […] ssi \(d\geqslant 0\), donc \(\underline{L}^{\otimes n}\) […] […] ssi \(n\geqslant 1\). Et pour […] […] \(\underline{L}\) […] de degré relatif \(d>0\), il […] […], […] […] […] \(\underline{L}^{\otimes n}\) est […] pour \(n\geqslant 0\). Si \(\underline{L}^{\otimes n}\) est très ample, on a \(n\geqslant 1\), d'ailleurs on ne peut avoir \(n=1,2\) car alors \(\mathbf{P}(f_*(\underline{L}^{\otimes n}))\) serait de dimension relative \(0\) ou \(1\), donc \(C\) ne pourrait s'y immerger (car il y serait isomorphe, absurde), donc il faut \(n\geqslant 3\). […] […], on […] […] […] […] \(2\) […] […], […] […] […] […] […] \(S\)-géom. […], […] […] composés [[…]]. Mais alors D'ailleurs, […] \(\underline{L}\) est […] […] […] […] […] Mais alors comme \(3 > (2g-2)+2 = 2g = 2\), un raisonnement […] n'utilisant que RR donne le résultat. prop. préliminaire […] […] faisceau […] […] note marginale en biais, à gauche, au crayon ; tout le passage depuis « La formule de RR » est marqué d'un trait vertical

5Proposition. On a une suite […] […] d'injections \[\mathcal{E}_0 = \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \mathcal{E}_3 \subset \cdots\] les \(\mathcal{E}_i\) sont des faisceaux loc. libres de rang \(i\) pour \(i\geqslant 1\). D'ailleurs \[\mathcal{E}_0 = \underline{O}_S .\]

Proposition 2. \(\mathcal{E}_0=\mathcal{E}_1=\underline{O}_S\), d'autre part pour \(i\leqslant j\) l'injection \(\mathcal{E}_i \to \mathcal{E}_j\) est loc. universellement injective. (pour \(n\geqslant 1\), […]) […] […] […] […] alors […] […] […] \(\otimes\) […] isomorphisme passage surchargé d'ajouts et de ratures en interligne, lu seulement par fragments Soit […] faisceau \[\mathcal{L}_n \simeq \mathcal{E}_{n}/\mathcal{E}_{n-1}\] […] isomorphe à \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{E}_{n+1}/\mathcal{E}_n\) est isomorphe à \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) \[\mathcal{L}_n\otimes\mathcal{L}_m \simeq \mathcal{L}_{m+n} \quad \text{si } n,m \underset{\neq 1}{\geqslant 0}\] […] […] [correspondant] sur \(\coprod_{n\geqslant 0}\mathcal{L}_n\) […] d'algèbre graduée comm. l'indice de \(\mathcal{E}_{n}\) au numérateur est surchargé ; les lettres \(\mathcal{L}\) de cette page sont soulignées

Pour la première assertion, because la platitude coh. […] […] […] […] d'une […], c'est trivial car […] […] une injection. Notons que \[\mathcal{E} = \varinjlim \mathcal{E}_n = f_*(\varinjlim \underline{L}^{\otimes n})\] est d'ailleurs une \(\underline{O}_S\)-algèbre, dont la connaissance équivaut à la connaissance de \(\underline{\Gamma}_*(f,\underline{L})=\coprod \mathcal{E}_n\)un signe illisible en exposant de \(\Gamma\), […] on a \[\mathcal{E}_m\times\mathcal{E}_n \longrightarrow \mathcal{E}_{m+n}\] […] précisément induisent la multiplication de \(\mathcal{E}\). On a, […] […] […] gradué associé à la filtration croissante donnée, une algèbre […] \(\coprod_{n\geqslant 0}\underline{\mathcal{L}}_n\), où \(\underline{\mathcal{L}}_n \simeq \mathcal{E}_n/\mathcal{E}_{n-1}\) pour \(n\geqslant 0\), […] […] pour \(n=0\) […] \(\underline{O}_S\). Il faut prouver que \[\underline{\mathcal{L}}_n\otimes\underline{\mathcal{L}}_m \longrightarrow \underline{\mathcal{L}}_{n+m}, \qquad n,m \underset{\neq 1}{\geqslant 0},\] […] est bien isom, ou encore surjectif, […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(n,m\geqslant 2\), d'où […] […]. les deux dernières lignes de la page sont en partie biffées et se chevauchent

6[…] […] à […].

Corollaire. Si \(n\geqslant 2\), \(\underline{\mathcal{L}}_n\) est isomorphe par l'homomorphisme induit à \(\underline{\mathcal{L}}_2^{\otimes n'}\) si \(n\) pair, à \(\underline{\mathcal{L}}_2^{\otimes n'}\otimes\underline{\mathcal{L}}_3\) si \(n\) impair (où \(n'\geqslant 1\) dans le premier cas, \(n'\geqslant 0\) dans le deuxième).

Mais on a plutôt intérêt à prouver directement ceci : on est ramené aussitôt par platitude coh. au cas où \(S=\operatorname{Spec}(k)\), on peut alors […] […] […] de […] […] […], […] […] de […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […].

Corollaire. \(\mathcal{E}_3\) engendre \(\Gamma_*(f,\underline{L})\).

Considérons les opérations de \(\underline{V}\) sur les germes de fonctions rationnelles sur \(C\) [rendre ceci défini], on constate que \(\underline{V}\) […] opérations induisent des homomorphismes \[\underline{\mathcal{L}}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n \longrightarrow \underline{\mathcal{L}}_{n+1}, \qquad n\geqslant 2 .\]

Proposition 3. (Les) [Soit \(s\in S\), \(p\) l'exposant car. de \(k(s)\).]ajout en interligne, relié par un trait ; la lettre lue \(s\) est écrite comme un \(\beta\) [Les] homomorphismes \(\underline{\mathcal{L}}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n\to\underline{\mathcal{L}}_{n+1}\) […] isomorphismes (voir […] […] […]) […] […] ssi \(p\) est premier à \(n\). l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche ; « isomorphismes » est souligné

On est ramené au cas où […] […] \(S=\operatorname{Spec}(k)\), et alors c'est une vérification locale : si \(D\) […] une diff dérivation […] […] […] […] […], [\(x\in C\)] […] si \(f\in{}\)[…] sur \(C\) […] […] \(x\) […] […] […] […],

7[…] divisible par \(p\) alors \(Df\) \(Df\) […] […] \(x\) […] pôle d'ordre […] […] […], et […] : […] ssi \(p\nmid n\).

Corollaire 1 Si \(k(s)\) est de car. nulle, alors \[\underline{\mathcal{L}}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n \simeq \underline{\mathcal{L}}_{n+1} \quad \text{pour } n\geqslant 2, \text{ donc}\] \(\underline{\mathcal{L}}_3\otimes\mathcal{L}\otimes\underline{\mathcal{L}}_2\), \(\mathcal{L}_4\) [\(\mathcal{L}_4\simeq\mathcal{L}_2\otimes\mathcal{L}^2\)] \[\mathcal{L}_n \simeq \mathcal{L}^{n-2}\otimes\mathcal{L}_2, \qquad \text{donc pour } n\geqslant 2,\] donc […] \(\mathcal{L}_2\) […]

Corollaire 2 Si \(k(s)\) est de car. \(p\neq 2\), alors \(\mathcal{L}_3\simeq\mathcal{L}_2\otimes\mathcal{L}\), \(\underline{\mathcal{L}}_4\simeq\underline{\mathcal{L}}_3\otimes\mathcal{L}\), \(\mathcal{L}_6\simeq\underline{\mathcal{L}}_5\otimes\underline{\mathcal{L}}\) etc. [\(\underline{\mathcal{L}}_{2n}=\underline{\mathcal{L}}_{2n-1}\otimes\mathcal{L}\) si \(n\geqslant 2\)], […] […] \[\mathcal{L}_2 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 2} .\] les deux corollaires sont encadrés ensemble, et le cadre est traversé par deux longs traits courbes, dont l'un part du titre biffé « Corollaire 1 » : le bloc paraît annulé en entier. Dans « \(\mathcal{L}_2\simeq\mathcal{L}^{\otimes 2}\) » l'indice est surchargé. Sous cette page, \(\mathcal{L}\) sans indice est \(\mathcal{L}_{C/S}\) de la page 3, écrit tantôt souligné, tantôt non

Corollaire. Si \(S\) est de car. \(p>0\) [i.e. \(p\,\underline{O}_S=0\)] et si \(n\) est un multiple de la caractéristique, alors \(\mathcal{L}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n\to\underline{\mathcal{L}}_{n+1}\) est nul.

Prop. Considérons la suite exacte canonique \[\cdots\longrightarrow\underline{L}^{\otimes n}\longrightarrow \underline{L}^{\otimes(n+1)}\longrightarrow (\underline{V}_{C/S})^{\otimes(n+1)}\otimes_{\underline{O}_C}\underline{O}_{S'} \longrightarrow 0\] on en conclut la suite exacte \[0\longrightarrow\mathcal{E}_n\longrightarrow\mathcal{E}_{n+1}\longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes(n+1)}\longrightarrow R^1f_*(\underline{L}^{\otimes n})\] au-dessous du dernier terme, « \(\| \; 0\) si \(n\geqslant 1\) » d'où \[\boxed{\ \mathcal{L}_{n+1}\simeq\mathcal{L}^{\otimes(n+1)} \qquad n\geqslant 2\ }\] intervertir avec la prop. 2 et la multiplication dans \(\mathcal{A}\) […] […], envisagée dans prop. 2 […] […] par la multiplication évidente […] […] […] des \(\mathcal{L}_n\), \(n\geqslant 2\) dans l'encadré, l'indice \(n+1\) de \(\mathcal{L}_{n+1}\) est surchargé ; la lettre après « dans » est lue \(\mathcal{A}\) sous réserve

8Considérons maintenant l'immersion projective \[C \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}_3)\] définie par \(L^{\otimes 3}\) en vertu de prop. 1. Alors, \(C\) devient un diviseur positif sur \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)\) [de degré relatif 3,] simple sur \(S\), il est donc défini par une [section sur \(S\)] élément de l'espace projectif des 3-formes \[\mathbf{P}_3(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)) \simeq \mathbf{P}(\operatorname{Symm}_3(\check{\mathcal{E}}_3)) .\] De plus, comme Supposons que l'on se soit donné une trivialisationce dernier mot, en tête de ligne, est encadré et barré d'une diagonale Considérons la section [\(s\)] de \(C\) [et la droite relative \(D\)] « et la droite relative \(D\) » est écrit en interligne […] \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)\) et la droite […] […] […] […] […] de \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)\) définis comme \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_2)\) et \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_1)\), alors on constate que \(s\) est une section de \(C\), et que \(D\) est une « tangente d'inflexion » […] en ce point. croquis : une courbe et sa tangente d'inflexion

…

Considérons une trivialisation [base de \(\mathcal{E}_3\) compatible avec le] [et commençant par \(1_S\in\Gamma(S,\underline{O}_S)\)] drapeau \(0\subset\mathcal{E}_1\subset\mathcal{E}_2\subset\mathcal{E}_3\) de \(\mathcal{E}_3\) [elle […] […] […] \(X,Y,X\) i.e. une base \(1,Y,X\) « dépend de \((3+3-1)\) (\(=5\)) paramètres »], […] […] […] multiplication près […], les ajouts en interligne sont appelés par des accolades ; les trois inclusions du drapeau sont soulignées la forme \(\varphi\) (définie à […] près) prend la forme [si on remplace \(Z\) par \(1\)] \[a x^{?} + b y^3 + c xy + d y^2 + e x + f y + g = 0\] le passage « la forme \(\varphi\) … \(=0\) » est encadré et annulé par des traits ondulés qui le traversent ; l'exposant de \(x\) est surchargé (un \(2\) sur un \(3\), ou l'inverse) et noté « ? » ; dans les formules de ce lot, « ? » marque un indice ou un exposant qu'on ne peut lire. Sous le cadre, une ligne coupée par le bord : « \(x^3\,y^2\) … […] […] […] \(\mathcal{E}_1\) […] de \(\mathcal{E}_2\) dans \(\mathcal{E}_3\) » \(\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ & \mu & \gamma \\ & & \nu \end{pmatrix}\) matrice triangulaire en marge gauche, à hauteur du cadre : le changement de base compatible avec le drapeau

9qui est aussi la relation (unique [à multiple près] , […] […] vérifiée aussi bien a priori) vérifiée par Remarquons que \[1,\ y,\ x,\ y^2,\ xy,\ y^3\] forment une base de \(\mathcal{E}_6\) (adaptée à sa filtration), […] aura donc une équation \[\varphi(x,y) = \boxed{\,x^2 + a y^3 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0\,}\] \(\Delta(a,b,c,d,e,f)\in\mathcal{L}^{\otimes 12}\) cette formule, entourée d'un ovale, est à gauche sous \(\varphi(x,y)\) ; le signe devant \(a y^3\) est surchargé qui est d'ailleurs une équation valable dans \(\mathcal{E}_6\) considéré comme composant de \(\Gamma_*(f,\underline{L}^{?}) = \coprod_{i\geqslant 0}\mathcal{E}_i\), [à valeurs dans \(\mathcal{E}_{?}\)] satisfaite par les sections \(x\), \(y\) de \(\mathcal{E}_3\) \(x_1, x_2, x_3\) [[…] […] \(2\), \(2\), section \(1\)] ajout en interligne, lu par fragments Cette équation Si on désigne […] [par] […] [cette] équation [écrite sous la forme] […] […] \(\mathcal{E}_{?}=\mathcal{E}_1\otimes\mathcal{E}_{?}\) […] […] \[\Phi(x,y,z) = x^2 z + a y^3 + b xyz + c y^2 z + d x z^2 + f z^3 = 0\] ainsi sur la page : le terme en \(yz^2\) ne figure pas ; les exposants de \(x^2z\) et de \(dxz^2\) sont surchargés, et un \(z\) après \(ay^3\) est biffé on constate alors que \(\Phi\) est la forme […] définit […] \(C\) dans \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)\) de degré \(3\) qui définit […] \(\simeq\mathbf{P}^{3}_S\)l'exposant \(3\) est douteux ; on attendrait \(2\). En effet si \(\Phi'\) est la forme qui définit \(C\), alors \(\Phi\) est un multiple de \(\Phi'\) et […] […] donc un multiple par quelque […] […] inversible, puisque \(\Phi\) est « […] […] » en tout pt de \(S\) […] […] coefficient des \(1\) […]. d'ailleurs, et éventuellement […] précision […] pt […] intersection complète deux notes en biais dans la marge gauche, la première séparée du texte par un trait vertical

10Réciproquement, partons d'une équation […] […], où les [coeff.] […] sont des sections de \(\underline{O}_S\). On sait qu'[une telle équation] […] définit un diviseur relatif [positif] de \(\mathbf{P}^2_S/S\), soit \(C\). Il reste à écrire que c'est là une courbe lisse sur \(S\). On sait qu'il faut pour cela que le discriminant de la forme \[\delta(a,b,c,d,e,f)\] soit une unité partout. Ici le discriminant s'explicite : …

On a obtenu un résumé

Proposition. La donnée d'une courbe elliptique sur \(S\), [munie] […] d'une [« base spéciale »] « base adaptée » de \(\mathcal{E}_3(C/S)\), […] est équivalente à la donnée de sections \(a,b,c,d,e,f\) de \(\underline{O}_S\) satisfaisant \(\delta(a,b,c,d,e,f)\neq 0\) ; cette correspondance est compatible avec […] l'image inverse. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche. le signe devant \(0\) dans « \(\delta(\ldots)\neq 0\) » est lu \(\neq\) sous réserve ; il tient lieu de la condition, dite plus haut, que \(\delta\) soit une unité

Les termes de ceci : Considérons le schéma affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\) \[\mathfrak{M} = \operatorname{Spec}\bigl(\mathbf{Z}[A,B,C,D,E,F][\delta^{-1}]\bigr)\] qui est un […] […] affine de \(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[A,B,C,D,E,F] \simeq \mathbf{E}^6_{\mathbf{Z}}\). Faisons opérer dans […] la lettre gothique est lue \(\mathfrak{M}\) ; \(\mathbf{E}^6_{\mathbf{Z}}\) est l'espace affine de dimension \(6\), écrit avec un \(\mathbb{E}\) ajouré

11puis […] le groupe \(G\), de type fini sur \(\mathbf{Z}\), qui […] est représenté […] […] par \(\mathbf{E}_{\mathbf{Z}}\)ou \(\underline{O}_{\mathbf{Z}}\) ; la lettre, en tête de ligne, est surchargée. Considérons le sous-schéma en groupes de \(\mathrm{GL}(3)_{\mathbf{Z}}\) qui correspond aux matrices de la forme \[\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & \lambda & \beta \\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix}\] (avec \(\lambda\mu\) une unité donc), [il opère sur \(\mathfrak{M}\)] de la façon évidente qui consiste à interpréter \(A,B,C,D,E,F\) comme coeff. d'une forme \(X^3+AXY^2\) \[X^2 + AY^3 + BXY^{2} + CY^2 + DX + EY + F\] l'exposant \(2\) de \(Y\) dans \(BXY^2\) est une lecture douteuse ; la page 9 a \(bxy\) et à faire sur \(X, Y\) la substitution affine \[Y' = \lambda Y + \alpha, \qquad X' = \mu X + \beta Y + \gamma\] la première lettre de chacune des deux formules est surchargée, un \(Y\) écrit sur un \(X\) semble-t-il [[…] […] […] […] […] […] […], […] […] […] […] le vectoriel \(\mathbf{E}_3\), donc dans \(\mathbf{P}_3(\mathbf{E}_3)\), et qui laisse invariant le sous-[…] […] [[…]] de [les lettres] […] […] \(6\) des formes qui […] de la forme dite], d'où les opérations de \(G\) sur \(\mathfrak{M}\). Alors le foncteur [l'un des […] […] […] près] qui à tout \(S\) associe […] […] des courbes elliptiques « standard » […] […] sur \(S\), est représentable par \(\mathfrak{M}\). Prop De plus, pour deux […] […]

12\(\mathfrak{M}(S)\) définissant des courbes elliptiques isomorphes ([…] […]) il faut que […] […] se […] en une opération de \(G(S)\), […] \(G\) […] […] […] sur \(S\). Enfin, pour […] toute courbe elliptique \(C\) sur \(S\), il existe une extension fid. plate [finie […] de type fini] \(S'\) de \(S\) [savoir le fibré principal associé à \(\mathcal{E}_3\) […] le drapeau qui […] […] sur \(\mathcal{E}_3\)] telle que \(C_{S'}\) « provienne » d'un élément de \(\mathfrak{M}(S')\).

Ainsi, […] […] […] […], le foncteur « […] […] à isomorphisme près des courbes elliptiques sur \(S\) » est […] pro-représentable, où \(\mathfrak{D}\) désigne la catégorie des morphismes simples surjectifs. la lettre gothique, \(\mathfrak{D}\) sous réserve, est écrite sur un mot biffé Si ce n'était pas pour […] d'ailleurs, […] […] […] […] […] […] […] […], car […] […] […] un raisonnement […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(\delta\) […] \(C\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] …).

13Une normalisation […] […] plus précise est obtenue ainsi : on se donne une trivialisation de \(\mathcal{L}\) par une section partout […] […] \(D\) de \(\mathcal{L}\), [dérivation invariante], on choisit alors la base \(1, x, y\) de \(\mathcal{E}_3\) de façon que l'image de \(x\) dans \(\mathcal{L}_2\) soit \(i_2(D)\), celle de \(x\) dans \(\mathcal{L}_3\) soit \(i_3(D)\). […] ainsi sur la page : « \(x\) » les deux fois ; la seconde est sans doute à lire \(y\) [i.e. on prend comme structure auxiliaire la donnée d'un [[…]] \(\mathcal{L}\), d'un \(\mathcal{E}\) loc. libre de rang \(3\), […] […] […] […] […] […] […] […] […] isom avec \(\mathcal{L}^0, \mathcal{L}^2, \mathcal{L}^3\) respectivement. Le groupe d'automorphismes de cette structure est […] […] le sous-groupe de \(\mathbf{G}_m\times\mathrm{GL}(3)\), formé des [couples] […] de la forme \[\left(\lambda,\ \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ 0 & \lambda^2 & \gamma \\ 0 & 0 & \lambda^3 \end{pmatrix}\right) \qquad \begin{array}{l} \lambda\in\Gamma(\mathbf{G}_{m,S}/S)=\Gamma(S,\underline{O}_S^*)\\ \alpha,\beta,\gamma\in\Gamma(S,\underline{O}_S) \end{array}\] Le […] de la structure ainsi […] à […] […] […] […] [isomorphe] […] au sous-groupe […] des \[\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ 0 & \lambda & \gamma \\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix} \quad\text{pour}\quad \lambda = \left(\frac{\mu}{\lambda}\right)^2, \quad \mu = \left(\frac{\mu}{\lambda}\right)^3 \qquad\text{i.e.}\quad \boxed{\mu^2 - \lambda^3 = 0}\] les exposants de \(\mu^2-\lambda^3\), dans le cadre, sont surchargés L'équation de \(C\) pour une telle base prend alors la forme [caractérisée par la condition \(\underline{x^2-y^3\in\mathcal{E}_5}\)] prend la forme \[x^2 - y^3 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\] [i.e. on peut prendre \(a=-1\) dans l'équation plus haut [avec \(\delta(b,c,d,e,f)\) une unité]] l'ajout est entouré, sous la ligne

14Il ne semble pas qu'on puisse obtenir de normalisation locale sans […] restriction […] […] qui fasse intervenir moins de paramètres, [si on veut qu'elle soit indépendante […] […] constantes […] […] […] […] […], on […] […]]. Si on […] […] […] […] de base finis et plats, on peut prendre la normalisation plus fine en exigeant que \(\delta(b,c,d,e,f)=1\) […] […] [(intrinsèquement)] […] […] […] trivialisation de \(\mathcal{L}\) […] […] […] […] sections […] […] […] [puissance] \(12\)-ième ([…] […] \(24\)-ième) [de \(\delta^{-1}\), où \(\delta\) est] […] discriminant. […] […] […] […] des […] normalisations plus poussées en car. \(\neq 2\), puis en car. \(\neq 3\), puis en […]. le \(12\) est écrit sur un \(11\) ; le passage entier, dense et vite écrit, se lit par fragments

15Transformons l'équation \[x^2 = y^3 + axy + by^2 + cx + dy + e\] par \(s\), […] en remplaçant par \(sx=-x\), \(sy=y\), on trouve \[x^2 = y^3 - axy + by^2 - cx + dy + e\] et en comparant on trouve \(a=c=0\), donc l'équation […] […] […] […], la forme \[\boxed{\,x^2 = y^3 + ay^2 + by + c\,}\] dans l'encadré, les lettres \(a\) et \(b\) sont écrites sur d'autres ; \(s\) est manifestement la symétrie \(x\mapsto -x\), dont l'introduction n'est pas sur cette page avec comme condition \(\delta(a,b,c)\neq 0\), qui ici se traduit par : les solutions de \(P(y)=y^3+ay^2+by+c\) sont distinctes en tout pt de \(S\).

Géométriquement, […] l'équation s'interprète ainsi : la […] \(C/\mathbf{Z}_2\) est un schéma de Brauer–Severi [\(P\)]le \(P\) est écrit au-dessus de la barre de « Brauer–Severi » sur \(S\), muni d'une section (correspondant à la section unité de \(C\) sur \(S\)), donc […] et Brauer-[…] [correspond] à un espace […] […] principal homogène sous un […] […] […] fibré vectoriel […] [inversible] [il correspond à \(\underline{L}^{\otimes 2}\)]. \(C\) est un revêtement […] double ramifié […] un diviseur [de \(P/S\)] étale sur \(S\), qui se décompose en la section à l'infini, et en un diviseur [de \(P/S\)] étale sur \(S\), […] […] […] de \(\underline{V}(\underline{L}^{\otimes 2})/S\) étale sur \(S\), de degré relatif \(3\). […] un mot en biais dans la marge gauche, en face du paragraphe, que borde un trait vertical

16Supposons […] […] les corps résiduels de Notons que \(\uncertain{-1}\)le symbole après « Notons que » est peu net […] de \(C\) sur \(S\) […] […] […] […] […] […], […] \(C\) est un schéma abélien sur \(S\). Cet […] […] [est d'ordre \(2\), il] opère sur les \(\mathcal{E}_i\) [de façon compatible avec les structures, [et les opérations de \(\mathcal{L}\) sur \(\mathcal{E}_\infty\)] multiplication] et induit […] sur \(\mathcal{L}\) le changement de signe. […] […] […] […] […] […] […] […] les caractéristiques résiduelles de […] […] \(\mathcal{E}_1\), de \(\mathcal{E}_2\) […] il y aura […] […] […] […] […] […] […] deux lignes et demie barrées et entourées d'un long trait Supposons les car. résiduelles de \(S\) \(\neq 2\). Alors 1) Il existe un supplémentaire unique […] […] de \(\mathcal{E}_1\) dans \(\mathcal{E}_2\) […] […] qui […] […] […] \(s\) […] […] […] […] […] […] […] \(s\) qui trivialise dans \(\mathcal{E}_2\) [[…] […] […] […] […]], et […] restriction […] […] […] […], [\(L_3\) […]] […] […] \(\mathcal{E}_2\) dans \(\mathcal{E}_3\) [[…]] il existe un supplémentaire […] […] \(s\) […] […] symétrie, […] qui […] […] […] \(L_3\). […] […] : \(\mathcal{L}.\,\mathcal{E}_2\), […] […] […] \(L_3\). Alors \(L_3^{\otimes 2}\) […] un supplémentaire […] de \(\mathcal{E}_5\) dans \(\mathcal{E}_6\), […] \(L_6\). […] […] cette ligne et la suivante sont barrées et encadrées ; le mot « À compléter » est écrit dans le cadre N.B. la condition de \(\mathbf{P}(\mathcal{E}_2)\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(\mathcal{L}^{\otimes 3}\otimes\mathcal{E}_3\) […] […] […] […] note en biais dans la marge gauche, sur une dizaine de lignes, lue par fragments ; un trait vertical la sépare du texte […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] les bases admissibles de \(\mathcal{E}_3\), […] exigeant que \(x\) soit […] […] de \(\mathcal{E}_3\) ; donc le groupe des […] […] base […] est […] […] la forme \[\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \lambda^2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^3 \end{pmatrix} \quad\text{i.e.}\quad \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & u & 0 \\ 0 & 0 & v \end{pmatrix} \quad\text{avec}\quad u^3 - v^2 = 0 .\] dans la seconde matrice les deux coefficients diagonaux sont surchargés ; \(u\) et \(v\) sont lus d'après l'équation qui suit […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […].

Quelle est la normalisation correspondante de l'équation de \(C\) ?

18feuille de brouillon, à l'encre, sans rédaction suivie : calculs isolés répartis sur la page, séparés par des traits horizontaux, parmi des dessins qui ne sont pas des mathématiques et ne sont pas transcrits. On les donne dans l'ordre de la page, de haut en bas

[…] b

\(j\) et \(j-1\) unités souligné deux fois

Cas \(A\) […] […]

les deux lignes sont réunies par une accolade ; l'exposant « \(A^*\) » se lit en indice au bord droit

Ext. Kummer de gr \(\mathbf{Z}/3\) (flèche vers \(j\equiv 1\)) Ext. Kummer de gr \(\mathbf{Z}/2\) (flèche vers \(j\equiv 0\)) à vérifier / compléter

\[j\equiv 1 \quad \Bigl(\frac{t}{t-1}\Bigr)^3 \in O^6O^* \qquad \Bigl(\frac{t-1}{t}\Bigr)^2 \in O^6O^* \qquad \sqrt[6]{\frac{t}{t-1}}\] au-dessus, isolé à droite, « 1– » ; « […] […] » souligné à droite de la première formule ; un signe entre les deux formules, qu'on ne peut lire

\[\sqrt[2]{\frac{t}{t-1}} \qquad \sqrt[3]{\frac{t-1}{t}} \qquad \tfrac12 \qquad \tfrac13\] \[\lambda^{3/6}\cdot\lambda^{-2/6} = \lambda^{1/6} \qquad s^6 = \frac{t}{t-1}\] \[\frac{-27c^2}{b^3-27c^2} = j \qquad 27c^2(j-1) = b^3 j \qquad \frac{b^3}{c^2} = j\] \[\begin{array}{ccc} L & L^2 & L^3 \\ & b & c \end{array} \qquad \boxed{\ \frac{b^3}{c^2} = 27\,\frac{j-1}{j}\ }\] \[b = 27\,\frac{j-1}{j} \qquad c = 27\,\frac{j-1}{j}\] \[\boxed{\ x^3 + 27\,\frac{j-1}{j}\,(x+1) = 0\ }\] dans « \(b=27\frac{j-1}{j}\) » l'exposant de \(b\) est une tache ; dans « \(27c^2(j-1)\) » le \(1\) est surchargé

\(\underline{\mathrm{Hom}}(E,\ \ )\) \(f_*(\check{E})\) \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(E,\underline{O})\) \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{A}}(E,\underline{A})\times \underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(\underline{A},\underline{O})\] une flèche monte de cette dernière formule vers \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(E,\underline{O})\)

20feuille de calcul à l'encre, sur le même papier que la page 18 : le discriminant du polynôme cubique

\((x_1-x_2)(x_3\) \[\prod_{i\neq j}(x_i-x_j) = \prod_i \Bigl(\frac{f(x)}{x-x_i}\Bigr)_{x\to x_i} = \prod_i f'(x_i)\] dans la fraction, le numérateur \(f(x)\) et le \(x\) du dénominateur sont surchargés \((y+u)^3 + a(y+u)^2\) \(3u+a\) \(u=-\frac{a}{3}\) calcul en haut à droite, isolé par un trait courbe ; le premier \(y\) est écrit sur une autre lettre \[f(x_i) =\] \[3x^2 + 2ax + b\] \[(3x_1^2+2ax_1+b)(3x_2^2+2ax_2+b)(3x_3^2+2ax_3+b)\]

Supposons \(\underline{\underline{a=0}}\) […] […] \[j = -\frac{27c^2}{\Delta}\] \(x_1x_2 \quad x_2x_3 \quad x_3x_1\) // \(x_1x_2 \quad x_2x_3\) \[\Delta = \prod(3x_i^2+b) = 27(x_1x_2x_3)^2 + 9b\bigl(\textstyle\sum(x_1x_2)^2 + 3b^2\sum x_i^2\bigr) + b^3\] \(= -27c^2 + 9b(b^2 - 2\sum x_1^2x_2x_3\) \[(x_1x_2x_3)^2 = c^2\] \[\textstyle\sum(x_1x_2)^2 = \bigl(\sum x_1x_2\bigr)^2 - 2\sum x_1^2x_2x_3\] \[\textstyle\sum x_i^2x_2x_3 = \bigl(\sum x_i^2\bigr)\bigl(\sum x_2x_3\] \[\boxed{\ \Delta = b^3 - 27c^2\ }\ ? \qquad x_1^2x_2^2 + \qquad \textstyle\prod 3x_i^2+b\] \(\bigl(\sum x_i^2\bigr)^2\) \[3\textstyle\sum(x_1x_2)^2 + \bigl(\sum x_1x_2\bigr)\bigl(\sum x_i^2\bigr)\] […] \(x_1x_2\) ainsi sur la page : la parenthèse de \(3b^2\sum x_i^2\) est fermée par une accolade, celle de \((\sum x_2x_3\) ne l'est pas ; dans le cadre, un chiffre devant \(b^3\) est biffé, et le point d'interrogation est de sa main