Modules des courbes elliptiques
titre de sa main, souligné, en tête de la page 3
Soit C une « courbe elliptique » homogène sur S loc. noethérien. La section
unité s définit un bon diviseur D transversal aux fibres« transversal
aux fibres » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait sur C,
d'où un fibré faisceau inv. \underline{L}, dont les
germes de sections sont des fonctions germes de fonctions sur C
(précisément celles qui sont des « multiples » de D). Notons que
s^*(\underline{L}) \simeq, C étant un schéma en groupes
la formule inachevée s^*(\underline{L})\simeq est barrée de hachures ; la
ligne suivante, « Proposition 1 Les \underline{L}^n (n\in\mathbf{Z}) sont
[plats sur les ] », est biffée d'un trait, et « Proposition 1 »
est relié par une boucle au mot « dimension » plus bas, où la proposition est
reprise à la page 4
\underline{V}_{C/S} = f^*\bigl(s^*(\underline{V}_{C/S})\bigr) = f^*(\mathcal{L}_{C/S})
\qquad [\,\mathcal{L} = \text{faisceau de Lie}\,]
s^*(\underline{L}) \simeq s^*(\underline{L}\otimes_{C}\underline{O}_{S'})
\simeq s^*(\underline{N}_{C/S'}) \simeq s^*(\underline{V}_{C/S}) = \mathcal{L}
le S' désigne manifestement la section unité vue comme sous-schéma de C ;
le dernier signe, au bord de la feuille, se lit mal
ce faisceau sera noté \mathcal{L}_{C/S} [« Lie »]. On a
s^*(\underline{L}^{\otimes n}) \simeq \mathcal{L}_{C/S}^{\otimes n}.
On a une section canonique de \underline{L}, savoir la section
constante 1 de \underline{O}_C,
\sigma\colon \underline{O}_C \longrightarrow \underline{L}, \qquad
\sigma\in\Gamma(C,\underline{L})
qui définit des homomorphismes (d'ailleurs injectifs)
\cdots \longrightarrow \underline{L}^{\otimes n} \longrightarrow
\underline{L}^{\otimes(n+1)} \longrightarrow \cdots \longrightarrow
\underline{L}^{\otimes(n+k)} \longrightarrow \cdots
\subset faisceau des fonctions rationnelles sur C/S
d'où
Proposition 1. Les faisceaux \underline{L}^{\otimes n} sont coh. plats en
toute dimension. Le faisceau f_*(\underline{L}^{\otimes n}) est localement libre,
de rang 0 si n<0, 1 si n=0 ou 1, n si n\geqslant 1. très ample pour ssi n\geqslant 1, très ample ssi
n\geqslant 3.
la proposition est encadrée d'un trait vertical à gauche ; « ssi » est écrit
au-dessus d'un « pour » biffé
La formule de RR, où g=1, d'où 2g-2=0, nous montre que tout faisceau
loc. libre inversible sur C, de degré relatif« relatif » en
interligne d\neq 0, est coh. plat, et que sa dimension est donc nulle si
d<0, et d Et pour \underline{L} de degré relatif d>0, il
, \underline{L}^{\otimes n} est pour
n\geqslant 0.
Si \underline{L}^{\otimes n} est très ample, on a n\geqslant 1, d'ailleurs on
ne peut avoir n=1,2 car alors \mathbf{P}(f_*(\underline{L}^{\otimes n})) serait
de dimension relative 0 ou 1, donc C ne pourrait s'y immerger
(car il y serait isomorphe, absurde), donc il faut n\geqslant 3. ,
on 2 ,
S-géom. , composés .
Mais alors D'ailleurs, \underline{L} est
Mais alors comme 3 > (2g-2)+2 = 2g = 2, un raisonnement n'utilisant
que RR donne le résultat.
prop. préliminaire faisceau
note marginale en biais, à gauche, au crayon ; tout le passage depuis
« La formule de RR » est marqué d'un trait vertical
Proposition. On a une suite
Proposition 2. \mathcal{E}_0=\mathcal{E}_1=\underline{O}_S, d'autre part
pour i\leqslant j l'injection
\mathcal{E}_i \to \mathcal{E}_j est loc. universellement injective.
(pour n\geqslant 1, ) alors
\otimes isomorphisme
passage surchargé d'ajouts et de ratures en interligne, lu seulement par
fragments
Soit faisceau
\mathcal{L}_n \simeq \mathcal{E}_{n}/\mathcal{E}_{n-1}
isomorphe à \mathcal{L}
et \mathcal{E}_{n+1}/\mathcal{E}_n est isomorphe à \mathcal{L}^{\otimes n}
\mathcal{L}_n\otimes\mathcal{L}_m \simeq \mathcal{L}_{m+n} \quad \text{si } n,m
\underset{\neq 1}{\geqslant 0}
correspondant sur \coprod_{n\geqslant 0}\mathcal{L}_n
Pour la première assertion, because la platitude coh.
d'une , c'est trivial car une injection.
Notons que
\mathcal{E} = \varinjlim \mathcal{E}_n = f_*(\varinjlim \underline{L}^{\otimes n})
est d'ailleurs une \underline{O}_S-algèbre, dont la connaissance
équivaut à la connaissance de
\underline{\Gamma}_*(f,\underline{L})=\coprod \mathcal{E}_nun signe illisible en exposant de \Gamma, on a
\mathcal{E}_m\times\mathcal{E}_n \longrightarrow \mathcal{E}_{m+n}
précisément induisent la multiplication de \mathcal{E}. On a,
gradué associé à la filtration croissante donnée, une
algèbre \coprod_{n\geqslant 0}\underline{\mathcal{L}}_n, où
\underline{\mathcal{L}}_n \simeq \mathcal{E}_n/\mathcal{E}_{n-1} pour
n\geqslant 0, pour n=0 \underline{O}_S. Il faut prouver
que
\underline{\mathcal{L}}_n\otimes\underline{\mathcal{L}}_m \longrightarrow
\underline{\mathcal{L}}_{n+m}, \qquad n,m \underset{\neq 1}{\geqslant 0},
n,m\geqslant 2, d'où
.
les deux dernières lignes de la page sont en partie biffées et se
chevauchent
à .
Corollaire. Si n\geqslant 2, \underline{\mathcal{L}}_n est isomorphe par
l'homomorphisme induit à \underline{\mathcal{L}}_2^{\otimes n'} si n pair, à
\underline{\mathcal{L}}_2^{\otimes n'}\otimes\underline{\mathcal{L}}_3 si n
impair (où n'\geqslant 1 dans le premier cas, n'\geqslant 0 dans le deuxième).
Mais on a plutôt intérêt à prouver directement ceci : on est ramené aussitôt par
platitude coh. au cas où S=\operatorname{Spec}(k), on peut alors
de , de ,
.
Corollaire. \mathcal{E}_3 engendre \Gamma_*(f,\underline{L}).
Considérons les opérations de \underline{V} sur les germes de fonctions
rationnelles sur C [rendre ceci défini], on constate que
\underline{V} opérations induisent des homomorphismes
\underline{\mathcal{L}}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n \longrightarrow
\underline{\mathcal{L}}_{n+1}, \qquad n\geqslant 2 .
Proposition 3. (Les) Soit s\in S, p l'exposant car. de
k(s).ajout en interligne, relié par un trait ; la lettre lue s est
écrite comme un \beta Les homomorphismes
\underline{\mathcal{L}}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n\to\underline{\mathcal{L}}_{n+1}
isomorphismes (voir
On est ramené au cas où S=\operatorname{Spec}(k), et alors
c'est une vérification locale : si D une diff dérivation
, x\in C si f\in{} sur C
x ,
divisible par p alors Df Df x
pôle d'ordre , et : ssi p\nmid n.
Corollaire 1 Si k(s) est de car. nulle, alors\underline{\mathcal{L}}_3\otimes\mathcal{L}\otimes\underline{\mathcal{L}}_2,
\mathcal{L}_4 \mathcal{L}_4\simeq\mathcal{L}_2\otimes\mathcal{L}^2
\mathcal{L}_n \simeq \mathcal{L}^{n-2}\otimes\mathcal{L}_2, \qquad \text{donc pour }
n\geqslant 2,
donc \mathcal{L}_2
Corollaire 2 Si k(s) est de car. p\neq 2, alors
\mathcal{L}_3\simeq\mathcal{L}_2\otimes\mathcal{L},
\underline{\mathcal{L}}_4\simeq\underline{\mathcal{L}}_3\otimes\mathcal{L},
\mathcal{L}_6\simeq\underline{\mathcal{L}}_5\otimes\underline{\mathcal{L}} etc.
[\underline{\mathcal{L}}_{2n}=\underline{\mathcal{L}}_{2n-1}\otimes\mathcal{L} si
n\geqslant 2],
\mathcal{L}_2 \simeq \mathcal{L}^{\otimes 2} .
les deux corollaires sont encadrés ensemble, et le cadre est traversé par
deux longs traits courbes, dont l'un part du titre biffé « Corollaire 1 » : le
bloc paraît annulé en entier. Dans « \mathcal{L}_2\simeq\mathcal{L}^{\otimes 2} »
l'indice est surchargé. Sous cette page, \mathcal{L} sans indice est
\mathcal{L}_{C/S} de la page 3, écrit tantôt souligné, tantôt non
Corollaire. Si S est de car. p>0 [i.e. p\,\underline{O}_S=0] et
si n est un multiple de la caractéristique, alors
\mathcal{L}\otimes\underline{\mathcal{L}}_n\to\underline{\mathcal{L}}_{n+1} est
nul.
Prop. Considérons la suite exacte canonique
\cdots\longrightarrow\underline{L}^{\otimes n}\longrightarrow
\underline{L}^{\otimes(n+1)}\longrightarrow
(\underline{V}_{C/S})^{\otimes(n+1)}\otimes_{\underline{O}_C}\underline{O}_{S'}
\longrightarrow 0
on en conclut la suite exacte
0\longrightarrow\mathcal{E}_n\longrightarrow\mathcal{E}_{n+1}\longrightarrow
\mathcal{L}^{\otimes(n+1)}\longrightarrow R^1f_*(\underline{L}^{\otimes n})
au-dessous du dernier terme, « \| \; 0 si n\geqslant 1 »
d'où
\boxed{\ \mathcal{L}_{n+1}\simeq\mathcal{L}^{\otimes(n+1)} \qquad n\geqslant 2\ }
intervertir avec la prop. 2
et la multiplication dans \mathcal{A} , envisagée
dans prop. 2 par la multiplication évidente
des \mathcal{L}_n, n\geqslant 2
dans l'encadré, l'indice n+1 de \mathcal{L}_{n+1} est surchargé ; la
lettre après « dans » est lue \mathcal{A} sous réserve
Considérons maintenant l'immersion projective
C \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}_3)
définie par L^{\otimes 3} en vertu de prop. 1. Alors, C devient un diviseur
positif sur \mathbf{P}(\mathcal{E}_3) de degré relatif 3, simple sur S,
il est donc défini par une section sur S élément de l'espace
projectif des 3-formes
\mathbf{P}_3(\mathbf{P}(\mathcal{E}_3)) \simeq
\mathbf{P}(\operatorname{Symm}_3(\check{\mathcal{E}}_3)) .
De plus, comme Supposons que l'on se soit donné une
trivialisationce dernier mot, en tête de ligne, est encadré et
barré d'une diagonale
Considérons la section s de C et la droite relative D
« et la droite relative D » est écrit en interligne
\mathbf{P}(\mathcal{E}_3) et la droite
de \mathbf{P}(\mathcal{E}_3) définis comme
\mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_2) et
\mathbf{P}(\mathcal{E}_3/\mathcal{E}_1), alors on constate que s est une section
de C, et que D est une « tangente d'inflexion » en ce
point.
croquis : une courbe et sa tangente d'inflexion
…
Considérons une trivialisation base de \mathcal{E}_3 compatible avec
le et commençant par 1_S\in\Gamma(S,\underline{O}_S) drapeau
0\subset\mathcal{E}_1\subset\mathcal{E}_2\subset\mathcal{E}_3 de
\mathcal{E}_3 [elle X,Y,X i.e. une base
1,Y,X « dépend de (3+3-1) (=5) paramètres »],
multiplication près ,
les ajouts en interligne sont appelés par des accolades ; les trois
inclusions du drapeau sont soulignées
la forme \varphi (définie à près) prend la forme [si on remplace
Z par 1]
a x^{?} + b y^3 + c xy + d y^2 + e x + f y + g = 0
le passage « la forme \varphi … =0 » est encadré et annulé par des
traits ondulés qui le traversent ; l'exposant de x est surchargé (un 2 sur
un 3, ou l'inverse) et noté « ? » ; dans les formules de ce lot, « ? » marque
un indice ou un exposant qu'on ne peut lire. Sous le cadre, une ligne coupée par le bord : « x^3\,y^2
… \mathcal{E}_1 de \mathcal{E}_2 dans
\mathcal{E}_3 »
\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \beta \\ & \mu & \gamma \\ & & \nu \end{pmatrix}
matrice triangulaire en marge gauche, à hauteur du cadre : le changement
de base compatible avec le drapeau
qui est aussi la relation (unique à multiple près
, vérifiée aussi bien a priori) vérifiée par
Remarquons que
1,\ y,\ x,\ y^2,\ xy,\ y^3
forment une base de \mathcal{E}_6 (adaptée à sa filtration), aura
donc une équation
\varphi(x,y) = \boxed{\,x^2 + a y^3 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0\,}
\Delta(a,b,c,d,e,f)\in\mathcal{L}^{\otimes 12}
cette formule, entourée d'un ovale, est à gauche sous \varphi(x,y) ; le
signe devant a y^3 est surchargé
qui est d'ailleurs une équation valable dans \mathcal{E}_6 considéré comme
composant de \Gamma_*(f,\underline{L}^{?}) = \coprod_{i\geqslant 0}\mathcal{E}_i,
à valeurs dans \mathcal{E}_{?}
satisfaite par les sections x, y de \mathcal{E}_3
x_1, x_2, x_3 2, 2, section 1
ajout en interligne, lu par fragments
Cette équation Si on désigne par constate alors que \Phi est la forme définit
multiple de \Phi' et
donc un multiple par quelque inversible,
puisque \Phi est « » en tout pt de S
coefficient des 1 .
d'ailleurs, et éventuellement
précision pt intersection complète
deux notes en biais dans la marge gauche, la première séparée du texte
par un trait vertical
Réciproquement, partons d'une équation , où les coeff.
courbe
lisse sur S. On sait qu'il faut pour cela que le discriminant de la forme
\delta(a,b,c,d,e,f)
soit une unité partout. Ici le discriminant s'explicite : …
On a obtenu un résumé
Proposition. La donnée d'une courbe elliptique sur S, munie
« base adaptée » de
\mathcal{E}_3(C/S),
Les termes de ceci : Considérons le schéma affine de type fini sur \mathbf{Z}
\mathfrak{M} = \operatorname{Spec}\bigl(\mathbf{Z}[A,B,C,D,E,F][\delta^{-1}]\bigr)
qui est un affine de \operatorname{Spec}\mathbf{Z}[A,B,C,D,E,F]
\simeq \mathbf{E}^6_{\mathbf{Z}}. Faisons opérer dans
la lettre gothique est lue \mathfrak{M} ; \mathbf{E}^6_{\mathbf{Z}} est
l'espace affine de dimension 6, écrit avec un \mathbb{E} ajouré
puis le groupe G, de type fini sur \mathbf{Z}, qui est
représenté par \mathbf{E}_{\mathbf{Z}}ou
\underline{O}_{\mathbf{Z}} ; la lettre, en tête de ligne, est surchargée.
Considérons le sous-schéma en groupes de \mathrm{GL}(3)_{\mathbf{Z}} qui
correspond aux matrices de la forme
\begin{pmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & \lambda & \beta \\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix}
(avec \lambda\mu une unité donc), il opère sur \mathfrak{M} de la façon
évidente qui consiste à interpréter A,B,C,D,E,F comme coeff. d'une forme
X^3+AXY^2
X^2 + AY^3 + BXY^{2} + CY^2 + DX + EY + F
l'exposant 2 de Y dans BXY^2 est une lecture douteuse ; la page 9 a bxy
et à faire sur X, Y la substitution affine
Y' = \lambda Y + \alpha, \qquad X' = \mu X + \beta Y + \gamma
la première lettre de chacune des deux formules est surchargée, un Y
écrit sur un X semble-t-il
[ ,
le vectoriel \mathbf{E}_3, donc dans \mathbf{P}_3(\mathbf{E}_3), et qui
laisse invariant le sous- représentable par \mathfrak{M}.
Prop
De plus, pour deux
\mathfrak{M}(S) définissant des courbes elliptiques isomorphes (
) il faut que fid. plate
finie de type fini S' de S [savoir le fibré
principal associé à \mathcal{E}_3 le drapeau qui sur
\mathcal{E}_3] telle que C_{S'} « provienne » d'un élément de
\mathfrak{M}(S').
Ainsi, , le foncteur « à isomorphisme
près des courbes elliptiques sur S » est car un
raisonnement
\delta C
…).
Une normalisation plus précise est obtenue ainsi : on se
donne une trivialisation de \mathcal{L} par une section partout
D de \mathcal{L}, [dérivation invariante], on choisit alors la base 1, x, y
de \mathcal{E}_3 de façon que l'image de x dans \mathcal{L}_2 soit
i_2(D), celle de x dans \mathcal{L}_3 soit i_3(D).
Le de la structure ainsi à
isomorphe prend alors la forme
[caractérisée par la condition \underline{x^2-y^3\in\mathcal{E}_5}] prend la
forme
x^2 - y^3 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
[i.e. on peut prendre a=-1 dans l'équation plus haut
avec \delta(b,c,d,e,f) une unité]
l'ajout est entouré, sous la ligne
Il ne semble pas qu'on puisse obtenir de normalisation locale sans
Transformons l'équation
x^2 = y^3 + axy + by^2 + cx + dy + e
par s, en remplaçant par sx=-x, sy=y, on trouve
x^2 = y^3 - axy + by^2 - cx + dy + e
et en comparant on trouve a=c=0, donc l'équation ,
la forme
\boxed{\,x^2 = y^3 + ay^2 + by + c\,}
dans l'encadré, les lettres a et b sont écrites sur d'autres ; s
est manifestement la symétrie x\mapsto -x, dont l'introduction n'est pas sur
cette page
avec comme condition \delta(a,b,c)\neq 0, qui ici se traduit par :
les solutions de P(y)=y^3+ay^2+by+c sont distinctes en tout pt de S.
Géométriquement, et Brauer- correspond à un espace
fibré vectoriel de
\underline{V}(\underline{L}^{\otimes 2})/S étale sur S, de degré relatif 3.
un mot en biais dans la marge gauche, en face du paragraphe, que borde un
trait vertical
Supposons les corps résiduels de
Notons que \uncertain{-1}le symbole après « Notons que » est peu net
de C sur S ,
C est un schéma abélien sur S. Cet
est d'ordre 2, il opère sur les \mathcal{E}_i [de façon
compatible avec les structures, et les opérations de \mathcal{L} sur
\mathcal{E}_\infty multiplication] et induit les
caractéristiques résiduelles de \mathcal{E}_1, de \mathcal{E}_2
il y aura
deux lignes et demie barrées et entourées d'un long trait
Supposons les car. résiduelles de S \neq 2. Alors
1) Il existe un supplémentaire unique de \mathcal{E}_1
dans \mathcal{E}_2 qui s
s qui trivialise dans
\mathcal{E}_2 [ ], et restriction
, L_3 \mathcal{E}_2 dans
\mathcal{E}_3 il existe un supplémentaire s
symétrie, Alors L_3^{\otimes 2} un supplémentaire de \mathcal{E}_5
dans \mathcal{E}_6, L_6.
cette ligne et la suivante sont barrées et encadrées ; le mot « À
compléter » est écrit dans le cadre
N.B. la condition de \mathbf{P}(\mathcal{E}_2)
\mathcal{L}^{\otimes 3}\otimes\mathcal{E}_3
note en biais dans la marge gauche, sur une dizaine de lignes, lue par
fragments ; un trait vertical la sépare du texte
les
bases admissibles de \mathcal{E}_3, exigeant que x soit
.
Quelle est la normalisation correspondante de l'équation de C ?
feuille de brouillon, à l'encre, sans rédaction suivie : calculs isolés
répartis sur la page, séparés par des traits horizontaux, parmi des dessins
qui ne sont pas des mathématiques et ne sont pas transcrits. On les donne dans
l'ordre de la page, de haut en bas
j et j-1 unités
souligné deux fois
Cas A
- j non unité, puis j-1, ( )
(1-j^{-1})^2\in A^6A^*
- j-1 non unité, j ( )
\bigl(\tfrac{\uncertain{1}}{j-1}\bigr)^3\in A^6A^*
les deux lignes sont réunies par une accolade ; l'exposant « A^* » se lit
en indice au bord droit
- j\equiv 1 b^3=0, c inversible // si A
, c\in A^*/A^{*(3)}
- j\equiv 0 c^2=0, b inversible // si A
, b\in A^*/A^{*(2)}
Ext. Kummer de gr \mathbf{Z}/3 (flèche vers j\equiv 1)
Ext. Kummer de gr \mathbf{Z}/2 (flèche vers j\equiv 0)
à vérifier / compléter
j\equiv 1 \quad \Bigl(\frac{t}{t-1}\Bigr)^3 \in O^6O^* \qquad
\Bigl(\frac{t-1}{t}\Bigr)^2 \in O^6O^* \qquad
\sqrt[6]{\frac{t}{t-1}}
au-dessus, isolé à droite, « 1– » ; « » souligné à droite de la première formule ; un signe entre
les deux formules, qu'on ne peut lire
\sqrt[2]{\frac{t}{t-1}} \qquad \sqrt[3]{\frac{t-1}{t}} \qquad \tfrac12 \qquad \tfrac13
\lambda^{3/6}\cdot\lambda^{-2/6} = \lambda^{1/6} \qquad
s^6 = \frac{t}{t-1}
\frac{-27c^2}{b^3-27c^2} = j \qquad 27c^2(j-1) = b^3 j \qquad
\frac{b^3}{c^2} = j
\begin{array}{ccc} L & L^2 & L^3 \\ & b & c \end{array}
\qquad
\boxed{\ \frac{b^3}{c^2} = 27\,\frac{j-1}{j}\ }
b = 27\,\frac{j-1}{j} \qquad c = 27\,\frac{j-1}{j}
\boxed{\ x^3 + 27\,\frac{j-1}{j}\,(x+1) = 0\ }
dans « b=27\frac{j-1}{j} » l'exposant de b est une tache ; dans
« 27c^2(j-1) » le 1 est surchargé
\underline{\mathrm{Hom}}(E,\ \ ) f_*(\check{E})
\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(E,\underline{O})
\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{A}}(E,\underline{A})\times
\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(\underline{A},\underline{O})
une flèche monte de cette dernière formule vers
\underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}}(E,\underline{O})
feuille de calcul à l'encre, sur le même papier que la page 18 : le
discriminant du polynôme cubique
(x_1-x_2)(x_3
\prod_{i\neq j}(x_i-x_j) = \prod_i \Bigl(\frac{f(x)}{x-x_i}\Bigr)_{x\to x_i}
= \prod_i f'(x_i)
dans la fraction, le numérateur f(x) et le x du dénominateur sont
surchargés
(y+u)^3 + a(y+u)^2 3u+a u=-\frac{a}{3}
calcul en haut à droite, isolé par un trait courbe ; le premier y est
écrit sur une autre lettre
f(x_i) =
3x^2 + 2ax + b
(3x_1^2+2ax_1+b)(3x_2^2+2ax_2+b)(3x_3^2+2ax_3+b)
Supposons \underline{\underline{a=0}}
j = -\frac{27c^2}{\Delta}
x_1x_2 \quad x_2x_3 \quad x_3x_1 // x_1x_2 \quad x_2x_3
\Delta = \prod(3x_i^2+b) = 27(x_1x_2x_3)^2 + 9b\bigl(\textstyle\sum(x_1x_2)^2
+ 3b^2\sum x_i^2\bigr) + b^3
= -27c^2 + 9b(b^2 - 2\sum x_1^2x_2x_3
(x_1x_2x_3)^2 = c^2
\textstyle\sum(x_1x_2)^2 = \bigl(\sum x_1x_2\bigr)^2 - 2\sum x_1^2x_2x_3
\textstyle\sum x_i^2x_2x_3 = \bigl(\sum x_i^2\bigr)\bigl(\sum x_2x_3
\boxed{\ \Delta = b^3 - 27c^2\ }\ ?
\qquad x_1^2x_2^2 + \qquad \textstyle\prod 3x_i^2+b
\bigl(\sum x_i^2\bigr)^2
3\textstyle\sum(x_1x_2)^2 + \bigl(\sum x_1x_2\bigr)\bigl(\sum x_i^2\bigr)
x_1x_2
ainsi sur la page : la parenthèse de 3b^2\sum x_i^2 est fermée par une
accolade, celle de (\sum x_2x_3 ne l'est pas ; dans le cadre, un chiffre
devant b^3 est biffé, et le point d'interrogation est de sa main