Cote n° 60, pages 41–60

Cote n° 60 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Fonctions L / Équation fonctionnelle des fonctions L (cas géométrique) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1962- à partir de 1971]
Édition de démonstration

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42D'autre part, on a \[R(D/U, k) \longrightarrow R(D, k)\] et l'image de \(R(D/U, k)\) dans \(R(D, k)\) […] précisément formé[e] des classes de \(E\) satisfaisant la condition […]. Pour un tel \(E\), on a donc une opération \(\natural\) sur la classe de \(E\). Donc \(\mathrm{cl}(E)^{\natural}\) est défini dès qu'il existe un sous-groupe […] \(U\) d'indice fini dans \(I\) tel que \(D/U\) \(U\) opère sur \(E\) de façon unipotente. la barre oblique qui suit « unipotente » est de sa main et sépare les deux alinéas Si on prend […] […] de repr. continues ([…] […] […] corps top.) on prendra [obtiendra] […] […] \(\mathrm{cl}(E)^{\natural}\) comme […] de repr. continues de \(D/I\). Compatibilité avec ext. des corps de base. « obtiendra » est écrit au-dessus du mot biffé ; le signe qui précède \(\mathrm{cl}(E)^{\natural}\) ressemble à un \(=\) surchargé

Supposons que \(D/I \simeq \mathbb{Z}\), et donc toute […] […] de repr. […] \(D/I\) […] déterminé par sa série form. \(L_{E^{\natural}}(t)\). Comme […] […] ce dernier alinéa, au bas de la page, est barré de trois grands traits verticaux

44Calculons la trace de la représentation […], on trouve pour \(\varphi \in D/I\) \[\operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \sum_i \operatorname{Tr}_{E_i^{\natural}}(\varphi)\] après le premier membre, un symbole est noirci ; le \(\varphi\) de « pour \(\varphi \in D/I\) » surcharge une autre lettre Or si […] \(U\) opère trivialement sur \(E\), opérons alors […] modules sur \(D/U\), […] […] \[\ill{}\ E^{\natural} = \operatorname{Im} \pi , \qquad \pi = \frac{1}{N} \sum_{i \in I/U} e_i , \qquad N = \operatorname{Card} I/U\] sous \(\operatorname{Im}\pi\), une lettre biffée et un \(L\) indicé d'un mot, peut-être « régulière » ; l'indice de \(\pi\) est biffé donc si \(g \in I/U \mapsto \varphi\) … … \[\operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \operatorname{Tr}_E(\pi g) \struck{= \frac{1}{N} \sum \operatorname{Tr}_E(\ill{})}\] la suite de la ligne, une somme indicée par \(g \mapsto \varphi\), est effacée de boucles ; à droite, un mot isolé, peut-être « d'où » \[\boxed{\operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \frac{1}{N} \sum_{\substack{\psi_\alpha \in D/U \\ \psi_\alpha \mapsto \varphi \in D/I}} \operatorname{Tr}_E \psi_\alpha}\] Comme cette [les deux membres de la] formule […] linéaire en \(E\), […] […] valable pour tout \(E\) ; il faut simplement noter que \(\operatorname{Tr}_E \psi\) […] défini […] pour \(\psi \in D/U\), si \(U\) opère de façon unipotente, comme \(\operatorname{Tr}_E(\psi')\) pour \(\psi' \in D\) se relevant en \(\psi\) : cette valeur ne dépend pas du l'ajout est écrit au-dessus de la ligne, dans une boucle ; la phrase continue page 46

46choix de \(\psi'\) relevant \(\psi\), comme on voit […] : […] […] la suite de composition.

Revenons au cas géométrique, on prendra pour \(D\) le groupe de décomposition \(D_x\) d'un pt \(x \in X\), \(I\) le groupe d'inertie, donc \(D_x/I_x \simeq \pi_x \simeq \hat{\mathbb{Z}}\) (générateur \(f_x\)). On prendra \[E_\eta(x) = E_\eta^{\natural(x)} \quad \text{comme module sur } \pi_x .\] On posera Il vient alors, comme […] de […] faisceau virtuel sur \(X\), on posera \[E_\eta^{\natural} = i_{!}(E_U) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(E_\eta^{\natural(x)}\bigr)\] où \(U\) est un ouvert dense de \(X\) sur lequel \(E_\eta\) est non ramifié, \(E_U\) est l'image de \(E_\eta\) sur \(U\), (\(i : U \to X\) [\(Y = X - U\),] [et \(j : Y \to X\)] désignant les immersions canoniques), \(j_x : \operatorname{Spec} k(x) \to X\). les deux ajouts sont écrits au-dessus de la ligne, sur des arcs

48Calculons le \(D(E_\eta^{\natural})\) : \[\begin{aligned} D(E_\eta^{\natural}) &= D\bigl(i_{!}(E_U)\bigr) + \sum_{x \in Y} D\bigl(j_{x*}(E_\eta^{\natural(x)})\bigr) \\ &= R i_{*}(D E_U) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(D(E_\eta^{\natural(x)})\bigr) \end{aligned}\] Or la formation de \(\natural\) local commute au passage au dual, d'autre part on a \[D(E_U) = \check E_U(1)[2] \quad \struck{E_U(\rho+1)} , \quad \text{d'où}\] le \([2]\) est surchargé et comme encadré ; l'expression qui suit est barrée de plusieurs traits \[\begin{aligned} D(E_\eta^{\natural}) &= \bigl(R i_{*}(\check E_U)\bigr)(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(\check E_\eta^{\natural(x)}\bigr) \\ &= R i_{!}(\check E_U)(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\Bigl[\check E_\eta^{\natural(x)} + j_x^{*} R i_{*}(\check E_U)(1)\Bigr] \\ &= \check E_\eta^{\natural}(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \end{aligned}\] dans les deux premières lignes, devant le \(1\) de \((1)\), un signe est noirci ; au-dessus de \(R i_{!}\) un mot biffé, et un \(=\) isolé sur la ligne précédente ; devant la dernière ligne, « Il y a donc » est biffé ; l'indice de \(\mu\) surcharge une autre lettre \[\mu_x(E) = \check E_\eta^{\natural(x)} \otimes \bigl(\mathbb{Q}_\ell - \mathbb{Q}_\ell(1)\bigr) + j_x^{*} R i_{\eta}(\check E_\eta)(1)\] devant le premier \(\mathbb{Q}_\ell\), des lettres surchargées et biffées : la lecture \(\mathbb{Q}_\ell\) est douteuse […] Or par dualité locale, […] \[j_x^{*}\bigl(R i_{\eta}(\check E_\eta)\bigr) = \check E_\eta(x) - \bigl(E_\eta(x)\bigr)^{\vee}(-1)\] l'indice de \(\check E_\eta(x)\) porte un astérisque noirci

50Posons \[\boxed{\alpha_x(E_\eta) = E_\eta^{\natural(x)} - E_\eta(x)}\] Alors \[\boxed{\mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(\check E_\eta)(1)}\] [donc \[\mu_x(\check E) = \alpha_x(\check E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(1) = -\mu_x(E)^{\vee}(1) \quad \text{i.e.}\] \[\struck{\mu_x(\check E) = \mu_x}\] \[\left\lbrace \begin{array}{l} \mu_x(\check E) = -\mu_x(E)^{\vee}(1) \\ \mu_x(E) = -\mu_x(\check E)^{\vee}(1) \end{array} \right.\] ] le crochet ouvert devant « donc » se ferme loin à droite, après les deux formules en accolade

Donc on trouve \[\boxed{ \left\lbrace \begin{array}{l} D(E_\eta^{\natural}) = \check E_\eta^{\natural}(1) + \displaystyle\sum_{x \in X^{(0)}} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \\[10pt] \mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(\check E_\eta)(1) \qquad \alpha_x(E_\eta) = E_\eta^{\natural(x)} - E_\eta(x) \end{array} \right.}\]

NB. \(\alpha_x(E_\eta)\) n'est pas additif en \(E_\eta\), mais \(\mu_x(E_\eta)\) l'est. « mais » et « l'est » sont soulignés deux fois

Si \(\check E_\eta = E_\eta(\rho)\), on trouve ici et dans l'encadré qui suit, la lettre ressemble à un \(\varphi\) ; on lit le \(\rho\) des pages précédentes \[\boxed{ \begin{array}{l} D(E_\eta^{\natural}) = E_\eta^{\natural}(\rho+1) + \displaystyle\sum_{x \in X^{(0)}} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \\[10pt] \mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(\rho+1) \end{array}}\]

52L'équation fonctionnelle devient alors \[L_{\check E_\eta}(p^{-1} t) \prod_x \lambda_x(E) = (-t)^{-\chi^{\natural}(E_\eta)}\, \delta^{\natural}(E_\eta)\, L_{E_\eta}(t^{-1})\] à droite : i.e., remplaçant \(t\) par \(pt\) le \(\lambda_x\) surcharge une autre lettre \[\left\lbrace \begin{array}{l} L_{E_\eta}\Bigl(\dfrac{1}{pt}\Bigr) = \prod_x \lambda_x(E)\, (-pt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\, \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\, L_{\check E_\eta}(t) \\[10pt] \chi^{\natural}(E_\eta) = \chi(E_\eta^{\natural}) \qquad \text{à déterminer} \ldots \\[4pt] \delta^{\natural}(E_\eta) = \delta(E_\eta^{\natural}) \qquad \text{à déterminer} \ldots \\[4pt] \lambda_x(E) = L_{\mu_x(E)}(t) = L_{\alpha_x(E_\eta)^{\vee}}(t) / L_{\alpha_x(\check E_\eta)}(p^{-1} t) = (-t)^{\chi_x(E_\eta)}\, \delta_x(E_\eta)\, \dfrac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(\check E_\eta)}(t)} \end{array} \right.\] au premier membre, le signe de contragrédiente sur \(E_\eta\) paraît biffé d'un point ; une accolade réunit \((-pt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\) et \(\delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\) ; dans la dernière ligne, l'exposant et l'argument de \(\delta_x\) sont surchargés et noircis

Supposons \(E\) de poids \(\rho\), donc \[\check E \simeq E(\rho) , \qquad L_{\check E}(t) = L_E(p^{-\rho} t) ,\] d'où il vient, en remplaçant \(t\) par \(p^{\rho} t\) \[\boxed{L_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \Bigl(\prod_x \lambda_x(E)(t)\Bigr)\, \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\, (-qt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\, L_E(t)}\] devant \(q\), dans \((-qt)\), une lettre est biffée \[\Bigl[\delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} q^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \overset{?}{=} \struck{\varepsilon(E)}\ \delta^{\natural}(E_\eta) \quad \text{i.e.} \quad \delta^{\natural}(E_\eta)^2 = q^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \ ??\Bigr] \longleftarrow ??\] le point d'interrogation au-dessus du \(=\) est entouré ; devant \(q\), un symbole est noirci à gauche, biffés : \(q = p^{\ill{}}\) et \(\lambda_x\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} q = p^{1+\rho} \\[4pt] \lambda_x(E_\eta) = L_{\mu_x(E_\eta)}(t) = (-t)^{-\chi_x(E_\eta)}\, \delta_x(E_\eta)\, \dfrac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(E_\eta)}(p^{-\rho} t)} \\[10pt] \chi_x(E_\eta) = \chi\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr) \\[4pt] \delta_x(E_\eta) = \delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr) \end{array} \right.\] à droite de \(\lambda_x\) : \(\mu_x(E_\eta) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(\rho+1)\) un premier membre de droite de \(\lambda_x(E_\eta)\) est lourdement biffé ; la lettre notée ici \(\chi_x\), dans l'exposant et dans la définition, est surchargée et pourrait être un \(\beta_x\)

54\[L_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\, L_{E_\eta}(t)\] \[A(t) = \prod_x \frac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(E_\eta)}(p^{-\rho} t)}\; (-t)^{\chi^{\natural}(E_\eta) - \sum_x \chi_x(E_\eta)}\; \frac{q^{\chi^{\natural}(E_\eta)}}{\delta^{\natural}(E_\eta) \prod_x \delta_x(E_\eta)^{-1}}\] la fraction sous le produit est entourée ; un trait la relie à « \(= A_x(t^{-1})^{-1}\) », écrit au-dessous \[L_{\alpha_x(E_\eta)}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho} t}\Bigr) = A_x(t)\, L_{\alpha_x(E_\eta)}(t)\] au-dessous, un début de ligne, \(L_{\alpha_x(E_\eta)} \ldots L_{\alpha_x(E_\eta)}(\), est biffé

N.B. Ayant écrit \(\lambda_x(E_\eta)(t)\) comme un monôme, on en perd le caractère additif, il vaut sans doute mieux ne pas faire ce changement … l'argument de \(\lambda_x\) surcharge une première écriture

Pb a) Dans les cas géométriques classiques, construire les \(\alpha_x(E_\eta)\) qui déterminent les \(\mu_x\), donc les \(\lambda_x(E_\eta)(t)\). Déterminer en particulier \(\chi_x(E_\eta)\), \(\delta_x(E_\eta)\), les valeurs absolues des val. propres de Frobenius.

b) Donner une formule générale (Chafarevitch–Ogg) pour \(\chi^{\natural}(E_\eta)\)

c) Donner une formule pour \(\delta^{\natural}(E_\eta)\) des flèches relient \(\chi_x(E_\eta)\) et \(\chi^{\natural}(E_\eta)\) à « invariant géom. », \(\delta_x(E_\eta)\) et \(\delta^{\natural}(E_\eta)\) à « invariant arithm. », ces deux mots soulignés deux fois

56Sur la formule virtuelle donnant \(D(E_\eta^{\natural})\), on lit \[\delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} = \delta^{\natural}(E_\eta)\, p^{-\chi^{\natural}(E)(\rho+1)} \prod_x \delta_x\bigl(\mu_x(E)\bigr)\] Or \[\begin{aligned} \delta\bigl(\mu_x(E)\bigr) &= \delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr)^{-1} \Bigl[\delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr)\, p^{-\chi_x(E_\eta)(\rho+1)}\Bigr]^{-1} \\ &= \delta_x(E_\eta)^{-2}\, q^{+\chi_x(E_\eta)} \end{aligned}\] d'où \[\Bigl\lbrace \prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \Bigr\rbrace = \delta^{\natural}(E_\eta)^2\, q^{\sum \chi_x(E_\eta)}\] l'accolade ouvrante est surchargée \[\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{\delta^{\natural}(E_\eta)^2}{q^{\chi^{\natural}(E)}} = \displaystyle\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \\[14pt] \qquad \parallel \\[2pt] \varepsilon^{\natural}(E_\eta)^2 = \displaystyle\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \end{array} \right.\] après \(\delta^{\natural}(E_\eta)^2\), un premier « \(= q^{\chi^{\natural}(E)}\) » est biffé d'un trait oblique et remplacé par le dénominateur ; à droite de la première ligne, un mot, peut-être « on aura », ne se lit pas sûrement \[\varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm \prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)}{q^{\chi_x(E_\eta)/2}} = \Bigl(\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)}{p^{\rho\chi_x(E_\eta)/2}}\Bigr) \frac{1}{p^{\chi/2}}\] \[\varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \frac{\delta^{\natural}(E_\eta)}{q^{\chi^{\natural}(E_\eta)/2}} \qquad\qquad \chi = \sum_x \chi_x(E_\eta)\] le signe \(\parallel\) vertical, sous \(\varepsilon^{\natural}(E_\eta)\), renvoie à sa définition ; deux flèches mènent de \(\chi = \sum_x \chi_x(E_\eta)\) aux exposants \(\chi/2\) \[\varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm \Bigl(\prod_x \varepsilon_x(E_\eta)\Bigr) p^{-\chi/2}\] la lettre notée \(\chi_x\) sur cette page, comme page 52, est surchargée à plusieurs endroits et pourrait être un \(\beta_x\)

58On voit donc que c) est ramené (moyennant un signe) au cas de b), donc à déterminer \(\chi^{\natural}(E_\eta)\). Or cette détermination est faite, en utilisant les représentations d'Artin … « moyennant un signe » est souligné ; le reste de la page est blanc

60Cohomologie à l'infini : la fin de cette ligne porte quelques points de suspension, à droite

\(R^{i}_{\infty} f(F)\) pour \(f\) compactifiable en \(\bar f\). On envisage la suite exacte

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\begin{tikzcd}
R i_{!}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F)|Y \arrow[ll, bend right=20]
\end{tikzcd}

la flèche courbe, du troisième terme vers le premier, est le morphisme de degré \(+1\) du triangle ; l'indice du premier terme est surchargé (\(!\) sur \(*\)) d'où en appliquant \(R \bar f_{*}\) une suite exacte \[\boxed{\cdots \to R^{i} f_{!}(F) \to R^{i} f_{*}(F) \to R^{i}_{\infty} f(F) \to R^{i+1} f_{!}(F) \to \cdots}\] en posant \[R^{i}_{\infty} f(F) = R^{i} \bar f_{*}\bigl(R i_{*}(F)|Y\bigr)\] On peut aussi considérer la suite exacte de dualisation ce dernier mot est écrit au-dessus de la ligne, sous « On peut » pour \(R i_{!}(F)\) sur \(\bar X\), et l'ouvert \(X\) et \(Y = \bar X - X\), […] […] […] : sous « \(R i_{!}(F)\) », un \(R i_{*}(F)\) est biffé ; le \(X\) de « l'ouvert \(X\) » surcharge une autre lettre ; la fin de la ligne est surchargée et se lit mal

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\begin{tikzcd}
R j^{!}\bigl(R i_{!}(F)\bigr) \arrow[r] & R i_{!}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F) \arrow[ll, bend right=20]
\end{tikzcd}

au-dessous, une ligne commencée « \(R^{i} \ldots R^{i} f_{!}(F) \to R^{i} f_{*}(F) \to\) » est biffée d'un long trait et on identifie d'une manière précise, \(R i_{*}(F)|Y\) à décalé près par \(R j^{!} R i_{!}(F)\) … la page s'arrête sur un tiret