Fonds Grothendieck, cote n° 60, pages 41–60

D'autre part, on a R(D/U, k) \longrightarrow R(D, k) et l'image de R(D/U, k) dans R(D, k) précisément formée des classes de E satisfaisant la condition . Pour un tel E, on a donc une opération \natural sur la classe de E. Donc \mathrm{cl}(E)^{\natural} est défini dès qu'il existe un sous-groupe U d'indice fini dans I tel que ~~D/U~~ U opère sur E de façon unipotente. la barre oblique qui suit « unipotente » est de sa main et sépare les deux alinéas Si on prend de repr. continues ( corps top.) on ~~prendra~~ obtiendra \mathrm{cl}(E)^{\natural} comme de repr. continues de D/I. Compatibilité avec ext. des corps de base. « obtiendra » est écrit au-dessus du mot biffé ; le signe qui précède \mathrm{cl}(E)^{\natural} ressemble à un = surchargé

~~Supposons que D/I \simeq \mathbb{Z}, et donc toute de repr. D/I déterminé par sa série form. L_{E^{\natural}}(t). Comme~~ ce dernier alinéa, au bas de la page, est barré de trois grands traits verticaux

Calculons la trace de la représentation , on trouve pour \varphi \in D/I \operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \sum_i \operatorname{Tr}_{E_i^{\natural}}(\varphi) après le premier membre, un symbole est noirci ; le \varphi de « pour \varphi \in D/I » surcharge une autre lettre Or si U opère trivialement sur E, opérons alors modules sur D/U, \ill{}\ E^{\natural} = \operatorname{Im} \pi , \qquad \pi = \frac{1}{N} \sum_{i \in I/U} e_i , \qquad N = \operatorname{Card} I/U sous \operatorname{Im}\pi, une lettre biffée et un L indicé d'un mot, peut-être « régulière » ; l'indice de \pi est biffé donc si g \in I/U \mapsto \varphi … … \operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \operatorname{Tr}_E(\pi g) \struck{= \frac{1}{N} \sum \operatorname{Tr}_E(\ill{})} la suite de la ligne, une somme indicée par g \mapsto \varphi, est effacée de boucles ; à droite, un mot isolé, peut-être « d'où » \boxed{\operatorname{Tr}_{E^{\natural}}(\varphi) = \frac{1}{N} \sum_{\substack{\psi_\alpha \in D/U \\ \psi_\alpha \mapsto \varphi \in D/I}} \operatorname{Tr}_E \psi_\alpha} Comme ~~cette~~ les deux membres de la formule linéaire en E, valable pour tout E ; il faut simplement noter que \operatorname{Tr}_E \psi défini pour \psi \in D/U, si U opère de façon unipotente, comme \operatorname{Tr}_E(\psi') pour \psi' \in D se relevant en \psi : cette valeur ne dépend pas du l'ajout est écrit au-dessus de la ligne, dans une boucle ; la phrase continue page 46

choix de \psi' relevant \psi, comme on voit : la suite de composition.

Revenons au cas géométrique, on prendra pour D le groupe de décomposition D_x d'un pt x \in X, I le groupe d'inertie, donc D_x/I_x \simeq \pi_x \simeq \hat{\mathbb{Z}} (générateur f_x). On prendra E_\eta(x) = E_\eta^{\natural(x)} \quad \text{comme module sur } \pi_x . ~~On posera~~ Il vient alors, comme de faisceau virtuel sur X, on posera E_\eta^{\natural} = i_{!}(E_U) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(E_\eta^{\natural(x)}\bigr) où U est un ouvert dense de X sur lequel E_\eta est non ramifié, E_U est l'image de E_\eta sur U, (i : U \to X Y = X - U, et j : Y \to X désignant les immersions canoniques), j_x : \operatorname{Spec} k(x) \to X. les deux ajouts sont écrits au-dessus de la ligne, sur des arcs

Calculons le D(E_\eta^{\natural}) : \begin{aligned} D(E_\eta^{\natural}) &= D\bigl(i_{!}(E_U)\bigr) + \sum_{x \in Y} D\bigl(j_{x*}(E_\eta^{\natural(x)})\bigr) \\ &= R i_{*}(D E_U) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(D(E_\eta^{\natural(x)})\bigr) \end{aligned} Or la formation de \natural local commute au passage au dual, d'autre part on a D(E_U) = \check E_U(1)[2] \quad \struck{E_U(\rho+1)} , \quad \text{d'où} le [2] est surchargé et comme encadré ; l'expression qui suit est barrée de plusieurs traits \begin{aligned} D(E_\eta^{\natural}) &= \bigl(R i_{*}(\check E_U)\bigr)(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(\check E_\eta^{\natural(x)}\bigr) \\ &= R i_{!}(\check E_U)(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\Bigl[\check E_\eta^{\natural(x)} + j_x^{*} R i_{*}(\check E_U)(1)\Bigr] \\ &= \check E_\eta^{\natural}(1) + \sum_{x \in Y} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \end{aligned} dans les deux premières lignes, devant le 1 de (1), un signe est noirci ; au-dessus de R i_{!} un mot biffé, et un = isolé sur la ligne précédente ; devant la dernière ligne, « Il y a donc » est biffé ; l'indice de \mu surcharge une autre lettre \mu_x(E) = \check E_\eta^{\natural(x)} \otimes \bigl(\mathbb{Q}_\ell - \mathbb{Q}_\ell(1)\bigr) + j_x^{*} R i_{\eta}(\check E_\eta)(1) devant le premier \mathbb{Q}_\ell, des lettres surchargées et biffées : la lecture \mathbb{Q}_\ell est douteuse Or par dualité locale, j_x^{*}\bigl(R i_{\eta}(\check E_\eta)\bigr) = \check E_\eta(x) - \bigl(E_\eta(x)\bigr)^{\vee}(-1) l'indice de \check E_\eta(x) porte un astérisque noirci

Posons \boxed{\alpha_x(E_\eta) = E_\eta^{\natural(x)} - E_\eta(x)} Alors \boxed{\mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(\check E_\eta)(1)} [donc \mu_x(\check E) = \alpha_x(\check E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(1) = -\mu_x(E)^{\vee}(1) \quad \text{i.e.} \struck{\mu_x(\check E) = \mu_x} \left\lbrace \begin{array}{l} \mu_x(\check E) = -\mu_x(E)^{\vee}(1) \\ \mu_x(E) = -\mu_x(\check E)^{\vee}(1) \end{array} \right. ] le crochet ouvert devant « donc » se ferme loin à droite, après les deux formules en accolade

Donc on trouve \boxed{ \left\lbrace \begin{array}{l} D(E_\eta^{\natural}) = \check E_\eta^{\natural}(1) + \displaystyle\sum_{x \in X^{(0)}} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \\[10pt] \mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(\check E_\eta)(1) \qquad \alpha_x(E_\eta) = E_\eta^{\natural(x)} - E_\eta(x) \end{array} \right.}

NB. \alpha_x(E_\eta) n'est pas additif en E_\eta, mais \mu_x(E_\eta) l'est. « mais » et « l'est » sont soulignés deux fois

Si \check E_\eta = E_\eta(\rho), on trouve ici et dans l'encadré qui suit, la lettre ressemble à un \varphi ; on lit le \rho des pages précédentes \boxed{ \begin{array}{l} D(E_\eta^{\natural}) = E_\eta^{\natural}(\rho+1) + \displaystyle\sum_{x \in X^{(0)}} j_{x*}\bigl(\mu_x(E)\bigr) \\[10pt] \mu_x(E) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(\rho+1) \end{array}}

L'équation fonctionnelle devient alors L_{\check E_\eta}(p^{-1} t) \prod_x \lambda_x(E) = (-t)^{-\chi^{\natural}(E_\eta)}\, \delta^{\natural}(E_\eta)\, L_{E_\eta}(t^{-1}) à droite : i.e., remplaçant t par pt le \lambda_x surcharge une autre lettre \left\lbrace \begin{array}{l} L_{E_\eta}\Bigl(\dfrac{1}{pt}\Bigr) = \prod_x \lambda_x(E)\, (-pt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\, \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\, L_{\check E_\eta}(t) \\[10pt] \chi^{\natural}(E_\eta) = \chi(E_\eta^{\natural}) \qquad \text{à déterminer} \ldots \\[4pt] \delta^{\natural}(E_\eta) = \delta(E_\eta^{\natural}) \qquad \text{à déterminer} \ldots \\[4pt] \lambda_x(E) = L_{\mu_x(E)}(t) = L_{\alpha_x(E_\eta)^{\vee}}(t) / L_{\alpha_x(\check E_\eta)}(p^{-1} t) = (-t)^{\chi_x(E_\eta)}\, \delta_x(E_\eta)\, \dfrac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(\check E_\eta)}(t)} \end{array} \right. au premier membre, le signe de contragrédiente sur E_\eta paraît biffé d'un point ; une accolade réunit (-pt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)} et \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} ; dans la dernière ligne, l'exposant et l'argument de \delta_x sont surchargés et noircis

Supposons E de poids \rho, donc \check E \simeq E(\rho) , \qquad L_{\check E}(t) = L_E(p^{-\rho} t) , d'où il vient, en remplaçant t par p^{\rho} t \boxed{L_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = \Bigl(\prod_x \lambda_x(E)(t)\Bigr)\, \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1}\, (-qt)^{\chi^{\natural}(E_\eta)}\, L_E(t)} devant q, dans (-qt), une lettre est biffée \Bigl[\delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} q^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \overset{?}{=} \struck{\varepsilon(E)}\ \delta^{\natural}(E_\eta) \quad \text{i.e.} \quad \delta^{\natural}(E_\eta)^2 = q^{\chi^{\natural}(E_\eta)} \ ??\Bigr] \longleftarrow ?? le point d'interrogation au-dessus du = est entouré ; devant q, un symbole est noirci à gauche, biffés : q = p^{\ill{}} et \lambda_x \left\lbrace \begin{array}{l} q = p^{1+\rho} \\[4pt] \lambda_x(E_\eta) = L_{\mu_x(E_\eta)}(t) = (-t)^{-\chi_x(E_\eta)}\, \delta_x(E_\eta)\, \dfrac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(E_\eta)}(p^{-\rho} t)} \\[10pt] \chi_x(E_\eta) = \chi\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr) \\[4pt] \delta_x(E_\eta) = \delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr) \end{array} \right. à droite de \lambda_x : \mu_x(E_\eta) = \alpha_x(E_\eta)^{\vee} - \alpha_x(E_\eta)(\rho+1) un premier membre de droite de \lambda_x(E_\eta) est lourdement biffé ; la lettre notée ici \chi_x, dans l'exposant et dans la définition, est surchargée et pourrait être un \beta_x

L_{E_\eta}\Bigl(\frac{1}{qt}\Bigr) = A(t)\, L_{E_\eta}(t) A(t) = \prod_x \frac{L_{\alpha_x(E_\eta)}(t^{-1})}{L_{\alpha_x(E_\eta)}(p^{-\rho} t)}\; (-t)^{\chi^{\natural}(E_\eta) - \sum_x \chi_x(E_\eta)}\; \frac{q^{\chi^{\natural}(E_\eta)}}{\delta^{\natural}(E_\eta) \prod_x \delta_x(E_\eta)^{-1}} la fraction sous le produit est entourée ; un trait la relie à « = A_x(t^{-1})^{-1} », écrit au-dessous L_{\alpha_x(E_\eta)}\Bigl(\frac{1}{p^{\rho} t}\Bigr) = A_x(t)\, L_{\alpha_x(E_\eta)}(t) au-dessous, un début de ligne, L_{\alpha_x(E_\eta)} \ldots L_{\alpha_x(E_\eta)}(, est biffé

N.B. Ayant écrit \lambda_x(E_\eta)(t) comme un monôme, on en perd le caractère additif, il vaut sans doute mieux ne pas faire ce changement … l'argument de \lambda_x surcharge une première écriture

Pb a) Dans les cas géométriques classiques, construire les \alpha_x(E_\eta) qui déterminent les \mu_x, donc les \lambda_x(E_\eta)(t). Déterminer en particulier \chi_x(E_\eta), \delta_x(E_\eta), les valeurs absolues des val. propres de Frobenius.

b) Donner une formule générale (Chafarevitch–Ogg) pour \chi^{\natural}(E_\eta)

c) Donner une formule pour \delta^{\natural}(E_\eta) des flèches relient \chi_x(E_\eta) et \chi^{\natural}(E_\eta) à « invariant géom. », \delta_x(E_\eta) et \delta^{\natural}(E_\eta) à « invariant arithm. », ces deux mots soulignés deux fois

Sur la formule virtuelle donnant D(E_\eta^{\natural}), on lit \delta^{\natural}(E_\eta)^{-1} = \delta^{\natural}(E_\eta)\, p^{-\chi^{\natural}(E)(\rho+1)} \prod_x \delta_x\bigl(\mu_x(E)\bigr) Or \begin{aligned} \delta\bigl(\mu_x(E)\bigr) &= \delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr)^{-1} \Bigl[\delta\bigl(\alpha_x(E_\eta)\bigr)\, p^{-\chi_x(E_\eta)(\rho+1)}\Bigr]^{-1} \\ &= \delta_x(E_\eta)^{-2}\, q^{+\chi_x(E_\eta)} \end{aligned} d'où \Bigl\lbrace \prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \Bigr\rbrace = \delta^{\natural}(E_\eta)^2\, q^{\sum \chi_x(E_\eta)} l'accolade ouvrante est surchargée \left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{\delta^{\natural}(E_\eta)^2}{q^{\chi^{\natural}(E)}} = \displaystyle\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \\[14pt] \qquad \parallel \\[2pt] \varepsilon^{\natural}(E_\eta)^2 = \displaystyle\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)^2}{q^{\chi_x(E_\eta)}} \end{array} \right. après \delta^{\natural}(E_\eta)^2, un premier « = q^{\chi^{\natural}(E)} » est biffé d'un trait oblique et remplacé par le dénominateur ; à droite de la première ligne, un mot, peut-être « on aura », ne se lit pas sûrement \varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm \prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)}{q^{\chi_x(E_\eta)/2}} = \Bigl(\prod_x \frac{\delta_x(E_\eta)}{p^{\rho\chi_x(E_\eta)/2}}\Bigr) \frac{1}{p^{\chi/2}} \varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \frac{\delta^{\natural}(E_\eta)}{q^{\chi^{\natural}(E_\eta)/2}} \qquad\qquad \chi = \sum_x \chi_x(E_\eta) le signe \parallel vertical, sous \varepsilon^{\natural}(E_\eta), renvoie à sa définition ; deux flèches mènent de \chi = \sum_x \chi_x(E_\eta) aux exposants \chi/2 \varepsilon^{\natural}(E_\eta) = \pm \Bigl(\prod_x \varepsilon_x(E_\eta)\Bigr) p^{-\chi/2} la lettre notée \chi_x sur cette page, comme page 52, est surchargée à plusieurs endroits et pourrait être un \beta_x

On voit donc que c) est ramené (moyennant un signe) au cas de b), donc à déterminer \chi^{\natural}(E_\eta). Or cette détermination est faite, en utilisant les représentations d'Artin … « moyennant un signe » est souligné ; le reste de la page est blanc

Cohomologie à l'infini : la fin de cette ligne porte quelques points de suspension, à droite

R^{i}_{\infty} f(F) pour f compactifiable en \bar f. On envisage la suite exacte

\begin{tikzcd} R i_{!}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F)|Y \arrow[ll, bend right=20] \end{tikzcd}

la flèche courbe, du troisième terme vers le premier, est le morphisme de degré +1 du triangle ; l'indice du premier terme est surchargé (! sur *) d'où en appliquant R \bar f_{*} une suite exacte \boxed{\cdots \to R^{i} f_{!}(F) \to R^{i} f_{*}(F) \to R^{i}_{\infty} f(F) \to R^{i+1} f_{!}(F) \to \cdots} en posant R^{i}_{\infty} f(F) = R^{i} \bar f_{*}\bigl(R i_{*}(F)|Y\bigr) On peut aussi considérer la suite exacte de dualisation ce dernier mot est écrit au-dessus de la ligne, sous « On peut » pour R i_{!}(F) sur \bar X, et l'ouvert X et Y = \bar X - X, : sous « R i_{!}(F) », un R i_{*}(F) est biffé ; le X de « l'ouvert X » surcharge une autre lettre ; la fin de la ligne est surchargée et se lit mal

\begin{tikzcd} R j^{!}\bigl(R i_{!}(F)\bigr) \arrow[r] & R i_{!}(F) \arrow[r] & R i_{*}(F) \arrow[ll, bend right=20] \end{tikzcd}

au-dessous, une ligne commencée « R^{i} \ldots R^{i} f_{!}(F) \to R^{i} f_{*}(F) \to » est biffée d'un long trait et on identifie d'une manière précise, R i_{*}(F)|Y à décalé près par R j^{!} R i_{!}(F) … la page s'arrête sur un tiret