Cote n° 60 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Fonctions L / Équation fonctionnelle des fonctions L (cas géométrique) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1962- à partir de 1971]
Édition de démonstration

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Notes sur l'équation fonctionnelle

titre écrit de sa main, souligné, en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre

2Si \(f\) est un endomorphisme d'un vectoriel \(V\) de dimension finie \(n\) sur le corps \(k\), on pose \[P_f(t) = \det(1 - f t) = \prod_i (1 - \lambda_i t) = \sum_i (-1)^i \bigl(\operatorname{Tr} \lambda^i(f)\bigr)\, t^i\] les \(\lambda_i\) étant les valeurs propres dans une clôture alg. close de \(k\).

Donc les racines de \(P_f(t)\) sont les inverses des valeurs propres non nulles de \(f\).

\(P_f(t)\) peut (et doit) être considéré comme « additif » en \(E\) (suite exacte en \(E\) transformée en produits des polynômes). […] \[Z_f(t) = \frac{1}{P_f(t)} = \prod_i \frac{1}{1 - \lambda_i t} = \prod_i \sum_{\nu} \lambda_i^{\nu} t^{\nu} = \sum_{\nu} t^{\nu} \sum_{\nu_1 + \cdots + \nu_n = \nu} \lambda_1^{\nu_1} \cdots \lambda_n^{\nu_n} = \sum_{\nu} \operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{Sym}^{\nu}(f)\bigr)\, t^{\nu} .\]

D'autre part, \(P_f(t)\) transforme le produit (\(\otimes f\)) en le « produit » […] formelles […] par \(1\), si on a posé \[(1 - a t) * (1 - b t) = 1 - a b t\] [et distributivité de \(*\) p.r. à \(\cdot\), etc. …] dans le coin inférieur droit, un petit schéma : trois rangées d'indices (\(\rho-1\), \(\rho\), \(\rho+1\) en haut ; \(-2\), \(-1\), \(0\) au milieu ; \(\rho-1\), \(0\), \(\rho+1\) et \(\rho\), \(\rho+1\), \(\rho+2\) en bas), reliées par des ovales obliques ; sa fonction n'est pas dite sur la page

4\[\left\lbrace \begin{array}{l} P_{f \otimes f'}(t) = P_f(t) * P_{f'}(t) \\[4pt] L_{f \otimes f'}(t) = \dfrac{1}{L_f(t) * L_{f'}(t)} \end{array} \right. \qquad L_{f_1 \otimes \cdots \otimes f_{\nu}}(t) = \Bigl(\prod L_{f_i}(t)\Bigr)^{(-1)^{\nu+1}}\] le signe de produit de la dernière formule est tracé comme un \(\prod\) ; d'après les deux lignes de gauche il s'agit sans doute du produit \(*\)

De même, pour « la » \(\lambda\)-structure de \(1 + t\,\ill{}[[t]]^{+}\) où \(\lambda^p\) \(\lambda^p\) transforme \(\prod_i (1 - \lambda_i t)\) en \(\prod_{i_1 < \cdots < i_p} (1 - \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_p} t)\), on aura \[\left\lbrace \begin{array}{l} P_{\lambda^i f}(t) = \lambda^i P_f(t) , \\[6pt] \dfrac{1}{L_{\lambda^i f}(t)} = \lambda^i \dfrac{1}{L_f(t)} \end{array} \right.\] donc, i.e. \[-\sum (-1)^i \bigl[L_{\lambda^i f}(t)\bigr] s^i = \lambda^{*}\bigl(\bigl[-L_f(t)\bigr]\bigr)(-s) = \frac{1}{\lambda^{*}\bigl[L_f(t)\bigr](-s)} = \sum \sigma^i\bigl(L_f(t)\bigr) s^i\] au-dessous, une ligne barrée de plusieurs traits : \(\bigl(\sum [\lambda^i(L_f(t))] s^i\bigr) * \bigl(\sum [L_{\lambda^i f}(t)] s^i\bigr) = -1 = \bigl[\tfrac{1}{1-t}\bigr]\) ; un exposant \((-s)\) au dénominateur de la ligne précédente est aussi biffé. Dans la première égalité, un facteur \((-1)^i\) est écrit puis surchargé ; la lecture en reste douteuse \[\left\lbrace \begin{array}{l} L_{\lambda^i(f)}(t) = \bigl(\sigma^i L_f(t)\bigr)^{(-1)^{i+1}} \\[4pt] L_{\sigma^i(f)}(t) = \bigl(\lambda^i L_f(t)\bigr)^{(-1)^{i+1}} \end{array} \right.\]

6Considérons le cas d'un automorphisme \(f\), et voyons quel est le rapport avec la contragrédiente \(\check f\) : \[P_{\check f}(t) = \prod (1 - \lambda_i^{-1} t) = \prod_i (-\lambda_i^{-1} t)(1 - \lambda_i t^{-1}) = \frac{(-1)^n t^n}{\prod \lambda_i} \prod (1 - \lambda_i t^{-1}) = \frac{(-1)^n t^n}{\det f}\, P_f(t^{-1})\] la première égalité portait d'abord \(\det(1 - \check f t)\), biffé ; une ligne intermédiaire, biffée, commençait par une somme en \(\lambda_i^{-1}\) donc une ligne biffée : \(P_{\check f}(t) = \frac{(-1)^n t^n}{\det f} \ldots \varepsilon(f) \ldots P_f(t^{-1})\), et à droite « \(\varepsilon(f) =\) » laissé en suspens \[\boxed{P_{\check f}(t) = (-t)^{\varepsilon(f)} \, (\det f)^{-1} \, P_f(t^{-1})}\] i.e. \[\boxed{L_{\check f}(t) = (-t)^{-\varepsilon(f)} \, \det f \; L_f(t^{-1})}\] le signe \(-\) de l'exposant \(-\varepsilon(f)\) de la seconde formule encadrée est douteux sur la page ; entre \(\det f\) et \(L_f\), un mot écrit au crayon, repassé, ne se lit pas

Si […], le deuxième membre […] […], […] ce que signifierait \(P_f(t^{-1})\) pour une série formelle quelconque : il est essentiel de se borner aux séries formelles qui sont justement obtenues à partir de polynômes [à terme constant \(1\), à terme dominant inversible — cette dernière condition n'étant utile que si \(k\) est un anneau général…].

8Si \(E\) est un […] \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau sur \(\mathbb{F}_p\), […] on trouve donc « \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau » est écrit au-dessus du mot biffé, qui pourrait être « motif » \[L_{\check E}(t) = (-t)^{-n} \det f_E \; L_E(t^{-1})\] où \(n = \operatorname{rang}\) de \(E\). Si \(E\) est de poids \(\rho\) et s'il s'agit d'un motif satisfaisant aux conj. de Weil « de poids \(\rho\) » est ajouté dans une bulle au-dessus de la ligne \[\det f_E = \varepsilon(E)\, p^{\frac{n\rho}{2}}\] avec \(\varepsilon = \pm 1\) [dépendant du motif \(\overset{n}{\wedge} E\), […] parfaitement […]] ; notons que \(n\rho\) est […] […] (i.e. \(\rho\) impair \(\Rightarrow\) \(n\) pair).

On trouve donc \[L_{\check E}(t) = \varepsilon(E) \Bigl(-\frac{p^{\rho/2}}{t}\Bigr)^{n} L_E(t^{-1}) .\]

D'autre part, par dualité, on aura : \[\check E \simeq E(\rho)\] d'où \[L_{\check E}(t) = \bigl(L_E(t) * L_{\mathbb{Q}_\ell(\rho)}(t)\bigr)^{-1} = \Bigl(L_E(t) * \frac{1}{1 - p^{-\rho} t}\Bigr)^{-1} = L_E(t) * (1 - p^{-\rho} t)\] \[L_{\check E}(t) = L_E\Bigl(\frac{t}{p^{\rho}}\Bigr)\]

10On trouve donc \[\boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{t p^{\rho}}\Bigr) = \det f_E \, (-t)^{n} \, L_E(t)}\] le membre de droite commençait par un facteur biffé et surchargé, élevé à la puissance \(n\) ; l'argument de gauche portait d'abord un autre symbole, surchargé en \(\frac{1}{t p^{\rho}}\) [rétablissant le poids de \(E\), qui s'introduit via \(\check E \simeq E(\rho)\)]

Soit \(E\) un \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceau constructible sur \(X\) […] [propre] sur \(\mathbb{F}_p\), alors on aura « propre » est écrit au-dessus du mot biffé \[\boxed{H^i_c(X, DE) \simeq D\bigl(H^{-i}(X, E)\bigr)}\] par le th. de dualité globale. d'où dans \(\chi(DE) = \sum (-1)^i H^i(X, D(E)) \simeq D(\chi(E))\) ce passage est biffé de deux grandes boucles et d'un trait ; à la place, une accolade renvoie à la formule suivante \[R f_{*}(DE) = D\bigl(R f_{*}(E)\bigr)\] d'où \[(1)\quad \left\lbrace \begin{array}{l} \boxed{L_{DE}(t) = (-t)^{-\chi(E)}\, \delta(E)\, L_E(t^{-1})} \\[6pt] \chi(E) = \operatorname{rang} R f_{*} E = \sum (-1)^i \operatorname{rg} H^i(\bar X, \bar E) \\[6pt] \delta(E) = \prod_i \bigl(\det f_{H^i(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^i} = \varepsilon(E)\, p^{\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i} \end{array} \right.\] en face de \(\chi(E)\) : invariant géométrique ; en face de \(\delta(E)\) : invariant arithmétique sous l'égalité \(\delta(E) = \varepsilon(E) p^{\ldots}\) : avec les conjectures standard, si \(X\) lisse propre et lisse et \(F\) c.t. fondamental pur de poids \(\rho\) \(b_i = \operatorname{rang} H^i(\bar X, \bar F)\) dans l'exposant de \(p\), le numérateur \(i + \rho\) est surchargé et la lecture en reste douteuse ; la page écrit tantôt \(E\), tantôt \(F\) pour le même faisceau

12Dans le cas favorable \[\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i = \frac{\rho}{2}\chi(E) + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{2n} (-1)^i i\, b_i\] une accolade sous la seconde somme renvoie au calcul suivant \[\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i i\, b_i = \sum_{i=0}^{n-1}\bigl[(-1)^i i\, b_i + (-1)^{2n-i}(2n-i)\, b_{2n-i}\bigr] + (-1)^n n\, b_n\] comme \(b_i = b_{2n-i}\) : \[= n\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i b_i + (-1)^n n\, b_n = n \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i b_i = n\,\chi(E)\] la page écrit \(2n\sum_{i=0}^{n-1}\) au début de la dernière ligne, et un facteur surchargé devant \(\sum_{i=0}^{2n}\) ; on donne la ligne telle qu'elle aboutit, \(n\,\chi(E)\) \[\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i = \frac{n + \rho}{2}\,\chi(E)\] donc un premier membre de droite est biffé avant \(\frac{n+\rho}{2}\chi(E)\) \[\delta(E) = \varepsilon(E)\, p^{\frac{n+\rho}{2}\chi(E)} , \qquad \varepsilon(E) = \pm 1\] Par suite l'équation fonctionnelle devient dans ce cas \[(2)\quad L_{DE}(t) = \varepsilon(E)\Bigl(-\frac{p^{\frac{n+\rho}{2}}}{t}\Bigr)^{-\chi(E)} L_E(t^{-1})\] le numéro (2) surcharge un autre chiffre ; le \(t\) du dénominateur surcharge un \(1\)

On remarque, si on admet que \[\check E \simeq E(\rho)\] globalement sur \(X\) […] [il suffit que ce soit vrai sur le complémentaire d'une […] de \(X\), […] […] […]] \[D(E) \simeq \check E(n)[2n] \simeq E(\rho + n)[2n]\] sous les deux crochets \([2n]\), deux flèches légendées « shift » et « shift » ; avant \(D(E)\) un symbole biffé ; entre \(\simeq\) et \(\check E(n)\), un \(\check E \otimes \mathbb{Q}_\ell(n)\) biffé et par suite \(L_{DE} \simeq L_{E(\rho+n)} = L_{Rf_{*}E(\rho+n)}\) \[R f_{*}(D(E)) \simeq R f_{*}(E)(\rho + n)[2n]\] dans \((\rho + n)\) le \(n\) surcharge un autre signe d'où \[L_{DE}(t) = L_{Rf_{*}(D(E))}(t) \simeq L_{Rf_{*}(E)}\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)\] et il […]

14\[L_{DE}(t) = L_E\bigl(p^{-(n+\rho)} t\bigr)\] d'où, portant dans (2) et remplaçant \(t\) par \(t^{-1}\) : \[(3)\quad \boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) = \varepsilon(E)\bigl(-p^{\frac{n+\rho}{2}} t\bigr)^{\chi(E)} L_E(t)}\] Posant \[\boxed{\xi_E(t) = t^{\chi(E)/2} L_E(t)}\] il vient l'équation fonctionnelle \[\boxed{\xi\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) = \varepsilon'(E)\, \xi(t)}\] \[\varepsilon'(E) = \pm 1 , \qquad \varepsilon'(E) = (-1)^{\chi(E)} \prod_i \operatorname{signe} \det f_{H^i(\bar X, \bar F)} = (-1)^{\chi(E)} \operatorname{signe} \det f_{H^{*}(\bar X, \bar F)}\] […] […] […] […] l'équation fonctionnelle […] […] \(\varepsilon(E)\)

Notons d'ailleurs que \(H^i(\bar X, \bar E)\) et \(H^{2n-i}(\bar X, \bar{\check E}) \simeq H^{2n-i}(\bar X, \bar E(\rho)) = H^{2n-i}(\bar X, \bar E)(\rho)\) [étant dual l'un de l'autre à valeurs dans « \(\mathbb{Q}_\ell(n)\) »], et l'opération de \(f\) sur [\(\mathbb{Q}_\ell(n)\)] étant […] […] positive, \(\varepsilon_i(E) = \varepsilon_{2n-i}(E)\), et par suite on trouve que \[\boxed{\varepsilon(E) = \operatorname{signe} \det f_{H^n(\bar X, \bar E)}} .\] deux lignes biffées précèdent « Notons » ; « \(\mathbb{Q}_\ell(n)\) » est ajouté au-dessus de la ligne Par la même raison analogue, \((-1)^{\chi(E)} = (-1)^{b_n}\). Donc \[\varepsilon'(E) = (-1)^{b_n(E)} \operatorname{signe} \det f_{H^n(X, E)}\]

16Si \(n + \rho\) est impair, alors \(b_n = \dim H^n(\bar X, \bar E)\) est pair, donc \((-1)^{b_n} = 1\). De plus, un raisonnement bien connu de Serre […] […] (forme alternée non dégénérée invariante) montre que dans ce cas \(\operatorname{signe} \det f_{H^n(\bar X, \bar E)}\) est \(+1\). Donc on trouve alors \(\varepsilon'(E) = 1\). sous \(H^n(\bar X, \bar E)\), une accolade et deux mots, dont le second est \(n\) ou \(\rho\), qui ne se lisent pas

Si \(n + \rho\) est pair, on ne peut déterminer ([…] de \(2\) […]) le signe de façon absolue, mais on peut seulement dire que si \(\varepsilon_1\) (\(\varepsilon_{-1}\)) est la [multiplicité] […] de […] la valeur propre \(1\) (\(-1\)) de \(f\) sur \(H^n(\bar X, \bar F)\), on a « multiplicité » est écrit au-dessus du mot biffé \[(-1)^{b_n} = (-1)^{\varepsilon_1 + \varepsilon_{-1}} , \qquad \varepsilon(E) = (-1)^{\varepsilon_{-1}} ,\] donc \[\boxed{\varepsilon'(E) = (-1)^{\varepsilon_1}} .\]

Lorsque l'on n'est pas dans le cas favorable (\(X\) lisse, \(E\) […], \(\check E \simeq E(\rho)\) globalement), donc lorsque \(DE\) ne s'exprime plus de façon aussi simple en fonction de \(E\), l'équation fonctionnelle (1) ne s'exprime plus uniquement en termes de la seule fonction \(L_E\) [mais relie deux fonctions \(L_{DE}\), \(L_E\)]. avant \(\check E\) un symbole surchargé

18\(X\) lisse purement de dim. \(n\),

\(E\) et tordu purement de poids \(\rho\),

\(X \xrightarrow{f} \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p\) compactifiable. « \(\operatorname{Spec}\) » est surchargé

Dualité \[D\, R f_{!}(E) = R f_{*}(DE)\] Or par hypothèse sur \(E\) \[DE = \check E(n)[2n] \simeq E(\rho + n)[2n]\] dans \(E(\rho + n)\), le \(n\) surcharge une autre lettre D'où \[D\, R f_{!}(E) \simeq \bigl(R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n)[2n]\] d'où en prenant les classes, et écrivant \[\begin{aligned} \operatorname{cl} D\bigl(R f_{!}(E)\bigr) &= \bigl(\operatorname{cl} R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n) \\ &= \operatorname{cl}\bigl(R f_{!}(E)\bigr)(\rho + n) + \operatorname{cl} R f_{\infty}(E)(\rho + n) \end{aligned}\] à la première ligne, un exposant est biffé devant \((\rho + n)\) ; la lecture de l'indice \(\infty\) de \(R f_{\infty}\) est celle de la page d'où, pour les fonctions \(L\) \(L_{DE}\) \[(-t)^{-\chi(E)}\, \delta(E)\, L_E\Bigl(\frac{1}{t}\Bigr) = L_E\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)\, L^{\infty}_E\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)\] au début de la ligne, le \(L_{DE}\) est biffé et surchargé ; un autre symbole biffé précède \(\delta(E)\) ; l'exposant de \(L^{\infty}_E\) est surchargé ou encore la page s'arrête sur ces mots

20\[\boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) = A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} L_E(t)}\] dans un cadre, en haut à droite : en admettant la résolution des singularités […] […] et les conjectures de Weil … \[\left\lbrace \begin{array}{l} A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\dfrac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr)^{-1} \\[8pt] \chi(E) = \sum (-1)^i \operatorname{rang} H^i_!(\bar X, \bar F) \\[6pt] \delta(E) = \prod_i \bigl(\det f_{H^i_!(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^i} \end{array} \right.\] dans \(A(t)\), un \(p\) biffé précède la fraction ; sous \(A(t)\) un signe \(\simeq\) reste sans suite ; dans \(\delta(E)\), un mot biffé précède « \(\det\) »

NB \(L^{\infty}_E(t)\) (\(= L_{R f_{\infty}(E)}(t) = L_{R i_{*}(E)|Y}(t)\)) est de [type] […] \(\leq \tau + (n-1)\) (\(\tau\) étant le type de \(E\)) et de poids \(\leq \rho + 2n\). « type » est écrit au-dessus du mot biffé ; au premier membre, \(\tau\) surcharge une autre lettre

Si \(X\) complet, \(A(t) = 1\). un long trait oblique sépare ce bloc de la suite

On peut aussi écrire \[\chi(E) = \varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) , \qquad \delta(E) = \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr)\] dans la seconde égalité, un « \(\det\) » est biffé devant \(\delta\) \[\varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) = \varepsilon\bigl(D R f_{!}(E)\bigr) ,\qquad \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr) = \delta\bigl(D(R f_{!}(E))\bigr)^{-1}\] \[D R f_{!}(E) = R f_{*}(DE) = \bigl(R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n)[2n]\] la page note \(\varepsilon\) dans la première égalité là où l'on attendrait \(\chi\) ; on transcrit tel quel. Devant \(\det\) et devant \((\rho + n)\) des signes sont surchargés ; « d'où d'où », le second biffé, mène à la suite d'où \[\left\lbrace \begin{array}{l} \chi(E) = \sum (-1)^i \operatorname{rang} R^i f_{*}(E) \\[6pt] \delta(E) = p^{+(\rho+n)\chi(E)}\, \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)^{-1} = p^{(n+\rho)\chi(E)} \prod_i \bigl(\det f_{H^i(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^{i+1}} \end{array} \right.\] l'accolade est précédée d'un signe barré [Comparant, lorsque \(X\) est complet, les deux valeurs obtenues de \(\delta(E)\), on trouve dans ce cas \[\delta(E)^2 = p^{(n+\rho)\chi(E)}\] (\(X\) complet) ce qui est bien compatible avec les conjectures de Weil sur les val. absolues des valeurs propres…]