Notes sur l'équation fonctionnelle
titre écrit de sa main, souligné, en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre
Si f est un endomorphisme d'un vectoriel V de dimension finie n sur le
corps k, on pose
P_f(t) = \det(1 - f t) = \prod_i (1 - \lambda_i t)
= \sum_i (-1)^i \bigl(\operatorname{Tr} \lambda^i(f)\bigr)\, t^i
les \lambda_i étant les valeurs propres dans une clôture
alg. close de k.
Donc les racines de P_f(t) sont les inverses des valeurs propres non nulles
de f.
P_f(t) peut (et doit) être considéré comme « additif » en E (suite exacte
en E transformée en produits des polynômes).
Z_f(t) = \frac{1}{P_f(t)} = \prod_i \frac{1}{1 - \lambda_i t}
= \prod_i \sum_{\nu} \lambda_i^{\nu} t^{\nu}
= \sum_{\nu} t^{\nu} \sum_{\nu_1 + \cdots + \nu_n = \nu}
\lambda_1^{\nu_1} \cdots \lambda_n^{\nu_n}
= \sum_{\nu} \operatorname{Tr}\bigl(\mathrm{Sym}^{\nu}(f)\bigr)\, t^{\nu} .
D'autre part, P_f(t) transforme le produit (\otimes f) en le « produit »
formelles par 1, si on a posé
(1 - a t) * (1 - b t) = 1 - a b t
[et distributivité de * p.r. à \cdot, etc. …]
dans le coin inférieur droit, un petit schéma : trois rangées d'indices
(\rho-1, \rho, \rho+1 en haut ; -2, -1, 0 au milieu ; \rho-1,
0, \rho+1 et \rho, \rho+1, \rho+2 en bas), reliées par des ovales
obliques ; sa fonction n'est pas dite sur la page
\left\lbrace
\begin{array}{l}
P_{f \otimes f'}(t) = P_f(t) * P_{f'}(t) \\[4pt]
L_{f \otimes f'}(t) = \dfrac{1}{L_f(t) * L_{f'}(t)}
\end{array}
\right.
\qquad
L_{f_1 \otimes \cdots \otimes f_{\nu}}(t)
= \Bigl(\prod L_{f_i}(t)\Bigr)^{(-1)^{\nu+1}}
le signe de produit de la dernière formule est tracé comme un \prod ;
d'après les deux lignes de gauche il s'agit sans doute du produit *
De même, pour « la » \lambda-structure de 1 + t\,\ill{}[[t]]^{+} où
\lambda^p \lambda^p transforme \prod_i (1 - \lambda_i t) en
\prod_{i_1 < \cdots < i_p} (1 - \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_p} t), on
aura
\left\lbrace
\begin{array}{l}
P_{\lambda^i f}(t) = \lambda^i P_f(t) , \\[6pt]
\dfrac{1}{L_{\lambda^i f}(t)} = \lambda^i \dfrac{1}{L_f(t)}
\end{array}
\right.
donc, i.e.
-\sum (-1)^i \bigl[L_{\lambda^i f}(t)\bigr] s^i
= \lambda^{*}\bigl(\bigl[-L_f(t)\bigr]\bigr)(-s)
= \frac{1}{\lambda^{*}\bigl[L_f(t)\bigr](-s)}
= \sum \sigma^i\bigl(L_f(t)\bigr) s^i
au-dessous, une ligne barrée de plusieurs traits :
\bigl(\sum [\lambda^i(L_f(t))] s^i\bigr) * \bigl(\sum [L_{\lambda^i f}(t)] s^i\bigr) = -1 = \bigl[\tfrac{1}{1-t}\bigr] ;
un exposant (-s) au dénominateur de la ligne précédente est aussi biffé.
Dans la première égalité, un facteur (-1)^i est écrit puis surchargé ; la
lecture en reste douteuse
\left\lbrace
\begin{array}{l}
L_{\lambda^i(f)}(t) = \bigl(\sigma^i L_f(t)\bigr)^{(-1)^{i+1}} \\[4pt]
L_{\sigma^i(f)}(t) = \bigl(\lambda^i L_f(t)\bigr)^{(-1)^{i+1}}
\end{array}
\right.
Considérons le cas d'un automorphisme f, et voyons quel est le
rapport avec la contragrédiente \check f :
P_{\check f}(t) = \prod (1 - \lambda_i^{-1} t)
= \prod_i (-\lambda_i^{-1} t)(1 - \lambda_i t^{-1})
= \frac{(-1)^n t^n}{\prod \lambda_i} \prod (1 - \lambda_i t^{-1})
= \frac{(-1)^n t^n}{\det f}\, P_f(t^{-1})
la première égalité portait d'abord \det(1 - \check f t), biffé ; une
ligne intermédiaire, biffée, commençait par une somme en \lambda_i^{-1}
donc
une ligne biffée : P_{\check f}(t) = \frac{(-1)^n t^n}{\det f}
\ldots \varepsilon(f) \ldots P_f(t^{-1}), et à droite « \varepsilon(f) = »
laissé en suspens
\boxed{P_{\check f}(t) = (-t)^{\varepsilon(f)} \, (\det f)^{-1} \, P_f(t^{-1})}
i.e.
\boxed{L_{\check f}(t) = (-t)^{-\varepsilon(f)} \, \det f \; L_f(t^{-1})}
le signe - de l'exposant -\varepsilon(f) de la seconde formule
encadrée est douteux sur la page ; entre \det f et L_f, un mot écrit au
crayon, repassé, ne se lit pas
Si , le deuxième membre , ce que
signifierait P_f(t^{-1}) pour une série formelle quelconque :
il est essentiel de se borner aux séries formelles qui sont
justement obtenues à partir de polynômes [à terme
constant 1, à terme dominant inversible — cette dernière condition n'étant
utile que si k est un anneau général…].
Si E est un motif satisfaisant aux conj. de Weil
« de poids \rho » est ajouté dans une bulle au-dessus de la ligne
\det f_E = \varepsilon(E)\, p^{\frac{n\rho}{2}}
avec \varepsilon = \pm 1 [dépendant du motif \overset{n}{\wedge} E,
On trouve donc
L_{\check E}(t) = \varepsilon(E) \Bigl(-\frac{p^{\rho/2}}{t}\Bigr)^{n} L_E(t^{-1}) .
D'autre part, par dualité, on aura :
\check E \simeq E(\rho)
d'où
L_{\check E}(t) = \bigl(L_E(t) * L_{\mathbb{Q}_\ell(\rho)}(t)\bigr)^{-1}
= \Bigl(L_E(t) * \frac{1}{1 - p^{-\rho} t}\Bigr)^{-1}
= L_E(t) * (1 - p^{-\rho} t)
L_{\check E}(t) = L_E\Bigl(\frac{t}{p^{\rho}}\Bigr)
On trouve donc
\boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{t p^{\rho}}\Bigr)
= \det f_E \, (-t)^{n} \, L_E(t)}
le membre de droite commençait par un facteur biffé et surchargé,
élevé à la puissance n ; l'argument de gauche portait d'abord un autre
symbole, surchargé en \frac{1}{t p^{\rho}}
[rétablissant le poids de E, qui s'introduit via
\check E \simeq E(\rho)]
Soit E un \mathbb{Q}_\ell-faisceau constructible sur X
d'où dans
\chi(DE) = \sum (-1)^i H^i(X, D(E)) \simeq D(\chi(E))
ce passage est biffé de deux grandes boucles et d'un trait ; à la
place, une accolade renvoie à la formule suivante
R f_{*}(DE) = D\bigl(R f_{*}(E)\bigr)
d'où
(1)\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\boxed{L_{DE}(t) = (-t)^{-\chi(E)}\, \delta(E)\, L_E(t^{-1})} \\[6pt]
\chi(E) = \operatorname{rang} R f_{*} E = \sum (-1)^i \operatorname{rg} H^i(\bar X, \bar E) \\[6pt]
\delta(E) = \prod_i \bigl(\det f_{H^i(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^i}
= \varepsilon(E)\, p^{\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i}
\end{array}
\right.
en face de \chi(E) : invariant géométrique ; en face de
\delta(E) : invariant arithmétique
sous l'égalité \delta(E) = \varepsilon(E) p^{\ldots} : avec les
conjectures standard, si X lisse propre et lisse et F c.t.
fondamental pur de poids \rho
b_i = \operatorname{rang} H^i(\bar X, \bar F)
dans l'exposant de p, le numérateur i + \rho est surchargé et la
lecture en reste douteuse ; la page écrit tantôt E, tantôt F pour le
même faisceau
Dans le cas favorable
\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i
= \frac{\rho}{2}\chi(E) + \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{2n} (-1)^i i\, b_i
une accolade sous la seconde somme renvoie au calcul suivant
\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i i\, b_i
= \sum_{i=0}^{n-1}\bigl[(-1)^i i\, b_i + (-1)^{2n-i}(2n-i)\, b_{2n-i}\bigr]
+ (-1)^n n\, b_n
comme b_i = b_{2n-i} :
= n\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i b_i + (-1)^n n\, b_n
= n \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i b_i = n\,\chi(E)
la page écrit 2n\sum_{i=0}^{n-1} au début de la dernière ligne, et
un facteur surchargé devant \sum_{i=0}^{2n} ; on donne la ligne telle
qu'elle aboutit, n\,\chi(E)
\sum_i (-1)^i \frac{i + \rho}{2} b_i = \frac{n + \rho}{2}\,\chi(E)
donc
un premier membre de droite est biffé avant \frac{n+\rho}{2}\chi(E)
\delta(E) = \varepsilon(E)\, p^{\frac{n+\rho}{2}\chi(E)} ,
\qquad \varepsilon(E) = \pm 1
Par suite l'équation fonctionnelle devient dans ce cas
(2)\quad
L_{DE}(t) = \varepsilon(E)\Bigl(-\frac{p^{\frac{n+\rho}{2}}}{t}\Bigr)^{-\chi(E)} L_E(t^{-1})
le numéro (2) surcharge un autre chiffre ; le t du dénominateur
surcharge un 1
On remarque, si on admet que
\check E \simeq E(\rho)
globalement sur X L_{DE} \simeq L_{E(\rho+n)} = L_{Rf_{*}E(\rho+n)}
R f_{*}(D(E)) \simeq R f_{*}(E)(\rho + n)[2n]
dans (\rho + n) le n surcharge un autre signe
d'où
L_{DE}(t) = L_{Rf_{*}(D(E))}(t) \simeq L_{Rf_{*}(E)}\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)
et il
L_{DE}(t) = L_E\bigl(p^{-(n+\rho)} t\bigr)
d'où, portant dans (2) et remplaçant t par t^{-1} :
(3)\quad
\boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr)
= \varepsilon(E)\bigl(-p^{\frac{n+\rho}{2}} t\bigr)^{\chi(E)} L_E(t)}
Posant
\boxed{\xi_E(t) = t^{\chi(E)/2} L_E(t)}
il vient l'équation fonctionnelle
\boxed{\xi\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr) = \varepsilon'(E)\, \xi(t)}
\varepsilon'(E) = \pm 1 , \qquad
\varepsilon'(E) = (-1)^{\chi(E)} \prod_i \operatorname{signe} \det f_{H^i(\bar X, \bar F)}
= (-1)^{\chi(E)} \operatorname{signe} \det f_{H^{*}(\bar X, \bar F)}
l'équation fonctionnelle
\varepsilon(E)
Notons d'ailleurs que H^i(\bar X, \bar E) et
H^{2n-i}(\bar X, \bar{\check E}) \simeq H^{2n-i}(\bar X, \bar E(\rho))
= H^{2n-i}(\bar X, \bar E)(\rho) [étant dual l'un de l'autre
à valeurs dans « \mathbb{Q}_\ell(n) »], et l'opération de f
sur \mathbb{Q}_\ell(n) étant
positive, \varepsilon_i(E) = \varepsilon_{2n-i}(E), et par suite
on trouve que
\boxed{\varepsilon(E) = \operatorname{signe} \det f_{H^n(\bar X, \bar E)}} .
deux lignes biffées précèdent « Notons » ; « \mathbb{Q}_\ell(n) » est
ajouté au-dessus de la ligne
Par la même raison analogue, (-1)^{\chi(E)} = (-1)^{b_n}.
Donc
\varepsilon'(E) = (-1)^{b_n(E)} \operatorname{signe} \det f_{H^n(X, E)}
Si n + \rho est impair, alors b_n = \dim H^n(\bar X, \bar E) est
pair, donc (-1)^{b_n} = 1. De plus, un raisonnement bien connu de
Serre (forme alternée non dégénérée
invariante) montre que dans ce cas \operatorname{signe} \det f_{H^n(\bar X, \bar E)}
est +1. Donc on trouve alors \varepsilon'(E) = 1.
sous H^n(\bar X, \bar E), une accolade et deux mots, dont le second
est n ou \rho, qui ne se lisent pas
Si n + \rho est pair, on ne peut déterminer ( de 2
) le signe de façon absolue, mais on peut seulement dire que si
\varepsilon_1 (\varepsilon_{-1}) est la multiplicité
Lorsque l'on n'est pas dans le cas favorable (X lisse, E
, \check E \simeq E(\rho) globalement), donc lorsque
DE ne s'exprime plus de façon aussi simple en fonction de E, l'équation
fonctionnelle (1) ne s'exprime plus uniquement en termes de la
seule fonction L_E [mais relie deux fonctions L_{DE}, L_E].
avant \check E un symbole surchargé
X lisse purement de dim. n,
E et tordu purement de poids \rho,
X \xrightarrow{f} \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p compactifiable.
« \operatorname{Spec} » est surchargé
Dualité
D\, R f_{!}(E) = R f_{*}(DE)
Or par hypothèse sur E
DE = \check E(n)[2n] \simeq E(\rho + n)[2n]
dans E(\rho + n), le n surcharge une autre lettre
D'où
D\, R f_{!}(E) \simeq \bigl(R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n)[2n]
d'où en prenant les classes, et écrivant
\begin{aligned}
\operatorname{cl} D\bigl(R f_{!}(E)\bigr)
&= \bigl(\operatorname{cl} R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n) \\
&= \operatorname{cl}\bigl(R f_{!}(E)\bigr)(\rho + n)
+ \operatorname{cl} R f_{\infty}(E)(\rho + n)
\end{aligned}
à la première ligne, un exposant est biffé devant (\rho + n) ; la
lecture de l'indice \infty de R f_{\infty} est celle de la page
d'où, pour les fonctions L
L_{DE}
(-t)^{-\chi(E)}\, \delta(E)\, L_E\Bigl(\frac{1}{t}\Bigr)
= L_E\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)\, L^{\infty}_E\bigl(p^{-(\rho+n)} t\bigr)
au début de la ligne, le L_{DE} est biffé et surchargé ; un autre
symbole biffé précède \delta(E) ; l'exposant de L^{\infty}_E est
surchargé
ou encore
la page s'arrête sur ces mots
\boxed{L_E\Bigl(\frac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr)
= A(t)\, \delta(E)\, (-t)^{\chi(E)} L_E(t)}
dans un cadre, en haut à droite : en admettant la résolution des
singularités et les conjectures de Weil …
\left\lbrace
\begin{array}{l}
A(t) = L^{\infty}_E\Bigl(\dfrac{1}{p^{n+\rho}\, t}\Bigr)^{-1} \\[8pt]
\chi(E) = \sum (-1)^i \operatorname{rang} H^i_!(\bar X, \bar F) \\[6pt]
\delta(E) = \prod_i \bigl(\det f_{H^i_!(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^i}
\end{array}
\right.
dans A(t), un p biffé précède la fraction ; sous A(t) un signe
\simeq reste sans suite ; dans \delta(E), un mot biffé précède
« \det »
NB L^{\infty}_E(t) (= L_{R f_{\infty}(E)}(t) =
L_{R i_{*}(E)|Y}(t)) est de type
Si X complet, A(t) = 1.
un long trait oblique sépare ce bloc de la suite
On peut aussi écrire
\chi(E) = \varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) , \qquad
\delta(E) = \delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr)
dans la seconde égalité, un « \det » est biffé devant \delta
\varepsilon\bigl(R f_{!}(E)\bigr) = \varepsilon\bigl(D R f_{!}(E)\bigr) ,\qquad
\delta\bigl(R f_{!}(E)\bigr) = \delta\bigl(D(R f_{!}(E))\bigr)^{-1}
D R f_{!}(E) = R f_{*}(DE) = \bigl(R f_{*}(E)\bigr)(\rho + n)[2n]
la page note \varepsilon dans la première égalité là où l'on
attendrait \chi ; on transcrit tel quel. Devant \det et devant
(\rho + n) des signes sont surchargés ; « d'où d'où », le second biffé,
mène à la suite
d'où
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\chi(E) = \sum (-1)^i \operatorname{rang} R^i f_{*}(E) \\[6pt]
\delta(E) = p^{+(\rho+n)\chi(E)}\, \delta\bigl(R f_{*}(E)\bigr)^{-1}
= p^{(n+\rho)\chi(E)} \prod_i \bigl(\det f_{H^i(\bar X, \bar F)}\bigr)^{(-1)^{i+1}}
\end{array}
\right.
l'accolade est précédée d'un signe barré
[Comparant, lorsque X est complet, les deux valeurs obtenues de
\delta(E), on trouve dans ce cas
\delta(E)^2 = p^{(n+\rho)\chi(E)}
(X complet)
ce qui est bien compatible avec les conjectures de Weil sur les
val. absolues des valeurs propres…]