Cote n° 6 · batch 4 · pages 61–66 · Transcription · Lettre Tate (mai 66) (Cristaux) : lettre (1966), tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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61notes manuscrites, à l'encre, de sa main ; la page commence au milieu d'un argument commencé plus haut dans le dossier (lot précédent). Comme \(\ell^{G}_{\cdot}=0\), le triangle exact de dualité pour \(G\) se réduit à :

\begin{tikzcd}
 & \check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1] \arrow[dl] & \\
0 \arrow[rr] & & \Delta_{\cdot}(G) \arrow[ul, "\wr"']
\end{tikzcd}

la flèche montante porte un petit signe, lu comme \(\wr\) (isomorphisme). i.e. ne donne pas de structure supplémentaire […] en sus […] du cristal \(\mathcal{M}\).« en sus » est écrit au-dessus du mot biffé ; le signe qui suit est surchargé. On a \[\check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1]\simeq\Delta^{*}_{\cdot}(G)\simeq \varepsilon^{*}(\mathcal{M}_{/p})= \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(G,\underline{O}_S) \simeq\check{G}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\underline{O}_S \simeq(\check{G}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\ .\] l'astérisque de \(\Delta^{*}_{\cdot}\) est surchargé sur le \(\Delta\) ; devant \(\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}\), un signe noirci, biffé.

Groupes de type multiplicatif (annulés par puiss. de \(p\))

Soit \(G\) […] un tel, il est défini par \(G^*\), groupe étale annulé par \(p^n\), auquel s'appliquent les réflexions précédentes. On a donc \[\mathbb{D}^*(G)=\Theta_{*}(G^*)\] i.e. \[\mathbb{D}^*(G)_{S'}=(G^*_{S'})\otimes_{\mathbb{Z}_p}\underline{O}_{S'}\] sous \(G^*_{S'}\), une accolade renvoie à : « groupe étale sur \(S'\) prolongeant \(G^*\) ».

Ici \[V\colon\mathbb{D}^*(G)\longrightarrow\mathbb{D}^*(G^{(p)})=\mathbb{D}^*(G)^{(p)}\] est un isomorphisme, savoir \(\Theta_{*}(F_{G^*}\colon G^*\to G^{*(p)})\), et \(F\) est par suite déterminé uniquement en termes de \(V\).« par suite » est ajouté au-dessus de la ligne.

On a encore des équivalences de catégories

groupes de B.T. tronqués d'échelon \(n\) et de t.m. \(\;\approx\;\) cristaux loc. libres de t.f. sur \(S/\)\(\Lambda_n\), avec \(V\) un isom (et \(F\) nilpotent)

62et équivalences analogues pour les groupes de B.T. tr de type multiplicatif annulés par une puissance de \(p\). On conclut encore Ici \(\check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1]=0\), et le triangle exact de dualité se réduit à :

\begin{tikzcd}
 & 0 \arrow[dl] & \\
\ell^{G}_{\cdot} \arrow[rr] & & \Delta_{\cdot}(G) \arrow[ul]
\end{tikzcd}

avec \(\ell^{G}_{\cdot}\) donné comme dessus \[\ell^{G}_{\cdot}\simeq G^*\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\underline{O}_S \simeq(G^*\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\ .\]

Homomorphismes entre \(p\)-groupes étales et groupes de t.m. connexes

a) Un hom. d'un groupe \(G\) de t.m. dans un étale \(G'\) est nul. D'autre part, tout […] hom. de \(F\)-\(V\)-cristaux (ou simplement de \(F\)-cristaux, ou de \(V\)-cristaux) de \(M'\) dans \(M\) est nul.les lettres \(G\) et \(G'\) sont écrites au-dessus de « groupe » et de « étale » ; au-dessus de « tout hom. », un petit signe non lu. En effet, écrivons la commutation à \(F^n\) pour \(n\) assez grand, en notant que \(F^n_{M'}\) est un isom et \(F^n_{M}\) est nul (pour \(n\) grand), d'où […] le résultat pour les \(F\)-hom., et on procède de même pour les \(V\)-hom.

b) Hom. d'un groupe étale \(G\) dans un groupe de t.m. \(G'\).

64\(S\) schéma de car \(p\).

\(\mathcal{C}\) catégorie des schémas en groupes finis étales \(E\) sur \(S\) annulés par \(p\)

\(\approx\) catégorie des faisceaux […] de \(\mathbb{F}_p\)-vectoriels loc. libres de type finile nom \(E\) est ajouté au-dessus de la ligne, après « étales ».

\(\mathcal{C}'\) catégorie des Modules loc. libres \(M\) sur \(S\), munis de \[F_M\colon M^{(p)}\xrightarrow{\ \sim\ }M\]

\(\mathcal{C}\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathcal{C}'\) \[E\longmapsto(E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\,,\; F_E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S)\] NB \(\bigl((E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S)^{(p)}\simeq E^{(p)}\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S \xleftarrow[\ F_{E/S}\ ]{\ \sim\ }E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\bigr)\)

Proposition Le foncteur \(\varphi\) est une équivalence de catégories.

a) Pleinement fidèle. Par passage aux \(\underline{\mathrm{Hom}}\), revient à ceci : \[\Gamma(S,E)\xrightarrow{\ \sim\ }\bigl\lbrace x\in\Gamma(S,E\otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{O}_S)\ \big|\ F(x^{(p)})=x\bigr\rbrace\] Par descente, on se ramène au cas \(E\) constant, puis \(E=\mathbb{F}_{p\,S}\), et on est ramené alors à l'assertion que \[0\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})_S\to\mathbb{G}_{a,S} \xrightarrow{\ x\mapsto x^p-x\ }\mathbb{G}_{a,S}\] est exact, ce qui est bien connu (il suffit de le voir sur \(\mathbb{F}_p\) par changement de base ….)

b) Essentiellement surjectif. Si \((M,F)\) est donné, il suffit de voir qu'il est loc. de la forme voulue. Considérons \[M\xrightarrow{\ \psi\ }M\ ,\qquad \psi x=F_M\,x-x\ ;\] l'étiquette \(\psi x=F_M\,x-x\) est au-dessus de la flèche ; entre \(F_M\) et \(x\) un signe resserré, peut-être l'exposant \((p)\) de \(x^{(p)}\). on voit que c'est un épimorphisme étale de schémas en groupes, donc son noyau est un schéma en groupes étale \(E\) sur \(S\).le début de « épimorphisme » est surchargé. Pour montrer qu'il est fini sur \(S\), il suffit de prouver qu'il est de \(\mathbb{F}_p\)-rang ég localement constant — en fait, égal au rang de \(M\).« \(\mathbb{F}_p\)- » est ajouté au-dessus de « rang ». Pour prouver ensuite que \(E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\to M\) est un isom, il suffit de le prouver fibre par fibre (géom.). Bref, on est ramené au cas

65d'un corps de base alg. clos, et à prouver ceci :

Lemme Soit \(M\) vectoriel sur \(k\) […] sép. clos de car \(p\), muni de \(F_M\colon M^{(p)}\xrightarrow{\sim}M\). Soit \(E=\lbrace x\in M,\ F x^{(p)}=x\rbrace\). Alors \(E\otimes_{\mathbb{F}_p}k\xrightarrow{\sim}M\).« sép. » est écrit au-dessus du mot biffé ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; il est suivi d'un double trait de séparation.

\(\mathcal{C}\) catégorie des schémas en \(p\)-groupes finis loc. libres finis étales sur \(S\)

i.e. des faisceaux en \(p\)-groupes loc. constants de t.f.

[…]« \(p\)- », « finis étales » et « constants de t.f. » sont ajoutés au-dessus ou au-dessous de la ligne ; la ligne suivante est entièrement biffée, illisible.

Zar ou fppf, c'est kif-kifdans la marge de gauche, avec une accolade, en regard de la définition de \(\mathcal{C}'\). \(\mathcal{C}'\) catégorie des schémas faisceaux en \(W_S^{\mathrm{zar}}\)-modules \(M\) loc. isom. à une somme de copies de \(W_{n,S}\), munis de […] \(M^{(p)}\xrightarrow[\ \sim\ ]{\ F_M\ }M\)

\(\mathcal{C}''\) catégorie des schémas en \(W_S^{\mathrm{fl}}\)-modules lissesl'exposant « fl » de \(W_S\) est lu avec doute.

\begin{tikzcd}
\mathcal{C} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dr, "\psi"'] & \mathcal{C}' \arrow[d, "i\ \sim"] \\
 & \mathcal{C}''
\end{tikzcd}

\(\varphi(E)=E\otimes_{\mathbb{Z}_p}W_S^{\mathrm{zar}}\) avec le \(F\) évident

\(i(M)=\) faisceau repr schéma qui représente le faisceau…

\(\psi(E)=E\otimes_{\mathbb{Z}_p}W_S\)« schéma qui » est écrit au-dessus des mots biffés. La note s'arrête là ; le reste de la page est vide.