Fonds Grothendieck, cote n° 6, pages 61–66

notes manuscrites, à l'encre, de sa main ; la page commence au milieu d'un argument commencé plus haut dans le dossier (lot précédent). Comme \ell^{G}_{\cdot}=0, le triangle exact de dualité pour G se réduit à :

\begin{tikzcd} & \check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1] \arrow[dl] & \\ 0 \arrow[rr] & & \Delta_{\cdot}(G) \arrow[ul, "\wr"'] \end{tikzcd}

la flèche montante porte un petit signe, lu comme \wr (isomorphisme). i.e. ne donne pas de structure supplémentaire en sus du cristal \mathcal{M}.« en sus » est écrit au-dessus du mot biffé ; le signe qui suit est surchargé. On a \check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1]\simeq\Delta^{*}_{\cdot}(G)\simeq \varepsilon^{*}(\mathcal{M}_{/p})= \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(G,\underline{O}_S) \simeq\check{G}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\underline{O}_S \simeq(\check{G}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\ . l'astérisque de \Delta^{*}_{\cdot} est surchargé sur le \Delta ; devant \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}, un signe noirci, biffé.

Groupes de type multiplicatif (annulés par puiss. de p)

Soit G un tel, il est défini par G^*, groupe étale annulé par p^n, auquel s'appliquent les réflexions précédentes. On a donc \mathbb{D}^*(G)=\Theta_{*}(G^*) i.e. \mathbb{D}^*(G)_{S'}=(G^*_{S'})\otimes_{\mathbb{Z}_p}\underline{O}_{S'} sous G^*_{S'}, une accolade renvoie à : « groupe étale sur S' prolongeant G^* ».

Ici V\colon\mathbb{D}^*(G)\longrightarrow\mathbb{D}^*(G^{(p)})=\mathbb{D}^*(G)^{(p)} est un isomorphisme, savoir \Theta_{*}(F_{G^*}\colon G^*\to G^{*(p)}), et F est par suite déterminé uniquement en termes de V.« par suite » est ajouté au-dessus de la ligne.

On a encore des équivalences de catégories

groupes de B.T. tronqués d'échelon n et de t.m. \;\approx\; cristaux loc. libres de t.f. sur S/\Lambda_n, avec V un isom (et F nilpotent)

et équivalences analogues pour les groupes ~~de B.T. tr~~ de type multiplicatif annulés par une puissance de p. ~~On conclut encore~~ Ici \check{\ell}^{G^*}_{\cdot}[1]=0, et le triangle exact de dualité se réduit à :

\begin{tikzcd} & 0 \arrow[dl] & \\ \ell^{G}_{\cdot} \arrow[rr] & & \Delta_{\cdot}(G) \arrow[ul] \end{tikzcd}

avec \ell^{G}_{\cdot} donné comme dessus \ell^{G}_{\cdot}\simeq G^*\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\underline{O}_S \simeq(G^*\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p) \otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\ .

Homomorphismes entre p-groupes étales et groupes de t.m. ~~connexes~~

a) Un hom. d'un groupe G de t.m. dans un étale G' est nul. D'autre part, tout hom. de F-V-cristaux (ou simplement de F-cristaux, ou de V-cristaux) de M' dans M est nul.les lettres G et G' sont écrites au-dessus de « groupe » et de « étale » ; au-dessus de « tout hom. », un petit signe non lu. En effet, écrivons la commutation à F^n pour n assez grand, en notant que F^n_{M'} est un isom et F^n_{M} est nul (pour n grand), d'où le résultat pour les F-hom., et on procède de même pour les V-hom.

b) Hom. d'un groupe étale G dans un groupe de t.m. G'.

S schéma de car p.

\mathcal{C} catégorie des schémas en groupes finis étales E sur S annulés par p

\approx catégorie des faisceaux de \mathbb{F}_p-vectoriels loc. libres de type finile nom E est ajouté au-dessus de la ligne, après « étales ».

\mathcal{C}' catégorie des Modules loc. libres M sur S, munis de F_M\colon M^{(p)}\xrightarrow{\ \sim\ }M

\mathcal{C}\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathcal{C}' E\longmapsto(E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\,,\; F_E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S) NB \bigl((E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S)^{(p)}\simeq E^{(p)}\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S \xleftarrow[\ F_{E/S}\ ]{\ \sim\ }E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\bigr)

Proposition Le foncteur \varphi est une équivalence de catégories.

a) Pleinement fidèle. Par passage aux \underline{\mathrm{Hom}}, revient à ceci : \Gamma(S,E)\xrightarrow{\ \sim\ }\bigl\lbrace x\in\Gamma(S,E\otimes_{\mathbb{F}_p} \underline{O}_S)\ \big|\ F(x^{(p)})=x\bigr\rbrace Par descente, on se ramène au cas E constant, puis E=\mathbb{F}_{p\,S}, et on est ramené alors à l'assertion que 0\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})_S\to\mathbb{G}_{a,S} \xrightarrow{\ x\mapsto x^p-x\ }\mathbb{G}_{a,S} est exact, ce qui est bien connu (il suffit de le voir sur \mathbb{F}_p par changement de base ….)

b) Essentiellement surjectif. Si (M,F) est donné, il suffit de voir qu'il est loc. de la forme voulue. Considérons M\xrightarrow{\ \psi\ }M\ ,\qquad \psi x=F_M\,x-x\ ; l'étiquette \psi x=F_M\,x-x est au-dessus de la flèche ; entre F_M et x un signe resserré, peut-être l'exposant (p) de x^{(p)}. on voit que c'est un épimorphisme étale de schémas en groupes, donc son noyau est un schéma en groupes étale E sur S.le début de « épimorphisme » est surchargé. Pour montrer qu'il est fini sur S, il suffit de prouver qu'il est de \mathbb{F}_p-rang ég localement constant — en fait, égal au rang de M.« \mathbb{F}_p- » est ajouté au-dessus de « rang ». Pour prouver ensuite que E\otimes_{\mathbb{F}_p}\underline{O}_S\to M est un isom, il suffit de le prouver fibre par fibre (géom.). Bref, on est ramené au cas

d'un corps de base alg. clos, et à prouver ceci :

Lemme Soit M vectoriel sur k sép. clos de car p, muni de F_M\colon M^{(p)}\xrightarrow{\sim}M. Soit E=\lbrace x\in M,\ F x^{(p)}=x\rbrace. Alors E\otimes_{\mathbb{F}_p}k\xrightarrow{\sim}M.« sép. » est écrit au-dessus du mot biffé ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge ; il est suivi d'un double trait de séparation.

\mathcal{C} catégorie des schémas en p-groupes ~~finis loc. libres~~ finis étales sur S

i.e. des faisceaux en p-groupes loc. constants de t.f.

« p- », « finis étales » et « constants de t.f. » sont ajoutés au-dessus ou au-dessous de la ligne ; la ligne suivante est entièrement biffée, illisible.

Zar ou fppf, c'est kif-kifdans la marge de gauche, avec une accolade, en regard de la définition de \mathcal{C}'. \mathcal{C}' catégorie des ~~schémas~~ faisceaux en W_S^{\mathrm{zar}}-modules M loc. isom. à une somme de copies de W_{n,S}, munis de M^{(p)}\xrightarrow[\ \sim\ ]{\ F_M\ }M

\mathcal{C}'' catégorie des schémas en W_S^{\mathrm{fl}}-modules lissesl'exposant « fl » de W_S est lu avec doute.

\begin{tikzcd} \mathcal{C} \arrow[r, "\varphi"] \arrow[dr, "\psi"'] & \mathcal{C}' \arrow[d, "i\ \sim"] \\ & \mathcal{C}'' \end{tikzcd}

\varphi(E)=E\otimes_{\mathbb{Z}_p}W_S^{\mathrm{zar}} avec le F évident

i(M)= ~~faisceau repr~~ schéma qui représente le faisceau…

\psi(E)=E\otimes_{\mathbb{Z}_p}W_S« schéma qui » est écrit au-dessus des mots biffés. La note s'arrête là ; le reste de la page est vide.