Cote n° 6 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Lettre Tate (mai 66) (Cristaux) : lettre (1966), tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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42suite des « Questions diverses en théorie de Tate-Hodge » (lot précédent, p. 40), à l'encre, au dos d'une page dactylographiée étrangère au dossier. Les trois premiers points sont réunis par une accolade dans la marge de gauche.

1) \(V=V^{10}+V^{01}\) décomposition de vectoriels sur \(\mathbf{C}\).

1') \(V^{10}\simeq V_0^{10}\otimes\mathbf{C}\), \(V^{01}\simeq\check{V}^{1}\otimes_K\mathbf{C}[-1]\)ligne biffée d'un trait ondulé ; lecture douteuse des indices.

2) Opération de \(\pi\) sur \(V\), semi-linéaire relativement à l'opération de \(\pi\) sur \(\mathbf{C}\).

3) \(V\simeq M\otimes_{\mathbf{Z}_p}\mathbf{C}\), \(M\) un vectoriel [module libre de t.f.] sur \(\mathbf{Z}_p\).

Relations 1) et 2) \[V^{10}=V^{\pi}\otimes_K\mathbf{C},\qquad V^{01}=\bigl(V\otimes\mathbf{C}[1]\bigr)^{\pi}\otimes_K\mathbf{C}[-1]\] NB Structures 1, 2 […] […] […] \(V^{\pi}\), \(V'=(V\otimes\mathbf{C}(1))^{\pi}\). NB. \(2\Rightarrow 1\)encadré à droite des formules, séparé par un trait vertical ; « \(2\Rightarrow 1\) » est écrit avec une double flèche épaisse.

2) et 3) \(M\) stable par \(\pi\) [NB. structures 2, 3 […] […] […] \(M\) avec […] […] de \(\pi\) dessus NB. […] [i.e. le groupe \(p\)-divisible sur \(K\)]]

3 et 1 ??? Les […] […] \(M\) […] […]

NB Le corps \(K\) intervient dans 2), […] […] implicite, mais pas dans 1) ni 3), qui traduisent des structures intrinsèques à la donnée du groupe \(p\)-divisible sur \(\widehat{S}=\widehat{\Omega}=\mathbf{C}\).

Regardons le [plus petit] groupe alg. algébrique d'automorphismes [\(G\)] de \(M\otimes\mathbf{Q}_\ell\) […] tel que \(G_{\mathbf{C}}\) contienne les opérations \(\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\xi\end{pmatrix}\) sur la décomposition de \(V\) en \(V^{10}+V^{01}\).la matrice est de lecture douteuse (on lit \(\lambda\), un \(0\), puis \(\xi\), avec des points au-dessus) ; « \(G\) » est écrit au-dessus de la barre de \(M\otimes\mathbf{Q}_\ell\).

44Conjecture 1) \(H^i_B(X_{\mathbf{C}},\mathbf{C})\) est somme [directe] des sous-espaces engendrés par les […] \(\chi^{p}\)-propres, de façon intrinsèque, i.e. […], pour \(p+q=i\) \[H^{p,q}_B(X)_K=H^i_B(X_{\mathbf{C}},\mathbf{C})[p]^{\pi}\] on a une décomposition en somme \[\boxed{\;H^i_B(X_{\mathbf{C}},\mathbf{C})\simeq\coprod_{p+q=i} H^{p,q}_B(X)_K\otimes_K\mathbf{C}[-p]\;}\]

2) On a un isom canonique \[\boxed{\;\rho^{pq}\colon H^{pq}_B(X)_K\simeq H^{p,q}(X) \overset{\mathrm{d\acute{e}f}}{=}H^q(X,\Omega^p_X)\;}\] les deux formules sont encadrées sur la page. Le \(\rho^{pq}\) est récrit sur un autre signe.

\[P_B(2i)\in H^{2i}(X_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}_p[i])^{\pi} \subset H^{2i}_B(X_{\mathbf{C}},\mathbf{C})[i]^{\pi}=H^{ii}_B(X)_K, \qquad H^{2i}(X_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}_p)\] la formule est précédée d'un trait horizontal sur toute la largeur. Le « \(\subset H^{2i}(X_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}_p)\) » de la ligne du dessous est placé sous « \(H^{2i}_B(X_{\mathbf{C}},\mathbf{C})[i]^{\pi}\) » ; l'indice du premier \(H^{2i}\) est récrit, illisible.

\(P_B(2i)\) \(P_{\mathrm{DR}}(2i)\in H^{i,i}(X)\) ; on veut \[\boxed{\;\rho^{ii}\bigl(P_B(2i)\bigr)=P_{\mathrm{DR}}(2i)\;}\]

NB. On aura … \(P_B(2i)\in H^{ii}_B(X)_{\mathbf{Q}}\cap H^{2i}(X_{\mathbf{C}},\mathbf{Z}_p[i])\) [identifié à \(H^{i,i}(X)\)]l'indice « \(\mathbf{Q}\) » de \(H^{ii}_B(X)\) est récrit et se lit mal ; « identifié à \(H^{i,i}(X)\) » est écrit sous la barre qui souligne \(H^{ii}_B(X)_{\mathbf{Q}}\).

Question d'isogénéité de Barsotti ; impossibilité de plonger un groupe formel \(p\)-divisible dans une v.A. sur un \(k\) donné (non alg. clos)

titre écrit de sa main, en haut à droite d'une feuille par ailleurs blanche (p. 46 des archivistes), qui sert de chemise aux feuilles qui suivent ; un mot biffé avant « impossibilité ».

47Questions sur V.A. et groupes formels.

1) (Barsotti). Soient \(A,B\) deux VA sur \(k\) alg. clos (car \(p>0\)) « hypersingulières » i.e. sans pts d'ordre \(p\). Supposons que les groupes formels \(\overline{A},\overline{B}\) soient isogènes. Alors \(A\) et \(B\) sont-elles isogènes ? [Si \(\dim A=1\), c'est contenu dans Deuring.]ajout dans l'interligne. Manin ignore déjà la réponse si \(A,B\) de dim 2 (donc \(\overline{A},\overline{B}\) sont isogènes : \(G_{1,1}+G_{1,1}\)). La question revient donc à ceci : si \(A\) de dim 2 est hypersingulière, est-elle isogène à un produit de deux courbes elliptiques (ou : au carré d'une courbe elliptique) nécessairement hypersingulière. Il affirme que c'est vrai en car \(p=2\).

Notons que si on abandonne l'hypothèse hypersingulière, et qu'on suppose seulement \(A,B\) […] de dim 2, à groupes formels isomorphes non toroïdaux, il n'est pas vrai en général que \(A\) et \(B\) [soient] isogènes [\(=\) si \(A\) et \(B\) simples] (en effet, d'après Manin, les [polarisées] \(A\) de dim 2 (polarisations principales) de groupe formel \(\widehat{G}_m+G_{1,1}\) forment une sous-famille [\(N\)] […] de dim 2 de la famille modulaire [\(M_2\)]. Parmi celles-ci, celles qui sont isogènes [non] simples i.e. décomposées isogènes à un produit \(E\times F\) (\(E\) et \(F\) courbes elliptiques dont l'une [(soit \(F\))] est hypersingulière, l'autre non), forment une famille de dim 2 au plus \(\lbrace\)NB. il n'y a pas de famille continueles ajouts sont écrits au-dessus de la ligne ; « dim 2 » est souligné. On attendrait « dim 1 au plus » : lecture douteuse du chiffre.

48de variétés isogènes à \(E\times F\) !\(\rbrace\) Plus précisément, les courbes isogènes à \(E\times F\) […] sont – sur un corps alg. clos – [isomorphes] isogènes à un produit \(E'\times F'\). Donc les variétés isogènes à un produit forment une sous-famille […] de \(E\), image de l'ouvert \(M'_1\) de la variété modulaire \(M_1\) des courbes elliptiques, formé de celles qui sont ordinaires, par les applications \(E\mapsto E\times F\), où \(F\) parcourt […] fini de types de courbes ell. hypersingulières. D'où un ouvert non vide \(U\) dans \(N\) […] formé de variétés simples. Notons que si \(A\) est une variété abélienne […] […] simple (i.e. qui […] […] […] […] […] […] de dim 1) elle n'est pas […] […] un produit \(E\times F\)passage biffé de traits horizontaux et barré de plusieurs grandes croix ; lecture très incomplète. D'autre part si \(A\) […] simple […] […] […] la structure formelle envisagée, dans ce […] […] dessus que les \(A'\) isogènes à \(A\) forment une famille discrète, ([…] […]), de façon précise si \(A\) est définissable sur \(k_0\), alors \(A'\) est définissable sur une extension finie de \(k_0\). Si on prend deux points […] de […] \(U\subset N\) l'un […] […], l'autre distincts ayant des degrés de transcendance distincts sur le corps premier \(\mathbf{F}_p\) (les degrés possibles sont 0, 1, 2) on trouve des variétés simples non isogènes, de même groupe formel \(\widehat{G}_m\times G_{1,1}\).

492) Soit \(k\) un corps, par ex. alg. clos. Alors en général, un groupe formel [\(G\)] sur \(k\), même [une forme de] \(G_{1,1}\) (peut-être), ne peut se réaliser comme s-gpe formel du groupe formel associé à une VA définie sur \(k\) – et ceci même si on se permet une extension finie de \(k\) (ou de t.f.) de \(k\). Prenons p.ex. \(k\) corps fini, \(E\) courbe elliptique hypersingulière sur \(k\) [« à multiplic. complexe définie dans \(k\) »], […] (\(G_0=\widehat{E}\)), donc \(\pi=\pi_1(k)\) opère trivialement sur \(\mathrm{End}(E)\) et \(\mathrm{End}(G_0)\) [\(\simeq\mathrm{End}(E)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Z}_p=\mathcal{A}\)], qui sont [chacun un] ordre maximal dans des […] algèbres de quaternions sur \(\mathbf{Z}\) resp. \(\mathbf{Z}_p\). On peut tordre […] […] unité \(\theta\) de \(\mathcal{A}\), dans \(G_0\) par […] [formelle] […] : \(\varphi'=\theta\varphi\), \(\varphi\) l'ancien frob., le nouveau frobenius devant […] jouant le rôle de frobenius. [Mais si on veut que \(G_0\) se plonge dans un \(\widehat{A}\), \(A\) une VA, il faut par Weil que les […] de l'équation caractéristique […] de \(\varphi'\) [\(=\theta\varphi\)] […] […] […] […] […] \(Z=\) (ce qui […] […] […] […] […] […] de val. abs. \(q^{1/2}\), p.ex. il faut […] […] […] […]), […] […] […] il faut […] […] ([…] […] \(q^{1/2}\), […] il faut \(\det\varphi'\) \(\det\varphi'=\pm\det\varphi\),bloc de quatre lignes biffé de traits horizontaux et barré de deux obliques ; lecture très incomplète. ce qui exige que \(\det\varphi'=\det\varphi\,\det\theta\) […] soit une certaine […] de val. abs. égale, ce qui implique que \(\det\theta\) doit être […] […] dont […] […] conjugués sont de val. abs. 1.

50Mais bien entendu il est facile de trouver \(\Theta\) unité de \(\mathcal{A}\) […] […] tel que \(\det\Theta\) ne soit pas algébrique ……le \(\Theta\) final de la première ligne est d'une autre encre ; le reste de la page est blanc.

[Prolongements infinitésimaux d'extension de groupes de B.T. :] Conséquences pour structure infinitésimale des schémas modulaires

titre écrit de sa main, en haut à droite d'une feuille par ailleurs blanche (p. 51 des archivistes) ; les crochets sont les siens. Un mot biffé avant « modulaires ».

52la page commence au milieu d'une phrase ; la feuille qui précède n'est pas à cette place dans le dossier. Une grande accolade au crayon marque la fin du premier alinéa. \(S^{(n)}\to G=\widehat{S}\), [nul sur \(S^{(0)}\),] les hom se recollent et définissent un hom de prolongements formels \[S^{(\infty)}\longrightarrow G\] dont la connaissance […] [équivaut à] la connaissance de l'ext. donnée \(E\) de \(M\) par \(N\), non pas sur \(S\) lui-même, mais dans le voisinage inf. de \(S\) sur \(R\), et […] […] […] […] de \(S\) sur \(R\), et kif-kif après changement de base.

La formation de \(S^{(\infty)}\to G\) est compatible avec changement de base […] \(S'\to S\). Il […] […] donc de la considérer, dans le […] des positifs, comme découlant d'une situation « modulaire ».« modulaire » est souligné deux fois au crayon.

Supposons […] [d'abord] que l'on […] [[…]] […], \(R=\operatorname{Spec}\Lambda\), \(\Lambda\) anneau local complet de car. résiduelle \(p\) (p.ex. un […] de Cohen), et qu'on se donne […] de corps résiduel \(k\), \(M_0\) et \(N_0\) sur \(k\). On veut la variété [formelle] [\((\mathcal{M}_\xi)\)] sur \(R\) (considérée comme schéma formel) modulaire [[…]] des extensions […] \(\xi\) de \(M_0\) par \(N_0\). Supposons \(N_0\) de t.m. […] Conditions sur la variété modulaire formelle pour \(\xi_0\), l'extension triviale. […] Alors :les ajouts, au-dessus et au-dessous de la ligne, sont reliés par un long trait ; lecture douteuse de leur ordre.

531) \(\mathcal{M}_{\xi_0}\) est [la structure d']un groupe formel lisse sur \(R\), \(\operatorname{Specf}\Lambda\), grâce à la structure de groupe du foncteur qu'il représente. Le groupe formel en question est un tore formel, il est […] […] [donc déterminé] par sa réduction sur \(k\), et cette dernière est le [[…]] tore \(T_p(M_0)^{\vee}\otimes N_0\).

2) \(\mathcal{M}_\xi\) est un fibré principal homogène [torseur] sous \(\mathcal{M}_{\xi_0}\). [qui […] […] […] […] […] un pseudo-torseur [provenant du th. de Tate affirmant que […] […] […] […]] […] des groupes formels \(p\)-divisibles]

Ne supposons plus […] \(N_0\) de t.m., mais […] radiciel. On veut préciser la structure de la variété formelle des modulaires pour \(E_0\) [NB. \(E_0\) détermine uniquement \(M_0\), \(N_0\) et la structure d'extension !] On a un hom naturel \[X=\mathcal{M}_{E_0}\longrightarrow\mathcal{M}_{N_0}=Y .\] Ce dernier fait de \(\mathcal{M}_{E_0}\) un fibré torseur principal homogène sous \(\mathcal{N}_Y\otimes_{\mathbf{Z}_p}T_p(E_0)^{\vee}_Y\). Donc la structure de \(X\) \(\mathcal{M}_{E_0}\) est connue si celle de \(\mathcal{M}_{N_0}\). [Dans le cas \(N_0\) de t.m., \(Y\) est réduit à un point].dans « \(\mathcal{M}_{E_0}\) » de la formule, l'indice est récrit sur un autre ; de même pour \(\mathcal{M}_{N_0}\) à la fin.

54Revenons au pb des extensions de \(M\) par \(N\), triviales sur \(S_0\). Soient […] […] des \(M'\), \(N'\) et […] […] le […] pb. Donnons-nous de plus des hom \(M\xrightarrow{u}M'\), \(N\xrightarrow{v}N'\), et donnons-nous des systèmes d'extensions \(E\) de \(M\) par \(N\), \(E'\) de \(M'\) par \(N'\), [triviales sur \(S_0\)] […] tels que \(\exists\) […] hom \(E\to E'\) compatible avec \(u,v\) [on […] pas […] unique].

On a […] \(\mathrm{Ext}^1(M,N)\xrightarrow{v_*}\mathrm{Ext}^1(M,N')\) et \(\mathrm{Ext}^1(M',N')\xrightarrow{u^*}\mathrm{Ext}^1(M,N')\), des hom de groupes, […] […] […] et les couples \((\xi,\xi')\) cherchés sont ceux pour lesquels \(v_*(\xi)=u^*(\xi')\). Or l'hom \(v_*\) est « représenté » par l'hom de tores \[T_p(M)^{\vee}\otimes N\xrightarrow{\ \alpha\ }T_p(M)^{\vee}\otimes N'\] défini par \(v\), et de même \(u^*\) par \[T_p(M')^{\vee}\otimes N'\xrightarrow{\ \beta\ }T_p(M)^{\vee}\otimes N'\] défini par \(u\). Ceci dit, si on considère le noyau de […] [i.e. de \(\alpha-\beta\),] \(G\times G'\rightrightarrows H\), [[…] […]] ce dernier représente infinitésimalement le système des« \(v_*\) », « \(u^*\) » sont écrits au-dessus des flèches ; le « \(\alpha\) » et le « \(\beta\) » aussi. Le premier \(T_p\) est récrit sur un autre signe.

55couples \((\xi,\xi')\), avec les propriétés de compatibilité voulues.

Considérons en […] […] […] situation de modules formels [(non nécessairement […])] avec \(N,N'\) de t.m., on […] […] que […] […] […] d'extensions triviales) la variété formelle des modules pour le […] […] est un groupe formel [de t.m.] sur \(\Lambda\) (NB. […] […] […] !), noyau du hom \(\alpha-\beta\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}\) […] [qui […] un hom de groupes]. Cela s'applique notamment au […] formel des modules pour une V.A. polarisée. Quand \(\Lambda\) est le spectre […] d'un corps de car. \(p\), cela implique […] […] que l'anneau local obtenu est […] une intersection C.M. (et […] […] […] complète, […] Gorenstein). D'où le fait que les schémas […] modulaires pour les V.A. polarisées [ordinaires] ([…] […], […] […]« de t.m. », « ordinaires » et la parenthèse de la deuxième ligne sont écrits au-dessus de la ligne et appelés par un trait. Le nom de l'hom « \(\alpha-\beta\) » et ses deux membres sont de lecture douteuse.

56polarisation donnée, et rigidification de Jacobi [d'échelon] (donné), en car. \(p\), est […] une intersection complète, et de plus est loc. irréductible, plus précisément \(\mathcal{M}_{\mathrm{red}}\) […] [lisse sur \(k\)]. De plus, […] dimension de la […] correspondant à une […] […] […] […] […] et utilisant la dimensionnalité ridicule, on le voit bien directement en car. \(p\) !note écrite en travers dans la marge de gauche, à hauteur du passage biffé ; lecture douteuse. Utilisant […] […] que la dimension des schémas modulaires [ordinaires] est bien \(\frac{g(g+1)}{2}\) en chaque point. Donc si la polarisation est de degré premier à \(p\) et […] […] en car. zéro, le schéma modulaire en car. \(p\) est lisse. (NB. il ne s'agit que de VA ordinaires)la ligne « dimension de la … correspondant à une … » est barrée d'un trait qui court sur toute la largeur ; le reste de la page est blanc.

Compléments sur les groupes de Witt

titre souligné, de sa main, en tête de la p. 58 ; la p. 57 est blanche.

58Lemme 1 Soit \(S=\operatorname{Spec}(A)\) de car. \(p\). Posons \(A[\mathbf{F}]\), \(\mathbf{F}_p[\)

\(\underline{\mathrm{Ext}}^1(G_a,G_a)\) est le \(A[\mathbf{F}]\)-module \(A\)-module [à gauche] libre engendré par les \(\mathbf{F}^i e\), [i.e. le \(A[\mathbf{F}]\)-module libre engendré par \(e\),] (où \(e\) est la classe de \(W_2\) considéré comme extension de \(G_a\) par \(G_a\).le « \(A[\mathbf{F}]\)-module … par \(e\) » est écrit au-dessus de la ligne ; « à gauche », entouré, est appelé d'en bas par un trait. L'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Dém On peut supposer, par […], que \(A=\mathbf{F}_p\). Mais c'est fait dans Demazure-Gabriel, II §3 4.6

Lemme 2 Soit \(H\) un sous-schéma […] […] […] […] […] de \(G_a\) tel […] […] \(G/H\) […] [[…]] de \(G_a\), tel […] que […] […] \(H\simeq G_a\), où \(G_a/H\) est loc. isom. à \(G_a\) (groupe additif). Alors …

entre a) et a\(_1\)), une ligne biffée et un petit schéma « \(\mathrm{Ext}^1 \downarrow V\) » de lecture douteuse, qui renvoie à la flèche de a\(_1\)). Dans a), l'exposant de \(R\) se lit « \(n-1\) ».

Dém n=1 Alors a) est trivial, b) résulte de \(\mathrm{Ext}^2(G_a/H,W_1)=0\) (qui résulte, par dévissage […], de [loc.] \(\mathrm{Ext}^2(G_a,G_a)=0\)) et c) n'est autre que le lemme 1. [V §1 2.2.] [n général :] On procède comme dans […] loc. cit., par récurrence sur \(n\).

59toute la page est barrée de deux longs traits obliques. Corollaire 3 Si \(H\) est comme précédemment, … \(\underline{\mathrm{Ext}}^1(H,\underline{W})=0\) (\(\underline{W}=\varinjlim W_n\)).Question Si \(S\) est […], est-ce que \(\mathrm{Ext}^1(H,\underline{W})=0\), i.e. \(H^1(S,\underline{\mathrm{Hom}}(H,\underline{W}))=0\) ??

Non déjà pour \(H=\alpha_p\) si \(S\) [parfait, […] […] […]] non parfait.

Proposition 4 Soit \(G\) un groupe algébrique […] [[…]] […] […] […] [(par ex. parfait)] tel que \(G\) soit annulé par \(V^n\). Alors

Le b) provient de cor. 3, compte tenu que […] […] un groupe […] : \(\alpha_p\).

Pour prouver a), […] procède par récurrence sur la longueur \(r\) d'[une] suite de composition. On a donc \[0\to G'\to G\to\alpha_p\to 0\] d'où une suite exacte \[0\to\underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p,\underline{W})\to \underline{\mathrm{Hom}}(G,\underline{W})\to \underline{\mathrm{Hom}}(G',\underline{W})\to 0\] compte tenu que \(\underline{\mathrm{Ext}}^1(\alpha_p,\underline{W})=0\). On peut […] […] […] […] \(\underline{W}\) par \(W_n\). […] […], on applique l'hyp. de récurrence : \(\underline{\mathrm{Hom}}(G',W_n)\) […] […] […] que \(\underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p,W_n)\simeq G_a\). On gagne !

5. Soit \(\mathbb{D}(G)=\underline{\mathrm{Hom}}(G,\underline{W})\). C'est un \(W_\infty\)-Module, […] […] des […] \(V\) et \(\mathbf{F}\) satisfaisant les conditions habituelles (provenant des relations entre \(V\), \(\mathbf{F}\) et les \(\lambda\in W_\infty(S)\), opérant dans \(\underline{W}\)) \[\mathbf{F}\lambda=\lambda^{(p)}\mathbf{F},\qquad \lambda V=V\lambda^{p},\qquad \mathbf{F}V=V\mathbf{F}=p.\mathrm{id} \tag{5.1}\] la question est écrite à droite du corollaire, au-dessus de la ligne suivante ; dans a), « \(\mathbf{E}^r_k\) » (un \(E\) à double trait) et la parenthèse sont de lecture douteuse, une partie de la ligne étant biffée.

Groupes finis sur base de car. \(p>0\)

titre de sa main en tête de la p. 60, non souligné ; le suivant est souligné.

60Groupes finis étales

Soit \(G\) fini étale annulé par \(p^n\). Pour tout épaississement \(S'\) de \(S\), \(G\) s'étend de façon unique en un groupe fini étale \(G'\) sur \(S'\), également tué par \(p^n\). Soit \(\mathcal{M}_{S'}=G'\otimes_{\mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}}\underline{O}_{S'} =G'\otimes_{\mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}}(\underline{O}_{S'}/p^n\underline{O}_{S'})\). Pour \(S'\) variable, on obtient un cristal \(\mathbb{D}_*(G)\). L'hom \(G\xrightarrow{f}G^{(p)}\) est ici un isom. et définit un isom \[F_*\colon\mathbb{D}_*(G)\longrightarrow\mathbb{D}_*(G)^{(p)}\] qui est un isomorphisme. Par dualité, posant \[\check{G}=\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}\bigl(G,(\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)_S\bigr), \qquad \mathbb{D}^*(G)=\mathbb{D}_*(\check{G}),\] on trouve un [contra-]foncteur \(G\mapsto\mathbb{D}^*(G)\), et \[F^*\colon\mathbb{D}^*(G)^{(p)}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{D}^*(G).\] \(V^*\) est uniquement défini par […] \(F^*V^*=p\,\mathrm{id}_{\mathbb{D}^*(G)}\).

Dans la catégorie des cristaux de modulesligne biffée, d'une écriture posée.

Cas \(G\) plat sur \(\Lambda_n\) (i.e. groupe de B.T. tronqué d'échelon …)

a) Alors \(\mathbb{D}^*(G)\) est un cristal de modules loc. libres de t.f. rel. à \(\Lambda_n\), et avec \(F\) tel que isomorphisme (\(\Rightarrow V\) de façon unique) et on obtient une [anti-]équivalence de la catégorie des […] \(G\) et des \(F\)-cristaux précédents.vérifierla note marginale est écrite de biais à gauche d'une accolade qui embrasse l'alinéa a).

Cas général ([Anti-]équivalence entre la catégorie des \(G\), et celle des [\(F\)-]cristaux (i.e. \(F\)-\(V\)-cristaux) sur \(S\) qui loc. (ét) sont des sommes de cristaux du type précédent (avec \(n\) variable)).

De ceci résulte que si \(G\leftrightarrow\mathcal{M}\), …, \[G(S)\underset{\mathrm{unpd.}}{\simeq} \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\Lambda_{n\,S},G)\simeq \mathrm{Hom}_{F\text{-}V\text{-}\mathrm{cris}}(\mathcal{M}, \underline{O}_{S_n\,\mathrm{cris}})\simeq\mathrm{Hom}_{F\text{-}\mathrm{cris}}(\ldots\] la formule court jusqu'au bord de la feuille et se poursuit au lot suivant ; l'indice sous le premier \(\simeq\) est de lecture douteuse.