Questions sur V.A. et groupes formels.

1) (Barsotti). Soient A,B deux VA sur k alg. clos (car p>0) « hypersingulières » i.e. sans pts d'ordre p. Supposons que les groupes formels \overline{A},\overline{B} soient isogènes. Alors A et B sont-elles isogènes ? Si \dim A=1, c'est contenu dans Deuring.ajout dans l'interligne. Manin ignore déjà la réponse si A,B de dim 2 (donc \overline{A},\overline{B} sont isogènes : G_{1,1}+G_{1,1}). La question revient donc à ceci : si A de dim 2 est hypersingulière, est-elle isogène à un produit de deux courbes elliptiques (ou : au carré d'une courbe elliptique) nécessairement hypersingulière. Il affirme que c'est vrai en car p=2.

Notons que si on abandonne l'hypothèse hypersingulière, et qu'on suppose seulement A,B de dim 2, à groupes formels isomorphes non toroïdaux, il n'est pas vrai en général que A et B soient isogènes = si A et B simples (en effet, d'après Manin, les polarisées A de dim 2 (polarisations principales) de groupe formel \widehat{G}_m+G_{1,1} forment une sous-famille N de dim 2 de la famille modulaire M_2. Parmi celles-ci, celles qui sont isogènes non simples i.e. décomposées isogènes à un produit E\times F (E et F courbes elliptiques dont l'une (soit F) est hypersingulière, l'autre non), forment une famille de dim 2 au plus \lbraceNB. il n'y a pas de famille continueles ajouts sont écrits au-dessus de la ligne ; « dim 2 » est souligné. On attendrait « dim 1 au plus » : lecture douteuse du chiffre.

la page commence au milieu d'une phrase ; la feuille qui précède n'est pas à cette place dans le dossier. Une grande accolade au crayon marque la fin du premier alinéa. S^{(n)}\to G=\widehat{S}, nul sur S^{(0)}, les hom se recollent et définissent un hom de prolongements formels S^{(\infty)}\longrightarrow G dont la connaissance équivaut à la connaissance de l'ext. donnée E de M par N, non pas sur S lui-même, mais dans le voisinage inf. de S sur R, et de S sur R, et kif-kif après changement de base.

La formation de S^{(\infty)}\to G est compatible avec changement de base S'\to S. Il donc de la considérer, dans le des positifs, comme découlant d'une situation « modulaire ».« modulaire » est souligné deux fois au crayon.

Supposons d'abord que l'on , R=\operatorname{Spec}\Lambda, \Lambda anneau local complet de car. résiduelle p (p.ex. un de Cohen), et qu'on se donne de corps résiduel k, M_0 et N_0 sur k. On veut la variété formelle (\mathcal{M}_\xi) sur R (considérée comme schéma formel) modulaire des extensions \xi de M_0 par N_0. Supposons N_0 de t.m. Conditions sur la variété modulaire formelle pour \xi_0, l'extension triviale. Alors :les ajouts, au-dessus et au-dessous de la ligne, sont reliés par un long trait ; lecture douteuse de leur ordre.

Lemme 1 Soit S=\operatorname{Spec}(A) de car. p. Posons A[\mathbf{F}], \mathbf{F}_p[

\underline{\mathrm{Ext}}^1(G_a,G_a) est le A[\mathbf{F}]-module A-module à gauche libre engendré par les \mathbf{F}^i e, i.e. le A[\mathbf{F}]-module libre engendré par e, (où e est la classe de W_2 considéré comme extension de G_a par G_a.le « A[\mathbf{F}]-module … par e » est écrit au-dessus de la ligne ; « à gauche », entouré, est appelé d'en bas par un trait. L'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge.

Dém On peut supposer, par , que A=\mathbf{F}_p. Mais c'est fait dans Demazure-Gabriel, II §3 4.6

Lemme 2 Soit H un sous-schéma de G_a tel G/H de G_a, tel que H\simeq G_a, où G_a/H est loc. isom. à G_a (groupe additif). Alors …

entre a) et a_1), une ligne biffée et un petit schéma « \mathrm{Ext}^1 \downarrow V » de lecture douteuse, qui renvoie à la flèche de a_1). Dans a), l'exposant de R se lit « n-1 ».

Dém n=1 Alors a) est trivial, b) résulte de \mathrm{Ext}^2(G_a/H,W_1)=0 (qui résulte, par dévissage , de loc. \mathrm{Ext}^2(G_a,G_a)=0) et c) n'est autre que le lemme 1. V §1 2.2. n général : On procède comme dans loc. cit., par récurrence sur n.

Groupes finis étales

Soit G fini étale annulé par p^n. Pour tout épaississement S' de S, G s'étend de façon unique en un groupe fini étale G' sur S', également tué par p^n. Soit \mathcal{M}_{S'}=G'\otimes_{\mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}}\underline{O}_{S'} =G'\otimes_{\mathbf{Z}_p/p^n\mathbf{Z}}(\underline{O}_{S'}/p^n\underline{O}_{S'}). Pour S' variable, on obtient un cristal \mathbb{D}_*(G). L'hom G\xrightarrow{f}G^{(p)} est ici un isom. et définit un isom F_*\colon\mathbb{D}_*(G)\longrightarrow\mathbb{D}_*(G)^{(p)} qui est un isomorphisme. Par dualité, posant \check{G}=\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}\bigl(G,(\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)_S\bigr), \qquad \mathbb{D}^*(G)=\mathbb{D}_*(\check{G}), on trouve un contra-foncteur G\mapsto\mathbb{D}^*(G), et F^*\colon\mathbb{D}^*(G)^{(p)}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{D}^*(G). V^* est uniquement défini par F^*V^*=p\,\mathrm{id}_{\mathbb{D}^*(G)}.

Dans la catégorie des cristaux de modulesligne biffée, d'une écriture posée.

Cas G plat sur \Lambda_n (i.e. groupe de B.T. tronqué d'échelon …)

a) Alors \mathbb{D}^*(G) est un cristal de modules loc. libres de t.f. rel. à \Lambda_n, et avec F tel que isomorphisme (\Rightarrow V de façon unique) et on obtient une anti-équivalence de la catégorie des G et des F-cristaux précédents.vérifierla note marginale est écrite de biais à gauche d'une accolade qui embrasse l'alinéa a).

Cas général (Anti-équivalence entre la catégorie des G, et celle des F-cristaux (i.e. F-V-cristaux) sur S qui loc. (ét) sont des sommes de cristaux du type précédent (avec n variable)).

De ceci résulte que si G\leftrightarrow\mathcal{M}, …, G(S)\underset{\mathrm{unpd.}}{\simeq} \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\Lambda_{n\,S},G)\simeq \mathrm{Hom}_{F\text{-}V\text{-}\mathrm{cris}}(\mathcal{M}, \underline{O}_{S_n\,\mathrm{cris}})\simeq\mathrm{Hom}_{F\text{-}\mathrm{cris}}(\ldots la formule court jusqu'au bord de la feuille et se poursuit au lot suivant ; l'indice sous le premier \simeq est de lecture douteuse.