Cote n° 59, pages 1–20

Cote n° 59 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Construction des faisceaux inversibles sur schémas de Picard : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

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\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] \\
S
\end{tikzcd}

$f$ propre plat présentation finie, $f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S$ universel !

\[\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} = P\]

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\begin{tikzcd}
X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_P \arrow[d, no head] \\
S \arrow[r, no head] & P
\end{tikzcd}

carré dessiné en haut à droite, sans pointes de flèches. La lettre $P$ est tracée tantôt ronde (une ronde), tantôt droite ; de même pour $B$ plus bas : on écrit $P$ et $B$ partout

a) Supposons $X/S$ muni d'une section $g$. Alors sur $X \times_S P$ il y a un faisceau inversible canonique $\mathcal{L}_g$ [trivialisé sur $g(S) \times_S P$]. On en conclut \[(Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g) \in D_{\mathrm{parf}}(P) \qquad [\, f_P : X \times_S P \to P \,].\] Nous nous intéressons en particulier : \[{\det}^{*}(Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g) = M_g\] qui est un module inversible [gradué […]] sur $P$.

[…] en $S$ […] [projectif]note oblique dans la marge gauche, en face de la formule, presque entièrement illisible

b) Remplaçons $g$ par une autre section $g'$. On a alors un isom canonique \[\mathcal{L}_{g'} \simeq \mathcal{L}_g \otimes_{\mathcal{O}_P} g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1}\] d'où : \[(Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_{g'}) \simeq (Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g)\, g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1}\] et par suite un isom canonique \[(*) \qquad M_{g'} \simeq M_g \, g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-\chi} = M_g \,(N_g N_{g'}^{-1})^{\chi}\] au crayon, deux ovales entourent $g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1}$ dans la ligne précédente et $g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)$ ici ; un trait de crayon souligne $N_g N_{g'}$

$N_g N_{g'}^{-1}$ est algébriquement équivalent à zéro sur $P$ rel$/S$ ; $M_{g'}$ et $M_g$ alg. équiv. : $M_g$ polaris…écrit verticalement dans la marge gauche, encadré, une flèche le rattache au début de c)

où $\chi$ est la fonction localement constante $P \to \mathbb{Z}$ donnée par le rang de $Rf_P(\mathcal{L}_g)$, i.e. la car. d'EP des faisceaux inversibles sur W [sur] les fibres de $X$ ……, et où $N$ désigne un faisceau inv. [quelconque sur] $X \times_S P$, et $N_g$ (resp. $N_{g'}$) le faisceau inv. sur $P$ qu'il définit via la section $g$ (resp. $g'$). On notera que le facteur de droite […]. « quelconque sur » est inséré dans l'interligne

c) Soit $\delta$ une section de $\underline{\mathrm{NS}}_{X/S}$, qui définit donc un torseur $P^{\delta}$ sous $P^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$, et considérons la restriction de $M_g$ à $P^{\delta}$. Nous supposons, pour simplifier, par la suite, que $P^{0}$ est un schéma abélien sur $S$. au-dessus de « $M_g$ », une insertion « $M_g$ … » que le trait rattache à $P^{\delta}$

Notons que $M_g$ et $M_{g'}$ définissent la même section de $\underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S}(S)$ en vertu de b), or on a un isom canonique \[\underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{P^{0}/S} .\] Donc on trouve une section \[\varphi(\delta) \in \underline{\mathrm{NS}}_{P^{0}/S}(S)\] indépendante du choix de la section $g$ de $X/S$. Par détailler descente, elle est définie sans supposer qu'il existe une section. Comme la formation de $\varphi(\delta)$ est compatible (par construction) à l'extension de la base, on trouve en fait un homomorphisme de schémas (pas nécessairement additif !) \[\boxed{\varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}} \qquad (B = P^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}).\]

d) Revenons à $\delta$ […]. Notons que $\underline{\mathrm{Pic}}_{P^{\delta}/S}$ se déduit de $\underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}$ en tordant par l'action le torseur $P^{\delta}$ sous $P^{0}$, via l'action naturelle de $B$ sur $\underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}$ déduite de l'action de $B$ sur lui-même par translations. […] Cette action est triviale sur $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}$ et $\underline{\mathrm{NS}}_{B/S}$ [d'où en particulier des isom \[\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} , \qquad \underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} \;].\]

Si $\lambda$ est une section de $\underline{\mathrm{NS}}_{B/S}$ [donc définit une section, notée encore $\lambda$, de $\underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S}$], alors $\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S}$ se déduit de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S}$ en tordant à l'aide de $P^{\delta}$. Or soit \[A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} \quad (= \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S})\] le schéma abélien dual de $B$, […] alors $\lambda$ définit un hom \[\tilde{\lambda} : B \longrightarrow A\] et l'action de $B$ sur $\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S}$ se déduit de l'action évidente de $A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}$ sur $\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S}$ (qui est un $A$-torseur) via l'hom $\tilde{\lambda}$. Donc on trouve \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S} \overset{A}{\times} \underbrace{\bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} A\bigr)}\] $A$-torseur déduit du $B$-torseur $P^{\delta}$ grâce à l'hom. $\tilde{\lambda} : B \to A$écrit sous l'accolade

[…] Reprenant les notations de c), nous appliquons ceci au cas où l'on a \[\lambda = \varphi(\delta) ,\] on trouve que, pour toute […] section $g$ de $X/S$, la restriction $L_g \mid P^{\delta}$ définit une section de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S}$, d'où une section la page porte bien $L_g$, là où c) parlait de $M_g$

\[\ell(g) \in \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\lambda})\bigr)\] La formation de cette dernière commute à tout changement de base, donc on définit un morphisme de schémas (ni plat, […] …) \[X \xrightarrow{\ \ell_{\delta}\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) ,\] dans le second facteur, $\widetilde{\varphi(\delta)}$ est écrit par-dessus un premier symbole ; au crayon, en marge gauche, un petit schéma entouré : $A \leftarrow B$, avec $A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}$ et $B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}$ en dessous ; deux ovales au crayon entourent les deux membres de la flèche Comme […] est un torseur sous un schéma abélien $A$, on trouve [une factorisation de $\ell_{\delta}$ par] un homomorphisme \[\underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} \struck{(X/S)} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] qui est un homomorphisme [compatible avec un] certain homomorphisme \[u_{\delta} : A \longrightarrow A\] sur les groupes structuraux, $A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}$ […]. Pour voir quel il est, on vérifie la formule \[u_{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A ,\] où $\chi = \chi(\delta)$ est (de b)) la fonction $S \to \mathbb{Z}$ dont l'image inverse sur $P^{\delta}$ est $\chi \mid P^{\delta}$ ($\chi$ comme dans b)). On trouve donc un A homomorphisme de $A$-torseurs l'interligne « une factorisation de $\ell_{\delta}$ par » et « compatible avec un » sont des insertions ; au-dessus de la seconde flèche, un « $A$ » au crayon vérifier si le signe est correct ! \[\underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi(\delta)}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] i.e. une section canonique \[\boxed{L(\delta) \in \Gamma\Bigl(S, \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\Bigr)}\] dans le cadre, l'exposant de $\underline{\mathrm{Alb}}$ est $\chi(\delta)$, sans le signe moins de la ligne précédente ; on le laisse tel quel. Sous le second $\times$, un « $X/S$ » au crayon

A fortiori, le $A$-torseur \[\underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] est trivial (en fait avec une trivialisation canonique).

e) Pour expliciter ces considérations, il faudrait en\-[core] […] avec pour tout $\delta \in \mathrm{NS}(X/S)$, « calculer » $\varphi(\delta)$ (et $\chi(\delta)$ …). Pour ceci, on pas supposé est ramené au cas $S = \operatorname{Spec} k$, $k$ un corps, alg. clos si l'on veut. Choisissons alors $p \in P^{\delta}(k)$, qui correspond : un faisceau inversible $L$ sur $X$, dans la classe $\delta$. $X \times P^{\delta}$ ($(\mathcal{L}_g)_p = L$ sur $X$.) La donnée de $p$ définit un isom \[P^{\delta} \simeq B\] et moyennant celui-ci, le faisceau $\mathcal{L}_g \mid X \times P^{\delta}$ […] se transforme en le faisceau $\mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L)$, où $\mathcal{L}^{0}$ est le faisceau de Weil sur $X \times B$ [relatif au choix du point $g \in X(k)$] et où $L$ est le faisceau inversible sur $X$ défini de classe $\delta$ déjà envisagé. Il s'agit donc de calculer \[{\det}^{*}(R\,\mathrm{pr}_{2*})\bigl(\mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L)\bigr)\]

Si on fait mod équivalence algébrique. Comme $\mathrm{NS}(B/S)$ est […] sans torsion, il suffit de faire le calcul (cela suffit si […]) dans $\mathrm{NS}(B/S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$, et à fortiori […]. On trouve donc les termes de degré 1 dans $\mathrm{ch}_B\bigl(R\,\mathrm{pr}_{2*}(\mathcal{L} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L))\bigr)$. Or le $\mathrm{ch}_B$ se calcule par RR, du moins si $X$ est lisse, une intersection complète, […] on trouve \[\varphi(\delta) = \text{termes de degré 1 dans } \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\exp(D + \mathrm{pr}_1^{*}\Delta)\, \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{Todd}_{X/k})\bigr)\] \[= \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\exp D \cdot \mathrm{pr}_1^{*}(T_{X/k} \exp \Delta)\bigr) = [\exp D]\,(T_{X/k} \exp \Delta)\] dans le second membre, un premier « $\mathrm{pr}$ » est surchargé à l'encre et « $\exp D$ » ajouté au crayon, entouré, au-dessus où \[\begin{cases} D = \mathrm{cl}\,\mathcal{L} \in \mathrm{Gr}^{1}(X \times B) \\ \Delta = \mathrm{cl}\,\Delta \in \mathrm{Gr}^{1}(X) \\ \mathrm{Todd}_{X/k} \in \mathrm{Gr}^{*}(X) \end{cases}\] la page porte bien « $\Delta = \mathrm{cl}\,\Delta$ », là où l'on attendrait $\mathrm{cl}\,L$

Nous allons faire le calcul en supposant $X$ lisse en dimension […], et en travaillant en cohomologie $\ell$-adique ($\ell \cdot 1_k \neq 0$). On choisit, pour simplifier, un isomorphisme $T_{\ell}(k^{*}) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}$, pour éviter le twist de Tate. On a \[D \in H^{2}(X \times B) = H^{2}(X) + H^{1}(X) \otimes H^{1}(B) + H^{2}(B)\] et en fait \[D \in H^{1}(X) \otimes H^{1}(B)\] (et $D$ définit un isomorphisme entre $H^{1}(B)$ et $H^{1}(X)^{\vee}$),

On peut écrire \[D = \sum e_i \otimes e'_i\] où $(e_i)$ est une base de $H^{1}(X)$, et $e'_i$ est la base duale de $H^{1}(B)$. Posant \[\mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta = \sum_{i=0}^{n} a^{i} \qquad a^{i} \in H^{2i}(X)\] on trouve \[\exp D\, \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta) = \sum_{i,j} \mathrm{pr}_1^{*}(a^{i})\, D^{j} / j!\] le terme en $i,j$ étant de degré cohomologique partiel en $X$ égal à $2i + j$. Il donne une contribution nulle dans $\mathrm{pr}_{2*}$ sauf si $2i + j = 2n$ i.e. $j = 2(n-i)$, donc il faut [auquel cas on […]] un $\mathrm{pr}_{2*}$ de degré $j$, qui ne nous intéresse que si $j = 2$ i.e. $n - i = 1$. prendre Donc on trouve $\sum \frac{1}{2}\, \mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\, D^{2}$ […] \[\varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\, D^{2}\bigr)\] ici l'indice passe en bas : $a_{n-1}$ pour le $a^{n-1}$ de la ligne précédente

Ex. 1 Prenons le cas $n = 1$. Alors $\delta$ est caractérisé par son degré, soit […] $d$. On trouve $\mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta = (1 - \tfrac{K}{2})(1 + \Delta) = 1 + (\Delta - \tfrac{K}{2})$ degré $d - g + 1$à droite de la ligne biffée, reliée à elle par un trait \[\varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}(D^{2})\] et il faut prendre $\mathrm{pr}_{2*}$ de $\frac{1}{2} D^{2}\, \mathrm{pr}_1^{*}(\Delta - \frac{K}{2})$

Or […] on a, si $(e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_g, f_g)$ est une base symplectique de $H^{1}(X)$ [$e_i f_i = -f_i e_i = \eta$, base can. de $H^{2}(X)$], on identifie $H^{1}(X)^{*}$ à […] grâce à la dualisation \[D = \sum (e_i \otimes f_i + f_i \otimes e_i)\]

donc \[D^{2} = \sum_{i,j} \underbrace{(e_i \otimes f_i + f_i \otimes e_i)(e_j \otimes f_j + f_j \otimes e_j)}\] \[- [\, e_i f_j \otimes f_i e_j + f_i e_j \otimes e_i f_j \,]\] \[= -\sum_i (\eta \otimes f_i e_i - \eta \otimes e_i f_i) = 2\eta \sum e_i f_i\] la deuxième ligne, sous l'accolade, donne le terme général du produit ; la page ne l'indexe pas donc \[\tfrac{1}{2} D^{2} = \eta \otimes \sum e_i f_i\] et par suite \[\varphi(\delta) = \sum e_i \wedge f_i \in H^{2}(B)\] C'est la classe de polarisation canonique de la jacobienne $B$. D'ailleurs \[\chi(\delta) = 1 - g + d\] vérifier que le signe est correct […] Utilisons la polarisation canonique [par le diviseur $\Theta$] de $B$, définissant un isom can \[c : B \longrightarrow A\] et transformons les $A$-torseurs de la fin de d) par $c^{-1}$. On sait que $\underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}$ se transforme en \[\underline{\mathrm{Pic}}^{-1}_{X/S} = P^{-1} \quad \text{(\emph{attention au signe !})}\] donc $\underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S}$ devient $P^{-\chi(\delta)} = P^{g-1-d}$, d'autre part $\underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}$ [$\varphi(\delta) =$ pol. can. de $A$] devient $\underline{\mathrm{Pic}}^{1}$ $P^{g-1}$ (isom. canonique défini par le div. $\Theta$), enfin \[P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \underset{\substack{\parallel \\ c}}{\widetilde{\varphi(\delta)}}) \;\text{devient}\; P^{\delta} = P^{d} .\] Donc le torseur envisagé (produit des trois précédents) est $P^{2g-2}$. On trouve […] une section canonique de […] : ce n'est pas très excitant, car on s'attend à trouver la section canonique $K$ (à prouver !).

N.B. Pour bien faire, il faudrait prouver que sur le schéma modulaire $S$ des schémas en courbes [[…]] de genre $g$ $\geq 1$ ($g \geq 1$ ; on […] choisit une section marquée pour $g = 1$), tel que si $\mathcal{X}$ est la courbe de genre $g$ […] universelle, $P = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$, alors le groupe des sections de $P$ sur $S$ est engendré par $K$ ([…] [en particulier, que] le groupe des sections de $P^{0}$ sur $S$ est égal à zéro). Il suffirait de déterminer le groupe en question en car. nulle. l'insertion interlinéaire au-dessus de « courbes », longue d'une ligne, est illisible

f) Ex. 2 […] Cas $X$ un schéma abélien. Donc $X = A$. On sait que [sur les cycles […], $\exp D$ établit] […] \[\Phi : \mathrm{chow}(A)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{chow}(B)_{\mathbb{Q}}\] qui […] transforme élément de degré $i$ en élément de degré complémentaire $n - i$, [et] qui transforme produit ordinaire en produit de convolution, et inversement. D'ailleurs $T_{X/k} = 1$, donc on trouve [composante de degré 1 de] \[\varphi(\delta) = \sum \frac{1}{i!}\, \underbrace{\Phi(\Delta)}_{\text{classe d'une courbe}}{}^{*i} = \frac{1}{(n-1)!}\, \Phi(\Delta)^{*(n-1)} .\] donc On trouve ainsi un hom ([polynomial] de degré $n - 1$ […]) \[\varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}\] On vérifie que, si $\delta$ est une section de $\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}$, définissant \[\tilde{\delta} : A \longrightarrow B\] et $\varphi(\delta)$ section de $\underline{\mathrm{NS}}_{B/S}$, d'où \[\widetilde{\varphi(\delta)} : B \longrightarrow A\] Faire calcul direct, en faisant […] attention aux signes !note entourée, en bas à gauche \[\boxed{\widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A , \qquad \tilde{\delta}\, \widetilde{\varphi(\delta)} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_B}\] le signe moins du second membre est moins net que celui du premier

Par suite, si $\delta$ est non dégénérée i.e. $\chi(\delta) \neq 0$, alors $\varphi(\delta)$ est non dégénérée, et si $\delta$ est une polarisation, [déduit] $-\varphi(\delta) = \delta'$ est une polarisation. On [[…]] d'ailleurs de la relation plus haut, puisque $\deg \tilde{\delta} = \chi(\delta)^{2}$, $\deg \tilde{\delta}' = \chi(\delta')^{2}$, $\deg \tilde{\delta}\tilde{\delta}' = \chi(\delta)^{2}\chi(\delta')^{2} = \chi(\delta)^{2n}$ : \[\chi(\delta') = \chi(\delta)^{n-1} \qquad \delta' = -\varphi(\delta)\] dans l'égalité encadrée des degrés, la dernière valeur $\chi(\delta)^{2n}$ est écrite sous le produit, reliée par deux traits verticaux ; l'exposant $n-1$ est surchargé $\delta' = -\varphi(\delta)$ ; je pense, […] […] au carré ; […] […] dimension […] prouver […] si $\delta$ est une polarisationnote oblique dans la marge gauche, en partie illisible si $\varphi(\delta)$ est non dégénérée, […] $\delta$ […] $\chi(\delta)$ l'est.

Notons aussi que si $\delta' = \varphi(\delta)$, $\delta'' = -\varphi(\delta')$, on a \[\tilde{\delta}' = \tilde{\delta}^{-1} \chi(\delta) , \qquad \tilde{\delta}''^{-1} = \tilde{\delta}'^{-1} \chi(\delta') = \tilde{\delta}\, \chi(\delta)^{-1} \chi(\delta') = \tilde{\delta}\, \chi(\delta)^{n-2}\] devant $\tilde{\delta}''^{-1}$, un premier « $\varphi(\varphi(\delta))$ » est biffé donc \[\varphi(\varphi(\delta)) = \delta\, \chi(\delta)^{n-2}\] les signes sont ceux de la page ; aucun n'y est ajusté Si […] $n = 1$, i.e. $X$ une courbe elliptique, on $\varphi(\delta) =$ polarisation canonique, trouve $\delta\,\chi(\delta)$ i.e. $\varphi(\varphi(\delta))$ est la polarisation canonique ; [N.B. $\varphi($ mieux, pour tout $\delta$, $\varphi(\delta)$ est la polarisation canonique. Si $n \geq 2$, la formule $\varphi(\varphi(\delta)) = \delta\,\chi(\delta)^{n-2}$ inspire confiance directement…

N.B. Il faudrait prouver que sur le schéma […] [site] modulaire des schémas abéliens polarisés $(A, \delta)$ [en car. 0], avec degré de polarisation donné $\chi(\delta)$, la polarisation $\varphi(\delta) = \delta'$ […] sur $B$ n'est plus divisible i.e. que […] […] ce qui montrerait que $\varphi(\delta)$ est ce qu'on peut faire de mieux dans ce genre, comme [bien fait] « inversion » d'une polarisation. On On s'attend à ce que $\varphi(\delta)$ engendre le groupe […] de […] des sections de $\underline{\mathrm{NS}}_{B/S}$ sur une quelconque […] site modulaire… […] […] comprenant comme […] site modulaire

L'isomorphisme de la fin de d) nous fournit une section canonique de \[\underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta'}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')\bigr)\] où $\delta' = -\varphi(\delta)$ comme dessus. En d'autres termes, on trouve un isomorphisme canonique \[(*) \qquad \boxed{\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')}\] dans le cadre, l'exposant $\delta$ de $\underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}$ est écrit par-dessus un premier exposant, peut-être $-\delta$ ; à droite du cadre, au crayon, « ${}_{\mathbb{Z}}A$ », lecture douteuse

N.B. Comme $\delta$ lisse, $\underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}$ (canoniquement) on peut supprimer […] signes dans […]… Prouvons que pour $\delta$ ample […] torseurs ? […] un isomorphisme […] compatible avec […] canoniques, […] section $(*)$ […] […] […] […] […] […] […] $A$… à vérifierlongue note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait, en grande partie illisible

Exemple Supposons que $\delta$ soit de degré 1, […] $\tilde{\delta} : A \xrightarrow{\sim} B$, et $\tilde{\delta}' : B \xrightarrow{\sim} A$ est l'inverse. Alors $\delta'$ […] [est la] polarisation déduite de $\delta$ par transport de structure : l'inverse de $\tilde{\delta}$, $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}$ [[…] on trouve un isom., via $A \xrightarrow{\tilde{\delta}} B$] et l'isom. [de $B$-torseurs] (compatible […] avec […]) canonique peut s'interpréter comme un isom. \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S}\] […] bien connu, […] l'isomorphisme canonique […] défini par la symétrie […] $(-1)$ […] $(-1)$ […] et en diviseurs […] $A \times B$ un bloc de quatre lignes est encadré et biffé de grandes boucles, et une ligne suivante est raturée d'une hachure serrée ; on n'en lit que des bribes

Remarque La section du torseur de la fin de d) est stable par automorphismes de $(X/S, \delta)$ dans le cas actuel, […] par […] automorphismes par translations dans $X = A$. […] Il ne peut pas venir […] de section par ce qui suit. On trouve \[\underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) = \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] par translation par […] $\chi(\delta)\, a + \widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta}(a)$ […] ; donc on a $[\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A + \widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta}]\, a = 0$ pour tout $a$, d'où […] $\widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A$. Attention aux signes ??en bas à gauche, cerné au crayon

Remarque Dans l'isom can $(*)$, remplaçons $\delta$ par $\lambda\delta$ ($\lambda \in \mathbb{Z}$). Les deux membres sont remplacés respectivement par \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda^{n-1}\delta'}_{B/S} \simeq \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{(\lambda^{n-1})}\] et par \[\underline{\mathrm{Pic}}^{-\lambda\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \lambda^{n-1}\tilde{\delta}') \simeq \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')\bigr)^{(\lambda^{n})} .\] les exposants en $\lambda$ sont tracés très vite ; on lit $\lambda^{n-1}$ et $\lambda^{n}$ d'après la ligne suivante, sans certitude Donc on trouve, écrivant l'égalité des deux membres pour $\lambda\delta$, que \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{\otimes(\lambda^{n} - \lambda^{n-1})} \simeq \text{torseur trivial (canonique)}\] Faisant $\lambda = -1$, on trouve \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{\otimes 2} \simeq \text{torseur trivial} \quad \text{(canonique)}\] [N.B. 2 est le p.g.c.d. des valeurs de la forme $\lambda^{n} - \lambda^{n-1}$]. Vérifier que la trivialisation [et la trivialisation] canonique définie pour […] toute section $\delta'$ de $\underline{\mathrm{NS}}_{B/S}$note oblique dans la marge gauche

Lorsque Comme $(\delta')' = \chi(\delta)^{n-2}\delta$, on en conclut, en échangeant les rôles de $A$ et $B$ \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{\otimes(2\chi(\delta)^{n-2})} \simeq \text{torseur trivial (canon !)}\] si $n \geq 2$ (trivial si $n \leq 1$) Lorsque $\chi(\delta)$ est pair, on a même \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{\otimes(\chi(\delta)^{n-2})} \simeq \text{torseur trivial (canonique)}\] pour $\chi(\delta)$ pair, si $n \geq 2$, […] […] pas […] les espérances qui suivent… si $n \geq 3$, vérifier que cette section est encore la section canonique de $\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-2}/2}_{A/S}\bigr)^{\otimes 2}$, […] $\chi(\delta)$ pair, […] et que […] $\delta$ divisible par 2, […] il faudrait prouver […] que la trivialisation […] la trivialisation canoniquelongue note oblique dans la marge gauche, en bas

Lorsque $\chi(\delta) = 1$, et que $\delta$ est une polarisation, il faudrait […] les sections du $(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S})^{\otimes 2}$ obtenues […] […] l'isom $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}$ transformant […] (1) […] $(-1)$ […] le dernier paragraphe est encadré et biffé de trois grandes diagonales ; les nombres $(1)$ et $(-1)$ y sont entourés

g) Généralisation des constructions précédentes…

[…] (Soit $\delta$ polarisation […] [section] de $\underline{\mathrm{NS}}_{A/S}$, $\delta' = \ldots$ $\delta'$ polarisation [de] $B$, $\delta''$ polarisation de $A$.) la première ligne est biffée ; « Remarque » (lecture douteuse) au-dessous est surchargé, et la parenthèse qui suit reste ouverte sur la page On a successivement \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')\] \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta''}_{A/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \overset{A}{\times} (B, \tilde{\delta}'') \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (B, \tilde{\delta}''\tilde{\delta}')\] or on a \[\begin{cases} \delta'' = \delta\, \chi(\delta)^{n-2} \\ \tilde{\delta}''\tilde{\delta}' = \chi(\delta')\, \mathrm{id}_B = \chi(\delta)^{n-1}\, \mathrm{id}_B \end{cases}\] donc les […] colonnes de ces […] \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-2}}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-1}}_{B/S}\] d'où \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes[\chi(\delta)^{n-1} - \chi(\delta)^{n-2}]} \simeq \text{torseur trivial (isom.\ canonique)}\] ici $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}$ porte l'indice $B/S$, là où les deux lignes précédentes mettaient $A/S$ ; on transcrit tel quel Remplaçant $\delta$ par $\lambda\delta$ ($\lambda \in \mathbb{Z}$), on trouve plus généralement \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes \chi(\delta)^{n-2}(\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1})} \simeq \text{torseur trivial}\] l'exposant est surchargé : un premier facteur en tête est raturé, et « $\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1}$ » est repris par-dessus une première écriture $\lambda^{n-1}(\lambda\chi(\ldots)$ […] $\chi(\delta)^{n-2}[\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1}]$ Soit $\alpha$ le p.g.c.d. p.p.c.m. des $\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1}$ ($\lambda \in \mathbb{Z}$) : donc […] $p$ divise $\alpha$ ssi […] $\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1} \equiv 0 \ (p)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{Z}$ le passage « Soit $\alpha$ … pour tout $\lambda \in \mathbb{Z}$ » est cerné d'un trait et barré en partie ; la lecture de « p.p.c.m. » et du rôle de $p$ est douteuse Faisant $\lambda = \pm 1$ et ajoutant, on voit […] \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes 2\chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial}\] et de même \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes \chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial si $\chi(\delta)$ pair}\] [car alors $\chi(\delta) - 1$ est impair, et on utilise que \[\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{(\chi(\delta)-1)\chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial}.\] Exemple si $n = 2$, […] $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}$ trivial et $(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S})^{\otimes 2}$ trivial, si $\chi(\delta)$ pair…

e) Généralisation des constructions précédentes. la page reprend la lettre e), déjà prise p. 5 ; la rubrique « g) Généralisation… » biffée en tête de la page 13 annonçait ce paragraphe

On revient aux conditions de a), mais on suppose donné un complexe parfait $\mathcal{F}^{\bullet}$ sur $X$, […] complexe parfait (ou seulement parfait rel$/S$) et on considère \[{\det}^{*} R\,\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathcal{F}^{\bullet}) \otimes \mathcal{L}_g\bigr) = M_g\] On aura, pour une autre choix $g'$, et un isom. can. \[M_{g'} \simeq M_g\, g'^{*}_{P}(\mathcal{L}_g)^{-\chi_{\mathcal{F}}} = M_g\, (N_g N_{g'}^{-1})^{\chi_{\mathcal{F}}}\] […] maintenant $\chi$ est la fonction rang […] pour $R\,\mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathcal{F}) \otimes \mathcal{L}_g)$. On trouve alors, pour $\mathcal{F}$ fixe, un homomorphisme \[\varphi_{\mathcal{F}^{\bullet}} : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}\] dépendant additivement de $\mathcal{F}^{\bullet}$ (pour la structure de catégorie triangulée de $D_{\mathrm{parf}}(X)$ resp. $D_{\mathrm{parf}}(X/S)$). On trouve alors, pour toute section $\delta$ de $\underline{\mathrm{NS}}_{X/S}$, un hom \[X \xrightarrow{\ \ell^{\mathcal{F}^{\bullet}}_{\delta}\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr)\] d'où un homom. de $A$-torseurs \[\underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \times \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr)\] et enfin une section \[\boxed{L_{\mathcal{F}}(\delta) \in \Gamma\Bigl(S, \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \times \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr)\Bigr)}\] dans les deux dernières formules, le troisième facteur est écrit $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}$ là où la p. 4 avait $P^{\delta}$ ; le signe de l'exposant de $\underline{\mathrm{Alb}}$ diffère d'une ligne à l'autre, comme p. 4

Il faut enfin calculer $\chi_{\mathcal{F}}(\delta)$ et $\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)$, et pour […] […] on est ramené […] au cas, comme dans e), où $S = \operatorname{Spec} k$, $k$ corps alg. clos, et à calculer \[\chi(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}^{\bullet}) \quad\text{et}\quad {\det}^{*} R\,\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathcal{L} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\bigr)\] On note que dans le calcul, $\delta$ disparaît, [$\mathcal{F}$ près] à condition de remplacer $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}$ par $L_{\delta} \otimes \mathcal{F}$…

On peut le faire par RR si $X$ est loc. une intersection complète (rel$/S$), on trouve $\chi(L_\delta)$ \[\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \chi(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}^{\bullet}) = \pi\bigl(\mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\, \mathrm{Todd}(X)\bigr)\] \[\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \text{terme de degré 1 dans } (\exp D) . [\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\, \mathrm{Todd}(X)]\] la lettre devant la parenthèse, dans la première formule, est lue $\pi$ ; à droite, une ligne ajoutée précise : « $=$ terme constant dans $\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}))\,\mathrm{Todd}(X)\, \exp_{X \times B}(D)\bigr)$ », avec sous l'accolade « $(\exp D).[\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\,\mathrm{Todd}(X)]$ » ; « $\mathrm{Todd}(X)$ » y est entouré et inséré

Ex. 1 $X$ courbe$/S$ de dim. relative 1. On aura \[\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) = (1 + \underset{\substack{\mid \\ c(L_{\delta})}}{\delta}) (\underset{\substack{\parallel \\ \mathrm{rang}\,\mathcal{F}^{\bullet}}}{\rho} + \underset{\substack{\parallel \\ \det'(\mathcal{F})}}{\gamma}) = 1 + (\delta + \gamma)\] sous le premier membre, « $\delta$ de degré $d$ » ; sous $\delta + \gamma$, « degré $d$ » et « degré $c$ » ; le $1$ du second membre est écrit ainsi bien que le premier facteur donne $\rho$. Les lettres $\rho$ et $\gamma$ sont lues sans certitude \[\mathrm{Todd}(X) = 1 + \underset{\text{degré } 1-g}{\tfrac{1}{2}K}\] \[\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) \otimes \mathrm{Todd}(X) = 1 + \tau , \qquad \text{avec } \deg \tau = 1 - g + d + c\] Il faut prendre les […] \[\boxed{\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = 1 - g + d + c}\] D'autre part, $\varphi(\delta)$ ne peut changer [ici] […] par rapport au calcul précédent dans e) \[\boxed{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}(D^{2}) = \text{polarisation canonique de } B}\] Donc on trouve une section canonique de \[\underline{\mathrm{Alb}}^{\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \chi(\delta) + c}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (B, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] dans le dernier facteur, l'exposant de $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ est surchargé et la lettre sous le produit est peu nette ; la page écrit $(B, \ldots)$, là où la p. 4 avait $(A, \ldots)$ donc, en utilisant le calcul fait dans e), on trouve une section canonique de $\underline{\mathrm{Alb}}^{c}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{c}_{X/S}$. Il n'y a pas de miracle ici, car il suffit de prendre la section définie par [le produit inversible] $\det^{*}\mathcal{F}$ sur $X/S$.

Ex. 2 $X$ un schéma abélien $A$. On a ici $\mathrm{Todd}(X) = 1$. On trouve \[\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \pi\bigl(\mathrm{ch}(L_{\delta}\mathcal{F})\bigr) = \deg a_n\] si on pose \[\mathrm{ch}(L_{\delta}\mathcal{F}) = \sum_{1}^{n} a_i \qquad a_i \in \mathrm{Chow}(A)\] On trouve ensuite, comme avant [terme de degré 1 de] \[\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = (\exp D) . (a_{n-1}) = \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\tfrac{1}{2} D^{2} a_{n-1}\bigr) .\]

f) Nous allons donner une autre interprétation de l'homomorphisme $\ell_{\delta}$ de d), en définissant [(en intégrant exclusivement sur $X \times_S B$)] un homomorphisme \[\boxed{\ell' : X \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}} \quad \text{(additif en $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$)} .\] dans le cadre, l'indice de $\underline{\mathrm{Pic}}$ est écrit $X/B$ ou $X/S$ ; on lit $X/S$, comme dans la parenthèse Pour ceci, soit $g$ une section de $X$, et $\lambda$ une section de $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$, qui (grâce à $g$) est définie par un module inversible $L$ [$= L(\lambda, g)$] sur […] $X$, trivialisé le long de $g$. On a par ailleurs sur $X \times_S B$ ($W_g = W(g)$ faisceau de Weil sur $X \times_S B$, correspondant à $g$), un […] faisceau inv. sur $B$, \[{\det}^{*}\bigl(\mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^{*}(L) \otimes W)\bigr)\] définissant une section $\ell(g, \lambda)$ dont la classe […] $\underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}$. La formation est compatible avec extension de la base, d'où l'hom $\ell$. Désignons, pour une section $g$ de $X$, par $\ell_g$ l'hom $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}$ qu'elle définit.

On va préciser comment $\ell_g$ varie avec $g$. Soit $g'$ une autre section. Alors on a \[L(\lambda, g') = L(\lambda, g)\, g'^{*}(L(\lambda, g))^{-1} =\] donc \[W(g') = W(g)\, g'^{*}_{B}(W(g))^{-1}\] (où $g'_B$ est la section de $X \times_S B / B$ déduite de la section $g'$ de $X/S$). On a donc \[\mathrm{pr}_1^{*}(L(\lambda, g'))\, W(g') = \mathrm{pr}_1^{*}(L(\lambda, g))\, W(g)\, \mathcal{D} \qquad \mathcal{D} = g'^{*}_{B}(L(\lambda, g))^{-1} \otimes_{\mathcal{O}_X} g'^{*}_{B}(W(g))^{-1}\] d'où comme d'habitude \[\ell_{g'}(\lambda) = \ell_g(\lambda) + \bigl\lbrace \text{classe dans } \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} \text{ de } g'^{*}_{B}(W(g))^{-\chi(\lambda)} = (N_{g'} N_g^{-1})^{-\chi(\lambda)}\] \[(*) \qquad = \ell_g(\lambda) + (\psi_X(g') - \psi_X(g))(-\chi(\lambda))\] où $\psi_X : X \to \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}$ est l'hom canonique, et $\underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S}$ est considéré comme torseur sous $A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}$ de la façon habituelle. Donc, considérant l'hom \[\varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}\] induit par $\ell$ de façon évidente, on déduit pour toute section $\delta$ de $\underline{\mathrm{NS}}_{X/S}$ un hom \[\boxed{\ell_{\delta} : X \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}}\] qui, […] définit […] […] […] factorisation $\underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S}$ d'ailleurs par $\underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times}$ […] satisfaisant […] les deux dernières lignes sont biffées d'un trait chacune

De plus, pour une section $g$ de $X/S$, on vérifie que l'on a, pour $\beta \in \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}(S) = B(S)$, \[(**) \qquad \ell_g(\lambda + \beta) = \ell_g(\lambda) + \widetilde{\varphi(\delta)}(\beta) \qquad \bigl(\lambda \in \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}(S)\bigr)\] le signe entre $\ell_g(\lambda)$ et $\widetilde{\varphi(\delta)}(\beta)$ est noyé sous une tache d'encre ; on lit $+$ d'après le reste de la page

En effet, on sait que (comme toute flèche entre torseurs sous des schémas abéliens au-dessus de $S$) $\ell^{\delta}_g : \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}$ est un morphisme [de] torseurs sous $B$ [dans] torseurs sous $A$ […] un hom $\rho : B \to A$, et il faut prouver que $\rho = -\widetilde{\varphi(\delta)}$. On peut pour ceci supposer $S$ le spectre d'un corps alg. clos $k$, et il suffit de prouver que l'on a égalité pour […] éléments […] $B(k)$, i.e. […] [les] […] […] pour $S = \operatorname{Spec} k$ […] […] […] […] $B(k)$, et […] […] $2$ […] […] […] $\psi(g') - \psi(g)$ ($g', g \in X$) […] tout ce paragraphe est encadré et biffé de quatre longues diagonales ; ses dernières lignes sont en outre barrées et surchargées de boucles. On n'en lit que des bribes

Ceci est raisonnable, grâce au fait que $L$ […] faisceau inv. $L_{\beta}$ sur $X$ provient d'un faisceau […] $L_{\beta}$ $W_{\beta}$ sur $A$ via $X \to A$ relevé […] […] $W_{\beta}$ (défini au moyen de $g$), savoir le faisceau de Weil $W$ sur $A \times B$, au cas où $X = A$, $g =$ section unité. Avec les notations développées ailleurs, on doit donc vérifier \[{\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) \simeq {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) \otimes \underbrace{L'_{-\varphi(\delta)(\beta)}}_{\text{faisceau sur $B$ associé à $-\varphi(\delta)(\beta)$}} .\] Prouver […] ces conditions […] […]note oblique dans la marge gauche, en face de « le faisceau de Weil » la lettre gothique devant $(L \otimes L_{\beta})$ est lue $\mathfrak{F}$ (transformation de Fourier–Mukai ?), sans certitude ; un premier mot devant « det » est raturé

Or on a $\det$ \[\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) = \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) * \varepsilon_{-\beta}\] d'où \[{\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) \simeq {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) * \varepsilon_{-\beta}\] donc la classe de ${\det}(\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}))$ dans $\underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}(S)$ est égale à […] celle de ${\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) + \widetilde{\varphi(\delta)}(-\beta)$ (où $\varphi(\delta)$ est l'image de ${\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L)$ dans $\mathrm{NS}(B)$), d'où la conclusion annoncée. vérif., avec […] signes…note oblique dans la marge gauche, le dernier mot souligné

Par suite, on peut interpréter $\ell_g$ comme un hom. $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})$ dans $\underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}$, ou encore comme […] section de $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)}) \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}$. On trouve ainsi […] [un] morphisme variable \[X \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\] qui n'est autre que […] l'hom $\ell_{\delta}$ de d), comme on vérifie facilement. dans la première formule, un « $-$ » semble précéder le second facteur ($\widetilde{\varphi(\delta)}(-\beta)$) ; la lecture de $\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}$ est celle de la p. 18

Remarque a) On n'a pas pu […], dans cette interprétation, à faire intervenir les faisceaux sur $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}$, seulement sur $B$. Notons que si $\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}$ admet pas une section, on peut toujours donner une variante aux constructions précédentes, en supposant donnée une section […]

$B$ sur $S$ et un hom. de groupes \[B \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} ,\] ce qui définit d'ailleurs un torseur $Q$ sous $A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S}$ et un hom canonique \[X \xrightarrow{\ \uncertain{\tau}\ } Q\] l'étiquette de la flèche est une croix qu'on lit $\tau$ sans certitude ; elle reparaît plus bas [C'est par une suite sur la composante […] des $i$ et des $\tau$ que devrait commencer une étude de la petite topologie de Albanese …]. Tout ce qui a été dit ci-dessus alors, on trouve \[X \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}\] définissant \[X \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}\] N.B. […] […] avec la notation $\varphi(\delta)$à droite, souligné « N.B. » qui donne en fait, [compatible avec $i$], si […] un B-torseur $P$ et un hom $P \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}$, \[X \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] se factorisant par \[Q^{-\chi(\delta)} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] i.e. on a une section de \[Q^{\chi(\delta)} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\] dans ces trois formules, le premier facteur du produit contracté sous $B$ est écrit $P$ par-dessus un $\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}$ couvert de hachures ; l'exposant de $\underline{\mathrm{Pic}}$ garde un $\delta$ visible

b) […] plus […], dans le […] […] et généralisation en […], lorsque […] […] […] de sections […] […], Albanese de […] […] $X$ […] de sections […] $X \to A$. […], $X$ […] le paragraphe b) de la Remarque, en bas de page, est encadré et biffé de grandes boucles croisées ; la suite est en page 21 (second lot)