Fonds Grothendieck, cote n° 59, pages 1–20

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] \\ S \end{tikzcd}

f propre plat présentation finie, f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S universel !

\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} = P

\begin{tikzcd} X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_P \arrow[d, no head] \\ S \arrow[r, no head] & P \end{tikzcd}

carré dessiné en haut à droite, sans pointes de flèches. La lettre P est tracée tantôt ronde (une ronde), tantôt droite ; de même pour B plus bas : on écrit P et B partout

a) Supposons X/S muni d'une section g. Alors sur X \times_S P il y a un faisceau inversible canonique \mathcal{L}_g [trivialisé sur g(S) \times_S P]. On en conclut (Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g) \in D_{\mathrm{parf}}(P) \qquad [\, f_P : X \times_S P \to P \,]. Nous nous intéressons en particulier : {\det}^{*}(Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g) = M_g qui est un module inversible [gradué ] sur P.

en S [projectif]note oblique dans la marge gauche, en face de la formule, presque entièrement illisible

b) Remplaçons g par une autre section g'. On a alors un isom canonique \mathcal{L}_{g'} \simeq \mathcal{L}_g \otimes_{\mathcal{O}_P} g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1} d'où : (Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_{g'}) \simeq (Rf_P)_{*}(\mathcal{L}_g)\, g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1} et par suite un isom canonique (*) \qquad M_{g'} \simeq M_g \, g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-\chi} = M_g \,(N_g N_{g'}^{-1})^{\chi} au crayon, deux ovales entourent g'^{*}_P(\mathcal{L}_g)^{-1} dans la ligne précédente et g'^{*}_P(\mathcal{L}_g) ici ; un trait de crayon souligne N_g N_{g'}

N_g N_{g'}^{-1} est algébriquement équivalent à zéro sur P rel/S ; M_{g'} et M_g alg. équiv. : M_g polaris…écrit verticalement dans la marge gauche, encadré, une flèche le rattache au début de c)

où \chi est la fonction localement constante P \to \mathbb{Z} donnée par le rang de Rf_P(\mathcal{L}_g), i.e. la car. d'EP des faisceaux inversibles ~~sur W~~ [sur] les fibres de X ……, et où N désigne un faisceau inv. quelconque sur X \times_S P, et N_g (resp. N_{g'}) le faisceau inv. sur P qu'il définit via la section g (resp. g'). On notera que le facteur de droite . « quelconque sur » est inséré dans l'interligne

c) Soit \delta une section de \underline{\mathrm{NS}}_{X/S}, qui définit donc un torseur P^{\delta} sous P^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}, et considérons la restriction de M_g à P^{\delta}. Nous supposons, pour simplifier, par la suite, que P^{0} est un schéma abélien sur S. au-dessus de « M_g », une insertion « M_g … » que le trait rattache à P^{\delta}

Notons que M_g et M_{g'} définissent la même section de \underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S}(S) en vertu de b), or on a un isom canonique \underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{P^{0}/S} . Donc on trouve une section \varphi(\delta) \in \underline{\mathrm{NS}}_{P^{0}/S}(S) indépendante du choix de la section g de X/S. Par détailler descente, elle est définie sans supposer qu'il existe une section. Comme la formation de \varphi(\delta) est compatible (par construction) à l'extension de la base, on trouve en fait un homomorphisme de schémas (pas nécessairement additif !) \boxed{\varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}} \qquad (B = P^{0} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}).

d) Revenons à \delta . Notons que \underline{\mathrm{Pic}}_{P^{\delta}/S} se déduit de \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} en tordant par ~~l'action~~ le torseur P^{\delta} sous P^{0}, via l'action naturelle de B sur \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} déduite de l'action de B sur lui-même par translations. Cette action est triviale sur \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} et \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} [d'où en particulier des isom \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} , \qquad \underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} \;].

Si \lambda est une section de \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} [donc définit une section, notée encore \lambda, de \underline{\mathrm{NS}}_{P^{\delta}/S}], alors \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S} se déduit de \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S} en tordant à l'aide de P^{\delta}. Or soit A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} \quad (= \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S}) le schéma abélien dual de B, alors \lambda définit un hom \tilde{\lambda} : B \longrightarrow A et l'action de B sur \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S} se déduit de l'action évidente de A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} sur \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S} (qui est un A-torseur) via l'hom \tilde{\lambda}. Donc on trouve \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{B/S} \overset{A}{\times} \underbrace{\bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} A\bigr)} A-torseur déduit du B-torseur P^{\delta} grâce à l'hom. \tilde{\lambda} : B \to Aécrit sous l'accolade

Reprenant les notations de c), nous appliquons ceci au cas où l'on a \lambda = \varphi(\delta) , on trouve que, pour toute section g de X/S, la ~~restriction~~ L_g \mid P^{\delta} définit une section de \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda}_{P^{\delta}/S}, d'où une section la page porte bien L_g, là où c) parlait de M_g

\ell(g) \in \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\lambda})\bigr) La formation de cette dernière commute à tout changement de base, donc on définit un morphisme de schémas (ni plat, …) X \xrightarrow{\ \ell_{\delta}\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) , dans le second facteur, \widetilde{\varphi(\delta)} est écrit par-dessus un premier symbole ; au crayon, en marge gauche, un petit schéma entouré : A \leftarrow B, avec A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0} et B = \underline{\mathrm{Pic}}^{0} en dessous ; deux ovales au crayon entourent les deux membres de la flèche Comme est un torseur sous un schéma abélien A, on trouve une factorisation de \ell_{\delta} par un homomorphisme \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} \struck{(X/S)} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) qui est ~~un homomorphisme~~ compatible avec un certain homomorphisme u_{\delta} : A \longrightarrow A sur les groupes structuraux, A = \underline{\mathrm{Alb}}^{0}_{X/S} . Pour voir quel il est, on vérifie la formule u_{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A , où \chi = \chi(\delta) est (de b)) la fonction S \to \mathbb{Z} dont l'image inverse sur P^{\delta} est \chi \mid P^{\delta} (\chi comme dans b)). On trouve donc un A homomorphisme de A-torseurs l'interligne « une factorisation de \ell_{\delta} par » et « compatible avec un » sont des insertions ; au-dessus de la seconde flèche, un « A » au crayon vérifier si le signe est correct ! \underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi(\delta)}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) i.e. une section canonique \boxed{L(\delta) \in \Gamma\Bigl(S, \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr)\Bigr)} dans le cadre, l'exposant de \underline{\mathrm{Alb}} est \chi(\delta), sans le signe moins de la ligne précédente ; on le laisse tel quel. Sous le second \times, un « X/S » au crayon

A fortiori, le A-torseur \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) est trivial (en fait avec une trivialisation canonique).

e) Pour expliciter ces considérations, il ~~faudrait~~ en\-[core] avec pour tout \delta \in \mathrm{NS}(X/S), « calculer » \varphi(\delta) (et \chi(\delta) …). Pour ceci, on ~~pas supposé~~ est ramené au cas S = \operatorname{Spec} k, k un corps, alg. clos si l'on veut. Choisissons alors p \in P^{\delta}(k), qui correspond : un faisceau inversible L sur X, dans la classe \delta. X \times P^{\delta} ((\mathcal{L}_g)_p = L sur X.) La donnée de p définit un isom P^{\delta} \simeq B et moyennant celui-ci, le faisceau \mathcal{L}_g \mid X \times P^{\delta} se transforme en le faisceau \mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L), où \mathcal{L}^{0} est le faisceau de Weil sur X \times B [relatif au choix du point g \in X(k)] et où L est le faisceau inversible sur X ~~défini~~ de classe \delta déjà envisagé. Il s'agit donc de calculer {\det}^{*}(R\,\mathrm{pr}_{2*})\bigl(\mathcal{L}^{0} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L)\bigr)

~~Si on fait~~ mod équivalence algébrique. ~~Comme \mathrm{NS}(B/S) est sans torsion, il suffit de faire~~ le calcul ~~(cela suffit si )~~ dans \mathrm{NS}(B/S) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}, ~~et à fortiori~~ . On trouve donc les termes de degré 1 dans \mathrm{ch}_B\bigl(R\,\mathrm{pr}_{2*}(\mathcal{L} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L))\bigr). Or le \mathrm{ch}_B se calcule par RR, du moins si X est lisse, une intersection complète, on trouve \varphi(\delta) = \text{termes de degré 1 dans } \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\exp(D + \mathrm{pr}_1^{*}\Delta)\, \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{Todd}_{X/k})\bigr) = \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\exp D \cdot \mathrm{pr}_1^{*}(T_{X/k} \exp \Delta)\bigr) = [\exp D]\,(T_{X/k} \exp \Delta) dans le second membre, un premier « \mathrm{pr} » est surchargé à l'encre et « \exp D » ajouté au crayon, entouré, au-dessus où \begin{cases} D = \mathrm{cl}\,\mathcal{L} \in \mathrm{Gr}^{1}(X \times B) \\ \Delta = \mathrm{cl}\,\Delta \in \mathrm{Gr}^{1}(X) \\ \mathrm{Todd}_{X/k} \in \mathrm{Gr}^{*}(X) \end{cases} la page porte bien « \Delta = \mathrm{cl}\,\Delta », là où l'on attendrait \mathrm{cl}\,L

Nous allons faire le calcul en supposant X lisse en dimension , et en travaillant en cohomologie \ell-adique (\ell \cdot 1_k \neq 0). On choisit, pour simplifier, un isomorphisme T_{\ell}(k^{*}) \simeq \mathbb{Z}_{\ell}, pour éviter le twist de Tate. On a D \in H^{2}(X \times B) = H^{2}(X) + H^{1}(X) \otimes H^{1}(B) + H^{2}(B) et en fait D \in H^{1}(X) \otimes H^{1}(B) (et D définit un isomorphisme entre H^{1}(B) et H^{1}(X)^{\vee}),

On peut écrire D = \sum e_i \otimes e'_i où (e_i) est une base de H^{1}(X), et e'_i est la base duale de H^{1}(B). Posant \mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta = \sum_{i=0}^{n} a^{i} \qquad a^{i} \in H^{2i}(X) on trouve \exp D\, \mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta) = \sum_{i,j} \mathrm{pr}_1^{*}(a^{i})\, D^{j} / j! le terme en i,j étant de degré cohomologique partiel en X égal à 2i + j. Il donne une contribution nulle dans \mathrm{pr}_{2*} sauf si 2i + j = 2n i.e. j = 2(n-i), ~~donc il faut~~ auquel cas on un \mathrm{pr}_{2*} de degré j, qui ne nous intéresse que si j = 2 i.e. n - i = 1. ~~prendre~~ Donc on trouve ~~\sum \frac{1}{2}\, \mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\, D^{2}~~ \varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(a_{n-1})\, D^{2}\bigr) ici l'indice passe en bas : a_{n-1} pour le a^{n-1} de la ligne précédente

Ex. 1 Prenons le cas n = 1. Alors \delta est caractérisé par son degré, soit d. On trouve ~~\mathrm{Todd}_{X/k} \exp \Delta = (1 - \tfrac{K}{2})(1 + \Delta) = 1 + (\Delta - \tfrac{K}{2})~~ ~~degré~~ d - g + 1à droite de la ligne biffée, reliée à elle par un trait \varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}(D^{2}) ~~et il faut prendre \mathrm{pr}_{2*} de \frac{1}{2} D^{2}\, \mathrm{pr}_1^{*}(\Delta - \frac{K}{2})~~

Or on a, si (e_1, f_1, e_2, f_2, \ldots, e_g, f_g) est une base symplectique de H^{1}(X) [e_i f_i = -f_i e_i = \eta, base can. de H^{2}(X)], on identifie H^{1}(X)^{*} à grâce à la dualisation D = \sum (e_i \otimes f_i + f_i \otimes e_i)

donc D^{2} = \sum_{i,j} \underbrace{(e_i \otimes f_i + f_i \otimes e_i)(e_j \otimes f_j + f_j \otimes e_j)} - [\, e_i f_j \otimes f_i e_j + f_i e_j \otimes e_i f_j \,] = -\sum_i (\eta \otimes f_i e_i - \eta \otimes e_i f_i) = 2\eta \sum e_i f_i la deuxième ligne, sous l'accolade, donne le terme général du produit ; la page ne l'indexe pas donc \tfrac{1}{2} D^{2} = \eta \otimes \sum e_i f_i et par suite \varphi(\delta) = \sum e_i \wedge f_i \in H^{2}(B) C'est la classe de polarisation canonique de la jacobienne B. D'ailleurs \chi(\delta) = 1 - g + d vérifier que le signe est correct Utilisons la polarisation canonique par le diviseur \Theta de B, définissant un isom can c : B \longrightarrow A et transformons les A-torseurs de la fin de d) par c^{-1}. On sait que \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} se transforme en \underline{\mathrm{Pic}}^{-1}_{X/S} = P^{-1} \quad \text{(\emph{attention au signe !})} donc \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} devient P^{-\chi(\delta)} = P^{g-1-d}, d'autre part \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \varphi(\delta) = pol. can. de A ~~devient~~ ~~\underline{\mathrm{Pic}}^{1}~~ P^{g-1} (isom. canonique défini par le div. \Theta), enfin P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \underset{\substack{\parallel \\ c}}{\widetilde{\varphi(\delta)}}) \;\text{devient}\; P^{\delta} = P^{d} . Donc le torseur envisagé (produit des trois précédents) est P^{2g-2}. On trouve une section canonique de : ce n'est pas très excitant, car on s'attend à trouver la section canonique K (à prouver !).

N.B. Pour bien faire, il faudrait prouver que sur le schéma modulaire S des schémas en courbes de genre g ~~\geq 1~~ (g \geq 1 ; on choisit une section marquée pour g = 1), tel que si \mathcal{X} est la courbe de genre g universelle, P = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, alors le groupe des sections de P sur S est engendré par K ( en particulier, que le groupe des sections de P^{0} sur S est égal à zéro). Il suffirait de déterminer le groupe en question en car. nulle. l'insertion interlinéaire au-dessus de « courbes », longue d'une ligne, est illisible

f) Ex. 2 Cas X un schéma abélien. Donc X = A. On sait que sur les cycles , \exp D établit \Phi : \mathrm{chow}(A)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{chow}(B)_{\mathbb{Q}} qui transforme élément de degré i en élément de degré complémentaire n - i, et qui transforme produit ordinaire en produit de convolution, et inversement. D'ailleurs T_{X/k} = 1, donc on trouve composante de degré 1 de \varphi(\delta) = \sum \frac{1}{i!}\, \underbrace{\Phi(\Delta)}_{\text{classe d'une courbe}}{}^{*i} = \frac{1}{(n-1)!}\, \Phi(\Delta)^{*(n-1)} . ~~donc~~ On trouve ainsi un hom (polynomial de degré n - 1 ) \varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} On vérifie que, si \delta est une section de \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}, définissant \tilde{\delta} : A \longrightarrow B et \varphi(\delta) section de \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}, d'où \widetilde{\varphi(\delta)} : B \longrightarrow A Faire calcul direct, en faisant attention aux signes !note entourée, en bas à gauche \boxed{\widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A , \qquad \tilde{\delta}\, \widetilde{\varphi(\delta)} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_B} le signe moins du second membre est moins net que celui du premier

Par suite, si \delta est non dégénérée i.e. \chi(\delta) \neq 0, alors \varphi(\delta) est non dégénérée, ~~et si \delta est une polarisation,~~ déduit -\varphi(\delta) = \delta' est une polarisation. On d'ailleurs de la relation plus haut, puisque \deg \tilde{\delta} = \chi(\delta)^{2}, \deg \tilde{\delta}' = \chi(\delta')^{2}, \deg \tilde{\delta}\tilde{\delta}' = \chi(\delta)^{2}\chi(\delta')^{2} = \chi(\delta)^{2n} : \chi(\delta') = \chi(\delta)^{n-1} \qquad \delta' = -\varphi(\delta) dans l'égalité encadrée des degrés, la dernière valeur \chi(\delta)^{2n} est écrite sous le produit, reliée par deux traits verticaux ; l'exposant n-1 est surchargé \delta' = -\varphi(\delta) ; je pense, au carré ; dimension prouver si \delta est une polarisationnote oblique dans la marge gauche, en partie illisible si \varphi(\delta) est non dégénérée, ~~\delta~~ \chi(\delta) l'est.

Notons aussi que si \delta' = \varphi(\delta), \delta'' = -\varphi(\delta'), on a \tilde{\delta}' = \tilde{\delta}^{-1} \chi(\delta) , \qquad \tilde{\delta}''^{-1} = \tilde{\delta}'^{-1} \chi(\delta') = \tilde{\delta}\, \chi(\delta)^{-1} \chi(\delta') = \tilde{\delta}\, \chi(\delta)^{n-2} devant \tilde{\delta}''^{-1}, un premier « \varphi(\varphi(\delta)) » est biffé donc \varphi(\varphi(\delta)) = \delta\, \chi(\delta)^{n-2} les signes sont ceux de la page ; aucun n'y est ajusté Si n = 1, i.e. X une courbe elliptique, on ~~\varphi(\delta) = polarisation canonique,~~ trouve \delta\,\chi(\delta) i.e. \varphi(\varphi(\delta)) est la polarisation canonique ; ~~[N.B. \varphi(~~ mieux, pour tout \delta, \varphi(\delta) est la polarisation canonique. Si n \geq 2, la formule \varphi(\varphi(\delta)) = \delta\,\chi(\delta)^{n-2} inspire confiance directement…

N.B. Il faudrait prouver que sur le ~~schéma~~ site modulaire des schémas abéliens polarisés (A, \delta) en car. 0, avec degré de polarisation donné \chi(\delta), la polarisation \varphi(\delta) = \delta' sur B n'est plus divisible ~~i.e. que~~ ce qui montrerait que \varphi(\delta) est ce qu'on peut faire de mieux dans ce genre, comme bien fait « inversion » d'une polarisation. On On s'attend à ce que \varphi(\delta) engendre le groupe de des sections de \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} sur une quelconque site modulaire… comprenant comme ~~site modulaire~~

L'isomorphisme de la fin de d) nous fournit une section canonique de \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta'}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')\bigr) où \delta' = -\varphi(\delta) comme dessus. En d'autres termes, on trouve un isomorphisme canonique (*) \qquad \boxed{\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')} dans le cadre, l'exposant \delta de \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} est écrit par-dessus un premier exposant, peut-être -\delta ; à droite du cadre, au crayon, « {}_{\mathbb{Z}}A », lecture douteuse

N.B. Comme \delta lisse, \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} (canoniquement) on peut supprimer signes dans … Prouvons que pour \delta ample torseurs ? un isomorphisme compatible avec canoniques, section (*) A… à vérifierlongue note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait, en grande partie illisible

Exemple Supposons que \delta soit de degré 1, \tilde{\delta} : A \xrightarrow{\sim} B, et \tilde{\delta}' : B \xrightarrow{\sim} A est l'inverse. Alors \delta' est la polarisation déduite de \delta par transport de structure : l'inverse de \tilde{\delta}, \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} [ on trouve un isom., via A \xrightarrow{\tilde{\delta}} B] et l'isom. de B-torseurs (compatible avec ) canonique peut s'interpréter comme un isom. \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S} ~~bien connu, l'isomorphisme canonique défini par la symétrie (-1) (-1) et en diviseurs~~ ~~A \times B~~ un bloc de quatre lignes est encadré et biffé de grandes boucles, et une ligne suivante est raturée d'une hachure serrée ; on n'en lit que des bribes

Remarque La section du torseur de la fin de d) est stable par automorphismes de (X/S, \delta) dans le cas actuel, par automorphismes par translations dans X = A. Il ne peut pas venir de section par ce qui suit. On trouve \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) = \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) par translation par \chi(\delta)\, a + \widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta}(a) ; donc on a [\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A + \widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta}]\, a = 0 pour tout a, d'où \widetilde{\varphi(\delta)}\, \tilde{\delta} = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A. Attention aux signes ??en bas à gauche, cerné au crayon

Remarque Dans l'isom can (*), remplaçons \delta par \lambda\delta (\lambda \in \mathbb{Z}). Les deux membres sont remplacés respectivement par \underline{\mathrm{Pic}}^{\lambda^{n-1}\delta'}_{B/S} \simeq \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{(\lambda^{n-1})} et par \underline{\mathrm{Pic}}^{-\lambda\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \lambda^{n-1}\tilde{\delta}') \simeq \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}')\bigr)^{(\lambda^{n})} . les exposants en \lambda sont tracés très vite ; on lit \lambda^{n-1} et \lambda^{n} d'après la ligne suivante, sans certitude Donc on trouve, écrivant l'égalité des deux membres pour \lambda\delta, que \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{\otimes(\lambda^{n} - \lambda^{n-1})} \simeq \text{torseur trivial (canonique)} Faisant \lambda = -1, on trouve \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S}\bigr)^{\otimes 2} \simeq \text{torseur trivial} \quad \text{(canonique)} [N.B. 2 est le p.g.c.d. des valeurs de la forme \lambda^{n} - \lambda^{n-1}]. Vérifier que la trivialisation et la trivialisation canonique définie pour toute section \delta' de \underline{\mathrm{NS}}_{B/S}note oblique dans la marge gauche

~~Lorsque~~ Comme (\delta')' = \chi(\delta)^{n-2}\delta, on en conclut, en échangeant les rôles de A et B \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{\otimes(2\chi(\delta)^{n-2})} \simeq \text{torseur trivial (canon !)} si n \geq 2 (trivial si n \leq 1) Lorsque \chi(\delta) est pair, on a même \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S}\bigr)^{\otimes(\chi(\delta)^{n-2})} \simeq \text{torseur trivial (canonique)} pour \chi(\delta) pair, si n \geq 2, pas les espérances qui suivent… si n \geq 3, vérifier que cette section est encore la section canonique de \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-2}/2}_{A/S}\bigr)^{\otimes 2}, \chi(\delta) pair, et que \delta divisible par 2, il faudrait prouver que la trivialisation la trivialisation canoniquelongue note oblique dans la marge gauche, en bas

Lorsque \chi(\delta) = 1, et que \delta est une polarisation, il faudrait les sections du (\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S})^{\otimes 2} obtenues l'isom \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta} transformant (1) (-1) le dernier paragraphe est encadré et biffé de trois grandes diagonales ; les nombres (1) et (-1) y sont entourés

~~g) Généralisation des constructions précédentes…~~

(Soit \delta ~~polarisation~~ section de \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}, \delta' = \ldots \delta' ~~polarisation~~ de B, \delta'' ~~polarisation de~~ A.) la première ligne est biffée ; « Remarque » (lecture douteuse) au-dessous est surchargé, et la parenthèse qui suit reste ouverte sur la page On a successivement \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (A, \tilde{\delta}') \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta''}_{A/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta'}_{B/S} \overset{A}{\times} (B, \tilde{\delta}'') \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \overset{B}{\times} (B, \tilde{\delta}''\tilde{\delta}') or on a \begin{cases} \delta'' = \delta\, \chi(\delta)^{n-2} \\ \tilde{\delta}''\tilde{\delta}' = \chi(\delta')\, \mathrm{id}_B = \chi(\delta)^{n-1}\, \mathrm{id}_B \end{cases} donc les colonnes de ces \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-2}}_{B/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta\chi(\delta)^{n-1}}_{B/S} d'où \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes[\chi(\delta)^{n-1} - \chi(\delta)^{n-2}]} \simeq \text{torseur trivial (isom.\ canonique)} ici \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta} porte l'indice B/S, là où les deux lignes précédentes mettaient A/S ; on transcrit tel quel Remplaçant \delta par \lambda\delta (\lambda \in \mathbb{Z}), on trouve plus généralement \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes \chi(\delta)^{n-2}(\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1})} \simeq \text{torseur trivial} l'exposant est surchargé : un premier facteur en tête est raturé, et « \lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1} » est repris par-dessus une première écriture ~~\lambda^{n-1}(\lambda\chi(\ldots) \chi(\delta)^{n-2}[\lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1}]~~ ~~Soit \alpha le p.g.c.d.~~ p.p.c.m. des \lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1} (\lambda \in \mathbb{Z}) : donc p divise \alpha ssi \lambda^{n}\chi(\delta) - \lambda^{n-1} \equiv 0 \ (p) pour tout \lambda \in \mathbb{Z} le passage « Soit \alpha … pour tout \lambda \in \mathbb{Z} » est cerné d'un trait et barré en partie ; la lecture de « p.p.c.m. » et du rôle de p est douteuse Faisant \lambda = \pm 1 et ajoutant, on voit \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes 2\chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial} et de même \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{\otimes \chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial si $\chi(\delta)$ pair} [car alors \chi(\delta) - 1 est impair, et on utilise que \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S}\bigr)^{(\chi(\delta)-1)\chi(\delta)^{n-2}} \simeq \text{torseur trivial}. Exemple si n = 2, \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta} trivial et (\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{B/S})^{\otimes 2} trivial, si \chi(\delta) pair…

e) Généralisation des constructions précédentes. la page reprend la lettre e), déjà prise p. 5 ; la rubrique « g) Généralisation… » biffée en tête de la page 13 annonçait ce paragraphe

On revient aux conditions de a), mais on suppose donné un complexe ~~parfait~~ \mathcal{F}^{\bullet} sur X, ~~complexe~~ parfait (ou seulement parfait rel/S) et on considère {\det}^{*} R\,\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathcal{F}^{\bullet}) \otimes \mathcal{L}_g\bigr) = M_g On aura, pour une autre choix g', et un isom. can. M_{g'} \simeq M_g\, g'^{*}_{P}(\mathcal{L}_g)^{-\chi_{\mathcal{F}}} = M_g\, (N_g N_{g'}^{-1})^{\chi_{\mathcal{F}}} maintenant \chi est la fonction rang pour R\,\mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathcal{F}) \otimes \mathcal{L}_g). On trouve alors, pour \mathcal{F} fixe, un homomorphisme \varphi_{\mathcal{F}^{\bullet}} : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} dépendant additivement de \mathcal{F}^{\bullet} (pour la structure de catégorie triangulée de D_{\mathrm{parf}}(X) resp. D_{\mathrm{parf}}(X/S)). On trouve alors, pour toute section \delta de \underline{\mathrm{NS}}_{X/S}, un hom X \xrightarrow{\ \ell^{\mathcal{F}^{\bullet}}_{\delta}\ } \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P^{\delta} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr) d'où un homom. de A-torseurs \underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \times \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr) et enfin une section \boxed{L_{\mathcal{F}}(\delta) \in \Gamma\Bigl(S, \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)}_{B/S} \times \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta)})\bigr)\Bigr)} dans les deux dernières formules, le troisième facteur est écrit \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} là où la p. 4 avait P^{\delta} ; le signe de l'exposant de \underline{\mathrm{Alb}} diffère d'une ligne à l'autre, comme p. 4

Il faut enfin calculer \chi_{\mathcal{F}}(\delta) et \varphi_{\mathcal{F}}(\delta), et pour on est ramené au cas, comme dans e), où S = \operatorname{Spec} k, k corps alg. clos, et à calculer \chi(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}^{\bullet}) \quad\text{et}\quad {\det}^{*} R\,\mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathcal{L} \otimes \mathrm{pr}_1^{*}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\bigr) On note que dans le calcul, \delta disparaît, \mathcal{F} près à condition de remplacer ~~\mathcal{F}~~ \mathcal{F} par L_{\delta} \otimes \mathcal{F}…

On peut le faire par RR si X est loc. une intersection complète (rel/S), on trouve ~~\chi(L_\delta)~~ \chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \chi(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}^{\bullet}) = \pi\bigl(\mathrm{ch}(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\, \mathrm{Todd}(X)\bigr) \varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \text{terme de degré 1 dans } (\exp D) . [\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\, \mathrm{Todd}(X)] la lettre devant la parenthèse, dans la première formule, est lue \pi ; à droite, une ligne ajoutée précise : « = terme constant dans \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\mathrm{pr}_1^{*}(\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}))\,\mathrm{Todd}(X)\, \exp_{X \times B}(D)\bigr) », avec sous l'accolade « (\exp D).[\mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F})\,\mathrm{Todd}(X)] » ; « \mathrm{Todd}(X) » y est entouré et inséré

Ex. 1 X courbe/S de dim. relative 1. On aura \mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) = (1 + \underset{\substack{\mid \\ c(L_{\delta})}}{\delta}) (\underset{\substack{\parallel \\ \mathrm{rang}\,\mathcal{F}^{\bullet}}}{\rho} + \underset{\substack{\parallel \\ \det'(\mathcal{F})}}{\gamma}) = 1 + (\delta + \gamma) sous le premier membre, « \delta de degré d » ; sous \delta + \gamma, « degré d » et « degré c » ; le 1 du second membre est écrit ainsi bien que le premier facteur donne \rho. Les lettres \rho et \gamma sont lues sans certitude \mathrm{Todd}(X) = 1 + \underset{\text{degré } 1-g}{\tfrac{1}{2}K} \mathrm{ch}_X(L_{\delta} \otimes \mathcal{F}) \otimes \mathrm{Todd}(X) = 1 + \tau , \qquad \text{avec } \deg \tau = 1 - g + d + c ~~Il faut prendre les~~ \boxed{\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = 1 - g + d + c} D'autre part, \varphi(\delta) ne peut changer ici par rapport au calcul précédent dans e) \boxed{\varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = \varphi(\delta) = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{pr}_{2*}(D^{2}) = \text{polarisation canonique de } B} Donc on trouve une section canonique de \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \chi(\delta) + c}_{X/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(\underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (B, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) dans le dernier facteur, l'exposant de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est surchargé et la lettre sous le produit est peu nette ; la page écrit (B, \ldots), là où la p. 4 avait (A, \ldots) donc, en utilisant le calcul fait dans e), on trouve une section canonique de \underline{\mathrm{Alb}}^{c}_{X/S} \simeq \underline{\mathrm{Pic}}^{c}_{X/S}. Il n'y a pas de miracle ici, car il suffit de prendre la section définie par le produit inversible \det^{*}\mathcal{F} sur X/S.

Ex. 2 X un schéma abélien A. On a ici \mathrm{Todd}(X) = 1. On trouve \chi_{\mathcal{F}}(\delta) = \pi\bigl(\mathrm{ch}(L_{\delta}\mathcal{F})\bigr) = \deg a_n si on pose \mathrm{ch}(L_{\delta}\mathcal{F}) = \sum_{1}^{n} a_i \qquad a_i \in \mathrm{Chow}(A) On trouve ensuite, comme avant terme de degré 1 de \varphi_{\mathcal{F}}(\delta) = (\exp D) . (a_{n-1}) = \mathrm{pr}_{2*}\bigl(\tfrac{1}{2} D^{2} a_{n-1}\bigr) .

f) Nous allons donner une autre interprétation de l'homomorphisme \ell_{\delta} de d), en définissant (en intégrant exclusivement sur X \times_S B) un homomorphisme \boxed{\ell' : X \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}} \quad \text{(additif en $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$)} . dans le cadre, l'indice de \underline{\mathrm{Pic}} est écrit X/B ou X/S ; on lit X/S, comme dans la parenthèse Pour ceci, soit g une section de X, et \lambda une section de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, qui (grâce à g) est définie par un module inversible L = L(\lambda, g) sur X, trivialisé le long de g. On a par ailleurs sur X \times_S B (W_g = W(g) faisceau de Weil sur X \times_S B, correspondant à g), un faisceau inv. sur B, {\det}^{*}\bigl(\mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^{*}(L) \otimes W)\bigr) définissant une section \ell(g, \lambda) dont la classe \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}. La formation est compatible avec extension de la base, d'où l'hom \ell. Désignons, pour une section g de X, par \ell_g l'hom \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} qu'elle définit.

On va préciser comment \ell_g varie avec g. Soit g' une autre section. Alors on a L(\lambda, g') = L(\lambda, g)\, g'^{*}(L(\lambda, g))^{-1} = ~~donc~~ W(g') = W(g)\, g'^{*}_{B}(W(g))^{-1} (où g'_B est la section de X \times_S B / B déduite de la section g' de X/S). On a donc \mathrm{pr}_1^{*}(L(\lambda, g'))\, W(g') = \mathrm{pr}_1^{*}(L(\lambda, g))\, W(g)\, \mathcal{D} \qquad \mathcal{D} = g'^{*}_{B}(L(\lambda, g))^{-1} \otimes_{\mathcal{O}_X} g'^{*}_{B}(W(g))^{-1} d'où comme d'habitude \ell_{g'}(\lambda) = \ell_g(\lambda) + \bigl\lbrace \text{classe dans } \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} \text{ de } g'^{*}_{B}(W(g))^{-\chi(\lambda)} = (N_{g'} N_g^{-1})^{-\chi(\lambda)} (*) \qquad = \ell_g(\lambda) + (\psi_X(g') - \psi_X(g))(-\chi(\lambda)) où \psi_X : X \to \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} est l'hom canonique, et \underline{\mathrm{Alb}}^{1}_{X/S} est considéré comme torseur sous A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} de la façon habituelle. Donc, considérant l'hom \varphi : \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{NS}}_{B/S} induit par \ell de façon évidente, on déduit pour toute section \delta de \underline{\mathrm{NS}}_{X/S} un hom \boxed{\ell_{\delta} : X \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}} ~~qui, définit factorisation \underline{\mathrm{Alb}}^{\chi(\delta)}_{X/S} d'ailleurs par \underline{\mathrm{Alb}}^{-\chi(\delta)}_{X/S} \overset{A}{\times} satisfaisant~~ les deux dernières lignes sont biffées d'un trait chacune

De plus, pour une section g de X/S, on vérifie que l'on a, pour \beta \in \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}(S) = B(S), (**) \qquad \ell_g(\lambda + \beta) = \ell_g(\lambda) + \widetilde{\varphi(\delta)}(\beta) \qquad \bigl(\lambda \in \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}(S)\bigr) le signe entre \ell_g(\lambda) et \widetilde{\varphi(\delta)}(\beta) est noyé sous une tache d'encre ; on lit + d'après le reste de la page

En effet, on sait que (comme toute flèche entre torseurs sous des schémas abéliens au-dessus de S) \ell^{\delta}_g : \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} est un morphisme [de] torseurs sous B [dans] torseurs sous A un hom \rho : B \to A, et il faut prouver que \rho = -\widetilde{\varphi(\delta)}. On peut pour ceci supposer S le spectre d'un corps alg. clos k, et il suffit de prouver que l'on a égalité pour éléments B(k), i.e. [les] pour S = \operatorname{Spec} k B(k), et 2 \psi(g') - \psi(g) (g', g \in X) tout ce paragraphe est encadré et biffé de quatre longues diagonales ; ses dernières lignes sont en outre barrées et surchargées de boucles. On n'en lit que des bribes

Ceci est raisonnable, grâce au fait que L faisceau inv. L_{\beta} sur X provient d'un faisceau ~~L_{\beta}~~ W_{\beta} sur A via X \to A ~~relevé W_{\beta}~~ (défini au moyen de g), savoir le faisceau de Weil W sur A \times B, au cas où X = A, g = section unité. Avec les notations développées ailleurs, on doit donc vérifier {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) \simeq {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) \otimes \underbrace{L'_{-\varphi(\delta)(\beta)}}_{\text{faisceau sur $B$ associé à $-\varphi(\delta)(\beta)$}} . Prouver ces conditions note oblique dans la marge gauche, en face de « le faisceau de Weil » la lettre gothique devant (L \otimes L_{\beta}) est lue \mathfrak{F} (transformation de Fourier–Mukai ?), sans certitude ; un premier mot devant « det » est raturé

Or on a ~~\det~~ \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) = \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) * \varepsilon_{-\beta} d'où {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta}) \simeq {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) * \varepsilon_{-\beta} donc la classe de {\det}(\mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L \otimes L_{\beta})) dans \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}(S) est égale à celle de {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) + \widetilde{\varphi(\delta)}(-\beta) (où \varphi(\delta) est l'image de {\det} \mathfrak{F}_{\mathcal{L}}(L) dans \mathrm{NS}(B)), d'où la conclusion annoncée. vérif., avec signes…note oblique dans la marge gauche, le dernier mot souligné

Par suite, on peut interpréter \ell_g comme un hom. \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)}) dans \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}, ou encore comme section de \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)}) \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S}. On trouve ainsi un morphisme variable X \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)}) qui n'est autre que l'hom \ell_{\delta} de d), comme on vérifie facilement. dans la première formule, un « - » semble précéder le second facteur (\widetilde{\varphi(\delta)}(-\beta)) ; la lecture de \mathfrak{F}_{\mathcal{L}} est celle de la p. 18

Remarque a) On n'a pas pu , dans cette interprétation, à faire intervenir les faisceaux sur \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}, seulement sur B. Notons que si \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} admet pas une section, on peut toujours donner une variante aux constructions précédentes, en supposant donnée une section

B sur S et un hom. de groupes B \xrightarrow{\ i\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} , ce qui définit d'ailleurs un torseur Q sous A = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{B/S} et un hom canonique X \xrightarrow{\ \uncertain{\tau}\ } Q l'étiquette de la flèche est une croix qu'on lit \tau sans certitude ; elle reparaît plus bas [C'est par une suite sur la composante des i et des \tau que devrait commencer une étude de la petite topologie de Albanese …]. Tout ce qui a été dit ci-dessus alors, on trouve X \times \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} définissant X \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} N.B. avec la notation \varphi(\delta)à droite, souligné « N.B. » qui donne en fait, compatible avec i, si un B-torseur P et un hom P \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S}, X \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) se factorisant par Q^{-\chi(\delta)} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) i.e. on a une section de Q^{\chi(\delta)} \overset{A}{\times} \underline{\mathrm{Pic}}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \overset{A}{\times} \bigl(P \overset{B}{\times} (A, \widetilde{\varphi(\delta)})\bigr) dans ces trois formules, le premier facteur du produit contracté sous B est écrit P par-dessus un \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{X/S} couvert de hachures ; l'exposant de \underline{\mathrm{Pic}} garde un \delta visible

~~b) plus , dans le et généralisation en , lorsque de sections , Albanese de X de sections X \to A. , X~~ le paragraphe b) de la Remarque, en bas de page, est encadré et biffé de grandes boucles croisées ; la suite est en page 21 (second lot)