Cote n° 58 · batch 4 · pages 61–66 · Transcription · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

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61\(C'_i\) : Encre bleue. Deux accolades à gauche regroupent les lignes : la première, marquée « \(C'_i\) », embrasse les trois premières formules ; la seconde, marquée « \(C_n\) », embrasse les deux dernières.

\(H^i(U, F(m)) = 0\) pour \(m\) grand (\(i > 0\) donné)

\(\Updownarrow\)

\(\underline{H}^{i+1}_Z(F) = 0\) i.e. \(H^{i+1}_z(F_z) = 0\) pour \(z \in Z\)

\(\Downarrow\)

\(\mathrm{R}^i g_*(F) = 0\)

\(\Updownarrow\) Cette flèche est surchargée de traits obliques ; on ne sait si elle est biffée ou seulement repassée.

\(C_n\) : \(H^i(U, F(m)) = 0\) pour \(m\) grand, \(0 < i \leq n\) (\(n \geq 1\) donné)

\(\Updownarrow\)

\(H^i\) [[…] supposant que \(F = g_*(F|U)\)] \(\operatorname{prof}_z F > n+1\) pour \(z \in Z\) La seconde double flèche est tracée plus épais, à l'encre plus sombre ; le « \(H^i\) » biffé ouvre la ligne. La lecture « supposant que » est incertaine ; le crochet se ferme avant « \(\operatorname{prof}_z\) ».

Les conditions \(C\) sont les seules qui exigent quelque chose sur la profondeur en les \(z \in Z = X - U\) … et non seulement aux pts de \(U\) ! Le texte s'arrête sur un trait ondulé tiré en travers de la page.

64\(\underline{\mathcal{O}}_{\hat{C}}(1) \rightsquigarrow \underline{\mathcal{O}}_{\hat{C}_X}(1)\) : induit \(0\) sur \(C\) et sur \(C'\) Feuille de brouillon, encre bleue et noire, avec de petites figures (cercles pointés, un cercle traversé d'une courbe, une croix de deux branches) qu'on ne reproduit pas. L'indication « induit … sur \(C\) et sur \(C'\) » est écrite sous la formule, derrière une accolade ; son premier signe (« \(0\) » ou « \(\mathcal{O}\) ») est incertain.

\(\hat{C} =\) Spec \(S[\mathbf{z}]\) Le mot lu « Spec » pourrait être autre chose (on attendrait « Proj » pour le cône projectif, cf. la page 66).

\(\underline{\mathcal{O}}_{\hat{C}}(1)\)

\(\operatorname{Pic}(\hat{C}) \to\) noyau […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Pic}(X) \arrow[r, "\text{injectif}"'] \arrow[rr, bend left=20] & \operatorname{Pic}(\hat{C}') \arrow[r] \arrow[dr] & \operatorname{Pic}(C') \arrow[r] & \operatorname{Pic}(\widetilde{C'}) \\
 & & \text{noyau} &
\end{tikzcd}

Sous \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(\hat{C}')\) : « [bijectif dans le cas \(X\) loc. factoriel] » ; sous \(\operatorname{Pic}(C') \to \operatorname{Pic}(\widetilde{C'})\) : « injectif [surjectif] dans le cas […] factoriel] », le premier mot récrit. Sous « noyau », relié par la flèche oblique : « [engendré par l'image de \(\mathcal{O}_X(1)\)] » (« engendré par » incertain). Un pointillé descend aussi de \(\operatorname{Pic}(C')\) vers « noyau ». À gauche, au-dessus de \(\operatorname{Pic}(X)\), « Pic C » biffé, avec une flèche montante.

\(\operatorname{Pic}(X)/\mathbf{Z}\xi \subset \operatorname{Pic}(\hat{C}')/\mathbf{Z}\xi\)

\(\boxed{\operatorname{Pic}(C) = 0 \ ??}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathbf{Z}\xi \arrow[r, no head] \arrow[d] & \mathbf{Z}\xi \arrow[d, "(?)"] & \\
0 \arrow[r] & \operatorname{Pic}(X) \arrow[r] & \operatorname{Pic}(\hat{C}') \arrow[d] & \\
 & \operatorname{Pic}(C) \arrow[r] & \operatorname{Pic}(C') \arrow[r] & \operatorname{Pic}(\widetilde{C'})
\end{tikzcd}

Les deux \(\mathbf{Z}\xi\) sont reliés par un signe « \(=\) » ; un « \(0\) » au bas du cadre précédent descend vers le second. Le point d'interrogation qui marque sa flèche verticale est encerclé. Une flèche vers la gauche aboutit à \(\operatorname{Pic}(\hat{C}')\) depuis la droite, sans source écrite ; la ligne du bas commence par un signe illisible. De part et d'autre de la flèche \(\operatorname{Pic}(\hat{C}') \to \operatorname{Pic}(C')\) : à gauche « injectif [surjectif] », à droite « injectif [surjectif] ».

\(\boxed{\operatorname{Pic}(C) = 0 \ ?}\) Pic Second cadre, à droite, relié par un trait à un signe effacé.

\(g/f\) \(1/g\)

\(g^m = u f^n\)

\(g = \ill{}\) \(g^m / f\)

\(g = u f^k\)

\(g^m f^n = u\) […] […] […] […] […] […] […] Colonne de formules en marge droite, près de la figure d'un cercle pointé traversé d'un trait vertical ; la dernière ligne, d'une autre encre, est d'une lecture incertaine. La note marginale, sur trois lignes, n'a pas été lue.

65\(X - a\) Feuille de brouillon, encre bleue ; de petites figures (cercles pointés, croix de deux ou trois droites, deux branches se coupant en un point marqué, un carré pointé dans un cadre) accompagnent les formules et ne sont pas reproduites.

\[0 \to H^0_a(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^0(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^0(U, \mathcal{O}_X^*) \to H^1_a(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to \cdots\] \[\cdots \to H^1(U, \mathcal{O}_X^*) \to H^2_a(X, \underline{\mathcal{O}}_X^*) \to H^2(X, \underline{\mathcal{O}}_X^*)\] Sous \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) : « \(= 0\) », en colonne. Les exposants de \(H^1_a\) et de \(H^2_a\) sont récrits sur un premier chiffre. Les deux derniers termes sont soulignés chacun d'une flèche vers la gauche.

\(A^* \to \tilde{A}^*\)

\(F\) \(H^0_x(F)\)

loc. factoriel \(\Rightarrow\) loc. quasi-factoriel \(\Rightarrow\) parafactoriel

factoriel \(\Rightarrow\) 1-factoriel \(\Rightarrow\) 0-factoriel, « loc. » est écrit au-dessus de « quasi-factoriel » ; une double flèche oblique descend de « factoriel » vers « 1-factoriel », et une petite double flèche de « 1-factoriel » vers « 0-factoriel ».

\(\tilde{A} \to \tilde{A}_0\) […]

\(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\)

\(L\) \(L_B\) \(\tilde{X}\) au-dessus de \(X\)

\(1 - \ill{}\)

\(1 - h'\) \(= 2 - h' - h''\)

\(J \subset A \subset B\) \(A/J \hookrightarrow B/JB\)

\[1 - g = \sum (1 - g_i) - \sum n_s , \qquad 1 - g = \nu - \sum g_i - \sum n_s , \qquad g = 1 + \sum g_i + \sum n_s - \nu\]

\[1 - g = 1 - g' - \sum n_s , \qquad g = g' + \sum n_s\] \[1 - g = 2 - g' - g'' - \sum n_s , \qquad g = (g' + g'') + \sum n_s - 1\] Les deux cas sont séparés par un trait oblique : à gauche une seule composante de genre \(g'\), à droite deux composantes de genres \(g'\), \(g''\). Près de la dernière formule : « \(g' + g''\) », « \(g' = g'' = 0\) », « \(\sum g_i\) ».

\(k[x, y, z]/xy\) À côté, la figure de deux droites sécantes coupées par une troisième, et celle de deux branches courbes se coupant en un point.

66\(X\) schéma projectif sur \(k\), \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \simeq k\)

\(C\) le cône projetant affine, a un sommet

\(\hat{C}\) le cône projetant projectif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[r, "i"] \arrow[d] & X' \arrow[r, "\pi"] \arrow[d, "f"] & X \\
a \arrow[r] & \hat{C} &
\end{tikzcd}

Entre les deux flèches verticales, en petits caractères : « section […] II 8.7.5 ». La ligne du bas se prolonge par un trait après \(\hat{C}\).

\(\operatorname{Pic}(X) \xrightarrow{\pi^*} \operatorname{Pic}(X')\), donc [car \(X'\) […] […] fibré […] sur \(X\)] [[…]] Le début de ligne est barré d'un trait ondulé ; l'explication entre crochets, derrière une accolade, se rapporte à la ligne suivante.

donc \(\operatorname{Pic}(X') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(X) \times \mathbf{Z}\) Au-dessus de la flèche, un indice illisible.

\(i^*\colon \operatorname{Pic}(X') \to \operatorname{Pic}(X)\) a comme noyau \(\simeq \mathbf{Z}\), engendré par \(\underline{\mathcal{O}}_{X'}(1)\)

\(\operatorname{Pic}(\hat{C}) \to \operatorname{Pic}(X')\) injectif [car \(f_*(\mathcal{O}_{X'}) = \underline{\mathcal{O}}_{\hat{C}}\)] par II 8.8.6.

Je m'aperçois que \[\boxed{\operatorname{Pic}(\hat{C}) \simeq \mathbf{Z} \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker}\bigl[\operatorname{Pic}(X') \xrightarrow{i^*} \operatorname{Pic}(X)\bigr]}\] Dans le cadre, « \(\simeq \mathbf{Z}\) » est récrit en surcharge, et un trait vertical le sépare de la flèche.

Soit \(C_X\) la partie de \(X'\) au-dessus de \(C\), c'est un fibré […] en […] 1 sur \(X\). Le « 1 » est écrit en surcharge, à l'encre plus sombre, après un mot biffé.

Je dis que : \[\operatorname{Pic}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(C_X) \quad (?)\] faut-il supposer \(X\) localement factoriel ?? Note marginale gauche, oblique, reliée au texte par une flèche. Un astérisque surmonte « Pic » à gauche de la flèche.

Cet […] est […] injectif, car son composé avec \(j^*\colon \operatorname{Pic}(C_X) \to \operatorname{Pic}(X)\), […] […], […] […] […] de \(C_X\) sur l'identité. Pour la surjectivité, on voit que […] au-dessus d'un ouvert convenable de \(X\), La phrase s'interrompt sur la virgule ; le reste de la page est blanc. C'est la dernière page du dossier.