Cote n° 58 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

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22Théorème 2. Soit \(f\colon X \to Y\) un morphisme […] propre de préschémas localement noethériens, avec \(Y\) intègre, \(y_0 \in Y\), \(y_1\) […] le point générique de \(Y\), \(X_0\), \(X_1\) les fibres. Supposons : Pages 22, 24 et 26 : encre bleue, au dos de feuillets dactylographiés ; l'énoncé est encadré à gauche d'un trait vertical.

(a) \(Y\) est [géom.] unibranche en \(y_0\), […] […] et les composantes irréductibles de \(X\) dominent \(Y\). « (a) » est récrit sur un premier signe ; un ajout encadré et biffé, en haut à droite, est illisible.

(b) les composantes irréductibles de (b) […] […] […] \(X_1\) sont de dim \(\geq k+1\), et \(X_1\) est connexe en dim \(\geq k\).

Alors (les composantes irréductibles de \(X_0\) sont de dim \(\geq k+1\)) et \(X_0\) est connexe en dim \(\geq k\).

L'assertion entre parenthèses est bien connue par la théorie de la dimension, et n'utilise pas l'hypothèse unibranche. Celle-ci sert uniquement à appliquer le th. de connexion, qui assure que \(X_0\) est connexe.

24Le Lemme 4 nous ramène alors à vérifier le

Lemme 5 (cas particulier du th.). Sous les conditions du th., mais […], […] \(X_0\) géom. unibranche en \(y_0\), […] […], pour tt pt fermé \(x\) de \(X_0\), […] […] \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})'\) est connexe en dim \(\geq k\). + théorème de dim. dim \(\overline{x}\) […] tel que dim \(\overline{x} \geq k\), que \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})'\) […] L'ajout « + théorème de dim » est encerclé à droite ; la note marginale gauche, oblique, est reliée à l'énoncé.

En effet, le Lemme 1 nous ramène facilement, utilisant l'hypothèse sur \(X_1\), au cas où : \(X_1\) est irréductible de dim \(\geq k+1\), \(X\) irréductible dominant \(Y\), donc \(=\) intègre comme \(Y\). Les […] […] […] […] […] […] […] […] facile (?) […] […] […] […] […] […] […] \(\mathcal{O}_{Y,y_0}\). cas […]

D. \[\dim \mathcal{O}_{X,x} = \underbrace{\dim \mathcal{O}_{Y,y_0}}_{n} + \underbrace{\dim X_1}_{\geq k+1}\]

26Donc divisant \(\mathcal{O}_{X,x}\) par un idéal défini par \(n\) éléments, on […] trouve par le th. général […] (Hyp. : \(\mathcal{O}_{X,x}\) intègre formellement […] de dim \(\geq K+1 = (n+k)+1\)] […] […] qui est connexe en dim \(\geq\) \((n+k)\) \(K - n = k\), cqfd. \(K\) est une capitale au tracé net ; elle vaut ici \(n+k\). La parenthèse ouverte avant « anneau » est fermée par un crochet.

Cor. 1 au th. 2. Variante avec […] « géométriquement […] unibranche », « […] fibres géométriques ».

Cor. 2 Variante avec \(f\) propre univ. ouvert.

Cor. 3 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\), \(X\) […] ⌜les composantes⌝ de \(X\) de dim \(\geq k+1\), et \(X\) connexe en dim \(\geq k\). Alors pour \(H\) système […] \(\ell\) hyperplans \(H_1, \ldots, H_\ell\), et \(X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_\ell = Y\) […] condition analogue avec \(\ell\) […] \(k\). généralisation au cas de \(\alpha\) […] d'un morphisme \(X \to \mathbf{P}^r_k\). Pour une généralisation […] […] […] […] […] […] Note marginale gauche, en bas de page, en partie surchargée.

Couple de Lefschetz-Grauert \((X, Y)\)

Titre écrit par Grothendieck en haut à droite de la couverture grise (page 27) ; « couple de » est écrit au-dessus d'un mot biffé, illisible.

29III […] En tête de page, « III » souligné, suivi d'un signe surchargé illisible.

Introduction

Dans le par. 4, nous avons vu que lorsque \(X\) est propre sur \(Y\) loc. noeth., […] […] […] […] \(A\) […], […] […] […] et si \(Y'\) est une partie fermée de \(Y\), \(X' = f^{-1}(Y')\), […] ⌜[…] […]⌝ comparaison des foncteurs \(\mathrm{R}^i f\) et \(\mathrm{R}^i \hat{f}\) aux « images directes supérieures » aux foncteurs complétés le long de \(Y'\), resp. \(X'\)]. Lorsque \(Y\) était le spectre d'un anneau […] noethérien \(\mathfrak{I}\)-adique complet, et \(Y' = V(\mathfrak{I})\), nous avons des résultats, complétés par un th. de l'existence (par 5), s'exprimant en disant ([…] \(F' \mapsto F'_{/Y'}\) […] […]) […] l'équivalence de la catégorie des […] ⌜Modules⌝ cohérents sur \(X'\) et de la catégorie des Modules cohérents sur \(X'_{/Y'}\), compatible avec les foncteurs […] […] cohomologie. « \(\mathrm{R}^i f\) et \(\mathrm{R}^i \hat{f}\) aux » est biffé d'un trait ; l'interligne au-dessus de « comparaison » porte deux mots illisibles, et « Modules » est écrit au-dessus d'un mot biffé.

Dans le […] […], nous […] […] ces résultats […] […] généralisations à certaines situations, où \(f\colon X' \to X\) n'est plus supposé propre [p. ex. \(f\) une imm. ouverte…] […] […] […] […] […] […] […] […] […]. […] […] […] Le résultat du […] (d'ailleurs […] […]) […] […] des § 4 et 5, […] utilisant des […] th. de finitude (N° 1) […] […] (cf N° 2) […] […] […] […] […] […] […] des […] s'exprimant […] […] toutes des […] ainsi que, puis s'exprimant : des […] […] […] […] […] […] par des […] […] […], […] Bas de page en palimpseste : un long passage encadré est biffé en zigzag, et des renvois (« N° 1 », « N° 2 », « 4 et 5 », ce dernier récrit à l'encre sur un « 4 ») sont intercalés ; on n'en donne que ce qui se lit.

30l'aide de la notion de profondeur. Les ⌜ainsi⌝ résultats obtenus sont l'outil technique principal pour un […] ⌜développement⌝ systématiques de certaines, plusieurs propriétés certains théorèmes du type de « Lefschetz », comparant les propriétés géométriques d'un schéma \(X\) (sections hyperplanes […]) à celles de certains ⌜sous-schémas⌝ […] \(Y\), […] via les propriétés du complété formel \(X_{/Y}\). […] […] […] […] […] […] Ils sont applicables par exemple ([…] […] […] […] […] cônes projetés) au cas d'une […] projective \(X\) et d'une section hyperplane […] convenable, moyennant des hypothèses […] […] convenables sur la […] de \(X\). […] […] […] […] […] […] H. Grauert, qui avait d'ailleurs […] (Bourbaki […]) […] 1958, (utilisant les th. de […] […] Serre [ ]]) […] […] […]. Les ajouts encerclés « ainsi », « développement » et « sous-schémas » sont reliés au texte par des traits. Les crochets vides « [ ] » sont de lui : des références à compléter.

Pour tout \(F\) loc. libre,

La formule de (ii) est surchargée ; le « 2 » et le chapeau sont nets, l'argument de « prof » ne l'est pas.

[[…] […] […] […] […]] […] des Grothendieck […] […] […] […] […]], (p. ex.) […] le th. de Lefschetz […] […] […] […] […] [ ]). […] Le théorème […] […] […] […] […] […] […] Grauert. Note marginale gauche, écrite verticalement, reliée au texte ; on n'en lit que le début et « Grauert ».

31

  1. 1.Généralisation des th. de finitude formelle, et des th. de comparaison. Application à un th. d'existence.
  2. 2.Le Théorème de finitude locale et ses applications.
  3. 3.Fermés de Lefschetz-Grauert, Remarques.
  4. 4.[…] Propriétés des Exemples […]
  5. 3.Cas particulier I : Étude ⌜Théorie⌝ […] […] schémas locaux.
  6. 4.Cas particulier 2 : Étude ⌜Théorie⌝ des schémas ⌜algébriques⌝ projectifs.
  7. 5.Fermés de Lefschetz-Grauert : Remarques, exemples.
  8. 6.Propriétés liées aux \(\pi_0\), \(\pi_1\), Pic.
  9. 7.[Propriétés de permanence]
  10. 8.Théorèmes de pureté, et théorèmes de Lefschetz pour le \(\pi_1\).
  11. 9.Anneaux […] quasi-factoriels et th. de Lefschetz pour Pic.

utiliser IV, § […] sur les morphismes étales… Plan encadré d'un crochet à gauche. Les anciens items 3 et 4 sont enfermés dans un cadre barré de croisillons, avec un « 1 » inscrit par-dessus. « Théorie » remplace « Étude » en interligne aux items 3 et 4 ; un mot encerclé, lu « algébriques », est ajouté au-dessus de « projectifs » (item 4). Le \(\pi_1\) de l'item 6 et le numéro 8 sont encerclés, et la note marginale encadrée « utiliser IV, § … » les relie par deux flèches. Le numéro 9 est écrit sous un numéro encerclé et hachuré.

Fermés de Lefschetz-Grauert

Titre souligné en tête de la page 32, de sa main.

321) Définitions, remarques

Déf. Soient \(X\) un préschéma loc. noeth., \(Y\) une partie fermée, \(n\) un entier. On dit que \(Y\) a la propriété \((\mathrm{LG})_n\) dans \(X\) […] […], si pour tout \(F\) loc. libre sur \(X\), \[(*) \qquad H^i(X, F) \longrightarrow H^i(X_{/Y}, F_{/Y})\] est bijectif pour \(i \leq n\), et injectif pour \(i = n+1\). (inutile « et injectif pour \(i = n+1\) » est encerclé, et la marge gauche porte « inutile » précédé d'une parenthèse encerclée : l'ajout est peut-être déclaré inutile (cf. la Question de la Remarque 1).

On dit que \(Y\) a la propriété LG ⌜faible dans \(X\)⌝ si pour tout \(F\) loc. libre sur \(X\), elle a la propriété \((\mathrm{LG})_0\) \[H^0(X, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(X_{/Y}, F_{/Y})\] [i.e. \(F \mapsto F_{/Y}\) est pl. fid. des Mod. loc. libres sur \(X\) dans ceux sur \(X_{/Y}\)]. On dit que \(Y\) a la propriété LG […] stricte pour tt voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), \(Y\) […] effective propriété LG dans \(U\). si elle a la propriété LG […] \(Y\) […] la propriété LG, [et si de plus pour tout \(F\) loc. libre sur \(X_{/Y}\), […] est isom. à ⌜un⌝ \(F_{/Y}\), […] : un faisceau de la forme […] : \(F\) loc. libre sur un voisinage ouvert \(U\) de \(Y\). « faible dans \(X\) » est écrit en interligne. Dans la troisième définition, « stricte » est d'une lecture incertaine ; les deux lignes qui suivent sont surchargées, un « effective » biffé en interligne (cf. la Remarque 3) et une reprise biffée « si elle a la propriété LG ». \(\Rightarrow\) Si \(\mathfrak{z} \in X\) […] […] tel que \(\overline{\mathfrak{z}} \cap Y = \emptyset\), alors \(\mathfrak{z} \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X\) Question : (LG) implique-t-il […] \(x \in X\) tel que \(\overline{x} \cap Y = \emptyset\) \(\Rightarrow\) \(\operatorname{prof} \mathcal{O}_{X,x} \geq 2\) ??? Deux notes encadrées en marge gauche ; la lettre de la première est un \(\mathfrak{z}\) gothique.

Donc la propriété LG stricte signifie que les foncteurs \(\mathcal{L}(U) \to \mathcal{L}(V)\) [\(U \supset V \supset Y\)] sont pleinement fidèles, et \[\varinjlim_{U \supset Y} \mathcal{L}(U) \longrightarrow \mathcal{L}(X_{/Y})\] est une équivalence de catégories. Sous la formule, de sa main : « "Pseudolimite" de catégories », relié par une flèche à \(\varinjlim\), et « Catégorie des Modules loc. libres sur \(U\) », sous \(\mathcal{L}(U)\). En marge gauche, une bulle soulignée : « Exemples […] […] […] ».

33Remarque 1. La propriété LG faible équivaut à \((\mathrm{LG})_0\). Bien plus, il semble […] que elle implique que \[H^1(X, F) \longrightarrow H^1(X_{/Y}, F_{/Y})\] est injectif, […] […] cas […] de \(\mathcal{O}_X\) par \(F\) […] […] formellement, […] […], […] […] est immédiat. [Question : si […] […] […] […] pour \(i \leq n\), \(\forall\, F\) loc. libre, est-il vrai que […] […] […] pour […] \(i = n+1\), \(\forall\, F\) loc. libre ?] Oui, prendre une […] […] injection \(0 \to F \to I \to G \to 0\) et remarquer […] […] […] […], […] […] […] […] […] [[…] \(G\) […]]. La réponse « Oui, … » est écrite en interligne serré ; lecture très incertaine après « injection ».

Remarque 2. Soit \((L_\alpha)\) une […] de Modules loc. libres sur \(X\), telle que tout Module loc. libre sur \(X\) soit quotient d'une somme directe de Modules \(\check{L}_\alpha\), i.e. \(\simeq\) sous-module ⌜loc. facteur direct⌝ d'une somme directe de Modules \(L_\alpha\) [Ex : \(X\) quasi-affine, \((L_\alpha)\) réduit à \(\mathcal{O}_X\) ; \(X\) quasi-projectif, \(\mathcal{O}(m)\), \(m \geq m_0\)]. Alors \((\mathrm{LG})_n\) équivaut à 2 conditions \[H^i(X, L_\alpha) \simeq H^i(X_{/Y}, L_{\alpha/Y}) \quad \text{pour } i \leq n, \qquad \text{inj pour } i = n+1.\] [N.B. […] […] […] […] […] […] ! ]. Dém. par récurrence sur \(n\), trivial si \(n < -1\), donc […] […], supposons […] […] N.B. […] […] […] […] […] […] condition […] injectif. Le crochet « [N.B. … ! ] » est biffé par un long zigzag ; la note marginale, oblique, lui est reliée.

34pour les \(n' < n\). Prouvons que Alors, nous savons déjà que \((*)\) est bijectif pour \(i \leq n-1\), injectif pour \(i = n\), […] […] […] […] […]. On a une suite exacte \[0 \to F \to L \to G \to 0\] où (\(G\) loc. libre), \(L\) est une somme directe de Modules loc. libres […] \(\simeq L_\alpha\), […] les notations : propriété est vraie pour \(L\). Considérons l'homom. de suites exactes

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^i(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"'] & H^i(G) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & H^{i+1}(F) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"] & H^{i+1}(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha'"] & H^{i+1}(G) \arrow[d, "\beta'"] \\
H^i(\hat{L}) \arrow[r] & H^i(\hat{G}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{F}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{L}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{G})
\end{tikzcd}

Les flèches horizontales sont tracées comme de simples traits ; les flèches verticales \(\alpha\) et \(\alpha'\) portent un signe \(\wr\) à gauche (isomorphismes).

pour \(i = n-1, n\), donc \(i+1 = n, n+1\). Dans le premier cas, on […] prouver que la flèche médiane est surjective, dans le deuxième qu'elle est injective.

\(\alpha\)) \(i = n-1\), on sait par hyp. de réc. que tout bijection \(\beta\) est surjection, il en est de même de \(\alpha\), de plus, d'autre part, par hyp., \(\beta'\) est injection. Par le lemme des 5, \(\varphi\) est bijection surjection ([…] bijection). « \(\beta'\) est injection » est encerclé et relié à la ligne ; il remplace un passage biffé « […] par l'hyp. de réc. […] ».

\(\beta\)) \(i = n\), on sait par a) […] […] b) pour \(\beta\) […] […] que \(\alpha\) et \(\beta\) sont bijectives, […] \(\alpha\) est surj., \(\beta\) inj., de plus \(\varphi'\) est inj. Dans la dernière ligne, les primes des lettres \(\alpha\), \(\beta\) ne se distinguent pas ; le dernier symbole est lu \(\varphi'\), avec doute.

35Remarque 3. La condition LG […] LG effective est stable par passage de \(X\) à un voisinage ouvert \(U\) de \(Y\). Il n'en est pas de même en général des conditions \((\mathrm{LG})_n\), en particulier \((\mathrm{LG})_0\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \((\mathrm{LG})_0\) […] probablement […] \(=\) […] \((\mathrm{LG})_0\), [et d'ailleurs] en vertu du fait que un Module loc. libre \(F\) sur un voisinage \(U\) de \(Y\) n'est […] pas restriction d'un Module loc. libre sur voisinage \(X\). Si cependant tout \(F\) […] […] est un quotient d'un Module loc. libre sur \(X\) [p. ex. si tout Module coh. sur \(X\) est quotient d'un Module loc. libre, p. ex. \(X\) quasi-projectif] alors \((\mathrm{LG})_0\) pour \((X, Y)\) implique \((\mathrm{LG})_0\) pour tout \((U, Y)\) i.e. LG pour \((X, Y)\). En effet il suffit : […] prouver que pour \(F\) loc. libre sur \(X\), \[H^0(U, F) \longrightarrow H^0(U_{/Y}, F_{/Y})\] est bijectif, or on sait déjà qu'il est surjectif, [car \(H^0(X, F) \to H^0(U, F) \to H^0(U_{/Y}, F_{/Y})\) l'est] reste à vérifier l'injectivité, […], donc […] ⌜ce qui résulte de⌝ Deux lignes au début de la remarque sont enfermées dans un cadre barré de deux grandes courbes ; ce qui s'y lit est donné biffé.

36\[x \in U, \quad \overline{x}^{(U)} \cap Y = \emptyset \Longrightarrow x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X ,\] ou encore […] […]

Lemme. Si \((Y, X)\) satisfait \((\mathrm{LG})_0\), alors pour tout \(x \in X\) tel que \(Y \cap \overline{x} = \emptyset\), on a \(x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X\), du moins si \(X\) est quasi-projectif.

Dém. Sinon, il existerait un sous-faisceau cohér. \(F\) […] de \(\mathcal{O}_X\) […] de support \(\overline{x}\). Donc il existerait une section non nulle de \(F(m) \subset \mathcal{O}_X(m)\) [\(m\) assez grand], donc […] elle induirait une section nulle de \(\mathcal{O}_X(m)_{/Y}\), absurde.

Conclusion pratique : si \(X\) quasi-projectif, alors \[(\mathrm{LG})_0 \Longleftrightarrow (\mathrm{LG})_{\text{faible}} \Longleftrightarrow (\mathrm{LG}) \Longleftrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X(n)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(n)_{/Y})\] pour \(n\) grand. Conclusion encadrée. La dernière flèche, lue \(\Longleftrightarrow\), a une pointe gauche à peine marquée (une première lecture donnait « \((\mathrm{LG})_X \Longrightarrow\) »). Sous le cadre, trois flèches courbes au crayon, chacune marquée « \(n\) », renvoient de la dernière implication vers les membres précédents : la réciproque vaut sans doute pour tout \(n\).

372) Premières propriétés [concernant \(\pi_0\), \(\pi_1\), Pic]

Proposition. Supposons que \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^0(X_{/Y}, \mathcal{O}_{X/Y})\] soit injectif [bijectif] ; alors \(\pi_0(Y) \to \pi_0(X)\) est surjectif [bijectif], en particulier \((\mathrm{LG})_{-1}\) [resp. \((\mathrm{LG})_0\)] implique que \(\pi_0(Y) \to \pi_0(X)\) est surjectif [bijectif].

Proposition. Supposons que \((X, Y)\) satisfasse […] LG (resp. LG stricte), […] […] […] […] […] de \(Y\). Alors \(\pi_1(Y) \to \pi_1(X)\) est surjectif [resp. \[\pi_1(Y) \longrightarrow \varprojlim_{U \text{ voisinage ouvert de } Y} \pi_1(U)\] est un homom. surjectif [resp. bijectif]]. L'ajout « […] de \(Y\) », en haut à droite, est relié à l'énoncé par un trait ; le point-base des \(\pi_1\) y est peut-être précisé. (i) […] … (ii) […] … Un homom. \(F \to G\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] La marge gauche porte, écrites verticalement et scandées d'accolades, des notes « (i) », « (ii) » sur les homomorphismes de Modules ; presque illisibles.

Résultats […] […] plus généraux

Corollaire Lemme. Supposons LG. Alors […] […] \(F\) loc. libre sur \(X\), (i) toute structure d'alg. [[…] […], […] […]] sur \(\hat{F}\) provient d'une structure […] d'algèbre unique sur \(F\), […] […] […] ([…] […], […] […]) […] […] […] ; (ii) les décompositions de \(\hat{F}\) […] […] produits de facteurs […] […] correspondent […] […] […] […] de \(\hat{F}\) […] celles de \(F\) [[…]]. Donc si \(X' = \operatorname{Spec}(F)\), alors \(X'\) connexe ssi \(\hat{X}'_{/Y}\) connexe [[…] […] […] […] […] […] v.l. fidèle […] […] catégories […]] Le paragraphe du Lemme est barré de quatre longs traits obliques ; il reste lisible dans ses formules. « Lemme » remplace « Corollaire » biffé.

38d'où au contraire, utilisant l'équivalence de 2 catégories des rev. étales de \(X\) […] et des rev. étales de \(X_{/Y}\), la

Corollaire. Si (LG) vaut, alors le foncteur \(X' \mapsto X' \times_X Y\) des rev. étales de \(X\) dans les rev. étales de \(Y\) est pleinement fidèle. Si \(X\) (LG) strict vaut, pour Il en est de même si on remplace \(Y\) par un voisinage ouvert \(U\) de \(Y\). Si (LG) strict vaut, alors pour tout rev. étale \(Y'\) de \(Y\), il existe un […] voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), et un rev. étale \(U'\) de \(U\), tel que ⌜[…]⌝ un \[U' \times_U Y \simeq Y' .\] (Si \(U\) est choisi) \(U'\) est essentiellement unique : Donc unique près).

Remarque. Nous verrons plus loin des conditions, liées aux « Th. de pureté » permettant de conclure que \(\pi_1(Y) \to \pi_1(X)\) est surjectif ⌜bijectif⌝. Kif-Kif pour Pic … Dans \(\pi_1(Y)\) le \(Y\) est récrit sur un \(X\) ; « bijectif » est écrit au-dessus de « surjectif » biffé.

39Proposition (i) Si (LG) est satisfaite, alors pour tt voisinage ouvert \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{/Y})\) est injectif, […] et plus généralement, […] […] on a \[\varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_{/Y})\] […] […] homom. de transition injectifs.

(ii) Si (LG) strict est satisfait, alors ceci est un isom.

Corollaire. Supposons que \(Y\) « est » un diviseur de Cartier sur \(X\), soit […] \(\Lambda \simeq \underline{L}(Y)\) le faisceau inversible associé, donc \(i^*(\Lambda)^{-1} \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\), où \(\mathcal{J}\) est l'Idéal définissant \(Y\). [\(i\colon Y \to X\) désigne l'injection canonique.] intéressant aussi […] […] […] propriétés

(i) Supposons \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), et (LG). Alors \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif. [[…] […] les […] […] […] \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\) sont injectifs, donc bijectifs […]]

(ii) Supposons \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) et \(H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), et (LG) strict. Alors \[\varinjlim_{U \ni Y} \operatorname{Pic}(U) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(Y) .\] [[…] […] […], \(\varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\) […] […] […] injectifs] Au (ii), un trait traverse « \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) » ; il n'est pas sûr que ce soit une biffure, la conclusion demandant les deux annulations (cf. le Lemme de la page 40). La note marginale gauche, reliée par un trait à (i), rappelle l'injectivité des \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\).

40Cor. prop. ci-dessus […] […] […] résultent aussitôt du […] ⌜[…] […]⌝ lemme. Corollaire de la prop. […] […] Deux lignes de liaison en tête de page, récrites en interligne.

Lemme (i) Si \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), alors […] Pic le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_0\) des modules […] inversibles sur \(\hat{X}\) dans les modules inversibles sur \(Y\) est pl. fidèle, […] donc \(\operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif.

(ii) Si de plus, \(H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), alors le foncteur précédent est une équiv. de catégories, donc \(\operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est un isom.

3) Théorème de permanence. Tout ce qui suit sur la page est annulé par de longs traits obliques croisés ; on le donne tel qu'il se lit.

Théorème 1. Supposons que \(X, Y\) \((X, Y)\) satisfasse \((\mathrm{LG})_n\) et \(X\) est quasi-projectif. Alors pour tt \((\mathrm{LG})_n\) et soit \(f\colon X' \to X\) un morphisme […] Alors \(f\colon X' \to X\), projectif et plat, \[Y' = f^{-1}(Y) ,\] \((X', Y')\) satisfait \((\mathrm{LG})_n\).

Théorème 2 Si \((X, Y)\) satisfait (LG), alors

Th. 2 Si \((X, Y)\) satisfait (LG) [resp. (LG) effectif], \(X\) quasi-projectif, — alors L'énoncé s'interrompt au bas de la page 40 ; la suite est dans le lot suivant.