Cote n° 58 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Théorie de " Lefschetz-Grauert ". Applications en π₁, à Pic etc… : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964]
Édition de démonstration

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22Théorème 2. Soit \(f\colon X \to Y\) un morphisme […] propre de préschémas localement noethériens, avec \(Y\) intègre, \(y_0 \in Y\), \(y_1\) […] le point générique de \(Y\), \(X_0\), \(X_1\) les fibres. Supposons : Pages 22, 24 et 26 : encre bleue, au dos de feuillets dactylographiés ; l'énoncé est encadré à gauche d'un trait vertical.

(a) \(Y\) est [géométriquement] unibranche en \(y_0\), […] […] et les composantes irréductibles de \(X\) dominent \(Y\). « (a) » est récrit sur un premier signe ; un ajout encadré et biffé, en haut à droite, est illisible.

(b) les composantes irréductibles de \(X_1\) sont de dim \(\geq k\), (b) […] […] […] et \(X_1\) est connexe en dim \(\geq k\). Le « \(k\) » de la première condition de (b) pourrait être « \(k+1\) » ; le tracé est serré en bout de ligne.

Alors (les composantes irréductibles de \(X_0\) sont de dim \(\geq k+1\)) et \(X_0\) est connexe en dim \(\geq k\).

L'assertion entre parenthèses est bien connue par la théorie de la dimension, et n'utilise pas l'hypothèse unibranche. Celle-ci sert uniquement à appliquer le th. de connexion, qui assure que \(X_0\) est connexe.

24Le Lemme 4 nous ramène alors à vérifier le

Lemme 5 (variante […] […] th.). Sous les conditions du th., mais […] \(X_0\) […] unibranche, pour \(x \in X_0\), […] […] \(x\) de \(X_0\), \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})'\) est connexe en dim \(\geq k\). + théorème de dim. dim \(\overline{x}\) […] tel que dim \(\overline{x} \geq k\), que \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})'\) […] L'ajout « + théorème de dim » est encerclé à droite ; la note marginale gauche, oblique, est reliée à l'énoncé.

En effet, le Lemme 1 […] […] nous ramène facilement au cas où […] l'hypothèse sur \(X_1\), […] […] : \(X_1\) est irréductible de dim \(\geq k+1\), de dim \(\geq k+1\), \(X\) irréductible, […] […] de \(Y\), donc \(=\) intègre comme \(Y\). Les […] […] […] […] […] […] […] […] facile (?) […] […] […] […] […] […] […] \(\mathcal{O}_{Y,y_0}\). cas […]

D. \[\dim \mathcal{O}_{X,x} = \underbrace{\dim \mathcal{O}_{Y,y_0}}_{n} + \underbrace{\dim X_1}_{\geq k+1}\]

26Donc divisant \(\mathcal{O}_{X,x}\) par un idéal défini par \(n\) éléments, on […] trouve par le th. général […] ([…] : \(\mathcal{O}_{X,x}\) anneau formellement […] de dim \(\geq K+1 = (n+k)+1\)] […] […] […] connexe en dim \(\geq\) […] \(K - n = k\), cqfd. \(K\) est une capitale au tracé net ; elle vaut ici \(n+k\). La parenthèse ouverte avant « anneau » est fermée par un crochet.

Cor. 1 au th. 2. Variante […] « géométriquement […] », « […] fibres géométriques.

Cor. 2 Variante avec \(f\) propre […] ouvert.

Cor. 3 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\), \(X\) […] les composantes de \(X\) de dim \(\geq k+1\), et \(X\) connexe en dim \(\geq k\). Alors pour \(H\) système linéaire, […] […] d'hyperplans \(H_1, \ldots, H_\ell\), \(X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_\ell = Y\) […] condition analogue avec \(\ell\) […] \(k\). généralisation au cas de \(\alpha\) […] d'un morphisme \(X \to \mathbf{P}^r_k\). Pour une généralisation […] […] […] […] […] […] Note marginale gauche, en bas de page, en partie surchargée.

Couple de Lefschetz-Grauert \((X, Y)\)

Titre écrit par Grothendieck en haut à droite de la couverture grise (page 27) ; « couple de » est écrit au-dessus d'un mot biffé, illisible.

29III […] En tête de page, « III » souligné, suivi d'un signe surchargé illisible.

Introduction

Dans le § […], nous avons vu que lorsque \(X\) est propre sur \(Y\) loc. noeth., […] […] […] […] […], et si \(Y'\) est une partie fermée de \(Y\), \(X' = f^{-1}(Y')\), la comparaison des foncteurs \(\mathrm{R}^i f\) et \(\mathrm{R}^i \hat{f}\) aux « […] […] » […] […] complètement […] […] de \(Y'\), […] \(X'\)]. Lorsque \(Y\) […] est le spectre d'un […] […] […] […] complet, et \(Y' = V(\mathfrak{I})\), […] […], complétés par un […] […] l'existence (par 5), s'exprimant […] […] […] […] l'équivalence de la catégorie des […] Modules cohérents sur \(X\) et de la catégorie des Modules cohérents sur \(X'_{/Y'}\), compatible […] […] […] […] […]. Les foncteurs lus « \(\mathrm{R}^i f\) » et « \(\mathrm{R}^i \hat{f}\) » sont soulignés d'un trait qui les biffe peut-être ; « complètement » est d'une lecture incertaine.

Dans le […] […], nous […] […] ces résultats […] […] généralisations à certaines situations, où \(f\colon X' \to X\) […] […] […] [p. ex. \(f\) une imm. ouverte […]] […] […] […] […] […] […] […] […] […]. […] […] […] Le résultat du […] (d'ailleurs […] […]) […] […] des § 4 et 5, […] utilisant des […] th. de finitude (N° 1) […] […] (cf N° 2) […] […] […] […] […] […] […] des […] s'exprimant […] […] toutes des […] ainsi que, puis s'exprimant : des […] […] […] […] […] […] par des […] […] […], […] Bas de page en palimpseste : un long passage encadré est biffé en zigzag, et des renvois (« N° 1 », « N° 2 », « 4 et 5 », ce dernier récrit à l'encre sur un « 4 ») sont intercalés ; on n'en donne que ce qui se lit.

30l'aide de la notion de profondeur. Les […] résultats obtenus sont l'outil technique principal pour un […] […] […] systématique des […] propriétés du type de « Lefschetz », […] les propriétés géométriques d'un schéma \(X\) ([…]) à celles de […] sous-schéma \(Y\), […] via les propriétés du complété formel \(X_{/Y}\). […] […] […] […] […] […] Ils sont applicables par exemple (repris […] […] […] […] […] […]) au cas d'une section projective […] \(X\) […] […] […] hyperplane […], moyennant des hypothèses […] […] […] sur la […] de \(X\). […] […] […] […] […] […] H. Grauert, qui avait d'ailleurs […] (Bourbaki […]) […] 1958, (utilisant les th. de […] […] Serre [ ]]) […] […] […]. Le haut de page est lu d'après les mots soulignés ou encerclés ; les ajouts encerclés « ainsi » et « développement » (lecture incertaine) sont reliés au texte par des traits. Les crochets vides « [ ] » sont de lui : des références à compléter.

Pour tout \(F\) loc. libre,

La formule de (ii) est surchargée ; le « 2 » et le chapeau sont nets, l'argument de « prof » ne l'est pas.

[[…] […] […] […] […]] […] des Grothendieck […] […] […] […] […]], (p. ex.) […] le th. de Lefschetz […] […] […] […] […] [ ]). […] Le théorème […] […] […] […] […] […] […] Grauert. Note marginale gauche, écrite verticalement, reliée au texte ; on n'en lit que le début et « Grauert ».

31

  1. 1.Généralisation des th. de finitude formelle, et des th. de comparaison. Application à un th. d'existence.
  2. 2.Le Théorème de finitude locale et ses applications.
  3. 3.[…] de Lefschetz-Grauert. Remarques.
  4. 4.[…] […] […] Exemples […]
  5. 3.Cas particulier I : Étude Théorie […] […] locaux.
  6. 4.Cas particulier 2 : Étude Théorie des […] projectifs.
  7. 5.Fermés de Lefschetz-Grauert : Remarques, exemples.
  8. 6.Propriétés liées aux \(\pi_0\), \(\pi_1\), Pic.
  9. 7.[Propriétés de permanence]
  10. 8.Théorèmes de pureté, et théorèmes de Lefschetz pour le \(\pi_1\).
  11. 9.Anneaux […] quasi-factoriels et th. de Lefschetz pour Pic.

utiliser IV, § […] sur les morphismes étales… Plan encadré d'un crochet à gauche. Les anciens items 3 et 4 sont enfermés dans un cadre barré de croisillons, avec un « 1 » inscrit par-dessus. « Théorie » remplace « Étude » en interligne aux items 3 et 4 ; un mot encerclé est ajouté au-dessus de « projectifs » (item 4), illisible. Le \(\pi_1\) de l'item 6 et le numéro 8 sont encerclés, et la note marginale encadrée « utiliser IV, § … » les relie par deux flèches. Le numéro 9 est écrit sous un numéro encerclé et hachuré.

Fermés de Lefschetz-Grauert

Titre souligné en tête de la page 32, de sa main.

321) Définitions, remarques

Déf. Soient \(X\) un préschéma loc. noeth., \(Y\) une partie fermée, \(n\) un entier. On dit que \(Y\) a la propriété \((\mathrm{LG})_n\) dans \(X\) […] […], si pour tout \(F\) loc. libre sur \(X\), \[(*) \qquad H^i(X, F) \longrightarrow H^i(X_{/Y}, F_{/Y})\] est bijectif pour \(i \leq n\), et injectif pour \(i = n+1\). (inutile « et injectif pour \(i = n+1\) » est encerclé, et la marge gauche porte « inutile » précédé d'une parenthèse encerclée : l'ajout est peut-être déclaré inutile (cf. la Question de la Remarque 1).

On dit que \(Y\) a la propriété LG faible si pour tout \(F\) loc. libre sur \(X\), elle a la propriété \((\mathrm{LG})_0\) \[H^0(X, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(X_{/Y}, F_{/Y})\] [i.e. \(F \mapsto F_{/Y}\) est pl. fid. […] […] Mod. loc. libres sur \(X\) […] ceux sur \(X_{/Y}\)]. On dit que \(Y\) a la propriété LG […] stricte […] si […] voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), […] définit […] […] […] propriété LG, et si de plus pour tout \(F\) loc. libre sur \(X_{/Y}\), […] […] isom. […] \(F_{/Y}\), […] un faisceau […] de la forme […] : \(F\) loc. libre sur un voisinage \(U\) de \(Y\). Le mot écrit au-dessus de « \(X\) » à la troisième définition (« faible », lu d'après la Remarque 1 et la page 36) est d'une lecture incertaine ; de même « stricte ». \(\Rightarrow\) Si \(\mathfrak{z} \in X\) […] […] tel que \(\overline{\mathfrak{z}} \cap Y = \emptyset\), alors \(\mathfrak{z} \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X\) Question : (LG) implique-t-il […] \(x \in X\) tel que \(\overline{x} \cap Y = \emptyset\) \(\Rightarrow\) \(\operatorname{prof} \mathcal{O}_{X,x} \geq 2\) ??? Deux notes encadrées en marge gauche ; la lettre de la première est un \(\mathfrak{z}\) gothique.

Donc la propriété LG stricte signifie que les foncteurs \(\mathcal{L}(U) \to \mathcal{L}(V)\) [\(U \supset V \supset Y\)] sont pleinement fidèles, et \[\varinjlim_{U \supset Y} \mathcal{L}(U) \longrightarrow \mathcal{L}(X_{/Y})\] est une équivalence de catégories. Sous la formule, de sa main : « "Pseudolimite" de catégories », relié par une flèche à \(\varinjlim\), et « Catégorie des Modules loc. libres sur \(U\) », sous \(\mathcal{L}(U)\). En marge gauche, une bulle soulignée : « Exemples […] […] […] ».

33Remarque 1. La propriété LG faible équivaut à \((\mathrm{LG})_0\). D'autre part, il semble […] que elle implique que \[H^1(X, F) \longrightarrow H^1(X_{/Y}, F_{/Y})\] est injectif, […] […] cas […] de \(\mathcal{O}_X\) par \(F\) […] […] formellement, […] […], […] […] est immédiat. [Question : si […] […] […] […] pour \(i \leq n\), \(\forall\, F\) loc. libre, est-il vrai que […] […] […] pour […] \(i = n+1\), \(\forall\, F\) loc. libre ?] Oui, prendre une […] […] injection \(0 \to F \to I \to G \to 0\) et remarquer […] […] […] […], […] […] […] […] […] [[…] \(G\) […]]. La réponse « Oui, … » est écrite en interligne serré ; lecture très incertaine après « injection ».

Remarque 2. Soit \((L_\alpha)\) une […] de Modules loc. libres sur \(X\), telle que tout Module loc. libre sur \(X\) soit quotient d'une somme directe de Modules \(\check{L}_\alpha\), i.e. \(\simeq\) sous-module (loc. facteur direct) d'une somme directe de Modules \(L_\alpha\) [Ex : \(X\) quasi-affine, \((L_\alpha)\) réduit à \(\mathcal{O}_X\) ; \(X\) quasi-projectif, \(\mathcal{O}(m)\), \(m \geq m_0\)]. Alors \((\mathrm{LG})_n\) équivaut à 2 conditions \[H^i(X, L_\alpha) \simeq H^i(X_{/Y}, L_{\alpha/Y}) \quad \text{pour } i \leq n, \qquad \text{inj pour } i = n+1.\] [N.B. […] […] […] […] […] […] ! ]. Démontrons […] récurrence sur \(n\), trivial si \(n < -1\), donc […] […], supposons […] […] N.B. […] […] […] […] […] […] condition […] injectif. Le crochet « [N.B. … ! ] » est biffé par un long zigzag ; la note marginale, oblique, lui est reliée.

34pour les \(n' < n\). Prouvons que Alors, nous savons déjà que \((*)\) est bijectif pour \(i \leq n-1\), injectif pour \(i = n\), […] […] […] […] […]. On a une suite exacte \[0 \to F \to L \to G \to 0\] où (\(G\) loc. libre), \(L\) est une somme directe de Modules loc. libres […] \(\simeq L_\alpha\), […] les notations : […] […] […] pour \(L\). Considérons l'homom. de […] […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^i(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"'] & H^i(G) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & H^{i+1}(F) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"] & H^{i+1}(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha'"] & H^{i+1}(G) \arrow[d, "\beta'"] \\
H^i(\hat{L}) \arrow[r] & H^i(\hat{G}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{F}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{L}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{G})
\end{tikzcd}

Les flèches horizontales sont tracées comme de simples traits ; les flèches verticales \(\alpha\) et \(\alpha'\) portent un signe \(\wr\) à gauche (isomorphismes).

pour \(i = n-1\), […] […] \(i+1 = n, n+1\). Dans le premier cas, […] […] […] […] la flèche médiane est surjective, dans le deuxième qu'elle est injective.

\(\alpha\)) \(i = n-1\), […] […] par hyp. de réc. que […] […] \(\beta\) est surjection, […] […] […] […] […], par hyp., \(\beta'\) est injection. Par le lemme des 5, \(\varphi\) est […] surjection ([…] bijection). « \(\beta'\) est injection » est encerclé et relié à la ligne ; il remplace un passage biffé « […] par l'hyp. de réc. […] ».

\(\beta\)) \(i = n\), […] […] […] […] […] […] […] \(\beta\) […] […] que \(\alpha\) et \(\beta\) sont bijectives, […] \(\alpha\) est surj., \(\beta\) inj., de plus \(\varphi'\) […] inj. Dans la dernière ligne, les primes des lettres \(\alpha\), \(\beta\) ne se distinguent pas ; le dernier symbole est lu \(\varphi'\), avec doute.

35Remarque 3. La condition LG […] LG effective […] stable […] passage de \(X\) à un voisinage ouvert de \(Y\). Il n'en est pas de même en général des conditions \((\mathrm{LG})_n\), […] […] \((\mathrm{LG})_0\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \((\mathrm{LG})_0\) […] probablement […] \(=\) […] \((\mathrm{LG})_0\), [et d'ailleurs] […] […] […] fait que un Module loc. libre \(F\) sur un voisinage \(U\) de \(Y\) n'est […] […] restriction d'un Module loc. libre sur voisinage \(X\). Si cependant tout \(F\) […] […] […] un quotient d'un Module loc. libre sur \(X\) [p. ex. si tout Module coh. sur \(X\) est quotient d'un Module loc. libre, p. ex. \(X\) quasi-projectif] alors \((\mathrm{LG})_0\) pour \((X, Y)\) implique \((\mathrm{LG})_0\) pour tout \((U, Y)\) i.e. LG pour \((X, Y)\). En effet […] […] : […] […] […] \(F\) loc. libre sur \(X\), \[H^0(U, F) \longrightarrow H^0(U_{/Y}, F_{/Y})\] est bijectif, […] […] […] […] […] surjectif, [car \(H^0(X, F) \to H^0(U, F) \to H^0(U_{/Y}, F_{/Y})\) […] […]] reste à vérifier l'injectivité, […], […] […] qui résulte de Deux lignes au début de la remarque sont enfermées dans un cadre barré de deux grandes courbes ; ce qui s'y lit est donné biffé.

36\[x \in U, \quad \overline{x}^{(U)} \cap Y = \emptyset \Longrightarrow x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X ,\] […] […] […]

Lemme. Si \((Y, X)\) satisfait \((\mathrm{LG})_0\), alors pour tout \(x \in X\) tel que \(Y \cap \overline{x} = \emptyset\), on a \(x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X\), […] […] si \(X\) est quasi-projectif.

Dém. Sinon, il existerait un sous-faisceau […] \(F\) […] de \(\mathcal{O}_X\) de support \(\overline{x}\). Donc il existerait une section non nulle de \(F(m) \subset \mathcal{O}_X(m)\) [\(m\) assez grand], […] […] […] induit une section nulle de \(\mathcal{O}_X(m)_{/Y}\), absurde.

Conclusion pratique : si \(X\) quasi-projectif, alors \[(\mathrm{LG})_0 \Longleftrightarrow (\mathrm{LG})_{\text{faible}} \Longleftrightarrow (\mathrm{LG})_X \Longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X(n)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(n)_{/Y})\] pour \(n \gg 0\). Conclusion encadrée. L'indice du troisième membre, lu « \(X\) », est incertain. Sous le cadre, trois flèches courbes au crayon, chacune marquée « \(n\) », renvoient de la dernière implication vers les membres précédents : la réciproque vaut sans doute pour tout \(n\).

372) Premières propriétés [concernant \(\pi_0\), \(\pi_1\), Pic]

Proposition. Supposons que \[H^0(X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^0(X_{/Y}, \mathcal{O}_{X/Y})\] soit injectif [bijectif] ; alors \(\pi_0(Y) \to \pi_0(X)\) est surjectif [bijectif], en particulier \((\mathrm{LG})_{-1}\) [resp. \((\mathrm{LG})_0\)] implique que \(\pi_0(Y) \to \pi_0(X)\) est surjectif [bijectif].

Proposition. Supposons que \((X, Y)\) satisfasse […] LG (resp. LG stricte), […] […] […] […] […] de \(Y\). Alors \(\pi_1(Y) \to \pi_1(X)\) est surjectif [resp. \[\pi_1(Y) \longrightarrow \varprojlim_{U \text{ voisinage ouvert de } Y} \pi_1(U)\] est un homom. surjectif [resp. bijectif]]. L'ajout « […] de \(Y\) », en haut à droite, est relié à l'énoncé par un trait ; le point-base des \(\pi_1\) y est peut-être précisé. (i) […] … (ii) […] … Un homom. \(F \to G\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] La marge gauche porte, écrites verticalement et scandées d'accolades, des notes « (i) », « (ii) » sur les homomorphismes de Modules ; presque illisibles.

Résultats […] […] plus généraux

Corollaire Lemme. Supposons LG. Alors […] […] \(F\) loc. libre sur \(X\), (i) toute structure d'alg. [[…] […], […] […]] sur \(\hat{F}\) provient d'une structure […] d'algèbre unique sur \(F\), […] […] […] ([…] […], […] […]) […] […] […] ; (ii) les […] de \(\hat{F}\) […] […] produits de facteurs […] […] correspondent […] […] […] […] de \(\hat{F}\) […] celles de \(F\) [[…]]. Donc si \(X' = \operatorname{Spec}(F)\), […] \(X'\) connexe […] […] \(\hat{X}'_{/Y}\) connexe [[…] […] […] […] […] […] v.l. fidèle […] […] catégories […]] Le paragraphe du Lemme est barré de quatre longs traits obliques ; il reste lisible dans ses formules. « Lemme » remplace « Corollaire » biffé.

38[…] […] […], utilisant l'équivalence de la catégorie des rev. étales de \(X\) […] et des rev. étales de \(X_{/Y}\), […]

Corollaire. Si (LG) […], alors le foncteur \(X' \mapsto X' \times_X Y\) des rev. étales de \(X\) dans les rev. étales de \(Y\) est pleinement fidèle. Si \(X\) (LG) strict […], […] Il […] […] […] remplacer \(Y\) par un voisinage ouvert […] de \(Y\). Si (LG) strict […], alors […] tout rev. étale \(Y'\) de \(Y\), il existe un […] voisinage ouvert \(U\) de \(Y\), et un rev. étale \(U'\) de \(U\), […] […] \[U' \times_U Y \simeq Y' .\] (Si \(U\) est choisi) \(U'\) est […] […] : […] […] […] […]).

Remarque. Nous verrons plus loin des conditions, liées aux « Th. de pureté » permettant de conclure que \(\pi_1(Y) \to \pi_1(X)\) est […] bijectif. Kif-Kif pour Pic … Dans \(\pi_1(Y)\) le \(Y\) est récrit sur un \(X\) ; « bijectif » est écrit au-dessus d'un mot biffé.

39Proposition (i) Si (LG) est satisfaite, alors […] […] voisinage ouvert \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{/Y})\) est injectif, […] […] plus généralement, […] […] […] […] \[\varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_{/Y})\] […] […] […] transition injectifs.

(ii) Si (LG) strict est satisfait, […] […] est un isom. Au (i), le mot biffé devant « voisinage ouvert » est un « tt ».

Corollaire. Supposons que \(Y\) « est » un diviseur de Cartier sur \(X\), […] \(\Lambda \simeq \underline{L}(Y)\) le faisceau […] associé, […] \(i^*(\Lambda)^{-1} \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\), où \(\mathcal{J}\) est l'Idéal définissant \(Y\). [\(i\colon Y \to X\) désigne l'injection canonique.] […] aussi […] […] […] des propriétés

(i) Supposons \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), et (LG). Alors \(\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif. [[…] […] les […] […] […] \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\) […] injectifs, […] […] […] […]]

(ii) Supposons \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) et \(H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), et (LG) strict. Alors \[\varinjlim_{U \ni Y} \operatorname{Pic}(U) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(Y) .\] [[…] […] […], \(\varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\) […] […] […] injectifs] Au (ii), un trait traverse « \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) » ; il n'est pas sûr que ce soit une biffure, la conclusion demandant les deux annulations (cf. le Lemme de la page 40). La note marginale gauche, reliée par un trait à (i), rappelle l'injectivité des \(\operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y)\).

40[…] […] […] […] […] […] […] […] […] […] Corollaire de la […] […] […] Deux lignes de liaison en tête de page, récrites en interligne ; on y lit seulement « Corollaire ».

Lemme (i) Si \(H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), alors […] Pic le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_0\) des […] […] inversibles sur \(\hat{X}\) […] les modules inversibles sur \(Y\) est pl. fidèle, […] \(\operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est injectif.

(ii) Si de plus, \(H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0\) pour \(n = 1, 2, \ldots\), alors le foncteur précédent est une équiv. de catégories, donc \(\operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y)\) est un isom.

3) Théorème de permanence. Tout ce qui suit sur la page est annulé par de longs traits obliques croisés ; on le donne tel qu'il se lit.

Théorème 1. Supposons que \((X, Y)\) \(X, Y\) satisfasse \((\mathrm{LG})_n\) et \(X\) […] projectif. Alors […] […] \((\mathrm{LG})_n\) et soit \(f\colon X' \to X\) […] morphisme projectif et plat, Alors \(f\colon X' \to X\), […] \[Y' = f^{-1}(Y) ,\] \((X', Y')\) satisfait \((\mathrm{LG})_n\).

Théorème […] Si \((X, Y)\) satisfait (LG), alors

Th. 2 Si \((X, Y)\) satisfait (LG) [resp. (LG) […]], […] \(X\) quasi-projectif, — alors L'énoncé s'interrompt au bas de la page 40 ; la suite est dans le lot suivant.