Fonds Grothendieck, cote n° 58, pages 21–40

Théorème 2. Soit f\colon X \to Y un morphisme propre de préschémas localement noethériens, avec Y intègre, y_0 \in Y, y_1 le point générique de Y, X_0, X_1 les fibres. Supposons : Pages 22, 24 et 26 : encre bleue, au dos de feuillets dactylographiés ; l'énoncé est encadré à gauche d'un trait vertical.

(a) Y est [géométriquement] unibranche en y_0, et les composantes irréductibles de X dominent Y. « (a) » est récrit sur un premier signe ; un ajout encadré et biffé, en haut à droite, est illisible.

(b) les composantes irréductibles de X_1 sont de dim \geq k, ~~(b)~~ et X_1 est connexe en dim \geq k. Le « k » de la première condition de (b) pourrait être « k+1 » ; le tracé est serré en bout de ligne.

Alors (les composantes irréductibles de X_0 sont de dim \geq k+1) et X_0 est connexe en dim \geq k.

L'assertion entre parenthèses est bien connue par la théorie de la dimension, et n'utilise pas l'hypothèse unibranche. Celle-ci sert uniquement à appliquer le th. de connexion, qui assure que X_0 est connexe.

Le Lemme 4 nous ramène alors à vérifier le

Lemme 5 (variante th.). Sous les conditions du th., mais X_0 unibranche, pour x \in X_0, x de X_0, \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})' est connexe en dim \geq k. + théorème de dim. dim \overline{x} tel que dim \overline{x} \geq k, que \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X_0,x})' L'ajout « + théorème de dim » est encerclé à droite ; la note marginale gauche, oblique, est reliée à l'énoncé.

En effet, le Lemme 1 nous ramène facilement au cas où l'hypothèse sur X_1, : X_1 est irréductible ~~de dim \geq k+1~~, de dim \geq k+1, X irréductible, de Y, donc = intègre comme Y. Les facile (?) ~~\mathcal{O}_{Y,y_0}~~. cas

D. \dim \mathcal{O}_{X,x} = \underbrace{\dim \mathcal{O}_{Y,y_0}}_{n} + \underbrace{\dim X_1}_{\geq k+1}

Donc divisant \mathcal{O}_{X,x} par un idéal défini par n éléments, on trouve par le th. général ( : \mathcal{O}_{X,x} anneau formellement de dim \geq K+1 = (n+k)+1] connexe en dim \geq K - n = k, cqfd. K est une capitale au tracé net ; elle vaut ici n+k. La parenthèse ouverte avant « anneau » est fermée par un crochet.

Cor. 1 au th. 2. Variante « géométriquement », « fibres géométriques.

Cor. 2 Variante avec f propre ouvert.

Cor. 3 X \subset \mathbf{P}^n_k, X les composantes de X de dim \geq k+1, et X connexe en dim \geq k. Alors pour H système linéaire, d'hyperplans H_1, \ldots, H_\ell, X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_\ell = Y condition analogue avec \ell k. généralisation au cas de \alpha d'un morphisme X \to \mathbf{P}^r_k. Pour une généralisation Note marginale gauche, en bas de page, en partie surchargée.

Couple de Lefschetz-Grauert (X, Y)

Titre écrit par Grothendieck en haut à droite de la couverture grise (page 27) ; « couple de » est écrit au-dessus d'un mot biffé, illisible.

III En tête de page, « III » souligné, suivi d'un signe surchargé illisible.

Introduction

Dans le § , nous avons vu que lorsque X est propre sur Y loc. noeth., , et si Y' est une partie fermée de Y, X' = f^{-1}(Y'), la comparaison des foncteurs ~~\mathrm{R}^i f et \mathrm{R}^i \hat{f} aux~~ « » complètement de Y', X']. Lorsque Y est le spectre d'un complet, et Y' = V(\mathfrak{I}), , complétés par un l'existence (par 5), s'exprimant l'équivalence de la catégorie des Modules cohérents sur X et de la catégorie des Modules cohérents sur X'_{/Y'}, compatible . Les foncteurs lus « \mathrm{R}^i f » et « \mathrm{R}^i \hat{f} » sont soulignés d'un trait qui les biffe peut-être ; « complètement » est d'une lecture incertaine.

Dans le , nous ces résultats généralisations à certaines situations, où f\colon X' \to X [p. ex. f une imm. ouverte ] . Le résultat du (d'ailleurs ) des § 4 et 5, utilisant ~~des~~ th. de finitude (N° 1) (cf N° 2) des ~~s'exprimant~~ toutes des ainsi que, puis s'exprimant : des par des , Bas de page en palimpseste : un long passage encadré est biffé en zigzag, et des renvois (« N° 1 », « N° 2 », « 4 et 5 », ce dernier récrit à l'encre sur un « 4 ») sont intercalés ; on n'en donne que ce qui se lit.

l'aide de la notion de profondeur. Les résultats obtenus sont l'outil technique principal pour un systématique des propriétés du type de « Lefschetz », les propriétés géométriques d'un schéma X () à celles de sous-schéma Y, via les propriétés du complété formel X_{/Y}. Ils sont applicables par exemple (repris ) au cas d'une section projective X hyperplane , moyennant des hypothèses sur la de X. H. Grauert, qui avait d'ailleurs (Bourbaki ) 1958, (utilisant les th. de Serre [ ]]) . Le haut de page est lu d'après les mots soulignés ou encerclés ; les ajouts encerclés « ainsi » et « développement » (lecture incertaine) sont reliés au texte par des traits. Les crochets vides « [ ] » sont de lui : des références à compléter.

Pour tout F loc. libre,

(i)H^i(X, F) \to H^i(\hat{X}, \hat{F}) bijectif [ i \leq \operatorname{prof} F - 2] ; (ii) \operatorname{prof}(\mathcal{O}_{\hat{X}}) \geq 2, X_{/Y}, Alors « » , , [] .

La formule de (ii) est surchargée ; le « 2 » et le chapeau sont nets, l'argument de « prof » ne l'est pas.

~~[ ]~~ ~~des Grothendieck~~ ], (p. ex.) le th. de Lefschetz [ ]). Le théorème Grauert. Note marginale gauche, écrite verticalement, reliée au texte ; on n'en lit que le début et « Grauert ».

1.Généralisation des th. de finitude formelle, et des th. de comparaison. Application à un th. d'existence. 2.Le Théorème de finitude locale et ses applications. 3. ~~de Lefschetz-Grauert. Remarques.~~ 4. ~~Exemples~~ 3.Cas particulier I : ~~Étude~~ Théorie locaux. 4.Cas particulier 2 : ~~Étude~~ Théorie des projectifs. 5.Fermés de Lefschetz-Grauert : Remarques, exemples. 6.Propriétés liées aux \pi_0, \pi_1, Pic. 7.[Propriétés de permanence] 8.Théorèmes de pureté, et théorèmes de Lefschetz pour le \pi_1. 9.Anneaux quasi-factoriels et th. de Lefschetz pour Pic.

utiliser IV, § sur les morphismes étales… Plan encadré d'un crochet à gauche. Les anciens items 3 et 4 sont enfermés dans un cadre barré de croisillons, avec un « 1 » inscrit par-dessus. « Théorie » remplace « Étude » en interligne aux items 3 et 4 ; un mot encerclé est ajouté au-dessus de « projectifs » (item 4), illisible. Le \pi_1 de l'item 6 et le numéro 8 sont encerclés, et la note marginale encadrée « utiliser IV, § … » les relie par deux flèches. Le numéro 9 est écrit sous un numéro encerclé et hachuré.

Fermés de Lefschetz-Grauert

Titre souligné en tête de la page 32, de sa main.

1) Définitions, remarques

Déf. Soient X un préschéma loc. noeth., Y une partie fermée, n un entier. On dit que Y a la propriété (\mathrm{LG})_n dans X , si pour tout F loc. libre sur X, (*) \qquad H^i(X, F) \longrightarrow H^i(X_{/Y}, F_{/Y}) est bijectif pour i \leq n, et injectif pour i = n+1. (inutile « et injectif pour i = n+1 » est encerclé, et la marge gauche porte « inutile » précédé d'une parenthèse encerclée : l'ajout est peut-être déclaré inutile (cf. la Question de la Remarque 1).

On dit que Y a la propriété LG faible si pour tout F loc. libre sur X, ~~elle a la propriété (\mathrm{LG})_0~~ H^0(X, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(X_{/Y}, F_{/Y}) [i.e. F \mapsto F_{/Y} est pl. fid. Mod. loc. libres sur X ceux sur X_{/Y}]. On dit que Y a la propriété LG stricte si voisinage ouvert U de Y, définit propriété LG, et si de plus pour tout F loc. libre sur X_{/Y}, isom. F_{/Y}, un faisceau de la forme : F loc. libre sur un voisinage U de Y. Le mot écrit au-dessus de « X » à la troisième définition (« faible », lu d'après la Remarque 1 et la page 36) est d'une lecture incertaine ; de même « stricte ». \Rightarrow Si \mathfrak{z} \in X tel que \overline{\mathfrak{z}} \cap Y = \emptyset, alors \mathfrak{z} \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X Question : (LG) implique-t-il x \in X tel que \overline{x} \cap Y = \emptyset \Rightarrow \operatorname{prof} \mathcal{O}_{X,x} \geq 2 ??? Deux notes encadrées en marge gauche ; la lettre de la première est un \mathfrak{z} gothique.

Donc la propriété LG stricte signifie que les foncteurs \mathcal{L}(U) \to \mathcal{L}(V) [U \supset V \supset Y] sont pleinement fidèles, et \varinjlim_{U \supset Y} \mathcal{L}(U) \longrightarrow \mathcal{L}(X_{/Y}) est une équivalence de catégories. Sous la formule, de sa main : « "Pseudolimite" de catégories », relié par une flèche à \varinjlim, et « Catégorie des Modules loc. libres sur U », sous \mathcal{L}(U). En marge gauche, une bulle soulignée : « Exemples ».

Remarque 1. La propriété LG faible équivaut à (\mathrm{LG})_0. D'autre part, il semble que elle implique que H^1(X, F) \longrightarrow H^1(X_{/Y}, F_{/Y}) est injectif, cas de \mathcal{O}_X par F formellement, , est immédiat. [Question : si pour i \leq n, \forall\, F loc. libre, est-il vrai que pour i = n+1, \forall\, F loc. libre ?] Oui, prendre une injection 0 \to F \to I \to G \to 0 et remarquer , [ G ]. La réponse « Oui, … » est écrite en interligne serré ; lecture très incertaine après « injection ».

Remarque 2. Soit (L_\alpha) une de Modules loc. libres sur X, telle que tout Module loc. libre sur X soit quotient d'une somme directe de Modules \check{L}_\alpha, i.e. \simeq sous-module (loc. facteur direct) d'une somme directe de Modules L_\alpha [Ex : X quasi-affine, (L_\alpha) réduit à \mathcal{O}_X ; X quasi-projectif, \mathcal{O}(m), m \geq m_0]. Alors (\mathrm{LG})_n équivaut à 2 conditions H^i(X, L_\alpha) \simeq H^i(X_{/Y}, L_{\alpha/Y}) \quad \text{pour } i \leq n, \qquad \text{inj pour } i = n+1. ~~[N.B. ! ]~~. Démontrons récurrence sur n, trivial si n < -1, donc , supposons N.B. condition injectif. Le crochet « [N.B. … ! ] » est biffé par un long zigzag ; la note marginale, oblique, lui est reliée.

pour les n' < n. ~~Prouvons que~~ Alors, nous savons déjà que (*) est bijectif pour i \leq n-1, injectif pour i = n, . On a une suite exacte 0 \to F \to L \to G \to 0 où (G loc. libre), L est une somme directe de Modules loc. libres \simeq L_\alpha, les notations : pour L. Considérons l'homom. de

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^i(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"'] & H^i(G) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & H^{i+1}(F) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"] & H^{i+1}(L) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha'"] & H^{i+1}(G) \arrow[d, "\beta'"] \\ H^i(\hat{L}) \arrow[r] & H^i(\hat{G}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{F}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{L}) \arrow[r] & H^{i+1}(\hat{G}) \end{tikzcd}

Les flèches horizontales sont tracées comme de simples traits ; les flèches verticales \alpha et \alpha' portent un signe \wr à gauche (isomorphismes).

pour i = n-1, i+1 = n, n+1. Dans le premier cas, la flèche médiane est surjective, dans le deuxième qu'elle est injective.

\alpha) i = n-1, par hyp. de réc. que \beta est surjection, , par hyp., \beta' est injection. Par le lemme des 5, \varphi est surjection ( bijection). « \beta' est injection » est encerclé et relié à la ligne ; il remplace un passage biffé « par l'hyp. de réc. ».

\beta) i = n, ~~\beta~~ que \alpha et \beta sont bijectives, \alpha est surj., \beta inj., de plus \varphi' inj. Dans la dernière ligne, les primes des lettres \alpha, \beta ne se distinguent pas ; le dernier symbole est lu \varphi', avec doute.

Remarque 3. La condition LG LG effective stable passage de X à un voisinage ouvert de Y. Il n'en est pas de même en général des conditions (\mathrm{LG})_n, (\mathrm{LG})_0 (\mathrm{LG})_0 probablement = (\mathrm{LG})_0, [~~et d'ailleurs~~] fait que un Module loc. libre F sur un voisinage U de Y n'est restriction d'un Module loc. libre sur ~~voisinage~~ X. Si cependant tout F un quotient d'un Module loc. libre sur X [p. ex. si tout Module coh. sur X est quotient d'un Module loc. libre, p. ex. X quasi-projectif] alors (\mathrm{LG})_0 pour (X, Y) implique (\mathrm{LG})_0 pour tout (U, Y) i.e. LG pour (X, Y). En effet : F loc. libre sur X, H^0(U, F) \longrightarrow H^0(U_{/Y}, F_{/Y}) est bijectif, surjectif, [car H^0(X, F) \to H^0(U, F) \to H^0(U_{/Y}, F_{/Y}) ] reste à vérifier l'injectivité, , qui résulte de Deux lignes au début de la remarque sont enfermées dans un cadre barré de deux grandes courbes ; ce qui s'y lit est donné biffé.

x \in U, \quad \overline{x}^{(U)} \cap Y = \emptyset \Longrightarrow x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X ,

Lemme. Si (Y, X) satisfait (\mathrm{LG})_0, alors pour tout x \in X tel que Y \cap \overline{x} = \emptyset, on a x \notin \operatorname{Ass} \mathcal{O}_X, si X est quasi-projectif.

Dém. Sinon, il existerait un sous-faisceau F de \mathcal{O}_X de support \overline{x}. Donc il existerait une section non nulle de F(m) \subset \mathcal{O}_X(m) [m assez grand], induit une section nulle de \mathcal{O}_X(m)_{/Y}, absurde.

Conclusion pratique : si X quasi-projectif, alors (\mathrm{LG})_0 \Longleftrightarrow (\mathrm{LG})_{\text{faible}} \Longleftrightarrow (\mathrm{LG})_X \Longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X(n)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(n)_{/Y}) pour n \gg 0. Conclusion encadrée. L'indice du troisième membre, lu « X », est incertain. Sous le cadre, trois flèches courbes au crayon, chacune marquée « n », renvoient de la dernière implication vers les membres précédents : la réciproque vaut sans doute pour tout n.

2) Premières propriétés [concernant \pi_0, \pi_1, Pic]

Proposition. Supposons que H^0(X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^0(X_{/Y}, \mathcal{O}_{X/Y}) soit injectif [bijectif] ; alors \pi_0(Y) \to \pi_0(X) est surjectif [bijectif], en particulier (\mathrm{LG})_{-1} [resp. (\mathrm{LG})_0] implique que \pi_0(Y) \to \pi_0(X) est surjectif [bijectif].

Proposition. Supposons que (X, Y) satisfasse LG (resp. LG stricte), de Y. Alors \pi_1(Y) \to \pi_1(X) est surjectif [resp. \pi_1(Y) \longrightarrow \varprojlim_{U \text{ voisinage ouvert de } Y} \pi_1(U) est un homom. ~~surjectif~~ ~~[resp.~~ bijectif]]. L'ajout « de Y », en haut à droite, est relié à l'énoncé par un trait ; le point-base des \pi_1 y est peut-être précisé. (i) … (ii) … Un homom. F \to G La marge gauche porte, écrites verticalement et scandées d'accolades, des notes « (i) », « (ii) » sur les homomorphismes de Modules ; presque illisibles.

Résultats plus généraux

~~Corollaire~~ Lemme. Supposons LG. ~~Alors~~ F loc. libre sur X, (i) toute structure d'alg. ~~[ , ]~~ sur \hat{F} provient d'une structure d'algèbre unique sur F, ( , ) ; (ii) les de \hat{F} produits de facteurs correspondent de \hat{F} celles de F []. Donc si X' = \operatorname{Spec}(F), X' connexe \hat{X}'_{/Y} connexe [ v.l. fidèle catégories ] Le paragraphe du Lemme est barré de quatre longs traits obliques ; il reste lisible dans ses formules. « Lemme » remplace « Corollaire » biffé.

, utilisant l'équivalence de la catégorie des rev. étales de X et des rev. étales de X_{/Y},

Corollaire. Si (LG) , alors le foncteur X' \mapsto X' \times_X Y des rev. étales de X dans les rev. étales de Y est pleinement fidèle. ~~Si X (LG) strict ,~~ Il remplacer Y par un voisinage ouvert de Y. Si (LG) strict , ~~alors~~ tout rev. étale Y' de Y, il existe un voisinage ouvert U de Y, et un rev. étale U' de U, U' \times_U Y \simeq Y' . (Si U est choisi) U' est : ).

Remarque. Nous verrons plus loin des conditions, liées aux « Th. de pureté » permettant de conclure que \pi_1(Y) \to \pi_1(X) est bijectif. Kif-Kif pour Pic … Dans \pi_1(Y) le Y est récrit sur un X ; « bijectif » est écrit au-dessus d'un mot biffé.

Proposition (i) Si (LG) est satisfaite, alors ~~voisinage ouvert~~ \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{/Y}) est injectif, plus généralement, \varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_{/Y}) transition injectifs.

(ii) Si (LG) strict est satisfait, est un isom. Au (i), le mot biffé devant « voisinage ouvert » est un « tt ».

Corollaire. Supposons que Y « est » un diviseur de Cartier sur X, \Lambda \simeq \underline{L}(Y) le faisceau associé, i^*(\Lambda)^{-1} \simeq \mathcal{J}/\mathcal{J}^2, où \mathcal{J} est l'Idéal définissant Y. [i\colon Y \to X désigne l'injection canonique.] aussi des propriétés

(i) Supposons H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0 pour n = 1, 2, \ldots, et (LG). Alors \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(Y) est injectif. [ les \operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y) injectifs, ]

(ii) Supposons ~~H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0~~ et H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0 pour n = 1, 2, \ldots, et (LG) strict. Alors \varinjlim_{U \ni Y} \operatorname{Pic}(U) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(Y) . [ , \varinjlim_{U \supset Y} \operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y) injectifs] Au (ii), un trait traverse « H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0 » ; il n'est pas sûr que ce soit une biffure, la conclusion demandant les deux annulations (cf. le Lemme de la page 40). La note marginale gauche, reliée par un trait à (i), rappelle l'injectivité des \operatorname{Pic}(U) \to \operatorname{Pic}(Y).

Corollaire de la Deux lignes de liaison en tête de page, récrites en interligne ; on y lit seulement « Corollaire ».

Lemme (i) Si H^1(Y, \Lambda^{-n}) = 0 pour n = 1, 2, \ldots, alors ~~Pic~~ le foncteur \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_0 des inversibles sur \hat{X} les modules inversibles sur Y est pl. fidèle, \operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y) est injectif.

(ii) Si de plus, H^2(Y, \Lambda^{-n}) = 0 pour n = 1, 2, \ldots, alors le foncteur précédent est une équiv. de catégories, donc \operatorname{Pic}(\hat{X}) \to \operatorname{Pic}(Y) est un isom.

3) Théorème de permanence. Tout ce qui suit sur la page est annulé par de longs traits obliques croisés ; on le donne tel qu'il se lit.

Théorème 1. Supposons que (X, Y) ~~X, Y~~ satisfasse (\mathrm{LG})_n et X projectif. Alors ~~(\mathrm{LG})_n et~~ ~~soit~~ f\colon X' \to X morphisme projectif et plat, ~~Alors~~ f\colon X' \to X, Y' = f^{-1}(Y) , (X', Y') satisfait (\mathrm{LG})_n.

~~Théorème Si (X, Y) satisfait (LG), alors~~

Th. 2 Si (X, Y) satisfait (LG) [resp. (LG) ], X quasi-projectif, — alors L'énoncé s'interrompt au bas de la page 40 ; la suite est dans le lot suivant.