Cote n° 57 · batch 16 · pages 301–314 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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301l'exemple commence avant ce lot : « Exemple 2 » suppose un « Exemple 1 » et les notations \(X_1\), \(X_2\), \(Y\), \(\varphi_i\) des pages précédentes

Exemple 2. Supposons \(X_1 = X_2 = \mathbf{P}^r\), et \(\varphi_1, \varphi_2\) sont deux applic[…] immersions correspondant aux […] éléments \(\xi_i\) de \(H^1(Y, \underline{\mathcal{O}}_Y^{*})\) […] qui sont linéairement indépendants sur \(\mathbb{Z}\) : […] […] […]. Soit p. ex. \(r = 2\), \(Y\) une courbe elliptique. Alors tout faisceau inversible sur \(X_1 \amalg_Y X_2\) est trivial, car il induit un faisceau trivial sur \(X_1\) et \(X_2\), et l'isomorphisme […] induit sur \(Y\) ne peut s'identifier canoniquement à \(\underline{b}_i : \underline{\mathcal{O}}_{X_i}\) \((i = 1, 2)\) qu'à l'identité. En particulier, \(X_1 \amalg_Y X_2\) n'est pas projectif, bien que sa normalisée \(X_1 \amalg X_2 = \mathbf{P}^r \amalg \mathbf{P}^r\) le soit.

Ici encore, puisque […] \(\mathbb{Z}\) on aurait pu faire un exemple un peu plus complet, la page s'arrête sur cette virgule ; la suite n'est pas dans le lot

303

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, "p"] & Y \arrow[l, "i"'] \arrow[dl, "{pi = \varepsilon f i = q}"] \\
X' \arrow[d, "f'"] & \\
S \arrow[u, bend right=40, "\varepsilon"'] &
\end{tikzcd}

le croquis porte aussi une flèche \(f : X \to S\) ; elle est omise ici \(X\) plat sur \(S\), et quasi-proj. ; \(Y\) sous-schéma fermé, fini et plat sur \(S\) ; \(X' = X \amalg_Y S\) (existe…)

\[0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \to \underline{R}^{*}_{X/S} \to \underline{\mathcal{D}}_{X/S} \to 0\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \arrow[r] & p_*(\underline{R}^{*}_{X/S}) \arrow[r] & p_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \arrow[r] & 0 \\
0 \arrow[r] & \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*} \arrow[r] \arrow[u, "\alpha"] & \underline{R}^{*}_{X'/S} \arrow[r] \arrow[u, "\beta"] & \underline{\mathcal{D}}_{X'/S} \arrow[r] \arrow[u, "\gamma"] & 0
\end{tikzcd}

la première ligne exacte car \(R^1 p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) = 0\).

Lemme. a) \(\alpha\) est injectif, et son conoyau s'identifie à \[\varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr) = q_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \varepsilon_*(\underline{\mathcal{O}}_S^{*})\] b) \(\beta\) est bijectif.

Corollaire 1. \(\gamma\) est surjectif, son noyau s'identifie à \(\varepsilon_*(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*})\) ; d'où une suite exacte de faisceaux sur \(X'\) : \[0 \to \varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr) \to \underline{\mathcal{D}}_{X'/S} \to p_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \to 0\]

Corollaire 2. On a une suite exacte de faisceaux sur \(S\) \[0 \to f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*} \to f'_*(\underline{\mathcal{D}}_{X'/S}) \to f_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \to 0\]

N.B. On a aussi une suite exacte \[0 \to f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*} \to \underline{\mathrm{Div}}(X'/S) \to \underline{\mathrm{Div}}(X/S) \to 0\] le symbole est un \(\mathcal{D}\) souligné et barré ; lu \(\underline{\mathrm{Div}}\) déduite de la suite exacte \[0 \to \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*} \to p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \to \varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr)\] du moins si \(f_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) = \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\).

Picard et Albanese pour les variétés non complètes, th. de Chevalley

titre de sa main, seuls mots d'une feuille par ailleurs blanche (p. 304)

305Ex. \(X \times Y \to Y\) opération de schémas algébriques (intègres sur \(k\) alg. clos), \(D\) diviseur sur \(Y\).

Supposons que pour tout \(x \in X(k)\) on ait \[x \cdot D - D \ \text{lin. équivalent à } 0\] ⌜sur \(Y\)⌝. C'est le cas si \(X\) est « d'irrégularité nulle » et trivial sur \(Y\). C'est vrai aussi \(\exists\, e \in X\) qui opère trivialement sur \(Y\).

Alors l'ensemble des \(x \cdot D\) […] […] […] […] […] famille linéaire deux lignes biffées, à peine lisibles

Alors il existe un système linéaire \(P\) de diviseurs sur \(Y\), contenant \(D\), et un morphisme \(X \times P \to P\), qui ensemblistement correspond à \((x, D) \mapsto x \cdot D\).

Questions ouvertes

titre de sa main, seuls mots d'une feuille par ailleurs blanche (p. 307)

308

Questions sur la structure de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) (\(S\) noeth.)

O.K. \(\Leftarrow\) a) \(X\) est-il somme ⌜(disjointe)⌝ de préschémas de type fini sur \(S\) ? ⌜non en général ; mais « génériquement sur \(S\) ».⌝

\(\Leftarrow\) a') Pour toute partie quasi-compacte \(U\) de \(X\), est-il vrai que \(\overline{U}\) est quasi-compact ? \(\Longleftrightarrow\) pour tout \(x \in X\), est-il vrai que \(\overline{x}\) est quasi-compact ?

a'') Est-il vrai que […] \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) est un sous-préschéma fermé ?? (Il suffit de le voir dans le cas séparé…) ?

On aurait a \(\Rightarrow\) a' \(\Rightarrow\) a''. La réponse à a'' est affirmative, si \(X\) est […] ⌜normal ?⌝ (et projectif ⌜plat⌝) sur \(S\), mais je ne sais pas pour autant s'il en est de […] […]. (grâce au th. de décomposition critique en géom. formelle) ; th. d'existence de […] ; il suffit que […] Pic […] […]

b) Question : existence du préschéma quotient \[\underline{\mathrm{NS}}^{0}_{X/S} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} / \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\] le symbole est écrit « Néron-Sev. » au-dessus de « NS »

c) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) est-il universellement ouvert sur \(S\) ? ⌜Plat sur \(S\) ?⌝ O.K. si les fibres sont complètes, sans torsion de N.S. première aux car. résiduelles

d) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) est-il quasi-compact ⌜(donc de type fini)⌝ sur \(S\) ? Oui, toujours O.K. si \(X\) normal sur \(S\), grâce au « critère d'équivalence » de Weil, à démontrer via […] formelle (via lemme […]) ; (O.K. si les fibres sont primaires)

e) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) est-il séparé sur \(S\) ? non si on veut […] Weil […] représentable ; l'est-il […] représentable ?

f) f') Semi-continuité des (dim. lisseté des fibres…

g) Continuité de la dim. des Picard des fibres O.K. si \(X\) normal sur \(S\), plus généralement si les composantes connexes de Picard des fibres sont complètes : via groupe fondamental

g) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X \times_S Y/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S}\) O.K. si \(X\) et \(Y\) […] : fibres réduites […] […] […] […] [conditions à préciser…

h) Si \(Y\) section hyperplane de \(X\), \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/k} \ \text{injectif ? \uncertain{Dom} ?}\] \[\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/k} \ \text{\uncertain{surjectif}}\]

309page de bilan, en plusieurs encres, très raturée ; des flèches renvoient d'une question à l'autre et les réponses « Oui », « Non » sont cerclées en marge

1) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) fermé dans \(\underline{\mathrm{Pic}}\) ? OK si \(f\) est normal […] […]

2) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) plat sur \(S\) ? Non [Contre-exemple de Mumford…] […] […] ouvert sur \(S\) ? [vrai, si fibres normales, et si la torsion est première aux car. rés. […] OK […] […]]

3) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) univt ouvert sur \(S\) ?

4) La multiplication par \(n\) dans \(\underline{\mathrm{Pic}}\) (ou dans \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) de type fini univers. \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\)) est-elle univ. ouverte pour \(n\) « grand » ? (voire plate) ? [Oui si \(n\) premier aux car. résiduelles ; une réponse affirmative à 4), […] de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\), […], indique une réponse affirmative à 3)] La multiplication par \(n\) est-elle de type fini ? — Non, exemple : deux droites qui se croisent, marquées \(p\) la multiplication par \(p\) […] […] ?

N.B. Soit \(G\) un […] […] groupe sur \(S\), tel que les \(G^{\tau}_s\) soient propres, plus généralement connexes. Alors \(G^{\tau} \to S\) est univt ouvert […] les […] pts de torsion […] premiers aux car. résiduelles. [\(\Leftarrow\) si \(n\) premier aux car. résiduelles, […] \(G \xrightarrow{n} G\) morphisme étale.]

5) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) de type fini sur \(S\) \(\Leftrightarrow\) propre sur \(S\). Oui. [Si \(f\) […], […] indique \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) projectif sur \(S\), j'ignore s'il en est de même si \(f\) […]…] Une réponse affirmative à 3), […] indique une réponse […] ⌜dans certains cas⌝ à 5), si \(f\) normal. OK si les \(X_s/k(s)\) « sans torsion ».

6) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) […] n'a-t-il qu'un nb fini de comp. irréductibles, \(S\) étant normal ? \[\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \ \text{de type fini} \Longleftrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X'/S'}\] […] […] fini de comp. irréductibles, […] […] connexe, \(\forall\, S'\) fini irréductible de \(S\).

7) rang\((\mathrm{NS})\) reste-t-il majoré ? Oui.

8) […] Les composantes connexes de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) sont-elles de type fini sur \(S\) ?? Non ? \(\overline{M}\) la réponse : 5) me semble indiquer ici … […] stables \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) est-il réunion disjointe […] des \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) ?

9) Définition de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} / \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}\)…

Howard : Multiplicité de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}\) ; \(\circledast\) compatibilité avec spécialisation ??? \(\circledast\) Questions liées : […] ; \(\circledast\) Questions d'existence et descente…

310\(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) univt ouvert sur \(S\) ?

\(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) plat sur \(S\) ? (\(\Rightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) plat sur \(S\))

Existence de \(\underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S}\) dans le cas Artinien, dans le cas \(S\) réduit plat ???

Continuité de la torsion de N.S. Utiliser la […] […] de la […] […]…

312

Séparation de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\)

(i) Séparé sur \(S\) si \(X_s\) sont géom. intègres ?

(ii) \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) séparé sur \(S\) si les \(X_s\) séparables ?

(ii') \({}_n\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) « » ?

N.B. 1) Exemple de Mumford par des « schémas en courbes elliptiques » : fibre donnée, montre que \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) peut ne pas être séparé sur \(S\) mais alors il n'est pas représentable

2) Exemple de une croix suivie d'un trait vertical montre que, même si les fibres sont séparables, \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) n'est pas toujours séparé sur la base.

Variation de \(\alpha, \lambda, \mu\)

(i) Constance de \(\dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X_s/k(s)} = \alpha_s - \mu_s + \lambda_s\) ?

(ii) \(\alpha \leq \alpha'\), \(\lambda \geq \lambda'\), [\(2\alpha + \mu \leq 2\alpha' + \mu'\) connu] du moins pour fibres séparables.

Soient \(X, Y\) propres sur \(S\), à fibres géom. intègres. Le préschéma \(\underline{\mathrm{Corr}}_S(X, Y)\) [classes de correspondances] existe-t-il ? Oui par Raynaud…

313Proposition. Soit \(X\) propre, plat, de prés. finie sur \(S\). Alors \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}\) est un sous-foncteur ouvert ⌜de prés. finie⌝ de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\). L'immersion ouverte \(\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) est aussi une immersion fermée si \(X \to S\) ⌜projectif⌝ à fibres géom. intègres. projectif est-il nécessaire ? […] […]

Cette notion équivaut au […] phrase interrompue

Corollaire. \(X\) comme dessus, \(L\) un module inversible. Alors l'ens. \(U\) des \(s \in S\) tels que \(L_s\) sur \(X_s\) soit […] \(\tau\)-équiv. à \(0\) est ouvert rétrocompact. Il est ouvert et fermé si \(X \to S\) ⌜projectif⌝ à fibres géom. intègres.

On peut supposer \(S\) noethérien. À prouver que \(U\) est stable par générisation, et que si \(s \in U\), alors \(U \cap \overline{\{s\}}\) […] […] contient un voisinage de \(s\) dans \(\overline{\{s\}}\). Or le critère (viii b') implique facilement la première condition (en se ramenant au cas où \(S\) est un trait, et où son pt fermé […] […] est dans \(U\)). La deuxième condition est pratiquement triviale. Pour prouver que \(U\) est fermé si \(X/S\) ⌜projectif⌝ à fibres géom. intègres, on est ramené à prouver qu'il est stable par spécialisation. On le voit sur le critère (viii e).

Question. Éliminer l'hyp. projective dans la deuxième partie. ? Prouver, si \(X \to S\) est normal, que \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) est « fermé » dans \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), ou mieux, que \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S}\) est propre sur \(S\) ?? Cela signifie

314aussi : si \(X\) est normal et propre sur le un trait \(S\) (avec \(f_*(\underline{\mathcal{O}}_X) = \underline{\mathcal{O}}_S\) si on veut), et muni d'une section \(g\) sur \(S\), alors tout module inversible \(\underline{L}_t\) sur \(X_t\) (\(t\) pt générique de \(S\)) qui est alg. équiv. à \(0\) se prolonge-t-il ⌜en un \(\underline{L}\)⌝ à \(X\), ⌜et \(L_s\) […] alg. équiv. à \(0\)⌝ ?? C'est vrai si \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) est représentable, ce qui d'après Raynaud est le cas si \(X/S\) est projectif ! Peut-être est-ce vrai dans le cas […] (i.e. \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) représentable si \(X \to S\) propre plat et à fibres géom. normales, voire seulement intègres…) ?