Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 301–314 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 57 Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962). Pages 301 à 314 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 16 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1962-[vers 1968]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/57.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

l'exemple commence avant ce lot : « Exemple 2 » suppose un « Exemple 1 » et les notations X_1, X_2, Y, \varphi_i des pages précédentes

Exemple 2. Supposons X_1 = X_2 = \mathbf{P}^r, et \varphi_1, \varphi_2 sont deux applic immersions correspondant aux éléments \xi_i de H^1(Y, \underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) qui sont linéairement indépendants sur \mathbb{Z} : . Soit p. ex. r = 2, Y une courbe elliptique. Alors tout faisceau inversible sur X_1 \amalg_Y X_2 est trivial, car il induit un faisceau trivial sur X_1 et X_2, et l'isomorphisme induit sur Y ne peut s'identifier canoniquement à \underline{b}_i : \underline{\mathcal{O}}_{X_i} (i = 1, 2) qu'à l'identité. En particulier, X_1 \amalg_Y X_2 n'est pas projectif, bien que sa normalisée X_1 \amalg X_2 = \mathbf{P}^r \amalg \mathbf{P}^r le soit.

Ici encore, puisque \mathbb{Z} on aurait pu faire un exemple un peu plus complet, la page s'arrête sur cette virgule ; la suite n'est pas dans le lot

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d, "p"] & Y \arrow[l, "i"'] \arrow[dl, "{pi = \varepsilon f i = q}"] \\ X' \arrow[d, "f'"] & \\ S \arrow[u, bend right=40, "\varepsilon"'] & \end{tikzcd}

le croquis porte aussi une flèche f : X \to S ; elle est omise ici X plat sur S, et quasi-proj. ; Y sous-schéma fermé, fini et plat sur S ; X' = X \amalg_Y S (existe…)

0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \to \underline{R}^{*}_{X/S} \to \underline{\mathcal{D}}_{X/S} \to 0

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \arrow[r] & p_*(\underline{R}^{*}_{X/S}) \arrow[r] & p_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \arrow[r] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*} \arrow[r] \arrow[u, "\alpha"] & \underline{R}^{*}_{X'/S} \arrow[r] \arrow[u, "\beta"] & \underline{\mathcal{D}}_{X'/S} \arrow[r] \arrow[u, "\gamma"] & 0 \end{tikzcd}

la première ligne exacte car R^1 p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) = 0.

Lemme. a) \alpha est injectif, et son conoyau s'identifie à \varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr) = q_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \varepsilon_*(\underline{\mathcal{O}}_S^{*}) b) \beta est bijectif.

Corollaire 1. \gamma est surjectif, son noyau s'identifie à \varepsilon_*(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}) ; d'où une suite exacte de faisceaux sur X' : 0 \to \varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr) \to \underline{\mathcal{D}}_{X'/S} \to p_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \to 0

Corollaire 2. On a une suite exacte de faisceaux sur S 0 \to f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*} \to f'_*(\underline{\mathcal{D}}_{X'/S}) \to f_*(\underline{\mathcal{D}}_{X/S}) \to 0

N.B. On a aussi une suite exacte 0 \to f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*} \to \underline{\mathrm{Div}}(X'/S) \to \underline{\mathrm{Div}}(X/S) \to 0 le symbole est un \mathcal{D} souligné et barré ; lu \underline{\mathrm{Div}} déduite de la suite exacte 0 \to \underline{\mathcal{O}}_{X'}^{*} \to p_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \to \varepsilon_*\bigl(f_*(\underline{\mathcal{O}}_Y^{*}) / \underline{\mathcal{O}}_S^{*}\bigr) du moins si f_*(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}) = \underline{\mathcal{O}}_S^{*}.

Picard et Albanese pour les variétés non complètes, th. de Chevalley

titre de sa main, seuls mots d'une feuille par ailleurs blanche (p. 304)

Ex. X \times Y \to Y opération de schémas algébriques (intègres sur k alg. clos), D diviseur sur Y.

Supposons que pour tout x \in X(k) on ait x \cdot D - D \ \text{lin. équivalent à } 0 sur Y. C'est le cas si X est « d'irrégularité nulle » et trivial sur Y. C'est vrai aussi \exists\, e \in X qui opère trivialement sur Y.

Alors l'ensemble des x \cdot D famille linéaire deux lignes biffées, à peine lisibles

Alors il existe un système linéaire P de diviseurs sur Y, contenant D, et un morphisme X \times P \to P, qui ensemblistement correspond à (x, D) \mapsto x \cdot D.

Questions ouvertes

titre de sa main, seuls mots d'une feuille par ailleurs blanche (p. 307)

Questions sur la structure de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} (S noeth.)

O.K. \Leftarrow a) X est-il somme (disjointe) de préschémas de type fini sur S ? non en général ; mais « génériquement sur S ».

\Leftarrow a') Pour toute partie quasi-compacte U de X, est-il vrai que \overline{U} est quasi-compact ? \Longleftrightarrow pour tout x \in X, est-il vrai que \overline{x} est quasi-compact ?

a'') Est-il vrai que \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est un sous-préschéma fermé ?? (Il suffit de le voir dans le cas séparé…) ?

On aurait a \Rightarrow a' \Rightarrow a''. La réponse à a'' est affirmative, si X est normal ? (et projectif plat) sur S, mais je ne sais pas pour autant s'il en est de . (grâce au th. de décomposition critique en géom. formelle) ; th. d'existence de ; il suffit que Pic

b) Question : existence du préschéma quotient \underline{\mathrm{NS}}^{0}_{X/S} = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} / \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} le symbole est écrit « Néron-Sev. » au-dessus de « NS »

c) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est-il universellement ouvert sur S ? Plat sur S ? O.K. si les fibres sont complètes, sans torsion de N.S. première aux car. résiduelles

d) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est-il quasi-compact (donc de type fini) sur S ? Oui, toujours O.K. si X normal sur S, grâce au « critère d'équivalence » de Weil, à démontrer via formelle (via lemme ) ; (O.K. si les fibres sont primaires)

e) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est-il séparé sur S ? non si on veut Weil représentable ; l'est-il représentable ?

f) f') Semi-continuité des (dim. lisseté des fibres…

g) Continuité de la dim. des Picard des fibres O.K. si X normal sur S, plus généralement si les composantes connexes de Picard des fibres sont complètes : via groupe fondamental

g) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X \times_S Y/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \times \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/S} O.K. si X et Y : fibres réduites [conditions à préciser…

h) Si Y section hyperplane de X, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/k} \ \text{injectif ? \uncertain{Dom} ?} \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} \to \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{Y/k} \ \text{\uncertain{surjectif}}

page de bilan, en plusieurs encres, très raturée ; des flèches renvoient d'une question à l'autre et les réponses « Oui », « Non » sont cerclées en marge

1) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} fermé dans \underline{\mathrm{Pic}} ? OK si f est normal

2) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} plat sur S ? Non [Contre-exemple de Mumford…] ouvert sur S ? [vrai, si fibres normales, et si la torsion est première aux car. rés. OK ]

3) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} univt ouvert sur S ?

4) La multiplication par n dans \underline{\mathrm{Pic}} (ou dans \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} de type fini univers. \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}) est-elle univ. ouverte pour n « grand » ? (voire plate) ? [Oui si n premier aux car. résiduelles ; une réponse affirmative à 4), de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}, , indique une réponse affirmative à 3)] La multiplication par n est-elle de type fini ? — Non, exemple : deux droites qui se croisent, marquées p la multiplication par p ?

N.B. Soit G un groupe sur S, tel que les G^{\tau}_s soient propres, plus généralement connexes. Alors G^{\tau} \to S est univt ouvert les pts de torsion premiers aux car. résiduelles. [\Leftarrow si n premier aux car. résiduelles, G \xrightarrow{n} G morphisme étale.]

5) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} de type fini sur S \Leftrightarrow propre sur S. Oui. [Si f , indique \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} projectif sur S, j'ignore s'il en est de même si f …] Une réponse affirmative à 3), indique une réponse dans certains cas à 5), si f normal. OK si les X_s/k(s) « sans torsion ».

6) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} n'a-t-il qu'un nb fini de comp. irréductibles, S étant normal ? \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \ \text{de type fini} \Longleftrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X'/S'} fini de comp. irréductibles, connexe, \forall\, S' fini irréductible de S.

7) rang(\mathrm{NS}) reste-t-il majoré ? Oui.

8) Les composantes connexes de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} sont-elles de type fini sur S ?? Non ? \overline{M} la réponse : 5) me semble indiquer ici … stables \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est-il réunion disjointe des \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} ?

9) Définition de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/k} / \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/k}…

Howard : Multiplicité de \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau} ; \circledast compatibilité avec spécialisation ??? \circledast Questions liées : ; \circledast Questions d'existence et descente…

\underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} univt ouvert sur S ?

\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} plat sur S ? (\Rightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} plat sur S)

Existence de \underline{\mathrm{Pic}}^{00}_{X/S} dans le cas Artinien, dans le cas S réduit plat ???

Continuité de la torsion de N.S. Utiliser la de la …

Séparation de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}

(i) Séparé sur S si X_s sont géom. intègres ?

(ii) \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} séparé sur S si les X_s séparables ?

(ii') {}_n\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} « » ?

N.B. 1) Exemple de Mumford par des « schémas en courbes elliptiques » : fibre donnée, montre que \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} peut ne pas être séparé sur S mais alors il n'est pas représentable

2) Exemple de une croix suivie d'un trait vertical montre que, même si les fibres sont séparables, \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} n'est pas toujours séparé sur la base.

Variation de \alpha, \lambda, \mu

(i) Constance de \dim \underline{\mathrm{Pic}}_{X_s/k(s)} = \alpha_s - \mu_s + \lambda_s ?

(ii) \alpha \leq \alpha', \lambda \geq \lambda', [2\alpha + \mu \leq 2\alpha' + \mu' connu] du moins pour fibres séparables.

Soient X, Y propres sur S, à fibres géom. intègres. Le préschéma \underline{\mathrm{Corr}}_S(X, Y) [classes de correspondances] existe-t-il ? Oui par Raynaud…

Proposition. Soit X propre, plat, de prés. finie sur S. Alors \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est un sous-foncteur ouvert de prés. finie de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}. L'immersion ouverte \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est aussi une immersion fermée si X \to S projectif à fibres géom. intègres. projectif est-il nécessaire ?

Cette notion équivaut au phrase interrompue

Corollaire. X comme dessus, L un module inversible. Alors l'ens. U des s \in S tels que L_s sur X_s soit \tau-équiv. à 0 est ouvert rétrocompact. Il est ouvert et fermé si X \to S projectif à fibres géom. intègres.

On peut supposer S noethérien. À prouver que U est stable par générisation, et que si s \in U, alors U \cap \overline{\{s\}} contient un voisinage de s dans \overline{\{s\}}. Or le critère (viii b') implique facilement la première condition (en se ramenant au cas où S est un trait, et où son pt fermé est dans U). La deuxième condition est pratiquement triviale. Pour prouver que U est fermé si X/S projectif à fibres géom. intègres, on est ramené à prouver qu'il est stable par spécialisation. On le voit sur le critère (viii e).

Question. Éliminer l'hyp. projective dans la deuxième partie. ? Prouver, si X \to S est normal, que \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est « fermé » dans \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, ou mieux, que \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} est propre sur S ?? Cela signifie

aussi : si X est normal et propre sur le un trait S (avec f_*(\underline{\mathcal{O}}_X) = \underline{\mathcal{O}}_S si on veut), et muni d'une section g sur S, alors tout module inversible \underline{L}_t sur X_t (t pt générique de S) qui est alg. équiv. à 0 se prolonge-t-il en un \underline{L} à X, et L_s alg. équiv. à 0 ?? C'est vrai si \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} est représentable, ce qui d'après Raynaud est le cas si X/S est projectif ! Peut-être est-ce vrai dans le cas (i.e. \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} représentable si X \to S propre plat et à fibres géom. normales, voire seulement intègres…) ?