Cote n° 57 · batch 13 · pages 241–260 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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242le raisonnement commence avant ce lot ; la notation (\(X_n\), \(k'/k\), \(M_n\), M.L.) est fixée plus haut

\[\operatorname{Pic}(X_n) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k)\]

et donc M.L. […].

le passage qui suit, de « Dans le cas général » à « \(X_0\) », est encadré et barré de deux traits obliques Dans le cas général, notons […] ceux [où \(k'/k\) est une extension radicielle de façon […] […] […] contenue […] car. \(0\) considérée, mais on a […] […]],

\[\text{\struck{$\operatorname{Pic}(X_m) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_n)$}}\]

([…] \(m \geq n\)) est toujours […] […]. Le noyau de […] est […] […] […] […] \(m = n+1\), […] […] […] […] […] […] groupe […] \(\subset H^2(X_0, F^{(n)})\), \(F^{(n)}\) […] […] […] […] \(X_0\).

Sous […] \(X_0 \otimes_k k'\) satisfait à la condition [énoncée plus haut] : on a une suite exacte

vérifions ?? À expliciter

\[0 \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_n) \longrightarrow \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k) \longrightarrow \check{H}^2(k'/k, M_n)\]

où \(M_n\) est le schéma en groupes [commutatif […] […] qui décrit les unités de la \(k\)-algèbre […] \(H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\)]. On note que les systèmes projectifs […] \((M_n)\) satisfont M.L. [⌜de type fini sur \(k\) !⌝ groupes […] […] unipotents […] tous tous […] centraux […]]

244(\(\geq n_0\)) donc pour \(n\) grand, et \(m \geq n\),

\[\check{H}^*(k'/k, M_m) \xrightarrow{\ \sim\ } \check{H}^*(k'/k, M_n)\]

Or on a un homomorphisme […] D'où facilement […] […] : Soit \(\xi_n \in \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k)\) […] […] […] […] […], et […] \(\xi_m\) dans \(\underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k)\) provenant de \(\operatorname{Pic}(X_m)\), alors il provient même […] de \(\operatorname{Pic}(X_n)\). Ceci, et le fait que \((\underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k))\) satisfait à M.L. (A.R.), montre qu'il en est de même de \((\operatorname{Pic}(X_n))_n\), et le fait […] […] […] \(n\), […] […] […]

et […] ⌜\(n'\)⌝ […] tel que \(\operatorname{Im}(\underline{\operatorname{Pic}}_{X_{n'}/k}(k) \to \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k))\) soit universel, alors \(\operatorname{Im}(\operatorname{Pic}(X_{n'}) \to \operatorname{Pic}(X_n))\) est universel. OK.

en bas à gauche, un schéma ; les flèches verticales sont tracées vers le haut, comme ici. Il porte en outre les éléments \(\xi_m\), \(\xi_{n'}\), \(\xi_n\) et \(\lambda_m\), reliés par des flèches ondulées ; une flèche \(\underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k) \leftarrow \check{H}^2(k'/k, M_m)\) y est barrée

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\operatorname{Pic}(X_m) \arrow[r] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k) \\
\operatorname{Pic}(X_{n'}) \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_{n'}/k}(k) \arrow[u] \\
\operatorname{Pic}(X_n) \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k) \arrow[u]
\end{tikzcd}

Corollaire. Pour que \(\mathfrak{X}/Y\) soit projectif, il faut et il suffit que pour tout \(n\), \(X_n/Y_n\) le soit.

245feuillet écrit tête-bêche, barré d'un trait oblique, sans lien apparent avec le reste du lot Question : Soit \(H \subset G\), \(H\) simple […], contenant un […] conjugué de \(T\), Alors géométrique. Soit \(S\) un tore dans \(H\). Alors \(S\) est contenu dans un tore maximal […] de \(H\).

247

§1 Un théorème de géométrie analytique.

Rappelons d'abord deux résultats connus.

Lemme 1.1. Soient \(X\) un espace topologique […], \(Y\) une partie fermée de \(X\) ayant un syst. fondamental de voisinages paracompacts, \(F\) un faisceau abélien sur \(X\), \(F|Y\) le faisceau induit sur \(Y\). Alors l'homomorphisme canonique […] suivant est un isomorphisme :

\[\varinjlim_{U} H^*(U, F) \longrightarrow H^*(Y, F|Y)\]

[où dans la limite inductive, \(U\) parcourt l'ensemble des voisinages de \(Y\) dans \(X\)]

Corollaire 1.2. Soit \(f : X \to Y\) une application continue ⌜fermée⌝ […], avec \(Y\) loc. compact. Soit \(y \in Y\), \(X_y = f^{-1}(\{y\})\), \(F\) un faisceau abélien sur \(X\), \(F|X_y\) le faisceau induit sur \(X_y\). Alors on a un isomorphisme canonique

\[R^*f_*(F)_y \simeq H^*(X_y, F|X_y)\]

249Voici un résultat […] profond, fondamental […] […] […] en géométrie analytique :

Lemme 1.3 (Grauert). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d'espaces analytiques sur \(\mathbb{C}\), \(F\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors

  1. (i)Les \(R^if_*(F)\) sont cohérents.
  2. (ii)Soient \(y \in Y\), \(Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1})\), […] \(X_n = X \times_Y Y_n\), \(F_n = F \otimes_Y Y_n\), alors le système projectif \((H^i(X_n, F_n))_n\) satisfait M.L., et l'homomorphisme canonique \[R^if_*(F)_y^{\wedge} \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, F_n)\] est un isomorphisme.

Corollaire 1.4. Supposons que \(y\) soit un point isolé du support de \(R^if_*(F)\), i.e. que \(R^if_*(F)_y\) soit artinien. Alors on a un isomorphisme

\[R^if_*(F)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, F_n)\]

251Considérons maintenant, pour tout \(n\), la suite exacte canonique

\[0 \longrightarrow \mathbb{Z}_{X_n} \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathcal{O}_{X_n} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathcal{O}^*_{X_n} \longrightarrow 0\]

d'où une suite exacte de cohomologie […] :

\[\begin{aligned} \cdots \longrightarrow H^i(X_n, \mathbb{Z}) &\xrightarrow{\ \alpha^i\ } H^i(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) \xrightarrow{\ \beta^i\ } H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \\ &\xrightarrow{\ \partial^i\ } H^{i+1}(X_n, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \alpha^{i+1}\ } H^{i+1}(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) \end{aligned}\]

sous \(H^i(X_n,\mathbb{Z})\) et sous \(H^{i+1}(X_n,\mathbb{Z})\) il écrit \(\simeq H^i(X_0,\mathbb{Z})\), resp. \(H^i(X_n,\mathbb{Z})\) ; l'indice de \(\mathbb{Z}\) est biffé

Pour […] […] variable, […] homomorphismes […] forment […] […] un système projectif de suites exactes. Je dis qu'il reste exact […] […] ⌜au sens de (EGA \(0_{\mathrm{III}}\))⌝ par passage à la limite. En effet, […] […] […] […] […].

Il suffit […] les noyaux […] des \(\alpha^i\), \(\beta^i\), \(\partial^i\) satisfont […] ⌜et \(\beta^i\)⌝ M.L. Pour […], […] […] […] […] […] des systèmes projectifs \((H^i(X_n, \mathbb{Z}))_n\) et \((H^i(X_n, \mathcal{O}_{X_n}))_n\) satisfont [le premier étant constant, le deuxième en vertu de 1.3 (ii)]. Pour les […], […] […] que […] […] […] par les \(\operatorname{Ker}(\alpha^{i+1})\), […] […] […] […] derniers […] étant supp. projectifs […]

253la phrase commence à la page précédente constants. En effet, ([…] ?) \(H^i(X_n, \mathbb{Z}) = H^i(X_0, \mathbb{Z})\) est un groupe de type fini, et son […] par \(\operatorname{Ker} \alpha^i\) est […], toujours [car […] […] un sous-groupe de \(H^i(X, \mathcal{O}_{X_n})\), qui est un vectoriel sur \(\mathbb{C}\)], […] il suffit donc de noter que […] […] […] […], la suite […] décroissante […] […] constante.

On obtient ainsi, compte tenu de 1.3 (ii) et du fait qu'une lim. […] d'une suite M.L. de syst. M.L. est M.L. :

Corollaire ⌜Proposition⌝ 1.5. Sous les conditions de 1.3,

  1. (i)Le syst. projectif \((H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}))_n\) satisfait M.L.
  2. (ii)On a une suite exacte

\[\begin{aligned} H^i(X_0, \mathbb{Z}) &\xrightarrow{\ \alpha^{(i)}_\infty\ } R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \xrightarrow{\ \beta^{(i)}_\infty\ } \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \\ &\xrightarrow{\ \partial^{(i)}_\infty\ } H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \alpha^{(i+1)}_\infty\ } R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \end{aligned}\]

N.B. […] […] […] une […] exacte […] […] […] […] suite exacte

\[0 \longrightarrow \mathbb{Z}_X \longrightarrow \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}^*_X \longrightarrow 0\]

[…] l'homologie […] de \((R^if_*)_y\), et compte tenu des isomorphismes de 1.2, […] \(R^if_*(\mathbb{Z}_X)_y\) s'identifie à \(H^i(X_0, \mathbb{Z})\). On obtient ainsi […]

255le diagramme (D) suit immédiatement la fin de la page précédente

(D)

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^i(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & R^if_*(\mathcal{O}_X)_y \arrow[r] \arrow[d, "u^i"] & R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \arrow[r, "\partial^i"] \arrow[d, "w^i"] & H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r, "\alpha^{i+1}"] \arrow[d, no head, "="] & R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y \arrow[d, "u^{i+1}"] \\
H^i(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r] & R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \arrow[r] & \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \arrow[r, "\hat{\partial}^i"] & H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r, "\hat{\alpha}^{i+1}"] & R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge}
\end{tikzcd}

sous ce diagramme, une troisième ligne \(H^i(X_0,\mathbb{Z}) \to H^i(X_0,\mathcal{O}^*_{X_0}) \to \cdots\) est barrée d'un zigzag ; la flèche \(R^if_*(\mathcal{O}_X)_y \to R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge}\) est d'abord marquée \(\alpha^i\), puis la colonne reçoit les flèches verticales

commutatif, qui montre, […] […] lemme des cinq :

  1. a)\(R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})\) est injectif, et en donne […] […] […] des \(H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})\).
  2. b)Pour […] que \(R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to \varprojlim_n H^i(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n})\) soit un isomorphisme, […] […] […] que \(y\) […] isolé dans \(\operatorname{Supp} R^if_*(\mathcal{O}_X)\).

note écrite en travers de la marge gauche, en partie illisible : « Contrôler […] […] […] […] \(R^2f_*(\mathcal{O}^*_X)\) […] […] \(H^2(X_0,\mathbb{Z})\) […] […] […] »

Corollaire 1.6. […] […] […] intrinsèque […] i.e. […] […] […] […]

\[\varinjlim_{U \ni y} H^i(f^{-1}(U), \mathcal{O}^*) = R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})\]

soit […] isomorphisme.

c) […] […] : la […] […] […] égale […] […]

\[R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})\]

[…] bijective.

suit un passage encadré, barré de plusieurs traits ondulés, avec une note marginale elle aussi barrée ; on y lit des bribes : « Si \(\xi \in \varprojlim_n H^i(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n})\), il existe un […] », « \(H^i(X,\mathcal{O}^*_X)\) », « M.L. (A.R.) », « \(\operatorname{Ker} \alpha^{i+1} = \operatorname{Im} \hat{\partial}^i\) » ; en marge, « \(\in R^if_*(\mathcal{O}_X)\) », « […] […] dans \(H^{i+1}(X_0,\mathbb{Z})\) », « \(\operatorname{Im}\) », « \(\operatorname{Im}\) », « O.K. »

[…] Vu injectivité […] […] […] […] \(v = 1\), qui donne le […]

Remarque 1.7. Soit \(f : X \to Y\) une application propre d'espaces analytiques sur \(\mathbb{C}\), \(y \in Y\), posons toujours \(Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1})\), \(X_n = X \times_Y Y_n\), […] donc \([\operatorname{Pic}(X_y) = \varinjlim_{U \ni y} \operatorname{Pic}(f^{-1}(U))]\) \(= R^1f_*(\mathcal{O}^*_X)_y\), Notons […] l'[…]

\[\operatorname{Pic}(\hat{X}_y) = \varprojlim_n \operatorname{Pic}(X_n).\]

257en travers de la marge gauche : « […] […] plus précis, \(\exists k\) tel que \(\operatorname{Im}(H^1(X_{n+k}, \mathcal{O}^*_{X_{n+k}}) \to H^1(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n}))\) et \(\operatorname{Im}(R^1f_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to H^1(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}))\) ont même image dans […] »

la nature de cet énoncé (proposition, corollaire) ne se lit pas ; le titre manque Considérons l'homomorphisme canonique

\[\varphi : \operatorname{Pic}(X_y) \longrightarrow \operatorname{Pic}(\hat{X}_y)\]

  1. (i)Le syst. projectif \((\operatorname{Pic}(X_n))_{n \in \mathbb{Z}}\) satisfait M.L. ⌜[…] \(\operatorname{Pic}(X_n)\), \(\rho\)⌝
  2. (ii)[…] \(\operatorname{Pic}(X_y)\) et \(\operatorname{Pic}(\hat{X}_y)\) […] \(\varphi\) est […]
  3. (iii)Pour […] que \(\varphi\) soit […] […], il […] […] […] que \(y\) soit […] isolé du supp \(R^1f_*(\mathcal{O}_X)\) […].

(Cette condition est vérifiée en particulier si \(X|(Y - \{y\}) \to Y - \{y\}\) […] […] isomorphisme).

le passage suivant est entouré et barré de grands traits obliques Corollaire 1.10 […] […] analytiques : les \(X_n\) soient « algébriques », […] provenant […] […] propre \(\mathfrak{X}_n\) sur \(Y_n\) […]. Soit \(\mathfrak{X}\) le schéma formel propre sur \(\hat{\mathcal{O}}_y\) défini par les \(\mathfrak{X}_n\). […] […] […] […] Pour que \(\mathfrak{X}\) […] soit […], il faut et […] […] Conditions équivalentes :

(i) Il existe un voisinage \(U\) de \(y\) […] […] […] tel que \(X|U\) soit projectif sur \(U\)

([…] Grauert […] 1960/61).

(ii) […] […] […] […] la suite de ce passage est hachurée et illisible

259Corollaire 1.8. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d'espaces analytiques sur \(\mathbb{C}\) ⌜\(y \in Y\)⌝. Conditions équivalentes :

  1. (i)\(\exists\) un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) tel que \(X|U\) soit projectif sur \(U\) (cf. […] Grauert […])
  2. (ii)Pour tout \(n\), posant \(Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1})\), \(X_n = X \times_{Y} Y_n\), projectif […] […] […] algébrique projectif.

Démonstration. Résulte de 1.[…] […]

Exemples

Corollaire 1.8 1.9. […] Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d'espaces analytiques […] sur \(\mathbb{C}\), […] […] […] tel que […] […] […] dim \(\leq 1\). Alors \(f\) est localement projectif.

Résultats […]

Lemme 1.9. Un espace […] analytique compact de dim \(\leq 1\) est projectif. le numéro 1.9 sert deux fois sur la page, au corollaire et au lemme