Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 241–260 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 57 Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962). Pages 241 à 260 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 13 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1962-[vers 1968]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/57.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

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le raisonnement commence avant ce lot ; la notation (X_n, k'/k, M_n, M.L.) est fixée plus haut

\operatorname{Pic}(X_n) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k)

et donc M.L. .

le passage qui suit, de « Dans le cas général » à « X_0 », est encadré et barré de deux traits obliques Dans le cas général, notons ceux [où k'/k est une extension radicielle de façon contenue car. 0 considérée, mais on a ],

\text{\struck{$\operatorname{Pic}(X_m) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_n)$}}

( m \geq n) est toujours . Le noyau de est m = n+1, groupe \subset H^2(X_0, F^{(n)}), F^{(n)} X_0.

Sous X_0 \otimes_k k' satisfait à la condition [énoncée plus haut] : on a une suite exacte

vérifions ?? À expliciter

0 \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_n) \longrightarrow \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k) \longrightarrow \check{H}^2(k'/k, M_n)

où M_n est le schéma en groupes [commutatif qui décrit les unités de la k-algèbre H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})]. On note que les systèmes projectifs (M_n) satisfont M.L. [de type fini sur k ! groupes unipotents tous tous centraux ]

(\geq n_0) donc pour n grand, et m \geq n,

\check{H}^*(k'/k, M_m) \xrightarrow{\ \sim\ } \check{H}^*(k'/k, M_n)

Or on a un homomorphisme D'où facilement : Soit \xi_n \in \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k) , et \xi_m dans \underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k) provenant de \operatorname{Pic}(X_m), alors il provient même de \operatorname{Pic}(X_n). Ceci, et le fait que (\underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k)) satisfait à M.L. (A.R.), montre qu'il en est de même de (\operatorname{Pic}(X_n))_n, et le fait n,

et n' tel que \operatorname{Im}(\underline{\operatorname{Pic}}_{X_{n'}/k}(k) \to \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k)) soit universel, alors \operatorname{Im}(\operatorname{Pic}(X_{n'}) \to \operatorname{Pic}(X_n)) est universel. OK.

en bas à gauche, un schéma ; les flèches verticales sont tracées vers le haut, comme ici. Il porte en outre les éléments \xi_m, \xi_{n'}, \xi_n et \lambda_m, reliés par des flèches ondulées ; une flèche \underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k) \leftarrow \check{H}^2(k'/k, M_m) y est barrée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \operatorname{Pic}(X_m) \arrow[r] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_m/k}(k) \\ \operatorname{Pic}(X_{n'}) \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_{n'}/k}(k) \arrow[u] \\ \operatorname{Pic}(X_n) \arrow[r] \arrow[u] & \underline{\operatorname{Pic}}_{X_n/k}(k) \arrow[u] \end{tikzcd}

Corollaire. Pour que \mathfrak{X}/Y soit projectif, il faut et il suffit que pour tout n, X_n/Y_n le soit.

feuillet écrit tête-bêche, barré d'un trait oblique, sans lien apparent avec le reste du lot Question : Soit H \subset G, H simple , contenant un conjugué de T, Alors géométrique. Soit S un tore dans H. Alors S est contenu dans un tore maximal de H.

§1 Un théorème de géométrie analytique.

Rappelons d'abord deux résultats connus.

Lemme 1.1. Soient X un espace topologique , Y une partie fermée de X ayant un syst. fondamental de voisinages paracompacts, F un faisceau abélien sur X, F|Y le faisceau induit sur Y. Alors l'homomorphisme canonique suivant est un isomorphisme :

\varinjlim_{U} H^*(U, F) \longrightarrow H^*(Y, F|Y)

[où dans la limite inductive, U parcourt l'ensemble des voisinages de Y dans X]

Corollaire 1.2. Soit f : X \to Y une application continue fermée , avec Y loc. compact. Soit y \in Y, X_y = f^{-1}(\{y\}), F un faisceau abélien sur X, F|X_y le faisceau induit sur X_y. Alors on a un isomorphisme canonique

R^*f_*(F)_y \simeq H^*(X_y, F|X_y)

Voici un résultat profond, fondamental en géométrie analytique :

Lemme 1.3 (Grauert). Soit f : X \to Y un morphisme propre d'espaces analytiques sur \mathbb{C}, F un faisceau cohérent sur X. Alors

Les R^if_*(F) sont cohérents. Soient y \in Y, Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1}), X_n = X \times_Y Y_n, F_n = F \otimes_Y Y_n, alors le système projectif (H^i(X_n, F_n))_n satisfait M.L., et l'homomorphisme canonique R^if_*(F)_y^{\wedge} \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, F_n) est un isomorphisme.

Corollaire 1.4. Supposons que y soit un point isolé du support de R^if_*(F), i.e. que R^if_*(F)_y soit artinien. Alors on a un isomorphisme

R^if_*(F)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, F_n)

Considérons maintenant, pour tout n, la suite exacte canonique

0 \longrightarrow \mathbb{Z}_{X_n} \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathcal{O}_{X_n} \xrightarrow{\ \beta\ } \mathcal{O}^*_{X_n} \longrightarrow 0

d'où une suite exacte de cohomologie :

\begin{aligned} \cdots \longrightarrow H^i(X_n, \mathbb{Z}) &\xrightarrow{\ \alpha^i\ } H^i(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) \xrightarrow{\ \beta^i\ } H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \\ &\xrightarrow{\ \partial^i\ } H^{i+1}(X_n, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \alpha^{i+1}\ } H^{i+1}(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) \end{aligned}

sous H^i(X_n,\mathbb{Z}) et sous H^{i+1}(X_n,\mathbb{Z}) il écrit \simeq H^i(X_0,\mathbb{Z}), resp. H^i(X_n,\mathbb{Z}) ; l'indice de \mathbb{Z} est biffé

Pour variable, homomorphismes forment un système projectif de suites exactes. Je dis qu'il reste exact au sens de (EGA 0_{\mathrm{III}}) par passage à la limite. En effet, .

Il suffit les noyaux des \alpha^i, \beta^i, \partial^i satisfont et \beta^i M.L. Pour , des systèmes projectifs (H^i(X_n, \mathbb{Z}))_n et (H^i(X_n, \mathcal{O}_{X_n}))_n satisfont [le premier étant constant, le deuxième en vertu de 1.3 (ii)]. Pour les , que par les \operatorname{Ker}(\alpha^{i+1}), derniers étant supp. projectifs

la phrase commence à la page précédente constants. En effet, ( ?) H^i(X_n, \mathbb{Z}) = H^i(X_0, \mathbb{Z}) est un groupe de type fini, et son par \operatorname{Ker} \alpha^i est , toujours [car un sous-groupe de H^i(X, \mathcal{O}_{X_n}), qui est un vectoriel sur \mathbb{C}], il suffit donc de noter que , la suite décroissante constante.

On obtient ainsi, compte tenu de 1.3 (ii) et du fait qu'une lim. d'une suite M.L. de syst. M.L. est M.L. :

Corollaire Proposition 1.5. Sous les conditions de 1.3,

Le syst. projectif (H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}))_n satisfait M.L. On a une suite exacte

\begin{aligned} H^i(X_0, \mathbb{Z}) &\xrightarrow{\ \alpha^{(i)}_\infty\ } R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \xrightarrow{\ \beta^{(i)}_\infty\ } \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \\ &\xrightarrow{\ \partial^{(i)}_\infty\ } H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \alpha^{(i+1)}_\infty\ } R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \end{aligned}

N.B. une exacte suite exacte

0 \longrightarrow \mathbb{Z}_X \longrightarrow \mathcal{O}_X \longrightarrow \mathcal{O}^*_X \longrightarrow 0

l'homologie de (R^if_*)_y, et compte tenu des isomorphismes de 1.2, R^if_*(\mathbb{Z}_X)_y s'identifie à H^i(X_0, \mathbb{Z}). On obtient ainsi

le diagramme (D) suit immédiatement la fin de la page précédente

(D)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^i(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & R^if_*(\mathcal{O}_X)_y \arrow[r] \arrow[d, "u^i"] & R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \arrow[r, "\partial^i"] \arrow[d, "w^i"] & H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r, "\alpha^{i+1}"] \arrow[d, no head, "="] & R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y \arrow[d, "u^{i+1}"] \\ H^i(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r] & R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \arrow[r] & \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) \arrow[r, "\hat{\partial}^i"] & H^{i+1}(X_0, \mathbb{Z}) \arrow[r, "\hat{\alpha}^{i+1}"] & R^{i+1}f_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} \end{tikzcd}

sous ce diagramme, une troisième ligne H^i(X_0,\mathbb{Z}) \to H^i(X_0,\mathcal{O}^*_{X_0}) \to \cdots est barrée d'un zigzag ; la flèche R^if_*(\mathcal{O}_X)_y \to R^if_*(\mathcal{O}_X)_y^{\wedge} est d'abord marquée \alpha^i, puis la colonne reçoit les flèches verticales

commutatif, qui montre, lemme des cinq :

R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}) est injectif, et en donne des H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n}). Pour que R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to \varprojlim_n H^i(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n}) soit un isomorphisme, que y isolé dans \operatorname{Supp} R^if_*(\mathcal{O}_X).

note écrite en travers de la marge gauche, en partie illisible : « Contrôler R^2f_*(\mathcal{O}^*_X) H^2(X_0,\mathbb{Z}) »

Corollaire 1.6. intrinsèque i.e.

\varinjlim_{U \ni y} H^i(f^{-1}(U), \mathcal{O}^*) = R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})

soit isomorphisme.

c) : la égale

R^if_*(\mathcal{O}^*_X)_y \longrightarrow \varprojlim_n H^i(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})

bijective.

suit un passage encadré, barré de plusieurs traits ondulés, avec une note marginale elle aussi barrée ; on y lit des bribes : « Si \xi \in \varprojlim_n H^i(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n}), il existe un », « H^i(X,\mathcal{O}^*_X) », « M.L. (A.R.) », « \operatorname{Ker} \alpha^{i+1} = \operatorname{Im} \hat{\partial}^i » ; en marge, « \in R^if_*(\mathcal{O}_X) », « dans H^{i+1}(X_0,\mathbb{Z}) », « \operatorname{Im} », « \operatorname{Im} », « O.K. »

Vu injectivité v = 1, qui donne le

Remarque 1.7. Soit f : X \to Y une application propre d'espaces analytiques sur \mathbb{C}, y \in Y, posons toujours Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1}), X_n = X \times_Y Y_n, donc [\operatorname{Pic}(X_y) = \varinjlim_{U \ni y} \operatorname{Pic}(f^{-1}(U))] = R^1f_*(\mathcal{O}^*_X)_y, Notons l'

\operatorname{Pic}(\hat{X}_y) = \varprojlim_n \operatorname{Pic}(X_n).

en travers de la marge gauche : « plus précis, \exists k tel que \operatorname{Im}(H^1(X_{n+k}, \mathcal{O}^*_{X_{n+k}}) \to H^1(X_n,\mathcal{O}^*_{X_n})) et \operatorname{Im}(R^1f_*(\mathcal{O}^*_X)_y \to H^1(X_n, \mathcal{O}^*_{X_n})) ont même image dans »

la nature de cet énoncé (proposition, corollaire) ne se lit pas ; le titre manque Considérons l'homomorphisme canonique

\varphi : \operatorname{Pic}(X_y) \longrightarrow \operatorname{Pic}(\hat{X}_y)

Le syst. projectif (\operatorname{Pic}(X_n))_{n \in \mathbb{Z}} satisfait M.L. \operatorname{Pic}(X_n), \rho \operatorname{Pic}(X_y) et \operatorname{Pic}(\hat{X}_y) \varphi est Pour que \varphi soit , il que y soit isolé du supp R^1f_*(\mathcal{O}_X) .

(Cette condition est vérifiée en particulier si X|(Y - \{y\}) \to Y - \{y\} isomorphisme).

le passage suivant est entouré et barré de grands traits obliques Corollaire 1.10 analytiques : les X_n soient « algébriques », provenant propre \mathfrak{X}_n sur Y_n . Soit \mathfrak{X} le schéma formel propre sur \hat{\mathcal{O}}_y défini par les \mathfrak{X}_n. Pour que \mathfrak{X} soit , il faut et Conditions équivalentes :

(i) Il existe un voisinage U de y tel que X|U soit projectif sur U

( Grauert 1960/61).

(ii) la suite de ce passage est hachurée et illisible

Corollaire 1.8. Soit f : X \to Y un morphisme propre d'espaces analytiques sur \mathbb{C} y \in Y. Conditions équivalentes :

\exists un voisinage ouvert U de y tel que X|U soit projectif sur U (cf. Grauert ) Pour tout n, posant Y_n = \operatorname{Specan}(\mathcal{O}_y/\mathfrak{m}_y^{n+1}), X_n = X \times_{Y} Y_n, projectif algébrique projectif.

Démonstration. Résulte de 1.

Exemples

Corollaire 1.8 1.9. Soit f : X \to Y un morphisme propre d'espaces analytiques sur \mathbb{C}, tel que dim \leq 1. Alors f est localement projectif.

Résultats

Lemme 1.9. Un espace analytique compact de dim \leq 1 est projectif. le numéro 1.9 sert deux fois sur la page, au corollaire et au lemme