Cote n° 57 · batch 11 · pages 201–220 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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Composante neutre et sous-groupe de torsion d'un schéma en groupes

201la page commence au milieu d'une démonstration commencée avant ce lot : il s'agit de montrer que la composante neutre \(G_0\) d'un schéma en groupes \(G\) localement de type fini sur un corps \(k\) est de type fini et irréductible […] quasi-compact de type fini sur \(k\). Soit en effet \(x\) un pt de \(G_0\) rat. sur \(k\), il suffit de prouver que \(x \in U^2\) [N.B. \(U^2\) est constructible quasi-compact dans \(G_0\)] i.e. \(xU \cap U\) l'existence de \(y\) et \(z \in U(k)\) tels que \(yz = x\), i.e. \(y = xz^{-1}\) ; ce qui signifie que \((U \cap xU^{-1})(k) \neq \emptyset\), or \(U\) et \(xU\) sont des ouverts non vides dans \(G_0\), […]. Donc \(G_0\) est de type fini sur \(k\). S'il n'était irréductible, tt point fermé de \(G_0\) appartiendrait à […] deux composantes irréductibles distinctes (par translation). Absurde. Le cas […] […] 3° pour […] de considérons les propriétés \(G_k\) structure [il suffit de considérer les composantes connexes des pts fermés].

[…] Prenant \(U = G_0\), […] d'où […] 1°. […] \(G_0\) est un sous-schéma en groupes. Il est invariant ⌜[…] groupe⌝ Prenant Soit le quasi-longueur. Soit Il suffit de déterminer les composantes connexes \(U\) des pts fermés \(x\). […]

[…] […] […] […] […] [[…] \(k'\), donc les composantes connexes […] […] […]]

une courbe ondulée, à trois bosses, tracée en travers des dernières lignes encadrées ; elle figure sans doute les composantes connexes de \(G_{\bar k}\)

202\(\mathcal{H}\) […] […] […] […] fini et plat de

\(G_{\bar k}\) […] dans […], soit \(U'\) la réunion des […] leurs composantes […] […] \(U_{\bar k}\) [réf] donc \(U\) […] \(\bar k\), donc \(U\) défini […] de type fini, sur \(k\). Comme \(U_{\bar k}\) est loc. irréductible, il […] […] de […] […] \(U\) [réf]. Comme \(e\) est rat./\(k\), il s'ensuit […] […] ⌜[…]⌝ […] défini […] […] [cf] […] […] ! irréductibilité ; […] ⌜Comme⌝ \(G_{\bar k}\) est irréductible, \(G_0\) est irréductible.

Pour […] l'existence du quotient, […] […] […] […]

Corollaire \(G\) schéma en groupes loc. de type fini sur \(k\), […] […] schéma en groupes […], \(H\) un sous-groupe invariant, donc \(G/H\) existe, et \(G \to G/H\) est fid. plat (cas où \(H\) est distingué) […] […] […] […] \(H = G_0\) : Dans le cas \(H = G_0\), […] composante […] de \(G\), […] \(G_0\) [[…] signaler …] et \(G/G_0\) existe groupe, […] […] […] étale […] fini sur \(k\).

[…] particulier : […] […] […], […] […] […] \(H\) […] fid. plat […] \(G\) […] […]

203Le cas \(H\) quelconque s'en déduit.

Note Autrement dit : \(G\) simple sur \(k\) \(\Longleftrightarrow\) \(G\) séparable sur \(k\) \(\Longleftrightarrow\) \(G\) séparable sur \(\bar k\) […]

Supposons \(G\) commutatif, soit donc ⌜(séparable sur \(k\), commutatif)⌝ \(\Gamma = G/G_0\) est un […] ⌜discret⌝ \(k\)-groupe commutatif, […] […] […] […]. Soit \(\Gamma \xrightarrow{\ n\ } \Gamma\) […] […] […] […] dans le noyau \({}_n\Gamma\) est un sous-groupe ouvert et fermé. Soit \(\Gamma\) un \(k\)-groupe, loc. fini sur \(k\). [La suite des \({}_n\Gamma\) est […] et il existe un plus grand […] ⌜[…] […]⌝

identité cf plus bas

Proposition Il existe La réunion des […] […], […] \({}_n\Gamma\), est un […] […] […] […] \(\Gamma^\tau\) de \(\Gamma\). […] […] \(a \in\) l'élément \(a\) de \(\Gamma\) soit dans \(\Gamma^\tau\), il faut et il suffit qu'il existe \(n\) tel que \(na = e\).

après […] […] des […] finis […] \(\Gamma\) […]

Soit \(a \in \Gamma\), […] si \(a \in {}_n\Gamma\) […] […] \(na = 0\). Réciproquement, […] \(na = 0\), comme il existe […] \(n\) tel que \(n\Gamma_{\uncertain{a}} = 0\), [cf] il s'ensuit que […] \(\{a\} \xrightarrow{\text{ind}} \Gamma \xrightarrow{\ n\ } \Gamma\)

204est nul, i.e. […] ⌜\(\{a\}\)⌝ est dans le schéma noyau […] […], […] \(a\), donc \(\{a\}\) est […]. Cela […] bien que \(\Gamma\) est loc. constant, que […] \(\Gamma^\tau\) qui est […] […]. Cela est […] immédiat, et résulte […] ⌜qu.-cpt⌝ […].

N.B. Corollaire Pour […] \(S\) […] sur \(k\), ⌜[…]⌝

\(\Gamma^\tau(S)\) = torsion de \(\Gamma(S)\). Et la plus

Corollaire \(\Gamma^\tau\) est le plus petit sous-groupe […] […] tel que \(\Gamma/\Gamma^\tau\) soit séparable […] […]

Si \(G\) est un […] \(k\)-groupe […] de type fini, on […] \(G^\tau\) l'image inverse de […] \(\Gamma^\tau\) par \(G \to G/G_0 = \Gamma\) (resp. \(G^\tau_{\uncertain{\varepsilon}}\))

Proposition \(G^\tau\) est le plus petit sous-[…] de \(G\) tel que \(G/G_0\) soit discret séparable [resp. discret séparable ⌜sans⌝ torsion]. (C'est […] […] […] […] [[…] ; […] : […] […]] […] […] […] […] […]) \((G/G_0)^\tau = \{e\}\), […] \(G^\tau\) est dit le sous-groupe de torsion de \(G\).

à préciser

205\(G\) \(k\)-groupe loc. de type fini sur \(k\),

\(G_0\) composante connexe,

\(\Gamma = G/G_0\).

\(\Gamma \xrightarrow{\ \pi_n\ } \Gamma\) \({}_n\Gamma = \pi_n^{-1}(e)\) c'est un sous-schéma ouvert et fermé [car \(\Gamma\) discret séparable] […] […] […]

(i) La suite des \({}_n\Gamma\) est loc. stationnaire […] […], […] (trivial [car \(\Gamma\) est discret] […] […] […]) sa réunion est un sous-schéma ouvert fermé \(\Gamma^\tau\) de \(\Gamma\) [N.B. c'est vrai pour tout \(k\)-groupe loc. fini sur \(k\), pas nécessairement séparable, mais c'est moins évident, le cas radiciel […] […] […] […] […] spécial]

(ii) Soit \(a \in \Gamma\), alors \(a \in {}_n\Gamma^\tau\) ssi il existe […] \(\pi_n(a) = e\). \(a \in \Gamma^\tau \Leftrightarrow \exists n,\ \pi_n(a) = e \Leftrightarrow\) il existe un […] tel que […] (iii) Soit quelque […] […] [[…] […] car \(\Gamma\) sép. sur \(k\)] \(\Gamma'\) fini sur \(k\) tel que \(a \in \Gamma'\) \(\Longleftrightarrow\) l'un des \(a^{\uncertain{n}}\) est fini.

(iii) Si \(\Gamma\) est commutatif, alors \(\Gamma^\tau\) est le plus grand sous-groupe [[…]] fini […] […]. C'est […] le plus petit […] tel que \(\Gamma/\Gamma^\tau\) soit « sans torsion ».

(iiii) Soit \(G^\tau\) l'image inverse de \(\Gamma^\tau\). Alors ⌜C'est⌝ un sous-schéma […] de \(G\), et \(x \in G^\tau \Longleftrightarrow \exists n,\ \pi_n(x) \in G_0 \Longleftrightarrow\) Il existe […] […] \(H\) de \(G\) […] […] \(\Longleftrightarrow \exists\) […] […] […] de type fini […] \(G\) […] […] […]

Critère de type fini

207\(\mu(s) + 2\alpha(s)\) […] continuité

Proposition Soit \(f : X \to Y\) un morphisme loc. de présentation finie, […] […] […] séparé […] […] […] loc. noethériens. On suppose […] (ii) \(f\) […] […] (iii) les fibres de \(f\) ⌜propres […] […] […]⌝ de type fini sont de type fini. Alors \(f\) […] […] […] supposer \(Y\) affine, […] […].

[[…] […] \(\uncertain{X \times_Y}\) […] […] […] \(f : X \to\) […] […]]

Il suffit de prouver que \(f\) […] quasi-compact, […] \(\alpha\) […] […] […] […] Y […] […] ceci : il existe […] […] […] ⌜Il existe⌝ […] […] […] \(Y\) tel que \(X|U\) […] […] […] il revient au même de prouver […] […] […] […] […] […] […]

qu. cpt. [Il existe […] […] ouvert quasi-compact \(V\) de \(X\) […] […] […] \(X_\eta\). Il existe […] de type fini […] ⌜propre⌝ […] \(X'\) […] […] […] […] \(Y\), […] […] […] […] \[X'_\eta \simeq X_\eta = V_\eta .\] Si on restreint […] […] […] \(Y\), on peut supposer que le dernier iso provient d'un isomorphisme \(X' \simeq V\). Donc \(V_\eta\) […] […] […] […] propre sur \(Y\), donc fermé dans \(X\) [[…] \(X\) […]]. Alors \(X_\eta\) […] […] […] […] […] […] \(X\) f donc \(X - V\) est ouvert. \(X - V\) […] […] […] Si on avait \(X - V \neq \emptyset\), \(X - V\) dominerait \(Y\), […] ce qui est incompatible avec \(X_\eta = V_\eta\). […] \((X - V)_\eta = \emptyset\). Donc \(X = V\), d'où la conclusion.

208Corollaire Soit \(Z\) une partie de \(X\). […] supposons (i) \(Z\) loc. constructible dans \(X\) (ii) \(f : X \to S\) séparé loc. de type fini (iii) \(Z\) […] […] \(x \in Z\), et […] générisation de \(x\), \(\exists\) […] \(x' \in Z\) […] \(x\), […] […] […] […] […] […] \(x' \in X\) (iv) les fibres de \(Z\) sur \(S\) […] propres. Alors \(Z \to S\) est qu.-cpt.

On peut supposer \(S\) noethérien, […] […] […] ⌜si \(S \neq \emptyset\)⌝ qu'il existe un […] \(U \neq \emptyset\) […] \(Z|U\) soit qu.-cpt. On peut supposer \(S\) […] […] et […] \(Z'\) de type fini sur \(S\) et […] […] il existe un […] \(Z'\) propre […] […] \(Z'_\eta \to Z_\eta\), […] \(X\) contenant \(Z_\eta\). Restreignant \(S\), […] […] […] \(Z' \to V\), [[…] […] que \(Z \cap V = Z'\)] […] immersion], […] \(Z'\) […] propre sur \(S\). Alors \(Z'\) est fermé dans \(X\), et […] […] \[Z = (Z \cap V = Z') \cup (Z - Z'),\] ⌜constructibles⌝ […] […] disjoints. […] […] […] […] […] \(Z_\eta = \emptyset\), […] […] \(Z = \emptyset\) …

le bas de la page est vide ; l'argument s'arrête sur « \(Z = \emptyset\) … »

Partie constructible de \(\underline{\mathrm{Pic}}\)

209Proposition \(X\) projectif sur \(S\) ⌜noethérien⌝, \(f_*(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\) universellement, fibres primaires, \(P = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), soit \(P'\) la partie de \(P\) réunion des \((P_s)'\), où \(P'_s\) est l'ensemble des éléments de \(P_s^\tau\) image inverse des sous-groupes de \(P_s^\tau / P_s^0\) formés des éléments d'ordre premier à […] ⌜car \(k(s)\)⌝. ⌜Supposons que dans \(P^\tau\) l'adhérence de tt pt soit quasi-compacte⌝ ⌜(ou que les \((P_s)^0\) soient propres sur \(k(s)\)).⌝ Alors \(P'_S\) est une partie ⌜constructible⌝ […] […] de \(P\) quasi-compacte de \(P\), […]

Démonstration. Il suffit de prouver ⌜(S loc. noeth.⌝ […] \(Y\)) qu'il existe un ouvert non vide \(U\) de \(Y\), tel que la partie de \(P'_S\) au-dessus soit qu.-cpt. On peut supposer de plus \(Y\) affine intègre, soit \(\eta\) son pt générique. Maintenant \(P'_\eta\) est un sous-groupe ⌜ouvert⌝ de \(P_\eta\), de type fini sur \(k(\eta)\). Il provient d'un groupe ⌜\(H\)⌝ de type fini sur un voisinage de \(\eta\), et on peut supposer ⌜(restreignant \(Y\))⌝ que ce dernier est un ouvert dans \(P^\tau\), et est un sous-groupe ouvert de \(P^\tau\) [prendre un ouvert qu.-cpt \(V\) de \(P^\tau\) contenant \(P'_\eta\)].

210\(H\) est propre sur \(S\). ⌜Comme \(\overline{V}\) est quasi-compact, on voit que à condition de remplacer \(Y\) par une partie, \(H'\) est fermé dans \(P^\tau\). Mêmes conclusions […]⌝ Il suffit de prouver que […] […] ⌜sous ces⌝ ⌜conditions⌝ restreignant \(Y\), on a \(H = P'\). En effet, il […] […] les \(P_s^0\). Il suffit donc, compte tenu que \(P_s^0\) est divisible par les entiers premiers à la car. de \(k(s)\), de prouver que les éléments de \(P_s\) pour tout entier \(n\) premier à la car. de \(k(s)\), \({}_n(P_s) \subset H\). Or \({}_nP_s = \underline{H}^1(X_s, {}_n\mu)\), d'autre part on sait (cf) que sur l'ouvert \(S_n\) où \(n\) est inversible, \(\underline{H}^1(X_n/S_n, {}_n\mu)\) est un […] […] schéma étale sur \(S\), donc tout pt de sa fibre en \(s\) est spécialisation d'un point de la fibre générique, i.e. d'un pt de \({}_n(P_\eta) \subset P'_\eta \subset H\). Comme \(H\) est fermé, on a donc \({}_n(P_s) \subset H\), cqfd.

Corollaire Supposons que (i) ⌜les \((P_s)^0\) soient propres sur⌝ […] dans \(P^\tau\) […] l'adhérence d'un pt soit quasi-compacte (ii) les \(P_s^\tau / P_s^0\) ⌜soient d'ordre premier à la car. \(k(s)\)⌝, […] […] […] propres sur \(k(s)\). Alors \(P^\tau\) est de type fini sur \(S\).

211Corollaire Soit \(P^0 = \bigcup_{s \in S} P_s^0\), supposons \(P^0\) fermé. Alors \(P^\tau\) est fermé, et de type fini sur \(S\) ⌜si⌝ […] pour tout \(s \in S\), \(P_s^\tau / P_s^0\) est d'ordre premier à la car. de \(k(s)\), Prenons […] \(P'\) est fermé

Un exemple

213\[S = \operatorname{Spec} k[t], \qquad X = \operatorname{Proj} k[t, x, y, z]/(xy - tz^2)\] graduée en \(x, y, z\) degré 1, \(t\) degré 0.

Lemme a) \((xy - tz^2)\) est un idéal premier dans \(k[t, x, y, z]\), et l'anneau \(B = k[t, x, y, z]/(xy - tz^2)\) est absolument simple sur \(k\) [donc régulier] sauf […] en l'idéal d'irrégularité […]

Cor \(X\) est […] régulier, et \(f : X \to S\) est plat.

Lemme b) Soit \(a\) le pt \(t = 0\) de \(S\), \(b\) ⌜\(\in U = S - \{a\}\)⌝ ⌜autre point.⌝ le pt générique. Alors (i) \(f^{-1}(b)\) est isomorphe à \(\mathbf{P}^1_{k(b)}\) [de façon plus précise, \(X|U \simeq \mathbf{P}^1_U\) […] fibré projectif […] à […] fibré vectoriel] (ii) \(f^{-1}(a)\) est isomorphe […] à \(\mathbf{P}^1_k \vee \mathbf{P}^1_k\)

Corollaire 1 ⌜suite exacte⌝ \(\left[0 \to \mathcal{O}_{X_a} \to \mathcal{O}_{\widetilde{X}_a} \to k \to 0\right]\)

Corollaire 2 \(H^i(X_\xi, \mathcal{O}_{X_\xi}) = 0\) pour \(i > 0\), \(\xi \in S\), d'où […]

Corollaire 3 Deux ⌜Soit⌝ faisceaux inversibles […] \(S' = \operatorname{Spec}(A')\), \(A'\) […] local épointé sur \(k[t]\), \(X' = X \times_S S'\). Alors \[(*) \qquad H^1(X', \mathcal{O}^*_{X'}) \to H^1(X'_0, \mathcal{O}_{X'_0})\] est injectif (\(X'_0\) étant la fibre ⌜spéciale⌝ de \(X'\)) bijectif ⌜bijectif⌝ et bijectif si \(A'\) est complet.

dans \((*)\) on lit bien \(\mathcal{O}_{X'_0}\) au but, non \(\mathcal{O}^*_{X'_0}\)

Corollaire 4 Le deuxième membre de \((*)\), est […] isomorphe à \(\mathbb{Z}\) si […] l'image du point fermé de \(S'\) par \(S' \to S\) est […] \(\neq a\), et à \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) dans le cas contraire.

Précisions

214Lemme c) Soient \(Y_i\) \((i = 1, 2)\) les deux composantes de \(f^{-1}(a)\), et \(L_i\) les faisceaux inversibles associés […] aux diviseurs loc. principaux associés (cf […]). Alors \(L_i | Y_i\) est de degré \(-1\), \(L_i | Y_j\) de degré \(1\) si \(i \neq j\).

En effet, on a \(D_1 + D_2 = \struck{\ill{}}\operatorname{div}(t) \simeq 0\), d'où […] \(L_{D_1 + D_2} | Y_1 \simeq 0\) i.e. \[L_{D_1} | Y_1 \simeq - L_{D_2} | Y_1 .\] Or \(L_{D_2} | Y_1 = 1\) par un calcul immédiat [qu'il faudrait savoir faire] d'où \(L_{D_1} | D_1 = 1\) la dernière égalité porte \(L_{D_1}|D_1 = 1\) ; avec ce qui précède on attendrait \(-1\)

Lemme e Il existe deux sections \(s_1, s_2\) de \(X/S\), telles que […] \(D'_i\) dans les diviseurs associés […] \(L_i = L_{D'_i}\) […] ⌜deg \(L_i | Y_i = 1\), \(\deg L_i | Y_j = 0\) si \(i \neq j\)⌝.

Corollaire ⌜(préliminaire)⌝ […] […] […] \[0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ \alpha\ } H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathbb{Z} \to 0\] où […] \(\beta\) est […] ⌜degré⌝ […] la restriction à la fibre générique [ou […] fibre spéciale ⌜\(f^{-1}(\xi)\), \(\xi \neq a\)⌝ […] …], et où \(\operatorname{Ker} \beta\) est engendré par […] la classe \(D_1\) [ou la classe \(D_2 = -\) classe \(D_1\)].

Corollaire 2 L'homomorphisme ⌜de restriction⌝ \[H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^1(X_a, \mathcal{O}^*_{X_a}) \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\] est bijectif. une longue flèche, dans la marge gauche, relie ce dernier corollaire au « Lemme e »

215Démonstration du lemme d. Une section de \(X\) sur \(S\) […] définie par un […] […] \(k[t]\)-algèbre […] \(\varphi : B \to A[z]\) ; […] […] […] […] \(\varphi(z) = z\), \(\varphi(x) = \xi\), […] avec \(\xi, \eta \in A\), \(\xi\eta\) … soumis à \(\xi\eta = t\) ⌜D'ailleurs on a⌝ un ouvert ⌜affine⌝ \(V\) de \(X\) isomorphe à \(\operatorname{Spec} k[x, y, t]/(xy - t)\), et une section de \(V\) sur \(S\) est un \(k[t]\)-homomorphisme \(k[x, y, t]/(xy - t) \to k[t]\), i.e. donnée par deux éléments \(\xi, \eta\) de \(k[t]\) tels que \(\xi\eta - t = 0\). 1) \(\xi = 1\), \(\eta = t\) définit la section \(s_1\). On regarde par la spécialisation \(t = 0\) […] 2) \(\xi = t\), \(\eta = 1\) …

Proposition Démonstration du corollaire. Soit Lemme e Sous les conditions, dans […] un diviseur sur \(X\). […] […] à \(X|U\) est […] à un diviseur \(D'_1\) [[…] […]] […] \(H^1(U, \ldots)\) \[H^1(X|U, \mathcal{O}^*_{X|U}) = H^1(\mathbf{P}^1_U, \mathcal{O}^*_{\mathbf{P}^1_U}) = H^1(U, \mathcal{O}^*_U) \times \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}\] compte tenu que \(H^1(U, \mathcal{O}^*_U) = 0\) puisque \(k[t][t^{-1}]\) est principal. [N.B. […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(H^1(S, P^1_S)\), […] qui ici se simplifie beaucoup grâce au fait que \(S\) est […]]

216Donc […] \(\beta(\text{classe } D) = 0\), donc Donc le noyau de \(\beta\) [ou s'identifie à \(H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^1(U, \mathcal{O}^*_U)\)] est le sous-groupe de \(H^1(X, \mathcal{O}^*_X)\) engendré par les classes de \(D_1\) et \(D_2\), donc par celle de \(D_1\), puisque \(D_1 + D_2 \sim 0\). Donc Or \(\operatorname{cl}(D_1)\) […] […] un […] […] de \(H^1(X, \mathcal{O}^*_X)\), grâce à lemme c). Le reste du corollaire 1 ⌜et du lemme⌝ […] […] […] résulte […] cor. 2.

Lemme e Sous les conditions du lemme b, corollaire 3, l'homom. \((*)\) est bijectif.

[…] […] […] […] […] surjectif […] […] corollaire précédent.

On a ainsi complété la structure du Picard associé : \(f : X \to S\).

Lemme f Le foncteur ⌜\(\mathcal{F}\)⌝ de Picard […] […] n'est pas représentable par un préschéma sur \(S\), loc. de type fini. ⌜Considérons en effet la fibre \(f^{-1}(a)\), et l'élément de degré \((1, 1)\) [correspondant : \(L_2\)] de \(H^1(f^{-1}(a), \mathcal{O}^*_{f^{-1}(a)}) = \mathcal{F}(\operatorname{Spec} k(a))\).⌝ la fin de la page est barrée d'un trait courbe ; les pages 216 (bas) et 217 (haut) sont cancellées par des diagonales

217Il lui correspondrait un point \(\alpha\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}(X/S)\), rat./\(k(a)\), et un anneau local \(\mathcal{O}_\alpha\), tel que […] […] […] […] un homom. \(\mathcal{O}_a \to \mathcal{O}_\alpha\), tel que pour […] \(\mathcal{O}_a\)-algèbre ⌜locale⌝ […] \(A'\), […] [\(\mathcal{O}_a \to A'\) homom. local], on a \(\mathcal{F}(A')_0 \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_a\text{-alg}}(\mathcal{O}_\alpha, A')\), où le […] […] \(\mathcal{F}(A')\) désigne les […] éléments de \(\mathcal{F}(A')\) qui induisent l'élément de degré \((-1, 1)\) sur \(\mathcal{F}(A'/\mathfrak{m}(A'))\). Comme il y en a exactement un, il faudrait donc que \(\mathcal{O}_a = \mathcal{O}_\alpha\) […]

Considérons l'ensemble \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \amalg \mathbb{Z} \times U\) En effet le préschéma […] \(S^{\natural}_I\) suivant [où \(I\) est un ensemble d'indices arbitraire] : comme ensemble, il est identique à […] \(U \times \{I\} \amalg I\) ; pour tout \(i \in I\), soit \(S_i = U \times \{I\} \cup \{i\}\), donc on a \[S_I = \bigcup_{i \in I} S_i , \qquad S_i \cap S_j = U \times \{I\}\] […] correspondant biunivoquement avec \(U\). On munit chaque \(S_i\) de la structure ⌜de préschéma⌝ définie […] […] […] […] […] de structure […] […] \(S\), et […] recolle. \(S_I\) est la droite \(S\) dont l'origine est dédoublée en autant de points qu'il y a d'indices dans \(I\)

218Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), soit \(I_n \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) formé des couples \((p, q)\) tels que \(p + q = n\). Soit \[\mathfrak{P} = \coprod_{n \in \mathbb{Z}} S_{I_n} .\] On a donc \[\mathfrak{P} = \bigcup_{(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}} S_{(p,q)} \quad \text{où chaque } S_{(p,q)} \simeq S\] (réunion non disjointe). La fibre de \(\mathfrak{P}\) en \(a\) est \(\simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\), sa fibre en un \(b \in U\) est \(\simeq \mathbb{Z}\). On voit que \(\mathfrak{P}\) représente le foncteur Picard. l'argument s'arrête là ; le bas de la page est vide

Autre exemple

219titre de sa main en haut à droite : « Autre exemple » \(X\) projectif sur \(S\) loc. noeth., \(f_*(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S\).

Considérons \(g : \hat{C}_X \to \hat{C}\) [[…] supposons \(X\) […] […] […] […] \(\operatorname{Spec}(\underline{S})\), \(\underline{S}\) engendré par \(\underline{S}_1\).]

Alors \(g_*(\mathcal{O}_{\hat{C}_X}) = \mathcal{O}_{\hat{C}}\) [vérif]

d'où le fait que \[H^1(\hat{C}, \mathcal{O}^*_{\hat{C}}) \to H^1(\hat{C}_X, \mathcal{O}^*_{\hat{C}_X})\] est injectif [vérif ; […] […] loc. libres quelconques]

Si […] \(\xi\) est dans l'image, […] [désignant par \(\varepsilon : X \to \hat{C}_X\) la section nulle] […] on a \(\varepsilon^*(\xi) = 0\). Or [vérif] \(\xi = \varphi^*(\eta)(n)\) où \(\mathcal{O}_{\hat{C}_X}\) est le […] […] […] est le faisceau canonique sur \(\hat{C}_X\) considéré comme fibré projectif sur \(X\), d'où \[\varepsilon^*(\xi) = (\varphi g)^*(\eta) \, \varepsilon^*(\mathcal{O}_{\hat{C}_X}(n)) = \eta ,\] donc […] \(\eta = 0\), donc \(\xi = \mathcal{O}_{\hat{C}_X}(n)\), donc \(\xi\) provient de \(\mathcal{O}_{\hat{C}}(n)\). D'où \[\boxed{H^1(\hat{C}, \mathcal{O}^*_{\hat{C}}) \simeq \mathbb{Z}, \quad \text{engendré par } \operatorname{cl}(\mathcal{O}_{\hat{C}}(1))}\]

220Soit \(X\) […] projectif sur \(S\) de valuation discrète, définissons une famille de quadriques non singulières dégénérant en un cône quadratique \[X = \operatorname{Proj}\bigl(k[x, y, z, t]/(x^2 + y^2 + z^2 - \lambda t^2)\bigr) \quad \text{sur} \quad S = \operatorname{Spec}(\struck{k}\,\ill{})\] […] […] […] un corps [[…] […] […] […] […], on pourrait prendre \(k = \mathbb{Z}\)]. \(X\) est normal et irréductible […] sur \(S\). […] fibres […] irréductibles Pour calculer \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), il faut calculer \(\operatorname{Pic}(X'/S')\) pour tout \(S'\) local sur \(S\), i.e. \(S' = \operatorname{Spec}(A)\), \(A\) anneau local noethérien muni d'un \(\lambda \in A\). […] 1) \(\lambda \in \mathfrak{m}(A)\). Si \(A\) […] […] […], on trouve \(\mathbb{Z}\) (⌜engendré par \(\mathcal{O}_X(1)\)⌝, on démontre que cela reste vrai pour \(A\) quelconque, grâce à \(\boxed{H^1(X'_0, \mathcal{O}_{X'_0}) = 0}\). Si on […] […] […] \(\xi \notin \mathfrak{m}(A)\), […] […] […] donne […] \(\mathbb{Z}^2\), de générateurs \(\alpha, \beta\). D'où […] ⌜le schéma de Picard⌝ […] […] partie […] de type fini sur \(S\) […] […] \(S\).

[…] […] […] fibré […] […] \(\mathbf{P}^3_S\) […] fibres […] à mettre ailleurs : le schéma de Picard d'une […] est \(\mathbb{Z}\), […] […] additif […] […] l'argument continue au-delà de ce lot