Composante neutre et sous-groupe de torsion d'un schéma en groupes
la page commence au milieu d'une démonstration commencée avant ce lot : il s'agit de montrer que la composante neutre G_0 d'un schéma en groupes G localement de type fini sur un corps k est de type fini et irréductible
quasi-compact de type fini sur k. Soit en effet x un pt de G_0 rat. sur k, il suffit de prouver que x \in U^2 [N.B. U^2 est constructible quasi-compact dans G_0] i.e. xU \cap U l'existence de y et z \in U(k) tels que yz = x, i.e. y = xz^{-1} ; ce qui signifie que (U \cap xU^{-1})(k) \neq \emptyset, or U et xU sont des ouverts non vides dans G_0, considérons les propriétés G_k structure [il suffit de considérer les composantes connexes des pts fermés].
Prenant Soit le quasi-longueur. Soit Il suffit de déterminer les composantes connexes U des pts fermés x.
[ k', donc les composantes connexes ]
une courbe ondulée, à trois bosses, tracée en travers des dernières lignes encadrées ; elle figure sans doute les composantes connexes de G_{\bar k}
\mathcal{H} fini et plat de
G_{\bar k} dans , soit U' la réunion des
leurs composantes U_{\bar k} [réf]
donc U \bar k, donc U défini de type fini, sur k. Comme U_{\bar k} est
loc. irréductible, il de U [réf]. Comme e est rat./k, il s'ensuit défini
[cf] ! irréductibilité ;
Pour l'existence du quotient,
Corollaire G schéma en groupes loc. de type fini sur k, schéma en groupes , H un sous-groupe invariant, donc G/H existe, et G \to G/H est fid. plat (cas où H est distingué) H = G_0 : Dans le cas H = G_0, composante de G, G_0 [ signaler …] et G/G_0 existe groupe, étale fini sur k.
particulier : , H fid. plat G
Le cas H quelconque s'en déduit.
Note Autrement dit : G simple sur k \Longleftrightarrow G séparable sur k \Longleftrightarrow G séparable sur \bar k
Supposons G commutatif, soit donc (séparable sur k, commutatif) \Gamma = G/G_0 est un discret k-groupe commutatif, . Soit \Gamma \xrightarrow{\ n\ } \Gamma dans le noyau {}_n\Gamma est un sous-groupe ouvert et fermé. Soit \Gamma un k-groupe, loc. fini sur k. [La suite des {}_n\Gamma est et il existe un plus grand
identité cf plus bas
Proposition Il existe La réunion des , {}_n\Gamma, est un \Gamma^\tau de \Gamma. a \in l'élément a de \Gamma soit dans \Gamma^\tau, il faut et il suffit qu'il existe n tel que na = e.
après des finis \Gamma
Soit a \in \Gamma,
est nul, i.e.
N.B. Corollaire Pour S
\Gamma^\tau(S) = torsion de \Gamma(S). Et la plus
Corollaire \Gamma^\tau est le plus petit sous-groupe tel que \Gamma/\Gamma^\tau soit séparable
Si G est un
Proposition G^\tau est le plus petit sous- de G tel que G/G_0 soit
discret séparable [resp. discret séparable sans torsion]. (C'est [ ; : ] )
(G/G_0)^\tau = \{e\},
à préciser
G k-groupe loc. de type fini sur k,
G_0 composante connexe,
\Gamma = G/G_0.
\Gamma \xrightarrow{\ \pi_n\ } \Gamma {}_n\Gamma = \pi_n^{-1}(e) c'est un sous-schéma ouvert et fermé [car \Gamma discret séparable]
(i) La suite des {}_n\Gamma est loc. stationnaire , ouvert fermé
(ii) Soit a \in \Gamma, alors a \in {}_n\Gamma^\tau ssi il existe \pi_n(a) = e.
a \in \Gamma^\tau \Leftrightarrow \exists n,\ \pi_n(a) = e \Leftrightarrow il existe un tel que
(iii) Soit quelque [ car \Gamma sép. sur k]
\Gamma' fini sur k tel que a \in \Gamma' \Longleftrightarrow l'un des a^{\uncertain{n}} est fini.
(iii) Si \Gamma est commutatif, alors \Gamma^\tau est le plus grand sous-groupe [] fini . C'est le plus petit tel que \Gamma/\Gamma^\tau soit « sans torsion ».
(iiii) Soit G^\tau l'image inverse de \Gamma^\tau. Alors C'est un sous-schéma de G, et
x \in G^\tau \Longleftrightarrow \exists n,\ \pi_n(x) \in G_0 \Longleftrightarrow Il existe H de G
\Longleftrightarrow \exists de type fini G
Critère de type fini
\mu(s) + 2\alpha(s) continuité
Proposition Soit f : X \to Y un morphisme loc. de présentation finie, séparé loc. noethériens. On suppose (ii) f de type fini sont de type fini. Alors f supposer Y affine, .
[ \uncertain{X \times_Y} f : X \to ]
Il suffit de prouver que f quasi-compact, \alpha Y ceci : il existe Il existe Y tel que X|U
il revient au même de prouver
qu. cpt. [Il existe ouvert quasi-compact V de X X_\eta. Il existe
de type fini propre V_\eta propre sur Y, donc fermé dans X [ X ]. Alors X_\eta X
f donc X - V est ouvert. X - V
Si on avait X - V \neq \emptyset, X - V dominerait Y,
Corollaire Soit Z une partie de X. supposons (i) Z loc. constructible dans X (ii) f : X \to S séparé loc. de type fini (iii) Z x \in Z, et générisation de x, \exists x' \in Z x, x' \in X (iv) les fibres de Z sur S propres. Alors Z \to S est
qu.-cpt.
On peut supposer S noethérien, si S \neq \emptyset qu'il existe un U \neq \emptyset Z|U soit qu.-cpt. On peut supposer S et Z' de type fini sur S et
il existe un Z' propre
Z'_\eta \to Z_\eta, X contenant Z_\eta. Restreignant S,
Z' \to V, [ que Z \cap V = Z']
immersion], Z' propre sur S.
Alors Z' est fermé dans X, et
Z = (Z \cap V = Z') \cup (Z - Z'),
constructibles disjoints.
Z_\eta = \emptyset,
Z = \emptyset …
le bas de la page est vide ; l'argument s'arrête sur « Z = \emptyset … »
Partie constructible de
\underline{\mathrm{Pic}}
Proposition X projectif sur S noethérien, f_*(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y universellement, fibres primaires, P = \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, soit P' la partie de P réunion des (P_s)', où P'_s est l'ensemble des éléments de P_s^\tau image inverse des sous-groupes de P_s^\tau / P_s^0 formés des éléments d'ordre premier à constructible de P quasi-compacte de P,
Démonstration. Il suffit de prouver (S loc. noeth. Y) qu'il existe un ouvert non vide U de Y, tel que la partie de P'_S au-dessus soit qu.-cpt. On peut supposer de plus Y affine intègre, soit \eta son pt générique. Maintenant P'_\eta est un sous-groupe ouvert de P_\eta, de type fini sur k(\eta). Il provient d'un groupe H de type fini sur un voisinage de \eta, et on peut supposer (restreignant Y) que ce dernier est un ouvert dans P^\tau, et est un sous-groupe ouvert de P^\tau [prendre un ouvert qu.-cpt V de P^\tau contenant P'_\eta].
H est propre sur S.
Comme \overline{V} est quasi-compact, on voit que à condition de remplacer Y par une partie, H' est fermé dans P^\tau. Mêmes conclusions Il suffit de prouver que sous ces conditions restreignant Y, on a H = P'. En effet, il les éléments de P_s pour tout entier n premier à la car. de k(s), {}_n(P_s) \subset H. Or {}_nP_s = \underline{H}^1(X_s, {}_n\mu), d'autre part on sait (cf) que sur l'ouvert S_n où n est inversible, \underline{H}^1(X_n/S_n, {}_n\mu) est un schéma étale sur S, donc tout pt de sa fibre en s est spécialisation d'un point de la fibre générique, i.e. d'un pt de {}_n(P_\eta) \subset P'_\eta \subset H. Comme H est fermé, on a donc {}_n(P_s) \subset H, cqfd.
Corollaire Supposons que (i) les (P_s)^0 soient propres sur dans P^\tau propres sur k(s). Alors P^\tau est de type fini sur S.
Corollaire Soit P^0 = \bigcup_{s \in S} P_s^0, supposons P^0 fermé. Alors P^\tau est fermé, et de type fini sur S si Prenons P' est fermé
Un exemple
S = \operatorname{Spec} k[t], \qquad X = \operatorname{Proj} k[t, x, y, z]/(xy - tz^2)
graduée en x, y, z degré 1, t degré 0.
Lemme a) (xy - tz^2) est un idéal premier dans k[t, x, y, z], et l'anneau B = k[t, x, y, z]/(xy - tz^2) est absolument simple sur k [donc régulier] sauf
Cor X est
Lemme b) Soit a le pt t = 0 de S, b \in U = S - \{a\} autre point. le pt générique. Alors (i) f^{-1}(b) est isomorphe à \mathbf{P}^1_{k(b)} [de façon plus précise, X|U \simeq \mathbf{P}^1_U fibré projectif à fibré vectoriel]
(ii) f^{-1}(a) est isomorphe
Corollaire 1 suite exacte \left[0 \to \mathcal{O}_{X_a} \to \mathcal{O}_{\widetilde{X}_a} \to k \to 0\right]
Corollaire 2 H^i(X_\xi, \mathcal{O}_{X_\xi}) = 0 pour i > 0, \xi \in S, d'où
Corollaire 3 Deux Soit faisceaux inversibles S' = \operatorname{Spec}(A'), A' local épointé sur k[t], X' = X \times_S S'. Alors
(*) \qquad H^1(X', \mathcal{O}^*_{X'}) \to H^1(X'_0, \mathcal{O}_{X'_0})
est injectif (X'_0 étant la fibre spéciale de X') bijectif bijectif et bijectif si A' est complet.
dans (*) on lit bien \mathcal{O}_{X'_0} au but, non \mathcal{O}^*_{X'_0}
Corollaire 4 Le deuxième membre de (*), est
Précisions
Lemme c) Soient Y_i (i = 1, 2) les deux composantes de f^{-1}(a), et L_i les faisceaux inversibles associés
En effet, on a D_1 + D_2 = \struck{\ill{}}\operatorname{div}(t) \simeq 0, d'où
Lemme e Il existe deux sections s_1, s_2 de X/S, telles que
Corollaire (préliminaire)
0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ \alpha\ } H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \xrightarrow{\ \beta\ } \mathbb{Z} \to 0
où
Corollaire 2 L'homomorphisme de restriction
H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^1(X_a, \mathcal{O}^*_{X_a}) \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
est bijectif.
une longue flèche, dans la marge gauche, relie ce dernier corollaire au « Lemme e »
Démonstration du lemme d. Une section de X sur S définie par un k[t]-algèbre \varphi : B \to A[z] ; \varphi(z) = z, \varphi(x) = \xi, avec \xi, \eta \in A, \xi\eta … soumis à \xi\eta = t
D'ailleurs on a un ouvert affine V de X isomorphe à \operatorname{Spec} k[x, y, t]/(xy - t), et une section de V sur S est un k[t]-homomorphisme k[x, y, t]/(xy - t) \to k[t], i.e. donnée par deux éléments \xi, \eta de k[t] tels que \xi\eta - t = 0.
1) \xi = 1, \eta = t définit la section s_1. On regarde par la spécialisation t = 0
2) \xi = t, \eta = 1 …
Proposition Démonstration du corollaire. Soit Lemme e Sous les conditions, dans un diviseur sur X. à X|U est à un diviseur D'_1 [ ] H^1(U, \ldots)
H^1(X|U, \mathcal{O}^*_{X|U}) = H^1(\mathbf{P}^1_U, \mathcal{O}^*_{\mathbf{P}^1_U})
= H^1(U, \mathcal{O}^*_U) \times \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}
compte tenu que H^1(U, \mathcal{O}^*_U) = 0 puisque k[t][t^{-1}] est principal.
[N.B. H^1(S, P^1_S),
Donc \beta(\text{classe } D) = 0, donc
Donc le noyau de \beta [ou s'identifie à H^1(X, \mathcal{O}^*_X) \to H^1(U, \mathcal{O}^*_U)] est le sous-groupe de H^1(X, \mathcal{O}^*_X) engendré par les classes de D_1 et D_2, donc par celle de D_1, puisque D_1 + D_2 \sim 0. Donc Or \operatorname{cl}(D_1) un de H^1(X, \mathcal{O}^*_X), grâce à lemme c). Le reste du corollaire 1 et du lemme résulte cor. 2.
Lemme e Sous les conditions du lemme b, corollaire 3, l'homom. (*) est bijectif.
surjectif corollaire précédent.
On a ainsi complété la structure du Picard associé : f : X \to S.
Lemme f Le foncteur \mathcal{F} de Picard
Il lui correspondrait un point \alpha de \underline{\mathrm{Pic}}(X/S), rat./k(a), et un anneau local \mathcal{O}_\alpha, tel que un homom. \mathcal{O}_a \to \mathcal{O}_\alpha, tel que pour \mathcal{O}_a-algèbre locale A', [\mathcal{O}_a \to A' homom. local], on a \mathcal{F}(A')_0 \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_a\text{-alg}}(\mathcal{O}_\alpha, A'), où le \mathcal{F}(A') désigne les éléments de \mathcal{F}(A') qui induisent l'élément de degré (-1, 1) sur \mathcal{F}(A'/\mathfrak{m}(A')). Comme il y en a exactement un, il faudrait donc que \mathcal{O}_a = \mathcal{O}_\alpha
Considérons l'ensemble \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \amalg \mathbb{Z} \times U
En effet le préschéma
Pour tout n \in \mathbb{Z}, soit I_n \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} formé des couples (p, q) tels que p + q = n. Soit
\mathfrak{P} = \coprod_{n \in \mathbb{Z}} S_{I_n} .
On a donc
\mathfrak{P} = \bigcup_{(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}} S_{(p,q)}
\quad \text{où chaque } S_{(p,q)} \simeq S
(réunion non disjointe). La fibre de \mathfrak{P} en a est \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, sa fibre en un b \in U est \simeq \mathbb{Z}. On voit que \mathfrak{P} représente le foncteur Picard.
l'argument s'arrête là ; le bas de la page est vide
Autre exemple
titre de sa main en haut à droite : « Autre exemple »
X projectif sur S loc. noeth., f_*(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S.
Considérons g : \hat{C}_X \to \hat{C} [ supposons X \operatorname{Spec}(\underline{S}), \underline{S} engendré par \underline{S}_1.]
Alors g_*(\mathcal{O}_{\hat{C}_X}) = \mathcal{O}_{\hat{C}} [vérif]
d'où le fait que
H^1(\hat{C}, \mathcal{O}^*_{\hat{C}}) \to H^1(\hat{C}_X, \mathcal{O}^*_{\hat{C}_X})
est injectif [vérif ;
Si \mathcal{O}_{\hat{C}_X} est le
est le faisceau canonique sur \hat{C}_X considéré comme fibré projectif sur X, d'où
\varepsilon^*(\xi) = (\varphi g)^*(\eta) \, \varepsilon^*(\mathcal{O}_{\hat{C}_X}(n)) = \eta ,
donc \eta = 0, donc \xi = \mathcal{O}_{\hat{C}_X}(n), donc \xi provient de \mathcal{O}_{\hat{C}}(n). D'où
\boxed{H^1(\hat{C}, \mathcal{O}^*_{\hat{C}}) \simeq \mathbb{Z}, \quad \text{engendré par } \operatorname{cl}(\mathcal{O}_{\hat{C}}(1))}
Soit X un corps [ , on pourrait prendre k = \mathbb{Z}]. X est normal et irréductible sur S. fibres irréductibles Pour calculer \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, il faut calculer \operatorname{Pic}(X'/S') pour tout S' local sur S, i.e. S' = \operatorname{Spec}(A), A anneau local noethérien muni d'un \lambda \in A.
fibré \mathbf{P}^3_S fibres
à mettre ailleurs : le schéma de Picard d'une est \mathbb{Z}, additif
l'argument continue au-delà de ce lot