Cote n° 57, pages 181–200

Cote n° 57 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-10.fr.xml

Diviseurs relatifs et schéma de Picard

181la page commence au milieu d'une phrase, dont le début se trouve avant ce lot ; la notation soulignée deux fois ($\mathbf{Pic}$, $\mathbf{Div}$) est rendue en gras, les lettres soulignées une fois ($\underline{E}$, $\underline{L}$, $\underline{M}$, $\underline{H}$) sont gardées soulignées d'un préschéma en Picard […]] […]. Utilisant ce résultat, on voit que si on peut trouver un faisceau ⌜inversible⌝ fondamental […] $\underline{\Lambda}$ $\underline{\Lambda}$ sur $\mathbf{Pic}_{X/S} \times_S X$ dans ce faisceau [par exemple si $X/S$ a une section […]], alors $\mathbf{Div}_{X/S}$ s'identifie à \[\mathbf{Div}_{X/S} \simeq \mathbf{Div}^{\underline{\Lambda}}_{\mathbf{Pic}_{X/S} \times_S X \,/\, \mathbf{Pic}_{X/S}} .\] Cela permet l'étude d'un schéma diviseurs, indépendamment de celle de $\mathbf{Pic}_{X/S}$, des foncteurs ⌜de l'[…]⌝ $\mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S}$ et des […] représentant préschémas qui […] les représentent.

Supposons maintenant que $X$ est propre ⌜et plat⌝ sur $S$, et que l'on a un isomorphisme fonctoriel : \[\underline{H}^0_f(\underline{L} \otimes_{\underline{O}_S} \underline{M}) \simeq \mathbf{Hom}_{\mathcal{O}}(\underline{E}, \underline{M})\] pour $\underline{M}$ quasi-cohérent sur $S$ [ce qui est vrai si $S$ est local, et $X$ projectif sur $S$] […]. Le […] ainsi […] faisceau cohérent $\underline{E}$ sur $S$ ⌜définissant⌝ fixe le « foncteur » $S' \mapsto \underline{H}^0_{f'}(\underline{L}')$. Supposons de plus que

182les fibres de $X/S$ soient […] intègres ⌜primaires⌝. Alors on voit que l'on a :

Prop. \[\mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S} \simeq \underline{P}(\underline{E}),\] fibré projectif associé à $\underline{E}$. Comme ce dernier est aussi isomorphe à $\mathrm{Proj}($$\underline{E}$ $\mathrm{Symm}^{\bullet}(\underline{E}))$, et […] fibrés […], on voit aussi :

Corollaire. Supposons $X/S$ primaire. Alors $\mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S} \to$ les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)$\mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S}$ est plat sur $S$ en $s$ ;
(ii)$\mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S}$ est simple sur $S$ en $s$ ;
(iii)pour $n$ grand, $\mathrm{Symm}^n(\underline{E})$ est libre sur $S$ en $s$ ;
(iv)pour ⌜$k$ convenable,⌝ $n$ grand, $\mathrm{Symm}^{n}(\underline{E})$ est loc. libre sur $S$ ⌜en $s$⌝ pour $n$ grand ;
(v)$\underline{E}$ est libre loc. libre sur $S$ en $s$ ;
(vi)$\underline{L}$ est cohomologiquement plat rel. $S$ ;
(vii)$\underline{H}^0_f(\underline{L}) \otimes k(s) \to H^0(X_s, \underline{L}_{(s)})$ est surjectif.

devant (vi) et (vii), à gauche, deux mentions brèves : « […] dif. » et « […] […] » ; le $\otimes k(s)$ de (vii) est récrit sur une rature et reste douteux […] […] Diagramme […] […] […] fibrés projectifs à gauche de la liste, des flèches doubles ($\Uparrow$, $\Downarrow$) et deux longues flèches courbes relient les conditions, sans qu'on puisse dire avec certitude lesquelles ; le texte en marge, écrit en biais, renvoie à ce diagramme d'implications

Groupe de Picard des cônes et de leurs anneaux locaux au sommet

titre pris sur la page 183, feuille de garde de sa main, qui porte seulement : « Groupe de Picard des cônes et de leurs anneaux locaux au sommet »

184Groupe de Picard des cônes épointés

$X \subset \mathbb{P}^r_k$, cône projetant (affine) $C$, à l'origine sommet $a$, $C_a = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{C,a}$.

$C - a$ est un fibré principal sur $X$, de groupe $\mathbb{G}_m$, dont la classe est celle $\xi \in \mathrm{Pic}(X)$ de $\mathcal{O}_X(1)$. Donc si $X$ est régulier \[\mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbb{Z}.\xi\] Considérons le morphisme naturel \[C_a - a \longrightarrow C - a ,\] il induit un homomorphisme canonique \[\mathrm{Pic}(C - a) \longrightarrow \mathrm{Pic}(C_a - a) \simeq \varinjlim_{U \ni a} \mathrm{Pic}(U - a)\] Je dis que c'est un isomorphisme si $X$ est régulier. Comme pour $U = C - Y$ voisinage de $a$, on a \[\mathrm{Pic}(U - a) \simeq \mathrm{Pic}(C - a)/\mathrm{Im}\, \mathbb{Z}^{(I)}\] où $I$ est l'ens. des comp. irréd. de $Y$,

185l'assertion précédente équivaut à celle-ci : pour tout diviseur $D$ sur $C$ tel que $a \notin \mathrm{supp}\, D$, on a $D \sim 0$ dans $C - a$.

Pour le prouver, introduisons le cône projetant projectif $\hat{C}$, et $E = \hat{C} - a$, qui est un fibré vectoriel sur $X$ [savoir celui associé de façon covariante à $\mathcal{O}_X(1)$]. Alors $D$ provient d'un diviseur $\hat{D}$ sur $\hat{C}$ tel que $a \notin \mathrm{supp}\, \hat{D}$, et par suite le […] de $\hat{D}$ diviseur $E$ sur $E'$ induit par $\hat{D}$ est à support propre sur $X$. Nous allons prouver le

Lemme. Soit $X$ préschéma régulier, $E$ un fibré vectoriel ⌜de rang 1⌝ sur $X$ ($E = \mathbb{V}(\mathcal{E})$, où $\mathcal{E}$ est un faisceau inv. sur $X$), $D$ un diviseur sur $E$, tel que $\mathrm{supp}\, D$

186soit propre sur $X$. Alors Soit $V = E - g(X)$, où $g$ est la section nulle, alors \[D|V \sim 0 \quad \text{dans } V.\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
E \arrow[d, "f"'] & E' \arrow[l, "h'"'] \arrow[d, "f'"'] \\
X & X' \arrow[l, "h"] \arrow[u, bend right=40, "q"']
\end{tikzcd}

On peut supposer que $D$ est un diviseur irréductible, défini par un sous-préschéma fermé $X'$ de $E$. Faisons

Supposons d'abord $X'$ régulier, faisons le changement de base $h \colon X' \to X$, alors $E'$ sur $X'$ est muni d'une section naturelle $q$ telle que $h'q =$ immersion canonique de $X'$ dans $X$ lire sans doute « dans $E$ ». On a donc dans $\mathrm{Pic}$ [(raisonnement […] dans $\mathrm{Pic}$ […])] \[D = (h'_* q)_* (1_{X'}) = h'_*(q_*.1_{X'})\] N.B. Cela […] […] […] […] si $h'$ et $q$ sont propres ou […] mais comme d'ailleurs que \[q_*(1_{X'}) = f'^*(\xi_{E'})\] où $\xi_{E'} \in \mathrm{Pic}(X')$ est la classe […] de $E'/X'$. D'ailleurs $\xi_{E'} = h^*(\xi_E)$, d'où \[q_*(1_{X'}) = f'^* h^*(\xi_E) = h'^* f^*(\xi_E)\] et \[D = h'_* h'^*(f^*(\xi_E)) = f^*(\xi_E)\, h'_*(1_{E'})\]

187Or $h$ est un morphisme fini, ⌜de dimension relative ([…]) 0⌝ […], donc $h'_*(1) = d$, d'où \[D = d\, f^*(\xi_E), -\] Par suite \[D|V = d\,(f^*(\xi_E)|V) = 0 \qquad \text{cqfd.}\] Méthode figurant dans la […] […] […] se généralise aux fibrés vectoriels quelconques.

Dans le cas général, supposant cependant le lieu singulier de $X'$ fermé (donc contenu dans un […] fermé […] $Y' \subset X'$, $\neq X'$) on considère $Y = f(Y')$, et on applique ce qui précède à $X - Y$ et $D|X - Y$, et on gagne […]

On trouve ainsi, dans le cas présent \[\boxed{\mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(C_a - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbb{Z}\xi}\] Dans le cas où $C$ est normal […] […] $\mathcal{O}_{C,a}$ est normal) notons par $\mathrm{Pic}(C_a - a)$ aussi le groupe $\mathrm{Cl}(\mathcal{O}_{C,a})$ des classes

188de diviseurs de $\mathcal{O}_{C,a}$.

Posons \[S = \text{\struck{$\mathrm{Spec}$}}\ C_a = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{C,a}, \qquad \hat{S} = \mathrm{Spec}\, \widehat{\mathcal{O}_{C,a}}\] nous avons un homomorphisme canonique \[\mathrm{Pic}(S - a) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})\] [qui, dans le cas $S$ normal, s'interprète comme \[\mathrm{Cl}(S) \longrightarrow \mathrm{Cl}(\hat{S})\] ] et on peut se demander si c'est un isomorphisme. Faisons ici Pour ceci, nous allons interpréter l'homomorphisme précédent d'une autre manière. Soit $\tilde{C}$ obtenu à partir de $C$ en « faisant éclater l'origine », donc $\tilde{C}$ est un fibré vectoriel sur $X \simeq (\tilde{C})_a$, défini […] ⌜comme⌝ $\mathbb{W}(\mathcal{O}_X(-1))$.

L'on a […]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\tilde{C} \arrow[d] & \tilde{C} \times_{C} C_a = \tilde{S} \arrow[l] \arrow[d] \\
C & C_a = S \arrow[l]
\end{tikzcd}

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\mathrm{Pic}(C_a - a) \arrow[d, "\wr"'] & \mathrm{Pic}(C - a) \arrow[l, "\sim"'] \arrow[d, "\wr"] \\
\mathrm{Pic}(\tilde{S} - X) & \mathrm{Pic}(\tilde{C} - X) \arrow[l, "\sim"']
\end{tikzcd}

à droite de ce carré, un troisième terme $\mathrm{Pic}(\tilde{C} - X)$, avec en dessous $\mathrm{Pic}(\tilde{C})/\mathbb{Z}\eta$, est barré d'un grand trait ; le sens des flèches horizontales et des isomorphismes verticaux est lu sur une page chargée et reste douteux

189[N.B. $\mathrm{Pic}(\tilde{C} - X) \simeq \mathrm{Pic}(\tilde{C})/\mathbb{Z}.\eta$, où $\eta$ est la classe de $X$ considéré comme diviseur dans $\tilde{C}$ ; et comme $\mathrm{Pic}(\tilde{C}) \simeq \mathrm{Pic}(X)$ par $\tilde{C} \to X$, on retrouve ainsi l'isomorphisme $\mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbb{Z}.\eta$].

D'autre part on trouve aussi \[\mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a}) \simeq \mathrm{Pic}(\widetilde{\hat{S}} - X) \simeq \mathrm{Pic}(\widetilde{\hat{S}})/\mathbb{Z}\hat{\eta}\] où $\widetilde{\hat{S}}$ désigne l'éclaté de $\hat{S}$. Or on a un isomorphisme évident \[\widetilde{\hat{S}} \simeq \tilde{S} \times_S \hat{S} \simeq \widehat{\tilde{S}} \qquad \text{(complété formel de $\tilde{S}$ le long de $X$)}\] d'où, par le th. d'existence \[\mathrm{Pic}(\widetilde{\hat{S}}) \simeq \mathrm{Pic}(\widehat{\tilde{S}}) ;\] comme par ailleurs Ainsi, ⌜l'homomorphisme⌝ $\mathrm{Pic}(\widetilde{\hat{S}})$ \[\mathrm{Pic}(S - a) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})\] est induit, en passant aux quotients par $\mathbb{Z}\eta$ resp. $\mathbb{Z}\hat{\eta}$, par l'homomorphisme \[\mathrm{Pic}(E) \longrightarrow \mathrm{Pic}(\hat{E})\]

190où $E$ est le fibré vectoriel $\tilde{C}$ sur $X$, et $\hat{E}$ son complété formel le long de $X$, donc \[\mathrm{Pic}(\hat{E}) = \varprojlim \mathrm{Pic}(E_n)\] où $E_n$ est le voisinage infinitésimal d'ordre $n$ de $X$ dans $E$, \[E_n = (X, \mathcal{O}_E/\mathcal{J}^{n+1})\] $\mathcal{J}$ étant l'idéal définissant $X$ dans $E$. Notons ici \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = \mathcal{O}_X(1)\] \[\mathrm{Pic}(E) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Pic}(X)\] Donc $\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})$ est inj. (surj.) ssi $\mathrm{Pic}(E) \to \mathrm{Pic}(\hat{E})$ l'est. Donc pour dire […] ⌜[…]⌝ […] […] […] (immédiatement par le dernier formule) (au moins dans le cas $S$ normal […]) que $\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})$ est injectif, i.e. $\mathrm{Pic}(E) \to \mathrm{Pic}(\hat{E})$ est injectif [car $\mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\hat{E})$ l'est, ayant l'inverse à gauche $\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(E_0) = \mathrm{Pic}(X)$]. tout ce passage, de « Donc » à « injectif », est serré entre les lignes et réécrit ; l'ordre de lecture est une conjecture

Reste : voir si $\mathrm{Pic}(E) \to \mathrm{Pic}(\hat{E})$ est bijectif. Or : $\mathrm{Pic}(X) \simeq \mathrm{Pic}(E)$

191il en est ainsi ssi $\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)$ est injectif, […] $\mathrm{Pic}(E) \to \mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)$, composé $\simeq$

Supposons par ex. que $\dim X = 1$ ; alors dans le système projectif $(\mathrm{Pic}(E_n))$, les morphismes de transition sont surjectifs. D'autre part, ⌜en tous cas,⌝ le noyau de $\mathrm{Pic}(E_n) \to \mathrm{Pic}(E_{n-1})$ ($n \geq 1$) est isomorphe : \[H^1(X, \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n+1}) \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) .\] Ainsi : Si $X$ est […]

Proposition. Pour que $\mathrm{Pic}(E) \to \mathrm{Pic}(\hat{E})$ soit bijectif (ou encore $\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a})$ bijectif) il faut suffit que l'on ait $H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0$ pour tout $n \geq 1$ ; cette condition est aussi nécessaire si $\dim X = 1$.

⌜Mais pour cette condition […] pas vérifiée si $d^\circ \mathcal{O}_X(1) < g - 1$, […]⌝ Mais soit $X$ ⌜courbe […] $\subset \mathbb{P}^2_k$, […] […]⌝ […] lisse$/k$, de degré $d$, donc $g = 1 + \frac{d(d-3)}{2}$, et si $d < g - 1$ i.e. $d \geq 6$, cette condition n'est jamais vérifiée. Corollaire les deux lignes « Mais pour cette condition… » et « X courbe… » sont serrées au-dessus de la ligne suivante ; « Corollaire », encadré de deux traits verticaux, figure en marge en face de cette fin de page

192Remarques. 1) On notera que la démonstration montre que si $\dim X = 1$, alors $\mathrm{Pic}(\hat{E}) \to \mathrm{Pic}(X)$ a un noyau qui est connexe, ⌜et unipotent⌝ […] […] $\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - a)$ induit un isom. sur les groupes des composantes connexes de l'identité [qui dans ce cas sont finis, isomorphes à $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ où $d$ est le degré projectif de $X$] ⌜et à un module près unipotent […]⌝. Le résultat semble valable si $X$ est de dim. quelconque, lorsque […] la caractéristique résiduelle $p$ de $k$ est $> 0$, et que l'on raisonne […] projectif ⌜à pro-isomorphisme près⌝ ; i.e. le groupe de NS. local […] […] pour $S$ et $\hat{S}$, modulo des $p$-groupes [ext. d'un $p$-groupe fini par un groupe unipotent sur $k$] ; utilisant le fait que les obstructions dans des $H^2(X, \underline{O}_X(n))$ finissent nécessairement par être nulles pour $n$ grand, et sont annulées par $p$… Ceci est en accord avec la théorie du groupe fondamental … Regarder aussi le cas de la car. résiduelle nulle …

1932) On peut aussi regarder le hensélisé $\tilde{S}$ de $S$, et les homom. \[\mathrm{Pic}(S - a) \to \mathrm{Pic}(\tilde{S} - \tilde{a}) \to \mathrm{Pic}(\hat{S} - \hat{a}) .\] le hensélisé est noté ici d'un signe placé au-dessus du $S$, que nous lisons comme un tilde, bien que $\tilde{S}$ désigne p. 188 l'éclaté Il est possible que la deuxième flèche écrite soit toujours un isomorphisme. On le voit immédiatement, en tous cas, lorsque $X$ est de dim $1$ (i.e. $S$ de dim $2$), par le raisonnement habituel sur l'éclaté… Dans l'exemple précédent des courbes, il y a donc autant d'exemples où le groupe de Picard local de $S$ et celui de son hensélisé ne sont pas isomorphes …

Structure locale de $\mathbf{Pic}_{X/S}$

titre pris sur la page 194, feuille de garde de sa main : « $G^\tau$, $G^0$ etc », puis « Structure ⌜loc.⌝ de $\mathbf{Pic}_{X/S}$ », et une troisième ligne entre parenthèses, barrée, « ([…], […]) »

195Constituants de la Torsion titre encadré, en haut à droite ; à gauche, en tête de page, $G$ au-dessus de $S$, reliés par un trait vertical

schéma en groupes ⌜commutatif⌝ projectif sur $S$ […] noethérien local $G^\circ$ univ. ouvert sur $S$. $s \in S$ ⌜pt fermé⌝, $s_i$ générisations immédiates. Pour tout $t \in S$, soit $G^\circ_t$ muni de la structure abélienne induite, soit $T_t(G) = G_t/G^\circ_t$ et $\sigma(t) = \mathrm{rang}_{k(t)} T_t(G)$.

Implications

(i)$G$ plat sur $S$, $G^\circ$ ⌜admet⌝ contient un sous-schéma abélien $A$ ayant $G^\circ$ comme sous-ens. sous-jacent, et $G$ plat sur $S$
$\Updownarrow$
(ii)$G$ admet un $A$ comme dessus, et $T(G) \simeq G/A$ est plat sur $S$ [N.B. il est diff. fini sur $S$]
$\Downarrow$
(iii)Pour tout $t \in S$, on a rang $\sigma(s) = \sigma(t)$ [[…] $\sigma(s) \leq \sigma(s_i)$]
$\Updownarrow$
(iv)Pour tout $i$, […] $\sigma(s) = \sigma(s_i)$ [on sait $\sigma(s) \leq \sigma(s_i)$]

la flèche entre (iii) et (iv) est double, sa pointe supérieure surchargée ; la phrase suivante la conditionne ⌜[…] i.e. les fibres de $G$ sont toutes de même dim.⌝ Si $G^\circ$ univ. ouvert sur $S$, on a (iii) $\Leftrightarrow$ (iv). Si ⌜de plus⌝ $S$ est réduit, alors les conditions envisagées sont équivalentes.

On sait que (théorie des groupes quotients ⌜plats⌝) que si $A$ existe, alors $G \to G/A$ est fid. plat et projectif, et que alors $G$ plat sur $S$ ssi $G/A$ plat sur $S$, ce qui démontre l'équivalence de (i) et (ii). De plus, si $A$ existe, alors on a pour tout $t \in S$, \[T_t(G) \simeq T(G)_t \qquad \text{où } T(G) = G/A.\] Donc (ii) $\Rightarrow$ (iv), a fortiori (ii) $\Rightarrow$ (iii).

Pour (iii) $\Leftrightarrow$ (iv), on […] ⌜utilise le⌝ (Supposons $G^\circ$ univ. ouvert sur $S$, i.e. les fibres de $G$ sont toutes de même dim.)

Lemme (La fonction $\sigma$ est semi-continue supérieurement. Comme elle est évidemment constructible (cf l'argument précédent …] on est ramené à prouver, dans le cas où $S$ est le spectre d'un anneau de val. discrète, s'il pt fermé, […] que $\sigma(s) \geq \sigma(s')$. Soit $G^\circ$ muni de la structure induite de celle de $G^\circ_{s'}$, donc $G^\circ$ est un sous-groupe de $G$ plat$/S$, et on peut prendre le groupe quotient $Q = G/G_0$, qui est fini sur $S$. Alors \[\sigma(s) \geq \mathrm{rang}_{\mathcal{O}}[Q_s : k(s)] \geq \mathrm{rang}_{\mathcal{O}}[Q_{s'} : k(s')] = \sigma(s')\] d'où l'inégalité voulue. Notons que la première inégalité est une égalité ssi $G^\circ_s$ est réduit, i.e. $G^\circ$ est abélien sur $S$, et que la deuxième l'est ssi $Q$ est plat sur $S$. / Cela prouve […] ⌜aussi⌝ que dans le cas $S = \mathrm{Spec}(V)$, on a (iv) $\Rightarrow$ (ii). C'est aussi vrai dès que $S$ est seulement réduit, En effet, on sait […] […] trouve facilement un sous-schéma en groupes […] […] schéma $S' \to S$ radiciel […] le pt […] d'un $A$. Alors $S' \to S$ est un […] […], i.e. propre. Le critère valuatif […] […] les raisonnements précédents s'appliquent […] $T = G/A$. Et […] $T \to S$ […] […] schéma de Hilbert de $G/S$ ; […] universel correspondant […] […] […], et surjectif, […] […] […] critère […] $S = \mathrm{Spec}(V)$, […]. D'où résultat, l'existence de $A$, […] en vertu de (iv), [[…] critère val. […]] la note marginale, en deux colonnes écrites de bas en haut le long du bord gauche, poursuit la dernière phrase de la page ; elle n'est lue que par fragments

197feuillet au crayon ; le texte au-dessus de l'accolade se rattache aux conditions (iii), (iv) de la p. 195 Corollaire ([…] fibres de $G$ connexes et de même dimension). Les conditions (iii) et (iv) équivalent […] à la suivante, où $n$ est un entier fixé […] multiple de $\sigma(t)^2$, et ${}_nG = \mathrm{Ker}(G \xrightarrow{n} G)$ :

(v)$\mathrm{rang}_{k(s)}\, {}_nG_s = \mathrm{rang}_{k(s_i)}\, {}_nG_{s_i}$ pour tout $i$,

(v bis)$\mathrm{rang}_{k(s)}\, {}_nG_s = \mathrm{rang}_{k(t)}\, {}_nG_t$ pour tout $t \in S$.

en marge droite, deux fragments isolés : « $H^1(W_{nn}$ » et « $F^n V^n = 0$ »

Dans un cadre : \[\mathrm{long}\, H^1(\bar{X}_s, \mathbb{Z}/p^n) + \mathrm{long}\, H^1(\bar{X}_s, \mu_{p^n})\] \[+ \;\struck{\ill{}}\ \mathrm{long}_{W_n^\sigma[F,V]}\, H^1(\bar{X}_s, W_{n,n})\] partie multiplicative partie additive ⌜unipotente⌝

sous le cadre, trois signes $\Vert$ renvoient chaque terme à une interprétation : \[\mathrm{Hom}(\pi_1(\bar{X}_s), \mathbb{Z}/p^n) , \qquad {}_{p^n}\mathrm{Pic}(\bar{X}_s) ,\] \[\mathrm{Ker}\bigl(H^1(\bar{X}_s, W_n) \xrightarrow{F^n} H^1(\bar{X}_s, W_n)\bigr)\]

Sous-groupe $G^\tau$

titre encadré en tête de la p. 200

200Soit $G$ un schéma en groupes sur le corps $k$, localement de type fini sur $k$. Alors :

1°) La composante connexe de l'élément neutre $e$ est de type fini sur $k$, et géométriquement irréductible cet énoncé est barré d'un trait ondulé et remplacé par 1°) et 2°)

1°) Les composantes connexes ⌜$G_i$⌝ de $G$ sont de type fini sur $k$, et irréductibles

2°) La composante connexe ⌜[…] $G_0$⌝ de $e$ est géom. irréductible, et c'est un sous-groupe invariant […]

3°) ⌜Les $G_i$ sont stables par $G_0$.⌝ Si $k$ est alg. clos, alors les […] composantes connexes de $G$ sont les translatés de $G^\circ_0$, où $a \in G(k)$ ⌜Si⌝ $G_i$ contient un pt rat. sur $k$, alors $G_i = G_0 a$ le passage barré de 3°) est entouré et rayé de traits ondulés ; « Si $G_i$ contient… » est écrit entre ses lignes

4°) Le groupe ⌜schéma quotient⌝ $G/G^\circ_0$ existe et est discret i.e. localement fini sur $k$, $G \to G/G^\circ_0$ est un morphisme […] fid. plat. $G/G_0$ est un $k$-groupe, séparé et loc. fini. […]

La composante connexe $G^\circ_{\bar{k}}$ de $e_{\bar{k}}$ de $G_{\bar{k}}$ […]

Supposons d'abord $k$ alg. clos. Soit $G_0$ définissons Comme $G_0$ est connexe, il en est de même de $G_0 \times G_0$ (référence …), donc $G_0 \times$ $G_0$ $G_0 \to G$ induit $G_0 \times G_0 \to G_0$, i.e. $G_0$ est un sous-groupe. Soit $U$ un ⌜ouvert⌝ voisinage […] de $e$, je dis que \[U^2 = G_0\] $\times$ utilisant, $G_0$ […] irréductible […] de type fini Et […] $G_0$ est quasi-compact … l'argument se poursuit au-delà de ce lot

Diviseurs relatifs et schéma de Picard

Groupe de Picard des cônes et de leurs anneaux locaux au sommet

Structure locale de \(\mathbf{Pic}_{X/S}\)

Sous-groupe \(G^\tau\)