la page commence au milieu d'une phrase, dont le début se trouve avant ce lot ; la notation soulignée deux fois (\mathbf{Pic}, \mathbf{Div}) est rendue en gras, les lettres soulignées une fois (\underline{E}, \underline{L}, \underline{M}, \underline{H}) sont gardées soulignées d'un préschéma en Picard ] . Utilisant ce résultat, on voit que si on peut trouver un faisceau inversible fondamental \underline{\Lambda} \underline{\Lambda} sur \mathbf{Pic}_{X/S} \times_S X dans ce faisceau [par exemple si X/S a une section ], alors \mathbf{Div}_{X/S} s'identifie à \mathbf{Div}_{X/S} \simeq \mathbf{Div}^{\underline{\Lambda}}_{\mathbf{Pic}_{X/S} \times_S X \,/\, \mathbf{Pic}_{X/S}} . Cela permet l'étude d'un schéma diviseurs, indépendamment de celle de \mathbf{Pic}_{X/S}, des foncteurs de l' \mathbf{Div}^{\underline{L}}_{X/S} et des représentant préschémas qui les représentent.

Supposons maintenant que X est propre et plat sur S, et que l'on a un isomorphisme fonctoriel : \underline{H}^0_f(\underline{L} \otimes_{\underline{O}_S} \underline{M}) \simeq \mathbf{Hom}_{\mathcal{O}}(\underline{E}, \underline{M}) pour \underline{M} quasi-cohérent sur S [ce qui est vrai si S est local, et X projectif sur S] . Le ainsi faisceau cohérent \underline{E} sur S définissant fixe le « foncteur » S' \mapsto \underline{H}^0_{f'}(\underline{L}'). Supposons de plus que

Groupe de Picard des cônes épointés

X \subset \mathbb{P}^r_k, cône projetant (affine) C, à l'origine sommet a, C_a = \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{C,a}.

C - a est un fibré principal sur X, de groupe \mathbb{G}_m, dont la classe est celle \xi \in \mathrm{Pic}(X) de \mathcal{O}_X(1). Donc si X est régulier \mathrm{Pic}(C - a) \simeq \mathrm{Pic}(X)/\mathbb{Z}.\xi Considérons le morphisme naturel C_a - a \longrightarrow C - a , il induit un homomorphisme canonique \mathrm{Pic}(C - a) \longrightarrow \mathrm{Pic}(C_a - a) \simeq \varinjlim_{U \ni a} \mathrm{Pic}(U - a) Je dis que c'est un isomorphisme si X est régulier. Comme pour U = C - Y voisinage de a, on a \mathrm{Pic}(U - a) \simeq \mathrm{Pic}(C - a)/\mathrm{Im}\, \mathbb{Z}^{(I)} où I est l'ens. des comp. irréd. de Y,

Constituants de la Torsion titre encadré, en haut à droite ; à gauche, en tête de page, G au-dessus de S, reliés par un trait vertical

schéma en groupes commutatif projectif sur S noethérien local G^\circ univ. ouvert sur S. s \in S pt fermé, s_i générisations immédiates. Pour tout t \in S, soit G^\circ_t muni de la structure abélienne induite, soit T_t(G) = G_t/G^\circ_t et \sigma(t) = \mathrm{rang}_{k(t)} T_t(G).

Implications

la flèche entre (iii) et (iv) est double, sa pointe supérieure surchargée ; la phrase suivante la conditionne i.e. les fibres de G sont toutes de même dim. Si G^\circ univ. ouvert sur S, on a (iii) \Leftrightarrow (iv). Si de plus S est réduit, alors les conditions envisagées sont équivalentes.

On sait que (théorie des groupes quotients plats) que si A existe, alors G \to G/A est fid. plat et projectif, et que alors G plat sur S ssi G/A plat sur S, ce qui démontre l'équivalence de (i) et (ii). De plus, si A existe, alors on a pour tout t \in S, T_t(G) \simeq T(G)_t \qquad \text{où } T(G) = G/A. Donc (ii) \Rightarrow (iv), a fortiori (ii) \Rightarrow (iii).

Pour (iii) \Leftrightarrow (iv), on utilise le (Supposons G^\circ univ. ouvert sur S, i.e. les fibres de G sont toutes de même dim.)

Lemme (La fonction \sigma est semi-continue supérieurement. Comme elle est évidemment constructible (cf l'argument précédent …] on est ramené à prouver, dans le cas où S est le spectre d'un anneau de val. discrète, s'il pt fermé, que \sigma(s) \geq \sigma(s'). Soit G^\circ muni de la structure induite de celle de G^\circ_{s'}, donc G^\circ est un sous-groupe de G plat/S, et on peut prendre le groupe quotient Q = G/G_0, qui est fini sur S. Alors \sigma(s) \geq \mathrm{rang}_{\mathcal{O}}[Q_s : k(s)] \geq \mathrm{rang}_{\mathcal{O}}[Q_{s'} : k(s')] = \sigma(s') d'où l'inégalité voulue. Notons que la première inégalité est une égalité ssi G^\circ_s est réduit, i.e. G^\circ est abélien sur S, et que la deuxième l'est ssi Q est plat sur S. / Cela prouve aussi que dans le cas S = \mathrm{Spec}(V), on a (iv) \Rightarrow (ii). C'est aussi vrai dès que S est seulement réduit, En effet, on sait trouve facilement un sous-schéma en groupes schéma S' \to S radiciel le pt d'un A. Alors S' \to S est un , i.e. propre. Le critère valuatif les raisonnements précédents s'appliquent T = G/A. Et T \to S schéma de Hilbert de G/S ; universel correspondant , et surjectif, critère S = \mathrm{Spec}(V), . D'où résultat, l'existence de A, en vertu de (iv), [ critère val. ] la note marginale, en deux colonnes écrites de bas en haut le long du bord gauche, poursuit la dernière phrase de la page ; elle n'est lue que par fragments

Soit G un schéma en groupes sur le corps k, localement de type fini sur k. Alors :

1°) La composante connexe de l'élément neutre e est de type fini sur k, et géométriquement irréductible cet énoncé est barré d'un trait ondulé et remplacé par 1°) et 2°)

1°) Les composantes connexes G_i de G sont de type fini sur k, et irréductibles

2°) La composante connexe G_0 de e est géom. irréductible, et c'est un sous-groupe invariant

3°) Les G_i sont stables par G_0. Si k est alg. clos, alors les composantes connexes de G sont les translatés de G^\circ_0, où a \in G(k) Si G_i contient un pt rat. sur k, alors G_i = G_0 a le passage barré de 3°) est entouré et rayé de traits ondulés ; « Si G_i contient… » est écrit entre ses lignes

4°) Le groupe schéma quotient G/G^\circ_0 existe et est discret i.e. localement fini sur k, G \to G/G^\circ_0 est un morphisme fid. plat. G/G_0 est un k-groupe, séparé et loc. fini.

La composante connexe G^\circ_{\bar{k}} de e_{\bar{k}} de G_{\bar{k}}

Supposons d'abord k alg. clos. Soit G_0 définissons Comme G_0 est connexe, il en est de même de G_0 \times G_0 (référence …), donc G_0 \times G_0 G_0 \to G induit G_0 \times G_0 \to G_0, i.e. G_0 est un sous-groupe. Soit U un ouvert voisinage de e, je dis que U^2 = G_0 \times utilisant, G_0 irréductible de type fini Et G_0 est quasi-compact … l'argument se poursuit au-delà de ce lot