Cote n° 57, pages 141–160

Cote n° 57 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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141le lot s'ouvre sur un argument nouveau ; rien ne paraît venir des pages précédentes $f : X \to S$ projectif et lisse, fibres géométriques connexes de dim 1.

$U = X - Y$, $Y$ sous-schéma fermé de $X$ étale sur $S$ p. ex. $Y = \coprod_{i \in I} g_i(S)$, les $g_i$ des sections telles que les $g_i(S)$ deux à deux disjoints

$f_U : U \to S$

$n$ premier aux car. résiduelles ⌜de $S$⌝. On trouve \[E_2^{pq} = H^p(S, R^q_! f_U(\mu_n)) \Longrightarrow H^*_{\mathrm{prop}}(U, \mu_n),\] où $R^q_! f_U(\mu_n)$ est $0$ sauf $q = 1, 2$ : \[R^q_! f_U(\mu_n) = \begin{cases} 0 & \text{si } q \neq 1, 2 \\ {}_n E & \text{si } q = 1 \\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S & \text{si } q = 2 \end{cases}\] (déf. de $E$ cf. plus bas)

schéma du terme $E_2$ : deux lignes de croix au-dessus de l'axe horizontal, la première croix de la ligne supérieure marquée d'un astérisque \[\begin{array}{ccc} E_2^{0,2} & \longrightarrow & E_2^{2,1} \\ \| & & \| \\ H^0(S, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) & & H^2(S, {}_n E) \end{array}\] On trouve un élément canonique \[\xi_n \in H^2(S, {}_n E).\] Si $n = \ell^\nu$ ($\nu$ variable), $\ell$ premier distinct des car. rés. sur $S$, on trouve \[\boxed{\xi(\ell) \in H^2(S, T_\ell(E))}\] Cet élément est nul si $U$ a une section sur $S$.

$E$ est un schéma en groupes lisse sur $S$, […] ⌜à fibres connexes,⌝ (extension de $J = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/S}$ par $T = \mathbb{G}_m^I / \mathbb{G}_m$ ⌜diagonal⌝), \[0 \to T \to E \to J \to 0, \qquad T = \mathbb{G}_{m,S}^I / \mathbb{G}_{m,S}.\]

143On obtient $E$ ainsi : […] on définit un schéma en courbes plat $Z$ sur $S$ comme conoyau de \[X \amalg (Y \times_S Y) \rightrightarrows X \qquad (\alpha : Y \hookrightarrow X),\] les deux flèches étant $(\mathrm{id}_X, \alpha\, \mathrm{pr}_1^{Y/S})$ et $(\mathrm{id}_X, \alpha\, \mathrm{pr}_2^{Y/S})$, et on définit \[E = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{Z/S}.\] […] Le morphisme $E \to J$ est induit par $X \xrightarrow{\varphi} Z$ en passant au $\underline{\mathrm{Pic}}^0_{/S}$. Notons que nous avons un torseur canonique $P$ sous $E$, \[P = \underline{\mathrm{Pic}}^1_{Z/S}\] (et, d'ailleurs, un $S$-morphisme can. $U \to P$). Notons que $P$ définit un élément \[\boxed{\eta \in H^1(S, E)},\] et la relation entre $\xi_n$ et $\eta$ est \[\boxed{\xi_n = \partial_n(\eta)},\] à vérifier…… où $\partial_n$ est l'opérateur cobord \[H^1(S, E) \longrightarrow H^2(S, {}_n E)\] associé à la suite exacte de Kummer \[0 \to {}_n E \to E \xrightarrow{\;n_E\;} E \to 0 .\]

144Notons que l'image de $\eta$ dans $H^1(S, J)$, par fonctorialité, n'est autre que la classe de $\underline{\mathrm{Pic}}^1_{X/S}$ (considéré comme torseur sous $J$). Si $U$ a une section, cette classe est nulle. Ceci est le cas si $X/S$ admet une section $\xi$. p. ex. Alors la suite exacte \[H^0(S, J) \to H^1(S, T) \to H^1(S, E) \to H^1(S, J)\] montre que $\eta$ est dans $\operatorname{Im} H^1(S, T)$.

Notons qu'on a d'ailleurs une suite exacte (si $Y \to S$ surjectif) \[(*) \qquad 0 \to \mathbb{G}_{m,S} \to \prod_{Y/S} \mathbb{G}_m \to T \to 0\] qui donne une suite exacte […] \[\begin{aligned} 0 &\to H^0(S, \mathcal{O}_S)^* \to H^0(Y, \mathcal{O}_Y)^* \to H^0(S, T) \to \operatorname{Pic}(S) \to \operatorname{Pic}(Y) \\ &\to H^1(S, T) \to \mathrm{Br}'(S) \to \mathrm{Br}'(Y), \end{aligned}\] Lorsque la suite exacte $(*)$ est scindée, p. ex. lorsque $Y$ admet une section sur $S$, alors on trouve \[\text{\struck{$H^1(S,T) =$}} \quad H^1(S, T) \simeq \operatorname{Pic}(Y) / \operatorname{Im} \operatorname{Pic}(S),\] et lorsque $Y = \coprod_{i \in I} g_i(S)$ comme ci-dessus, alors […] \[\operatorname{Pic}(Y) \simeq \operatorname{Pic}(S)^I\] et on trouve \[H^1(S, T) \simeq \operatorname{Pic}(S)^I / \operatorname{Im} \operatorname{Pic}(S)\] ( $\hookrightarrow$ par diagonale). Si p. ex. $\operatorname{Pic}(S) = 0$, on trouve $\eta = 0$, a fortiori les $\xi_n$, $\xi_\ell$ sont nuls.

146Soit $C$ une courbe complète, réduite et connexe sur $k$ ⌜alg. clos⌝. On veut calculer $\operatorname{Pic}_C$. \[0 \to \underline{\mathcal{O}}_C^* \to \underline{\widetilde{\mathcal{O}}}_C^* \to \prod_p A_p^* \to 0 \qquad p \text{ les pts doubles}\] \[0 \to \mathbb{G}_m \to \prod_{C_i} \mathbb{G}_m \to \prod_{p_\alpha} A_p \to \operatorname{Pic}_{C/k} \to \prod \operatorname{Pic}_{\widetilde{C}_i/k} \to 0\] une accolade réunit les trois premiers termes de la seconde suite, avec un mot au-dessous, peut-être « tore » ; en marge droite, $k[t]/t^2$ et le croquis d'un point de rebroussement On trouve que l'on a dans $\operatorname{Pic}_{C^0/k}$ une partie linéaire, […] et isomorphe à \[G = \Bigl(\prod_{p_\alpha} A_{p_\alpha}\Bigr) \Big/ \bigl(\textstyle\prod \mathbb{G}_m / \mathbb{G}_m\bigr)\] dont la dimension est égale à : \[\dim G = \sum \mu_\alpha - c_0 + 1\] $c_0 =$ nb des composantes $C_i$ où $\mu_\alpha = \dim P_\alpha = \dim_k \underline{\widetilde{\mathcal{O}}}_C / \underline{\mathcal{O}}_C$ […]. Posons, \[\mu_\alpha = 1 + \delta_\alpha,\] ici et dans la suite du lot, de courts symboles biffés et illisibles à l'intérieur des formules sont omis la suite de la page est barrée de deux longs traits obliques ; elle se lit ainsi $\dim G = c_1 - c_0 + 1 + \sum \delta_\alpha = b_1 + \sum \delta_\alpha$ $c_0 - c_1 = 1 - b_1$ où $b_1$ est le nombre de cycles dans le schéma combinatoire de $C$.

La dimension de $C$ partie ⌜additive⌝ […] de $G$ est

$\sum_\alpha (\nu_\alpha - 1) = \bigl(\sum \nu_\alpha\bigr) - c_1 = 2c_0 - c_1 =$

$\sum_\alpha (\mu'_\alpha) - c_0 + 1$ $\sum (\mu_\alpha - \mu'_\alpha)$

où $\mu'_\alpha$ est la multiplicité […] « ensembliste » de $P_\alpha$, $=$ […] nombre des branches passant par $\alpha$.

148Posons \[\mu_\alpha = \mu'_\alpha + \mu''_\alpha ,\] $\mu'_\alpha$ partie multiplicative $=$ nb des branches formelles passant par $P_\alpha$, diminué de 1 ;

$\mu''_\alpha$ partie additive […]. \[\text{\struck{Dim}}\ \dim G_{\mathrm{mult}} = \sum \mu'_\alpha - c_0 + 1 = h_{\underline{1}}\] invariant topologique de 2 situations [N.B. Lorsque les $C_i$ […] ⌜[…]⌝ […], alors $h_1$ […] peut être déterminé par combinatoirement ⌜combinatoire de $C$⌝ […]. Il est […] par le schéma combinatoire de la situation […] $\widetilde{C} \to C$ ; c'est […] le rang […] du […] $\mathrm{H}^1(C) \to \prod \mathrm{H}^1(\widetilde{C})$, ([…] de Weil) ou du conoyau de \[\prod \pi_1(\widetilde{C}_i) \to \pi_1(C) \;]\] \[\text{\struck{Dim}}\ \dim G_{\mathrm{add}} = \sum \mu''_\alpha\] Dire que $\operatorname{Pic}^0$ […] par des composantes $C_i$ […] […], signifie que les multiplicités formelles, […], sont $\mu_\alpha = \mu'_\alpha \geq 2$, i.e. […] que les $P_\alpha$ sont des […] dont chacun un V.A. […] ⌜[…]⌝ plus […] de plus… lecture très lâche : le dernier paragraphe, écrit vite et repris, n'est sûr que dans ses formules

150il faut […] Les $C_i$ […] non singulières [car $\operatorname{Pic}^0_{C_i/k}$ est un quotient de $\operatorname{Pic}^0_{C/k}$] et par Alors $\mu'_\alpha$ […] $\nu_\alpha$ […] $C_i$ […]. On a, si $i \neq j$, alors $C_i$ et $C_j$ se coupent […] […] en […] seul point [car $\operatorname{Pic}(C_i \cup C_j)$ est un quotient de $\operatorname{Pic}(C)$]. […] $\nu_\alpha$ […]

$C_i$ […] […] $P_\alpha$, […] deux à deux distincts, \[\dim G_{\mathrm{mult}} = \sum (\nu_\alpha - 1) - c_0 + 1 = \sum_i (\text{nb des pts } P_\alpha \text{ sur } C_i - 1) - \cdots\] une ligne entoure les deux expressions et les relie au $C_i$ barré plus haut En fin de compte, cette façon pour […] […] peut avoir des cycles cinq segments de droite se coupant deux à deux en formant un pentagone dans le schéma combinatoire de $C$. […], Réciproquement, si $C$ n'a que des pts […] ⌜multiples⌝ « multiplicatifs », et si les $C_i$ sont […] non singulières, […] on voit par récurrence sur […] des $C_i$ que $C \to \operatorname{Pic}^0_{C/k} \to$ […] une V.A.

On a en tout cas \[\begin{aligned} g = \dim \operatorname{Pic}_{C/k} &= \sum g_i + \Bigl(\sum_\alpha \mu_\alpha - c_0 + 1\Bigr) \\ &= \sum g_i + \rho + \sigma \end{aligned}\] $g_i =$ genre de $\widetilde{C}_i$ $\rho =$ nb des cycles combinatoire[s], $+$ nombre des multiplications multiplicatives des $C_i$ [cette dernière est $0$ si les $C_i$ non sing.]

$\sigma =$ somme des multiplicités additives des $P_\alpha$.

152page de croquis de courbes stables : configurations de composantes rationnelles (traits) se coupant transversalement, l'une marquée $g$ ; une autre à deux composantes marquées $g'$ et $g''$, avec \[g' + g'' = g \qquad (g' g'' > 0)\] une chaîne de composantes rationnelles marquée $g = 0$, avec « $(g = 0$ » ; un ovale ; un arc portant des points épaissis, accompagné de croix ; plusieurs étoiles de droites concourantes ; un pentagone de droites marqué de points ; deux lettres $k$ isolées \[\sum_{g_i \geq 1} (3g_i - 3 + \nu_i) + \sum_{g_i = 1} \underbrace{(1 + \nu_i - 1)}_{3g_i - 3 + \nu_i} + \sum_{\substack{g_i = 0 \\ \nu_i \geq 3}} \underbrace{\nu_i - 3}_{3g_i - 3 + \nu_i}\] $\nu_i =$ nb des pts […] ⌜doubles⌝ sur $C_i$. \[3 \sum g_i - 3c_0 + \sum \nu_i \;\text{\struck{$+$}}\; {}^{\lambda}\!\!\sum_{\substack{g_i = 0 \\ \nu_i = 2}} (3 - \nu_i)\] la dernière somme est encadrée et barrée d'un trait oblique ; le $\lambda$ est écrit au-dessus du signe $\lambda =$ nb des composantes $C_i$ de genre $0$, avec $\nu_i = 2$ (minimum […])

[tout cycle est formé exclusivement de courbes rationnelles, […] ⌜un cycle⌝ minimal est de longueur […]] \[\sum g_i = g - \rho \qquad (\rho = \text{nombre cycles combinatoires})\] $3g -$ […]

153feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique (chap. I, § 6.4–6.5) ; seule la correction manuscrite est transcrite, la main n'étant pas attribuée avec certitude Dans (6.4.13) : « ce sont donc les seuls ⌜qui donnent à ces⌝ morphismes qui aient une signification « géométrique » ».

154Conditions particulières :

a) $\operatorname{Pic}^0_{C/k}$ est abélien

b) les $\mu_\alpha = 0$ i.e. tous les pts doubles […] ordinaires, et $b_1 = 0$ [en particulier les $C_i$ sont non singulières] Conditions particulières :

a) $\operatorname{Pic}^0_{C/k}$ n'a pas de composante additive.

b) Donc Pour tout $\alpha$, on a $\mu_\alpha = \mu'_\alpha$ i.e. la multiplicité est maximale. en marge gauche, une suite de croquis de courbes : une boucle à point double, des configurations de droites concourantes, un point marqué « 1 » ; d'autres croquis en bas de page \[\sum_i \nu_i = \sum_\alpha (\mu_\alpha) = \text{\struck{$\sum$}}\ \underbrace{(\mu_\alpha - 1)}_{c_0 - 1 + \rho} + c_1\] sous le premier membre, $\mu_\alpha - 1$ ; à gauche, un « 3 » barré au-dessus d'un « 6 » \[\boxed{\sum \nu_i = c_0 - 1 + \rho + c_1} \qquad \rho = g - \sum g_i\] \[\begin{aligned} &3g - 3\rho - 3c_0 + \text{\struck{$c_0$}}\ \underbrace{\ -1 + \rho}\ + c_1 + \lambda \\ &3g - 2\rho - 2c_0 + c_1 + \lambda - 1 \\ &3g - 3\ \bigl[2(c_0 + \rho) - c_1 - \lambda - 2\bigr] \end{aligned}\] une ligne relie la première de ces lignes à « $\sum g_i = g - \rho$ », écrit en marge droite plusieurs configurations de composantes concourantes ; une boucle à point double ; un arc portant un point épaissi $\nu_s \geq 3$

courbe elliptique $+ k$ points dessus ($k \geq 1$) \[\text{\struck{$k$}} \qquad -6 + 2 - 1 = -5 \qquad 9 - 5 = 4\]

Foncteurs de Picard, Diviseurs…

intitulé de sa main, seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 156)

157$X$ schéma projectif ⌜[…]⌝ sur $S$

[…] Soit $\underline{L}$ inversible ⌜très ample⌝ sur $X$, tel que $f_*(\underline{L}) = E$ [loc. libre de rang $N$] ⌜tel que⌝ inutile ? $i : X \to P(E)$ soit défini

A) Équivalence[s]

(i) Donner une base de $E = f_*(\underline{L})$ i.e. un isom. $\underline{\mathcal{O}}_S^N \xrightarrow{\sim}$ $E$

(ii) Donner un isom. $\varphi : \mathbb{P}^N_S \xrightarrow{\sim} P(E)$, $\oplus$ un isom. $(\varphi^{-1} i)^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \simeq \underline{L}$

(iii) Donner un […] morphisme \[g : X \to \mathbb{P}^N_S\] $\oplus$ un isomorphisme $\alpha : g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \simeq \underline{L}$ tels que l'homomorphisme \[g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \to f_*(\underline{L}) = E\] soit un isom. [condition qui ne dépend que de la classe de $g$] La définition de l'équivalence […] […] bien des […] […] des […] […] ces […]. N.B. […] […] […] A') Compatibilité avec opérations de $\Gamma(\underline{\mathcal{O}}_S^*)$ et la définition

A') Équivalence[s]

(i) Donner une […] ⌜classe⌝ de bases des fibres de $E$ modulo $\underline{\mathcal{O}}_S^*$

(ii) Donner un isom. \[\varphi : \mathbb{P}^N_S \to P(E)\]

(iii) Donner un morphisme \[g : X \to P\] tel que 1°) $g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \underset{S}{\simeq} \underline{L}$ relativement à $S$ ; 2°) l'homom. $g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \xrightarrow{\sim} f_*(g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)))$ un isom. sous l'accolade : « homomorphisme spécial »

158feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique (chap. 0, § 7.5–7.6, anneaux adiques et anneaux complets de fractions) ; le texte imprimé n'est pas reproduit. Seule l'annotation manuscrite de la marge est transcrite ; la main n'est pas attribuée avec certitude définition insuffisante : il faut avoir que les $c_i$ et $\mathfrak{J}B$ engendrent $\mathfrak{J}B/\mathfrak{J}^2B$ ! l'annotation porte, par un trait, sur la phrase « Soit $(c_j)$ un système fini d'éléments de $B$ dont les classes mod. $\mathfrak{J}^2B$ engendrent la $(A/\mathfrak{J}^2)$-algèbre $B/\mathfrak{J}^2B$ »

159En un mot, on a […] […] $\leq$

A'') Équivalence entre les données suivantes

(i) Une $S$-donnée $\xi$ de faisceau inversible sur $S$, et un isom. \[\varphi : \mathbb{P}^N_\xi \xrightarrow{\sim} P_\xi\] qui est morphisme […]

(ii) Une Donnée d'un morphisme \[g : X \to \mathbb{P}^N_S\] tel que […] $g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \to f_*(g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)))$ soit un isomorphisme morphisme spécial […] dans un projectif Attention, Notations : $\underline{L}$ ⌜spécial⌝ morphique sur $X/S$ $+$ trivialisation projective $\downarrow$ $S$-donnée $\xi$ sur $S$, $+$ trivialisation projective $\|$ Morphisme spécial $X \to \mathbb{P}^N_S$ $\downarrow$ $\underline{L}'$ morphique spécial sur $X$, et trivialisation projective $\#$ isom. canonique […] identique ce schéma, entouré d'un trait qui le rattache à (ii), est écrit dans la marge droite ; une ligne barrée « […] les données » le ferme

A''') Équivalence […]

(i) Une $S$-donnée […] ⌜de⌝ « […] faisceaux » […] ⌜morphique⌝ et spécial $X$ sur $S$, de ⌜Brauer-Severi⌝ sur $X$

(ii) Un fibré de Brauer-Severi associé à un fibré principal de groupe $GP(N)$ $+$ morphisme spécial $g : X_P \to P^N_{\struck{\ill{}}}$ […] […], ce morphisme étant covariant pour $GP(N)$ spécial $=$ par changement de base, […] […] et les fibres des définissent […] morphisme, […] […] projectif […] fibré […] […] $N$ […]

Si on introduit $\mathfrak{J}\,\underline{\mathrm{Hom}}_S(X, P^N)$ où $GP(N)$ opère, et le sous-schéma ouvert $\mathfrak{J}\,\underline{\mathrm{Hom}}^{\mathrm{spéc}}_S(X, P^N)$ [[…] […] $X$ […] projectif sur $S$ localement], alors $GP(N)$ opère sans pts fixes sur $\underline{\mathrm{Hom}}^{\mathrm{spéc}}_S(X, P^N)$, et les structures A''') […]… la page s'arrête sur cette phrase inachevée ; le coin inférieur gauche porte une longue note marginale, très raturée, dont on lit introduction […] $g^*(\underline{\mathcal{O}}(1))$ […] et quelques mots rattachés par des traits au texte ; elle n'est pas transcrite plus avant

160feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique, chap. I, § 1.1 (spectre premier d'un anneau) ; seules les annotations manuscrites au crayon sont transcrites, la main n'étant pas attribuée avec certitude Enfin $\mathfrak{j}(\{x\}) = \mathfrak{j}_x$ (sert pour 1.1.7 !) ajout proposé après (1.1.3.1) ; dans (1.1.9), le renvoi « prop. (1.1.1, (iv)) » est corrigé à la main En particulier, $X = D(1)$ est qu.-cpct ajout proposé à la fin de l'énoncé (1.1.10, (ii))