Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 141–160 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 57 Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962). Pages 141 à 160 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 8 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1962-[vers 1968]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/57.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

le lot s'ouvre sur un argument nouveau ; rien ne paraît venir des pages précédentes f : X \to S projectif et lisse, fibres géométriques connexes de dim 1.

U = X - Y, Y sous-schéma fermé de X étale sur S p. ex. Y = \coprod_{i \in I} g_i(S), les g_i des sections telles que les g_i(S) deux à deux disjoints

f_U : U \to S

n premier aux car. résiduelles de S. On trouve E_2^{pq} = H^p(S, R^q_! f_U(\mu_n)) \Longrightarrow H^*_{\mathrm{prop}}(U, \mu_n), où R^q_! f_U(\mu_n) est 0 sauf q = 1, 2 : R^q_! f_U(\mu_n) = \begin{cases} 0 & \text{si } q \neq 1, 2 \\ {}_n E & \text{si } q = 1 \\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S & \text{si } q = 2 \end{cases} (déf. de E cf. plus bas)

schéma du terme E_2 : deux lignes de croix au-dessus de l'axe horizontal, la première croix de la ligne supérieure marquée d'un astérisque \begin{array}{ccc} E_2^{0,2} & \longrightarrow & E_2^{2,1} \\ \| & & \| \\ H^0(S, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) & & H^2(S, {}_n E) \end{array} On trouve un élément canonique \xi_n \in H^2(S, {}_n E). Si n = \ell^\nu (\nu variable), \ell premier distinct des car. rés. sur S, on trouve \boxed{\xi(\ell) \in H^2(S, T_\ell(E))} Cet élément est nul si U a une section sur S.

E est un schéma en groupes lisse sur S, à fibres connexes, (extension de J = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X/S} par T = \mathbb{G}_m^I / \mathbb{G}_m diagonal), 0 \to T \to E \to J \to 0, \qquad T = \mathbb{G}_{m,S}^I / \mathbb{G}_{m,S}.

On obtient E ainsi : on définit un schéma en courbes plat Z sur S comme conoyau de X \amalg (Y \times_S Y) \rightrightarrows X \qquad (\alpha : Y \hookrightarrow X), les deux flèches étant (\mathrm{id}_X, \alpha\, \mathrm{pr}_1^{Y/S}) et (\mathrm{id}_X, \alpha\, \mathrm{pr}_2^{Y/S}), et on définit E = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{Z/S}. Le morphisme E \to J est induit par X \xrightarrow{\varphi} Z en passant au \underline{\mathrm{Pic}}^0_{/S}. Notons que nous avons un torseur canonique P sous E, P = \underline{\mathrm{Pic}}^1_{Z/S} (et, d'ailleurs, un S-morphisme can. U \to P). Notons que P définit un élément \boxed{\eta \in H^1(S, E)}, et la relation entre \xi_n et \eta est \boxed{\xi_n = \partial_n(\eta)}, à vérifier…… où \partial_n est l'opérateur cobord H^1(S, E) \longrightarrow H^2(S, {}_n E) associé à la suite exacte de Kummer 0 \to {}_n E \to E \xrightarrow{\;n_E\;} E \to 0 .

Notons que l'image de \eta dans H^1(S, J), par fonctorialité, n'est autre que la classe de \underline{\mathrm{Pic}}^1_{X/S} (considéré comme torseur sous J). Si U a une section, cette classe est nulle. Ceci est le cas si X/S admet une section \xi. p. ex. Alors la suite exacte H^0(S, J) \to H^1(S, T) \to H^1(S, E) \to H^1(S, J) montre que \eta est dans \operatorname{Im} H^1(S, T).

Notons qu'on a d'ailleurs une suite exacte (si Y \to S surjectif) (*) \qquad 0 \to \mathbb{G}_{m,S} \to \prod_{Y/S} \mathbb{G}_m \to T \to 0 qui donne une suite exacte \begin{aligned} 0 &\to H^0(S, \mathcal{O}_S)^* \to H^0(Y, \mathcal{O}_Y)^* \to H^0(S, T) \to \operatorname{Pic}(S) \to \operatorname{Pic}(Y) \\ &\to H^1(S, T) \to \mathrm{Br}'(S) \to \mathrm{Br}'(Y), \end{aligned} Lorsque la suite exacte (*) est scindée, p. ex. lorsque Y admet une section sur S, alors on trouve \text{\struck{$H^1(S,T) =$}} \quad H^1(S, T) \simeq \operatorname{Pic}(Y) / \operatorname{Im} \operatorname{Pic}(S), et lorsque Y = \coprod_{i \in I} g_i(S) comme ci-dessus, alors \operatorname{Pic}(Y) \simeq \operatorname{Pic}(S)^I et on trouve H^1(S, T) \simeq \operatorname{Pic}(S)^I / \operatorname{Im} \operatorname{Pic}(S) ( \hookrightarrow par diagonale). Si p. ex. \operatorname{Pic}(S) = 0, on trouve \eta = 0, a fortiori les \xi_n, \xi_\ell sont nuls.

Soit C une courbe complète, réduite et connexe sur k alg. clos. On veut calculer \operatorname{Pic}_C. 0 \to \underline{\mathcal{O}}_C^* \to \underline{\widetilde{\mathcal{O}}}_C^* \to \prod_p A_p^* \to 0 \qquad p \text{ les pts doubles} 0 \to \mathbb{G}_m \to \prod_{C_i} \mathbb{G}_m \to \prod_{p_\alpha} A_p \to \operatorname{Pic}_{C/k} \to \prod \operatorname{Pic}_{\widetilde{C}_i/k} \to 0 une accolade réunit les trois premiers termes de la seconde suite, avec un mot au-dessous, peut-être « tore » ; en marge droite, k[t]/t^2 et le croquis d'un point de rebroussement On trouve que l'on a dans \operatorname{Pic}_{C^0/k} une partie linéaire, et isomorphe à G = \Bigl(\prod_{p_\alpha} A_{p_\alpha}\Bigr) \Big/ \bigl(\textstyle\prod \mathbb{G}_m / \mathbb{G}_m\bigr) dont la dimension est égale à : \dim G = \sum \mu_\alpha - c_0 + 1 c_0 = nb des composantes C_i où \mu_\alpha = \dim P_\alpha = \dim_k \underline{\widetilde{\mathcal{O}}}_C / \underline{\mathcal{O}}_C . Posons, \mu_\alpha = 1 + \delta_\alpha, ici et dans la suite du lot, de courts symboles biffés et illisibles à l'intérieur des formules sont omis la suite de la page est barrée de deux longs traits obliques ; elle se lit ainsi \dim G = c_1 - c_0 + 1 + \sum \delta_\alpha = b_1 + \sum \delta_\alpha c_0 - c_1 = 1 - b_1 où b_1 est le nombre de cycles dans le schéma combinatoire de C.

La dimension de C partie additive de G est

\sum_\alpha (\nu_\alpha - 1) = \bigl(\sum \nu_\alpha\bigr) - c_1 = 2c_0 - c_1 =

\sum_\alpha (\mu'_\alpha) - c_0 + 1 \sum (\mu_\alpha - \mu'_\alpha)

où \mu'_\alpha est la multiplicité « ensembliste » de P_\alpha, = nombre des branches passant par \alpha.

Posons \mu_\alpha = \mu'_\alpha + \mu''_\alpha , \mu'_\alpha partie multiplicative = nb des branches formelles passant par P_\alpha, diminué de 1 ;

\mu''_\alpha partie additive . \text{\struck{Dim}}\ \dim G_{\mathrm{mult}} = \sum \mu'_\alpha - c_0 + 1 = h_{\underline{1}} invariant topologique de 2 situations [N.B. Lorsque les C_i , alors h_1 peut être déterminé par combinatoirement combinatoire de C . Il est par le schéma combinatoire de la situation \widetilde{C} \to C ; c'est le rang du \mathrm{H}^1(C) \to \prod \mathrm{H}^1(\widetilde{C}), ( de Weil) ou du conoyau de \prod \pi_1(\widetilde{C}_i) \to \pi_1(C) \;] \text{\struck{Dim}}\ \dim G_{\mathrm{add}} = \sum \mu''_\alpha Dire que \operatorname{Pic}^0 par des composantes C_i , signifie que les multiplicités formelles, , sont \mu_\alpha = \mu'_\alpha \geq 2, i.e. que les P_\alpha sont des dont chacun un V.A. plus de plus… lecture très lâche : le dernier paragraphe, écrit vite et repris, n'est sûr que dans ses formules

il faut Les C_i non singulières [car \operatorname{Pic}^0_{C_i/k} est un quotient de \operatorname{Pic}^0_{C/k}] et par Alors \mu'_\alpha \nu_\alpha C_i . On a, si i \neq j, alors C_i et C_j se coupent en seul point [car \operatorname{Pic}(C_i \cup C_j) est un quotient de \operatorname{Pic}(C)]. \nu_\alpha

C_i P_\alpha, deux à deux distincts, \dim G_{\mathrm{mult}} = \sum (\nu_\alpha - 1) - c_0 + 1 = \sum_i (\text{nb des pts } P_\alpha \text{ sur } C_i - 1) - \cdots une ligne entoure les deux expressions et les relie au C_i barré plus haut En fin de compte, cette façon pour peut avoir des cycles cinq segments de droite se coupant deux à deux en formant un pentagone dans le schéma combinatoire de C. , Réciproquement, si C n'a que des pts multiples « multiplicatifs », et si les C_i sont non singulières, on voit par récurrence sur des C_i que C \to \operatorname{Pic}^0_{C/k} \to une V.A.

On a en tout cas \begin{aligned} g = \dim \operatorname{Pic}_{C/k} &= \sum g_i + \Bigl(\sum_\alpha \mu_\alpha - c_0 + 1\Bigr) \\ &= \sum g_i + \rho + \sigma \end{aligned} g_i = genre de \widetilde{C}_i \rho = nb des cycles combinatoires, + nombre des multiplications multiplicatives des C_i [cette dernière est 0 si les C_i non sing.]

\sigma = somme des multiplicités additives des P_\alpha.

page de croquis de courbes stables : configurations de composantes rationnelles (traits) se coupant transversalement, l'une marquée g ; une autre à deux composantes marquées g' et g'', avec g' + g'' = g \qquad (g' g'' > 0) une chaîne de composantes rationnelles marquée g = 0, avec « (g = 0 » ; un ovale ; un arc portant des points épaissis, accompagné de croix ; plusieurs étoiles de droites concourantes ; un pentagone de droites marqué de points ; deux lettres k isolées \sum_{g_i \geq 1} (3g_i - 3 + \nu_i) + \sum_{g_i = 1} \underbrace{(1 + \nu_i - 1)}_{3g_i - 3 + \nu_i} + \sum_{\substack{g_i = 0 \\ \nu_i \geq 3}} \underbrace{\nu_i - 3}_{3g_i - 3 + \nu_i} \nu_i = nb des pts doubles sur C_i. 3 \sum g_i - 3c_0 + \sum \nu_i \;\text{\struck{$+$}}\; {}^{\lambda}\!\!\sum_{\substack{g_i = 0 \\ \nu_i = 2}} (3 - \nu_i) la dernière somme est encadrée et barrée d'un trait oblique ; le \lambda est écrit au-dessus du signe \lambda = nb des composantes C_i de genre 0, avec \nu_i = 2 (minimum )

[tout cycle est formé exclusivement de courbes rationnelles, un cycle minimal est de longueur ] \sum g_i = g - \rho \qquad (\rho = \text{nombre cycles combinatoires}) 3g -

feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique (chap. I, § 6.4–6.5) ; seule la correction manuscrite est transcrite, la main n'étant pas attribuée avec certitude Dans (6.4.13) : « ce sont donc les seuls qui donnent à ces morphismes qui aient une signification « géométrique » ».

Conditions particulières :

a) \operatorname{Pic}^0_{C/k} est abélien

b) les \mu_\alpha = 0 i.e. tous les pts doubles ordinaires, et b_1 = 0 [en particulier les C_i sont non singulières] Conditions particulières :

a) \operatorname{Pic}^0_{C/k} n'a pas de composante additive.

b) Donc Pour tout \alpha, on a \mu_\alpha = \mu'_\alpha i.e. la multiplicité est maximale. en marge gauche, une suite de croquis de courbes : une boucle à point double, des configurations de droites concourantes, un point marqué « 1 » ; d'autres croquis en bas de page \sum_i \nu_i = \sum_\alpha (\mu_\alpha) = \text{\struck{$\sum$}}\ \underbrace{(\mu_\alpha - 1)}_{c_0 - 1 + \rho} + c_1 sous le premier membre, \mu_\alpha - 1 ; à gauche, un « 3 » barré au-dessus d'un « 6 » \boxed{\sum \nu_i = c_0 - 1 + \rho + c_1} \qquad \rho = g - \sum g_i \begin{aligned} &3g - 3\rho - 3c_0 + \text{\struck{$c_0$}}\ \underbrace{\ -1 + \rho}\ + c_1 + \lambda \\ &3g - 2\rho - 2c_0 + c_1 + \lambda - 1 \\ &3g - 3\ \bigl[2(c_0 + \rho) - c_1 - \lambda - 2\bigr] \end{aligned} une ligne relie la première de ces lignes à « \sum g_i = g - \rho », écrit en marge droite plusieurs configurations de composantes concourantes ; une boucle à point double ; un arc portant un point épaissi \nu_s \geq 3

courbe elliptique + k points dessus (k \geq 1) \text{\struck{$k$}} \qquad -6 + 2 - 1 = -5 \qquad 9 - 5 = 4

Foncteurs de Picard, Diviseurs…

intitulé de sa main, seul en haut d'un feuillet par ailleurs blanc (p. 156)

X schéma projectif sur S

Soit \underline{L} inversible très ample sur X, tel que f_*(\underline{L}) = E [loc. libre de rang N] tel que inutile ? i : X \to P(E) soit défini

A) Équivalences

(i) Donner une base de E = f_*(\underline{L}) i.e. un isom. \underline{\mathcal{O}}_S^N \xrightarrow{\sim} E

(ii) Donner un isom. \varphi : \mathbb{P}^N_S \xrightarrow{\sim} P(E), \oplus un isom. (\varphi^{-1} i)^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \simeq \underline{L}

(iii) Donner un morphisme g : X \to \mathbb{P}^N_S \oplus un isomorphisme \alpha : g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \simeq \underline{L} tels que l'homomorphisme g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \to f_*(\underline{L}) = E soit un isom. [condition qui ne dépend que de la classe de g] La définition de l'équivalence bien des des ces . N.B. A') Compatibilité avec opérations de \Gamma(\underline{\mathcal{O}}_S^*) et la définition

A') Équivalences

(i) Donner une classe de bases des fibres de E modulo \underline{\mathcal{O}}_S^*

(ii) Donner un isom. \varphi : \mathbb{P}^N_S \to P(E)

(iii) Donner un morphisme g : X \to P tel que 1°) g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \underset{S}{\simeq} \underline{L} relativement à S ; 2°) l'homom. g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \xrightarrow{\sim} f_*(g^*(\underline{\mathcal{O}}(1))) un isom. sous l'accolade : « homomorphisme spécial »

feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique (chap. 0, § 7.5–7.6, anneaux adiques et anneaux complets de fractions) ; le texte imprimé n'est pas reproduit. Seule l'annotation manuscrite de la marge est transcrite ; la main n'est pas attribuée avec certitude définition insuffisante : il faut avoir que les c_i et \mathfrak{J}B engendrent \mathfrak{J}B/\mathfrak{J}^2B ! l'annotation porte, par un trait, sur la phrase « Soit (c_j) un système fini d'éléments de B dont les classes mod. \mathfrak{J}^2B engendrent la (A/\mathfrak{J}^2)-algèbre B/\mathfrak{J}^2B »

En un mot, on a \leq

A'') Équivalence entre les données suivantes

(i) Une S-donnée \xi de faisceau inversible sur S, et un isom. \varphi : \mathbb{P}^N_\xi \xrightarrow{\sim} P_\xi qui est morphisme

(ii) Une Donnée d'un morphisme g : X \to \mathbb{P}^N_S tel que g_*(\underline{\mathcal{O}}(1)) \to f_*(g^*(\underline{\mathcal{O}}(1))) soit un isomorphisme morphisme spécial dans un projectif Attention, Notations : \underline{L} spécial morphique sur X/S + trivialisation projective \downarrow S-donnée \xi sur S, + trivialisation projective \| Morphisme spécial X \to \mathbb{P}^N_S \downarrow \underline{L}' morphique spécial sur X, et trivialisation projective \# isom. canonique identique ce schéma, entouré d'un trait qui le rattache à (ii), est écrit dans la marge droite ; une ligne barrée « les données » le ferme

A''') Équivalence

(i) Une S-donnée de « faisceaux » morphique et spécial X sur S, de Brauer-Severi sur X

(ii) Un fibré de Brauer-Severi associé à un fibré principal de groupe GP(N) + morphisme spécial g : X_P \to P^N_{\struck{\ill{}}} , ce morphisme étant covariant pour GP(N) spécial = par changement de base, et les fibres des définissent morphisme, projectif fibré N

Si on introduit \mathfrak{J}\,\underline{\mathrm{Hom}}_S(X, P^N) où GP(N) opère, et le sous-schéma ouvert \mathfrak{J}\,\underline{\mathrm{Hom}}^{\mathrm{spéc}}_S(X, P^N) [ X projectif sur S localement], alors GP(N) opère sans pts fixes sur \underline{\mathrm{Hom}}^{\mathrm{spéc}}_S(X, P^N), et les structures A''') … la page s'arrête sur cette phrase inachevée ; le coin inférieur gauche porte une longue note marginale, très raturée, dont on lit introduction g^*(\underline{\mathcal{O}}(1)) et quelques mots rattachés par des traits au texte ; elle n'est pas transcrite plus avant

feuillet d'épreuves imprimées des Éléments de géométrie algébrique, chap. I, § 1.1 (spectre premier d'un anneau) ; seules les annotations manuscrites au crayon sont transcrites, la main n'étant pas attribuée avec certitude Enfin \mathfrak{j}(\{x\}) = \mathfrak{j}_x (sert pour 1.1.7 !) ajout proposé après (1.1.3.1) ; dans (1.1.9), le renvoi « prop. (1.1.1, (iv)) » est corrigé à la main En particulier, X = D(1) est qu.-cpct ajout proposé à la fin de l'énoncé (1.1.10, (ii))