Cote n° 57 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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101la page ouvre sur un crochet : l'argument qui précède, s'il y en a un, est hors du lot

[N.B. Lemme \(X\) préschéma, \(U\) ouvert rétrocompact, \(f\colon X'\to X\) morphisme fid. plat et qu.-cpt, \(U'=f^{-1}(X')\)sic : on attend \(f^{-1}(U)\), on suppose \(i'_*(\mathcal{O}_{U'})\xleftarrow{\ \sim\ }\mathcal{O}_{X'}\) (ou, […], équivalemment : la formule \(i_*(\mathcal{O}_U)\xleftarrow{\ \sim\ }\mathcal{O}_X\)). Soit \(P(X)\) l'ens. des classes, à isom. près, de faisceaux loc. libres de type fini sur \(X\), définissons de même \(P(X')\), \(P(U)\), \(P(U')\). Alors le diagramme

\begin{tikzcd}
P(X) \arrow[r] \arrow[d] & P(X') \arrow[d] \\
P(U) \arrow[r] & P(U')
\end{tikzcd}

est cartésien […]. En particulier, ce diagramme

\begin{tikzcd}
\mathrm{Pic}(X) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Pic}(X') \arrow[d] \\
\mathrm{Pic}(U) \arrow[r] & \mathrm{Pic}(U')
\end{tikzcd}

l'est aussi.

\(\underline{E}'\) ; \(X'\xleftarrow{\,i'\,}U'\), \(f\), \(g\), \(X\xleftarrow{\,i\,}U\) ; \(\underline{F}\)

En effet, […] le foncteur \(\underline{E}\mapsto i^*(\underline{E})\) des faisceaux loc. libres sur \(X\) dans les Modules loc. libres sur \(U\) est pleinement fidèle, donc \(P(X)\to P(U)\) est injectif. Idem de même \(P(X')\to P(U')\), d'où il […] donc \(P(X)\to P(U)\times_{P(U')}P(X')\) est injectif. Reste à prouver ⌜Prouvons la⌝ surjectivité. Soient \(\underline{F}\) loc. libre sur \(U\), \(\underline{E}'\) loc. libre sur \(X'\), tels que \(i'^*(\underline{E}')\simeq g^*(\underline{F})\). Je dis que \(\underline{E}=i_*(\underline{F})\) est loc. libre \(\Longleftarrow\) ⌜\(f\) fid. plat qu.-cpt⌝ \(f^*i_*(\underline{F})\) est loc. libre, Or \[f^*i_*(\underline{F})\simeq i'_*g^*(\underline{F})\simeq i'_*i'^*(\underline{E}') \simeq\underline{E}' , \quad \text{OK.}\] car \(i^*(\underline{E})\simeq\underline{F}\), [Je dis que \[f^*(\underline{E})\simeq\underline{E}' \Longleftarrow i'^*f^*(\underline{E})\simeq i'^*(\underline{E}')\] ⌜\(f\) plat ; \(g^*\underline{F}\simeq i'^*(\underline{E}')\) ; \(i'_*(\mathcal{O}_{U'})=\mathcal{O}_{X'}\) ; \(g^*i^*(\underline{E})\simeq g^*(\underline{F})\)⌝, o.k.

N.B. Il suffit de se borner à des faisceaux loc. libres. On peut prendre les faisceaux \(\underline{E}\) tels que prof \(\underline{E}_x\geq 2\) pour \(x\in X-U\), et \(\underline{E}'\) correspondants […] [\(X\) loc. noeth.]

102Corollaire Si \(\mathrm{Pic}(U)\to\mathrm{Pic}(U')\) est injectif (resp. bijectif), il en est de même de \(\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X')\) …. le premier argument de \(\mathrm{Pic}\) est surchargé (\(U\) sur \(X\), semble-t-il) ; la lecture suit le diagramme cartésien de p. 101

Th. de Seshadri et pbs correspondants

titre pris sur la couverture, de sa main (p. 103)

104Théorème (Seshadri) Soit \(f\colon X\to S\) un morphisme propre, plat, […] tel que pour tout \(s\in S\), \(k(s)\xrightarrow{\sim}H^0(X_s,\mathcal{O}_{X_s})\) et \(X_s\) soit ⌜(géom. intègre \((k(s))\) […]) \((S_2)\)⌝. On suppose \(S\) loc. noeth. normal irréductible de pt générique \(\eta\), et que \(X/S\) est localement […] section, etc., on suppose que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) existe, et est essentiellement propre sur \(S\) [ce dernier fait étant vérifié si \(f\) est simple, ou \(X=S\times_k Y\), \(Y\) schéma normal\(/k\), \(k\) un corps].

Soit \(D\) un diviseur ⌜1-cycle⌝ sur \(X\), tel que a) le supp \(D=Z\) ne contient aucune […] fibre de \(X\), i.e. les \(Z_s\) sont rares dans les \(X_s\) ; b) \(D_\eta\) est un diviseur de Cartier. Alors \(D\) est un diviseur de Cartier.

N.B. Le morphisme \(\mathrm{Div}^+_{X/S}\to\) […] seulement […] si \(D\geq 0\) ! en marge, un petit tableau incliné, à colonnes, où se lisent \(\mathrm{Div}^+\) et quelques mots illisibles

[…] […] dire […] […] \(X/S\). […] une section. Notons que \(D_\eta\) définit un faisceau inversible \(L_\eta\), donc une section ⌜rationnelle⌝ de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) sur \(S\), d'où un Module

105inversible \(\underline{L}\) sur \(X\). Je dis qu'il est partout défini. Soit \(U\) son ens. de définition, \(T=\overline{s(U)}\), il suffit de prouver que \(T\to S\) [qui est ⌜birationnel, et⌝ surjectif d'après la propreté essentielle de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\)] est un isom., en vertu du [Main Theorem] il suffit de voir que […] discrètes […] […] […], fibres ⌜géom.⌝ rationnelles sur les corps extérieurs […] …. Ceci résulte du lemme suivant :

Lemme Soit \(t\in T\) au-dessus de \(s\in S\), Alors Soit \(k\) une clôture extension algébrique close de \(k(t)\), et \(\underline{L}_t\) le Module sur \(X_k\) défini par \(t\). Alors \(L_t\) est définissable par un diviseur de Cartier positif \(\subset Z_k\).

En effet, […] \(V\) un […] cas d'un anneau de val. discrète dominant \(\mathcal{O}_{T,t}\), \(S'\) son

106en marge gauche, le carré de changement de base, avec \(Z\) et \(Z'\) au-dessus de la ligne du haut

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l]
\end{tikzcd}

spectre, \(s'\), \(\eta'\) son pt fermé et générique, \(X'=X\times_S S'\), \(Z'=Z\times_S S'\) [[…] \(Z\) […] […] prof. \(\geq 2\) […] irréductible réduit].

[…] En vertu de Chevalley les \(Z\) est univ. ouvert sur \(S\) [car \(S\) est normal, les composantes irréductibles de \(Z\) dominant \(S\) — ce qui signifie au besoin, résulte du fait que \(Z\) ne contient aucune comp. irréductible d'une fibre] explicitez N.B. ⌜[…]⌝ les fibres de \(\mathrm{Div}_{X/S}\), \(Z'\) […] […] […] et \((S_2)\), […] […] […], et \(X/S\) est plat et […], […] la […] […] les fibres. passage barré de longs traits obliques […] ouvert sur \(S'\), donc \(Z'_{s'}=(\overline{Z'_{\eta'}})_{s'}\).

Or \(L_{\eta'}\) est muni d'une section ⌜rationnelle⌝, […] ⌜[…]⌝ diviseur de Cartier \(D_{\eta'}\), c'est donc Comme \(X'\) plat sur \(S'\), les \(X'_{\eta'}\) est un ouvert dense,

107d'où aussi une section rationnelle \(\varphi\) de \(L'\), et en fait une section ⌜pseudo-section⌝ […] ⌜régulière⌝ [car les […] […] : \(X'\) intègre] ⌜qui d'ailleurs n'est déterminée (\(L'\) étant fixé) qu'à une multiplication près par \(\Gamma(S',\mathcal{O}_{S'})^*\)⌝. Soit \(D'\) son diviseur. Alors \(D'\) est un diviseur de Cartier ⌜(positif : […] \(\Gamma(\ldots)^*\))⌝ sur \(X'\), […] je dis qu'il est transversal aux fibres. En effet, comme \(X'_{s'}\) est intègre, il suffit de voir que supp \(D'\not\supset X'_{s'}\). Or sinon […] \(D'\) contient un ouvert dense de \(X'_{s'}\), […] comme \(X'_{s'}\) est intègre, \(D'\cap X'_{s'}\) […] […] la composante \(X'_{s'}\). Il suffit donc de remplacer \(\varphi\) par \(\pi^{-n}\varphi\), où \(\pi\) est l'uniformisante de \(V\).

Variante. […] la condition […] \(\varphi\) […] […] […] \(V\) […] section \(\varphi\)

Donc […] \(L'_{s'}\simeq L(D'_{s'})\), d'autre part \(\mathrm{supp}\,D'_{s'}\subset(\overline{\mathrm{supp}\,D'_{\eta'}})_{s'}\) […] [vrai pour tt diviseur de Cartier transversal aux fibres […] Est-il vrai […] […] \(\geq 0\), […] […]]. Pourquoi // Exact

108or le dernier ens. est \((\overline{Z'_{\eta'}})_{s'}=Z'_{s'}\). Ceci prouve le lemme.

Disposant d'une section de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}/S\) et ayant une section de \(X/S\), \(X/S\) étant cohomologiquement […], il s'ensuit que […] […] un Module inversible \(\underline{L}\) sur \(X\), de […] suivant \(L_\eta\). D'autre part on a déjà […] une section de \(L_\eta\) sur \(X_\eta\), de diviseur \(D_\eta\), déterminée à un changement […] […] qu'elle coïncide avec la section canonique de \(L_\eta\) […] […] \(\mathcal{O}(D_\eta)\). On voit comme dessus que la section […] rationnelle est une pseudo-section ⌜[…] \(D'\) son diviseur⌝ [N.B. \(X\) est intègre], ⌜d'ailleurs […] (la pseudo-section \(\varphi\)) coïncide⌝ […] \(\sigma(S)\) […] […] […] la section […] de \(\underline{L}'\) sur \(\sigma(S^{\ldots})\), donc […] […] \(D'\) un […] […]

Précisez, il faut […] […] […]

109fibres, donc [les fibres étant intègres] \(D'\) est transversal aux fibres. Enfin, […] coïncide avec par construction \(D'_\eta=D_\eta\), donc \(\Delta=D_\Sigma-D'_\Sigma\) est un diviseur tel que \(\Delta_\eta=0\), […] \(\Delta\) ne contient aucune fibre. On voit facilement que […] \(\Delta\) est nul (Lemme : explicitez). On a donc \(D=D'\), donc \(D\) est Cartier.

Cas général Soit \(S'\) l'ouvert de \(X\) formé des pts où \(f\) est simple. Il suffit Si \(X\neq\emptyset\), donc \(S'\to S\) surjectif, donc on est ramené au cas de \(X'/S'\). critère […] de la base […] [explicitez]

Question 1 Supposons, au lieu de l'existence de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) et de propreté essentielle, que le foncteur \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) ait la propriété de […] ⌜propreté essentielle⌝ [pour la section rationnelle], p.ex. \(X\to S\) simple, […] \(X=S\times_k Y\), \(Y/k\) […] Est-il vrai alors Les conclusions du Th. restent-elles vraies ?

110Question 2 Soit \(f\colon X\to S\) un morphisme […] de type fini de schémas affines noethériens, \(f\) […] une intersection complète relative de dim relative \(\geq 3\) p.ex. p.ex. \(f\) simple, et supposons \(S\) ⌜irréductible⌝ normal. Soit \(D\) sur \(X\) satisfaisant les conditions a), b) du th. Alors est-il vrai encore que \(D\) est un diviseur de Cartier ??

Corollaire du th. Soit \(R\) graphe d'équivalence propre dans un \(S\)-préschéma \(X\), on suppose que \(R\to X\) est plat propre : fibres ⌜géométriques⌝ \((S_2)\) et intègres, on suppose enfin \(X\) normal ⌜intègre⌝ […] [à substituer à l'hyp. \(X/R\) normal, \(X/R\) […] […] …]. Soit \(D\) un diviseur ⌜1-cycle⌝ sur \(X\),

\(R\rightrightarrows X\) au-dessus de \(S\) ; et tel que \(\underline{\mathrm{Pic}}_{R^{(1)}/X}\) existe et ess. propre sur \(S\) en marge, sous un trait : \(D\), \(D'=D^{(1)}_R\), \(D'_\eta\) au-dessus de \(X\xleftarrow{p_1}R\supset R^{(2)}_\eta\), avec \(p_2\colon R\to X\) vers le bas

111page entière barrée de trois longs traits obliques Or […] \(D\) ⌜[condition universellement satisfaite […] \(X\), p.ex. […] […] ([…])]⌝ est universellement ouvert sur \(S\), en vertu du th. de Chevalley, [[…]] donc si \(D'\) est […] […] […] dans \(S'\), on a \(D'_{s'}\subset(\overline{D'_{\eta'}})_{s'}\). Or on a \(D'_{\eta'}=\Theta'_{\eta'}\) ensemblistement, d'où \(D'_{s'}=\Theta'_{s'}\) ensemblistement. OK. N'est-ce pas que aucune composante irréductible de \(D\)

Donc il existe une section section \(\bar{s}\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) sur \(S\) qui prolonge \(s\), et qui correspond donc à un diviseur \(D\) de Cartier positif \(\Theta\) sur \(X\), transversal aux fibres ⌜tel que \(\Theta_\eta=D_\eta\)⌝. \(\Theta_\eta=\) Considérons \(D-\Theta\), il ⌜cycle divisoriel⌝ ne contient aucune composante d'une fibre, et est nul sur \(X_\eta\), donc est nul [Lemme immédiat], d'où \(D=\Theta\), cqfd.

Dans le cas général [\(D\) pas néc. \(\geq 0\)] si \(f\) est projectif, il suffit d'écrire \(D\) comme […] ⌜section⌝ […] d'un

112tel que \(D\) a) supp \(D\) ne contienne aucune fibre de \(R\) sur \(X\) b) le diviseur ⌜1-cycle⌝ induit par \(D\) sur la fibre générique de \(R\) sur \(X\) est ⌜un diviseur⌝ Cartier [condition toujours satisfaite si \(R\to X\) est simple …]. Sous ces conditions, \(D\) est un diviseur […] […] [[…] […] […] […] \(R\)].

Démonstration Soit \(D^{(1)}=p_1^*(D)\) \(R'\) l'ens. des \(x\in R\) tels que \(p_1\) et \(p_2\) soient […] en \(x\) (c'est un ouvert […] […] et simple […]). On […] qu'il induit […] […] […] […] […] dense. [[…] \(R'=U_1\cap U_2\), \(U_1\) […] […] […], […] […] […] \(p_1\) […] […] […] […], […] […] […] […] \(U_2\) […]]. On […] […] […]

113à prouver que l'image inverse ⌜[…] \(D^{(1)}_R=D'\)⌝ de \(D\) dans \(R'\) par \(p_1\), […] est Cartier. A fortiori, il suffit de le prouver pour l'image […] […]. […] \(D'=D^{(1)}_R\) […] \(D\) […] \(R\) […] […] \(p_1\) [existe […]] Or […] on […] que les hyp. a) b) […] reviennent à dire que \(D'\) satisfait aux conditions du Th. relativement à \(p_2\colon R'\to X\). […] […] \(D\) […] […] […] conclure.

Séparation de Picard

titre pris sur la couverture, de sa main (p. 114)

115Lemme 1 \(A\) anneau noethérien intègre ⌜réduit⌝, \(K\) son corps ⌜anneau⌝ […] ([…] fractions), \(\tilde{A}\) sa […] ⌜clôture⌝ […].

(i) [On suppose \(\tilde{A}=\bigcap_{\mathfrak{p}\ \text{de rang}\ 1}A_{\mathfrak{p}}\)]. […] \(\bar{A}\) […] \(A\)

Soit \(f\in A\) \(A\) ⌜\(A\) non diviseur de \(0\)⌝, \(\mathfrak{p}_i\) les idéaux premiers associés […].

(ii) […] […] \(\mathfrak{p}_iA_{\mathfrak{p}_i}=fA_{\mathfrak{p}_i}\) (« multiplicités 1 ») ⌜\(fA=\bigcap\mathfrak{p}_i\)⌝

(iii) \(A/fA\) est réduit

Soit \(t\in A\) Alors \[\boxed{A^*=A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i}}\] ⌜dans un […] […] \(A\to\) […] […] […]⌝

Dém. Posons \(B=A_f\cap\bigcap_i A_{\mathfrak{p}_i}\). Soit \(\mathfrak{p}\) premier de rang 1, si \(\mathfrak{p}\ni f\) […], \(\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_i\) pour un \(i\), […] \(A_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}_i}\supset B\) ; si \(\mathfrak{p}\not\ni f\), alors \(A_{\mathfrak{p}}\supset A_f\supset B\). Donc \(B\subset\tilde{A}\) […] […]. D'autre part \(A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i}=B^*\). / Soit \(x\in B\), donc \(x=a/f^k\), \(x\) entier sur \(A\). Soit \(k\geq 0\) minimal. […] Soit \(x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n=0\), […] \[a^n+f^kc_1a^{n-1}+f^{2k}c_2a^{n-2}+\cdots+f^{nk}c_n=0\] d'où \(a^n\in f^kA\) ; si \(k>0\), […] […] […] \(a^n\in fA=\bigcap\mathfrak{p}_i\), d'où \(a\in\bigcap\mathfrak{p}_i\) d'où \(a\in fA\), ⌜condition […] […]⌝ […] en […] cap […] […] […] […] \(a/f^k\) l'argument se poursuit au-delà de la page ; la suite n'est pas dans le lot

117Corollaire Soit \(U\) un […] […] […] \(\mathrm{Spec}(A)\) […] \(\mathrm{Spec}(A_f)\) et les \(\mathfrak{p}_i\) ;

Corollaire 1 Soit \(X\) un schéma affine sur \(A\), […] […] […] de \(X/A\), […] aux points \(\mathfrak{p}_i\). Alors […] […].

[…] \(X=\mathrm{Spec}\,A[T,T^{-1}]\), […] […].

Corollaire 2 \(A^*=A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i}\) […] […] […] […] exacte […] groupes

diagramme très chargé, retracé en partie : une ligne exacte, sous laquelle des flèches verticales et des courbes de liaison mènent à un second carré ; le dernier terme de la première ligne est surchargé et entouré ; l'exposant noté « ? » dans le second carré est illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & A^* \arrow[r] & A_f^* \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & \mathbb{Z}^{(I)} \\
& K^*/A^* \arrow[r] \arrow[d] & K^*/A_f^* \arrow[d] & & \\
& \mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}^I & &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A_f^* \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \\
A^*\times\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[u] & \mathbb{Z}^{?} \arrow[u]
\end{tikzcd}

dans la boucle du diagramme, une tête coiffée d'un chapeau à large bord

Corollaire 3 Si […] […] \(f\) […] […]. Alors […] \(A_f^*\simeq A^*\times\mathbb{Z}\), i.e. […] \(t\in A_f^*\) […] […] de façon unique sous la forme \(\varepsilon f^n\), \(\varepsilon\in A^*\), \(n\in\mathbb{Z}\). […]

119Proposition \(X\) préschéma loc. noethérien réduit (?) [il suffit \(X\) réduit aux pts de \(Y\)] (sous la condition (\(\alpha\)) […]) \(f\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\), \(f\) non diviseur de 0 ; \(Y=V(f)\).

(i) \(\mathcal{O}_X/f\mathcal{O}_X\) réduit

⌜(\(\alpha\)) On suppose⌝ (ii) les \(\mathcal{O}_x\) sont des « bons » anneaux, i.e. leurs complétés […] satisfont (i) Condition de finitude (ii) Condition des chaînes strictes.

Soient \(Y_i\) les composantes irréductibles de \(Y\). Soit \(Z\) affine sur \(X\), et \(g\) une section rationnelle de \(Z\) sur \(X\), telle que (i) \(g\) définie dans \(X_f\) (ii) \(g\) définie aux pts génériques \(y_i\) des \(Y_i\).

Alors \(g\) est définie partout.

contre-exemple si \(Z\) affine […] ?? \(X\) réduit […] […] ??

Ceci se ramène au […] […] où \(X=\mathrm{Spec}(A)\), \(A\) local, et où \(Z=X[T]\), i.e. \(g\in K\) anneau des fractions de \(A\).

Lemme 1 Soit \(Y\) une partie fermée […] de \(X\) loc. noeth. réduit satisfaisant (\(\alpha\)), \(Z\) affine sur \(X\) \(g\) une section fonction rationnelle de \(X\), définie en dehors de \(X-Y\) et les pts génériques des

120composantes irréductibles de \(Z\) qui sont de codim 1 dans \(X\). Alors \(g\) est une section […] \(\mathcal{O}_X\).

Lemme 2 Soit \(X\) […] […], \(f\) ⌜\(X\), \(f\) […]⌝ \(X\) préschéma \(f\) réduit, \(f\) section de \(\mathcal{O}_X\) non diviseur de \(0\), ⌜et tel que \(\mathcal{O}_X/f\) réduit⌝ \(g\) une section de \(\mathcal{O}_X\) sur \(X_f\), entière sur \(\mathcal{O}_X\) en tant que section pseudo- […] fonction rat. sur \(X\). Alors \(g\) est partout définie.

Corollaire 1 Sous les conditions de la proposition, soit \(g\) une fonction rationnelle sur \(X\). Pour que \(g\) soit une section de \(\mathcal{O}_X^*\), il faut et il suffit que \(g|X_f\) le soit, et que […] \(g_{y_i}\in\mathcal{O}^*_{y_i}\). […]

Corollaire 2 Diagramme exact

\begin{tikzcd}
\Gamma(X_f,\mathcal{O}^*_{X_f}) \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \\
\Gamma(X,\mathcal{O}_X^*)\times\mathbb{Z} \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[u]
\end{tikzcd}

fin de page et fin du lot ; le corollaire se poursuit peut-être au-delà