Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 101–120

la page ouvre sur un crochet : l'argument qui précède, s'il y en a un, est hors du lot

[N.B. Lemme X préschéma, U ouvert rétrocompact, f\colon X'\to X morphisme fid. plat et qu.-cpt, U'=f^{-1}(X')sic : on attend f^{-1}(U), on suppose i'_*(\mathcal{O}_{U'})\xleftarrow{\ \sim\ }\mathcal{O}_{X'} (ou, , équivalemment : la formule i_*(\mathcal{O}_U)\xleftarrow{\ \sim\ }\mathcal{O}_X). Soit P(X) l'ens. des classes, à isom. près, de faisceaux loc. libres de type fini sur X, définissons de même P(X'), P(U), P(U'). Alors le diagramme

\begin{tikzcd} P(X) \arrow[r] \arrow[d] & P(X') \arrow[d] \\ P(U) \arrow[r] & P(U') \end{tikzcd}

est cartésien . En particulier, ce diagramme

\begin{tikzcd} \mathrm{Pic}(X) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Pic}(X') \arrow[d] \\ \mathrm{Pic}(U) \arrow[r] & \mathrm{Pic}(U') \end{tikzcd}

l'est aussi.

\underline{E}' ; X'\xleftarrow{\,i'\,}U', f, g, X\xleftarrow{\,i\,}U ; \underline{F}

En effet, le foncteur \underline{E}\mapsto i^*(\underline{E}) des faisceaux loc. libres sur X dans les Modules loc. libres sur U est pleinement fidèle, donc P(X)\to P(U) est injectif. Idem de même P(X')\to P(U'), d'où il donc P(X)\to P(U)\times_{P(U')}P(X') est injectif. ~~Reste à prouver~~ Prouvons la surjectivité. Soient \underline{F} loc. libre sur U, \underline{E}' loc. libre sur X', tels que i'^*(\underline{E}')\simeq g^*(\underline{F}). Je dis que \underline{E}=i_*(\underline{F}) est loc. libre \Longleftarrow f fid. plat qu.-cpt f^*i_*(\underline{F}) est loc. libre, Or f^*i_*(\underline{F})\simeq i'_*g^*(\underline{F})\simeq i'_*i'^*(\underline{E}') \simeq\underline{E}' , \quad \text{OK.} car i^*(\underline{E})\simeq\underline{F}, [Je dis que f^*(\underline{E})\simeq\underline{E}' \Longleftarrow i'^*f^*(\underline{E})\simeq i'^*(\underline{E}') f plat ; g^*\underline{F}\simeq i'^*(\underline{E}') ; i'_*(\mathcal{O}_{U'})=\mathcal{O}_{X'} ; g^*i^*(\underline{E})\simeq g^*(\underline{F}), o.k.

N.B. Il suffit de se borner à des faisceaux loc. libres. On peut prendre les faisceaux \underline{E} tels que prof \underline{E}_x\geq 2 pour x\in X-U, et \underline{E}' correspondants [X loc. noeth.]

Corollaire Si \mathrm{Pic}(U)\to\mathrm{Pic}(U') est injectif (resp. bijectif), il en est de même de \mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X') …. le premier argument de \mathrm{Pic} est surchargé (U sur X, semble-t-il) ; la lecture suit le diagramme cartésien de p. 101

Th. de Seshadri et pbs correspondants

titre pris sur la couverture, de sa main (p. 103)

Théorème (Seshadri) Soit f\colon X\to S un morphisme propre, plat, tel que pour tout s\in S, ~~k(s)\xrightarrow{\sim}H^0(X_s,\mathcal{O}_{X_s}) et~~ X_s soit (géom. intègre (k(s)) ) (S_2). On suppose S loc. noeth. normal irréductible de pt générique \eta, ~~et que X/S est localement section, etc.~~, on suppose que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} existe, et est essentiellement propre sur S [ce dernier fait étant vérifié si f est simple, ou X=S\times_k Y, Y schéma normal/k, k un corps].

Soit D un ~~diviseur~~ 1-cycle sur X, tel que a) le supp D=Z ne contient aucune fibre de X, i.e. les Z_s sont rares dans les X_s ; b) D_\eta est un diviseur de Cartier. Alors D est un diviseur ~~de Cartier~~.

N.B. Le morphisme \mathrm{Div}^+_{X/S}\to seulement si D\geq 0 ! en marge, un petit tableau incliné, à colonnes, où se lisent \mathrm{Div}^+ et quelques mots illisibles

dire X/S. une section. Notons que D_\eta définit un faisceau inversible L_\eta, donc une section rationnelle de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} sur S, d'où un Module

~~inversible \underline{L} sur X~~. Je dis qu'il est partout défini. Soit U son ens. de définition, T=\overline{s(U)}, il suffit de prouver que T\to S [qui est birationnel, et surjectif d'après la propreté essentielle de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}] est un isom., en vertu du [Main Theorem] il suffit de voir que discrètes , fibres géom. rationnelles sur les corps extérieurs …. Ceci résulte du lemme suivant :

Lemme Soit t\in T au-dessus de s\in S, ~~Alors~~ ~~Soit~~ k une ~~clôture~~ extension algébrique close de k(t), et \underline{L}_t le Module sur X_k défini par t. Alors L_t est définissable par un diviseur de Cartier positif \subset Z_k.

En effet, V un cas d'un anneau de val. discrète dominant \mathcal{O}_{T,t}, S' son

en marge gauche, le carré de changement de base, avec Z et Z' au-dessus de la ligne du haut

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\ S & S' \arrow[l] \end{tikzcd}

spectre, s', \eta' son pt fermé et générique, X'=X\times_S S', Z'=Z\times_S S' [ Z prof. \geq 2 irréductible réduit].

En vertu de Chevalley ~~les~~ Z est univ. ouvert sur S [car S est normal, les composantes irréductibles de Z dominant S — ce qui signifie au besoin, résulte du fait que Z ne contient aucune comp. irréductible d'une fibre] explicitez ~~N.B. les fibres de \mathrm{Div}_{X/S}, Z' et (S_2), , et X/S est plat et , la les fibres.~~ passage barré de longs traits obliques ouvert sur S', donc Z'_{s'}=(\overline{Z'_{\eta'}})_{s'}.

Or L_{\eta'} est muni d'une section rationnelle, diviseur de Cartier D_{\eta'}, ~~c'est donc~~ Comme X' plat sur S', les X'_{\eta'} est un ouvert dense,

d'où aussi une section rationnelle \varphi de L', et en fait une ~~section~~ pseudo-~~section~~ régulière [car ~~les~~ : X' intègre] qui d'ailleurs n'est déterminée (L' étant fixé) qu'à une multiplication près par \Gamma(S',\mathcal{O}_{S'})^*. Soit D' son diviseur. Alors D' est un diviseur de Cartier (positif : \Gamma(\ldots)^*) sur X', je dis qu'il est transversal ~~aux~~ fibres. En effet, comme X'_{s'} est intègre, il suffit de voir que supp D'\not\supset X'_{s'}. Or sinon D' contient un ouvert dense de X'_{s'}, comme X'_{s'} est intègre, D'\cap X'_{s'} la composante X'_{s'}. Il suffit donc de remplacer \varphi par \pi^{-n}\varphi, où \pi est l'uniformisante de V.

Variante. la condition \varphi V section \varphi

Donc L'_{s'}\simeq L(D'_{s'}), d'autre part \mathrm{supp}\,D'_{s'}\subset(\overline{\mathrm{supp}\,D'_{\eta'}})_{s'} [vrai pour tt diviseur de Cartier transversal aux fibres Est-il vrai \geq 0, ]. Pourquoi // Exact

or le dernier ens. est (\overline{Z'_{\eta'}})_{s'}=Z'_{s'}. Ceci prouve le lemme.

Disposant d'une section de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}/S et ayant une section de X/S, X/S étant cohomologiquement , il s'ensuit que un Module inversible \underline{L} sur X, de suivant L_\eta. D'autre part on a déjà une section de L_\eta sur X_\eta, de diviseur D_\eta, déterminée à un changement qu'elle coïncide avec la section canonique de L_\eta \mathcal{O}(D_\eta). On voit comme dessus que la section rationnelle est une pseudo-section D' son diviseur [N.B. X est intègre], d'ailleurs (la ~~pseudo-section~~ \varphi) coïncide \sigma(S) la section de \underline{L}' sur \sigma(S^{\ldots}), donc D' un

Précisez, il faut

fibres, donc [les fibres étant intègres] D' est transversal aux fibres. Enfin, ~~coïncide avec~~ par construction D'_\eta=D_\eta, donc \Delta=D_\Sigma-D'_\Sigma est un diviseur tel que \Delta_\eta=0, \Delta ne contient aucune fibre. On voit facilement que \Delta est nul (Lemme : explicitez). On a donc D=D', donc D est Cartier.

Cas général Soit S' l'ouvert de X formé des pts où f est simple. ~~Il suffit~~ Si X\neq\emptyset, donc S'\to S surjectif, donc on est ramené au cas de X'/S'. critère de la base [explicitez]

Question 1 Supposons, au lieu de l'existence de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} et de propreté essentielle, que le foncteur \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} ait la propriété de propreté essentielle [pour la section rationnelle], p.ex. X\to S simple, ~~X=S\times_k Y, Y/k~~ ~~Est-il vrai alors~~ Les conclusions du Th. restent-elles vraies ?

Question 2 Soit f\colon X\to S un morphisme de type fini de schémas affines noethériens, f une intersection complète relative de dim relative \geq 3 ~~p.ex.~~ p.ex. f simple, et supposons S irréductible normal. Soit D sur X satisfaisant les conditions a), b) du th. Alors est-il vrai encore que D est un diviseur de Cartier ??

Corollaire du th. Soit R graphe d'équivalence propre dans un S-préschéma X, on suppose que R\to X est plat propre : fibres géométriques (S_2) et intègres, on suppose enfin X normal intègre [à substituer à l'hyp. X/R normal, X/R …]. Soit D un ~~diviseur~~ 1-cycle sur X,

R\rightrightarrows X au-dessus de S ; et tel que \underline{\mathrm{Pic}}_{R^{(1)}/X} existe et ess. propre sur S en marge, sous un trait : D, D'=D^{(1)}_R, D'_\eta au-dessus de X\xleftarrow{p_1}R\supset R^{(2)}_\eta, avec p_2\colon R\to X vers le bas

page entière barrée de trois longs traits obliques Or D [condition universellement satisfaite X, p.ex. ()] est universellement ouvert sur S, en vertu du th. de Chevalley, [] donc si D' est dans S', on a D'_{s'}\subset(\overline{D'_{\eta'}})_{s'}. Or on a D'_{\eta'}=\Theta'_{\eta'} ensemblistement, d'où D'_{s'}=\Theta'_{s'} ensemblistement. OK. N'est-ce pas que aucune composante irréductible de D

Donc il existe une ~~section~~ section \bar{s} de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} sur S qui prolonge s, et qui correspond donc à un diviseur D de Cartier positif \Theta sur X, transversal aux fibres tel que \Theta_\eta=D_\eta. ~~\Theta_\eta=~~ Considérons D-\Theta, il cycle divisoriel ne contient aucune composante d'une fibre, et est nul sur X_\eta, donc est nul [Lemme immédiat], d'où D=\Theta, cqfd.

Dans le cas général [D pas néc. \geq 0] si f est projectif, il suffit d'écrire D comme section d'un

tel que D a) supp D ne contienne aucune fibre de R sur X b) le ~~diviseur~~ 1-cycle induit par D sur la fibre générique de R sur X est un diviseur ~~Cartier~~ [condition toujours satisfaite si R\to X est simple …]. Sous ces conditions, D est un diviseur [ R].

Démonstration Soit ~~D^{(1)}=p_1^*(D)~~ R' l'ens. des x\in R tels que p_1 et p_2 soient en x (c'est un ouvert et simple ). On qu'il induit dense. [ R'=U_1\cap U_2, U_1 , p_1 , U_2 ]. On

à prouver que l'image inverse D^{(1)}_R=D' de D dans R' par p_1, est Cartier. A fortiori, il suffit de le prouver pour l'image . D'=D^{(1)}_R D R p_1 [existe ] Or on que les hyp. a) b) reviennent à dire que D' satisfait aux conditions du Th. relativement à p_2\colon R'\to X. D conclure.

Séparation de Picard

titre pris sur la couverture, de sa main (p. 114)

Lemme 1 A anneau noethérien ~~intègre~~ réduit, K son ~~corps~~ anneau ( fractions), \tilde{A} sa clôture .

(i) [On suppose \tilde{A}=\bigcap_{\mathfrak{p}\ \text{de rang}\ 1}A_{\mathfrak{p}}]. ~~\bar{A} A~~

Soit f\in A A A non diviseur de 0, \mathfrak{p}_i les idéaux premiers associés .

~~(ii) \mathfrak{p}_iA_{\mathfrak{p}_i}=fA_{\mathfrak{p}_i} (« multiplicités 1 »)~~ fA=\bigcap\mathfrak{p}_i

(iii) A/fA est réduit

~~Soit t\in A~~ Alors \boxed{A^*=A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i}} dans un A\to

Dém. Posons B=A_f\cap\bigcap_i A_{\mathfrak{p}_i}. Soit \mathfrak{p} premier de rang 1, si \mathfrak{p}\ni f , \mathfrak{p}=\mathfrak{p}_i pour un i, A_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}_i}\supset B ; si \mathfrak{p}\not\ni f, alors A_{\mathfrak{p}}\supset A_f\supset B. Donc B\subset\tilde{A} . ~~D'autre part A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i}=B^*.~~ / Soit x\in B, donc x=a/f^k, x entier sur A. Soit k\geq 0 minimal. Soit x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n=0, a^n+f^kc_1a^{n-1}+f^{2k}c_2a^{n-2}+\cdots+f^{nk}c_n=0 d'où a^n\in f^kA ; si k>0, a^n\in fA=\bigcap\mathfrak{p}_i, d'où a\in\bigcap\mathfrak{p}_i ~~d'où a\in fA~~, condition en cap a/f^k l'argument se poursuit au-delà de la page ; la suite n'est pas dans le lot

~~Corollaire Soit U un \mathrm{Spec}(A) \mathrm{Spec}(A_f) et les \mathfrak{p}_i ;~~

Corollaire 1 Soit X un schéma affine sur A, de X/A, aux points \mathfrak{p}_i. Alors .

X=\mathrm{Spec}\,A[T,T^{-1}], .

Corollaire 2 A^*=A_f^*\cap\bigcap_i A^*_{\mathfrak{p}_i} exacte groupes

diagramme très chargé, retracé en partie : une ligne exacte, sous laquelle des flèches verticales et des courbes de liaison mènent à un second carré ; le dernier terme de la première ligne est surchargé et entouré ; l'exposant noté « ? » dans le second carré est illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & A^* \arrow[r] & A_f^* \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & \mathbb{Z}^{(I)} \\ & K^*/A^* \arrow[r] \arrow[d] & K^*/A_f^* \arrow[d] & & \\ & \mathbb{Z} \arrow[r] & \mathbb{Z}^I & & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] A_f^* \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \\ A^*\times\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[u] & \mathbb{Z}^{?} \arrow[u] \end{tikzcd}

dans la boucle du diagramme, une tête coiffée d'un chapeau à large bord

Corollaire 3 Si f . Alors A_f^*\simeq A^*\times\mathbb{Z}, i.e. t\in A_f^* de façon unique sous la forme \varepsilon f^n, \varepsilon\in A^*, n\in\mathbb{Z}.

Proposition X préschéma loc. noethérien réduit (?) [il suffit X réduit aux pts de Y] (sous la condition (\alpha) ) f\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X), f non diviseur de 0 ; Y=V(f).

(i) \mathcal{O}_X/f\mathcal{O}_X réduit

(\alpha) On suppose ~~(ii)~~ ~~les~~ \mathcal{O}_x sont des « bons » anneaux, i.e. leurs complétés satisfont (i) Condition de finitude (ii) Condition des chaînes strictes.

Soient Y_i les composantes irréductibles de Y. Soit Z affine sur X, et g une section rationnelle de Z sur X, telle que (i) g définie dans X_f (ii) g définie aux pts génériques y_i des Y_i.

Alors g est définie partout.

contre-exemple si Z affine ?? X réduit ??

Ceci se ramène au où X=\mathrm{Spec}(A), A local, et où Z=X[T], i.e. g\in K anneau des fractions de A.

Lemme 1 Soit Y une partie fermée de X loc. noeth. réduit satisfaisant (\alpha), ~~Z affine sur X~~ g une ~~section~~ fonction rationnelle de X, définie en dehors de X-Y et les pts génériques des

composantes irréductibles de Z qui sont de codim 1 dans X. Alors g est une section \mathcal{O}_X.

Lemme 2 Soit ~~X , f~~ X, f X préschéma f réduit, f section de \mathcal{O}_X non diviseur de 0, et tel que \mathcal{O}_X/f réduit g une section de \mathcal{O}_X sur X_f, entière sur \mathcal{O}_X en tant que ~~section~~ pseudo- fonction rat. sur X. Alors g est partout définie.

Corollaire 1 Sous les conditions de la proposition, soit g une fonction rationnelle sur X. Pour que g soit une section de \mathcal{O}_X^*, il faut et il suffit que g|X_f le soit, et que g_{y_i}\in\mathcal{O}^*_{y_i}.

Corollaire 2 Diagramme exact

\begin{tikzcd} \Gamma(X_f,\mathcal{O}^*_{X_f}) \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \\ \Gamma(X,\mathcal{O}_X^*)\times\mathbb{Z} \arrow[u] \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[u] \end{tikzcd}

fin de page et fin du lot ; le corollaire se poursuit peut-être au-delà