Cote n° 57, pages 21–40

Cote n° 57 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Picard : tapuscrit annoté (s.d.), lettres (s.d., 1962).
Datation de l’inventaire : 1962-[vers 1968]
Édition de démonstration

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21Fin d'une lettre dactylographiée en anglais, commencée avant ce lot (« Dear Murre », p. 19 du fonds) : c'est sa lettre à J. P. Murre, reprise ici à partir de la p. 21. La flèche que la machine ne portait pas est restituée comme ajout de l'éditeur. simplicity the fibers of $X$ géoémetrically normal, and hence $X$ normal !), hence $D$ is linearly equivalent to $0$, what we wanted to prove.

I am convinced however that $\underline{\mathrm{Corr}}$ is always separated (with the usual assumptions of properness, flatness, and direct image of the structure sheaf, for both factors, of course). This is easily seen to be true if the $\underline{\mathrm{Pic}}$ functor of either factor is representable, by a simple use of dimension theory (namely, we have a morphisme $X$ [$\to$] $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ whose image has a general fiber of dimension zero, hence the same holds for the special fiber …). But it is true also, by an immediate adaptation of the same argument, if we suppose only that $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ is pre-ét-représentable say, i.e. is a quotient of a representable functor $Q$ by an étale equivalence relation (in fact, quasi-finite and flat would do as well), with $Q$ locally of finite type over $S$. Now this assumption is certainly satisfied if $Y$ is projective over $S$, as one sees by using the reprsentation of $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ (or rather big open pieces of it) as the quotient of a suitable scheme of immersions of $Y$ into some $P^r$, by the action of the projective group operating freely, and taking a quasi-section of the corresponding equivalence relation … On the other hand, if one does not assume $X$ nor $Y$ projective over $S$, one may think of using Chow's lemma; as $S$ is the spectrum of a discrete valuation ring, one does not loose flatness in using Chow's lemma, unfortunately one will loose however, I am affraid, the assumption $H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) \simeq k(s)$, and I am affraid that this will make serious technical trouble. Another interesting approach, via topology, is to try to prove that under the usual assumptions on $X$, the "specialization morphisme" from the fundamental group of the general geometric fiber to the one of the special fiber has an image of finite index – or at least that this is so after

22making the groups abelian. It seems to me that the latter statement can be proved via the Picard functor, when $X$ is assumed projective over $S$.

I am sending you some notes, including a sketch of the proof of the theorem of representability of unramified functors, although I do not think the latter can be of any use to you, as i have a hard time myself to read them. I think the notes you took when we discussed the matter a few month ago should be much more detailed; anyhow, there are certainly no simplifications in my notes relative to yours, the inverse is more plausible.

Sincerely yours

Rigidité

Titre de sa main, sur la chemise de la p. 23, qui porte « Rigidité » et au-dessous « Groupes V », le V souligné ; la chemise n'a pas de page propre ici.

24Rigidité et groupes alg. 1titre en capitales en tête de page ; « ET » est écrit sur un mot biffé illisible, et le « 1 » à droite est la pagination de l'auteur.

« Théorème […] »note encadrée, écrite en oblique dans la marge supérieure gauche, reliée par un trait au mot « Théorème » ; au-dessous, un petit schéma : $X_1 \times_S X_2$ avec ses projections $p_1, p_2$ vers $X_1, X_2$, et $\varphi_1, \varphi_2$ vers $S$. Théorème. Soient $S$ un préschéma, $\varphi_i \colon X_i \to S$ ($i = 1, 2$) deux préschémas loc. de type fini sur $S$, de type fini sur $S$, ⌜$\varepsilon$ une section de $X_1$ sur $S$,⌝ $G$ […] schéma en groupes on suppose soient $p_i$ ($i=1,2$) les deux projections de $X_1 \times_S X_2$ sur les facteurs. On suppose :

a) $p_1$ est propre, et $p_{1*}(\underline{O}_{X_1 \times X_2}) \simeq \underline{O}_{X_1}$.

b) $\varphi$ […] […] $U$ de $\varepsilon(S)$ […] $X_1$ […] $X_1 \times_S X_2$ […]

b) $p_1$ est universellement ouvert, […] $X_1$ plat sur $S$ ⌜à fibres géom. primaires⌝.

[Ex. $\varphi_2$ est propre, plat et $s \in S \Rightarrow k(s) \simeq H^0(X_{2,s}, \underline{O}_{X_{2,s}})$ ; « primaires » i.e. sans cycles ass. immergés, $\varphi_1$ plat à fibres géom. irréductibles]. Alors pour tout préschéma en groupes $G$ sur $S$, séparé sur $S$, et tout $S$-morphisme \[f \colon X_1 \times_S X_2 \longrightarrow G\] on a \[f = (f_1 p_1)(f_2 p_2)\] le produit est d'abord écrit $(f_1 \cdot p_1^{*})$ puis retouché ; la lecture $(f_1 p_1)(f_2 p_2)$ est celle que la suite confirme. où \[f_1 \colon X_1 \to G, \qquad f_2 \colon X_2 \to G\] il écrit « $f_2 \colon X_2 \to X$ », par lapsus pour $G$. sont des $S$-homomorphismessic : il faut entendre « $S$-morphismes »., déterminés de façon unique par la condition supplémentaire

$f_1 \varepsilon_1 =$ section unité pour […], ⌜et donc⌝ $f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2})$ $f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2})$ [ […] $\varphi_2$ soit une […] $f_2 =$ ] de plus […] $X_2$ […].

Hypothèses […] […] par la […] commutative plus haut Corollaire. Supposons […] section $\varepsilon_2$ sur $S$. Alors $f$ se met de façon unique sous la forme \[f = f_1 p_1 + f_2 p_2 + \sigma \varphi\] (tel que $f_i \varepsilon_i =$ section unité), où $f_i \colon X_i \to G$ sont des $S$-morphismes, $\sigma \colon S \to G$ une section de $G$ sur $S$, [$\varphi$ désignant $\varphi_1 \times_S \varphi_2$ la projection $X_1 \times_S X_2 \to S$].

25Démonstration du th.

Soit \[f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2})\] et considérons \[f' = f - f_2 p_2 \colon X_1 \times_S X_2 \longrightarrow G ;\] petit diagramme : $X_1 \times_S X_2 \to X_1$ et $X_1 \times_S X_2 \to X_1 \times G$, $X_1 \times G \to X_1$. […] […] […] a) et […] […] […] […] […] […] $f' \circ (\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2}) =$ morphisme unité $X_2 \to G$, i.e. pour tout $x_1 \in \varepsilon_1(S)$, le morphisme induit \[f' \colon k(x_1) \otimes_{k(s)} X_2 \longrightarrow G\] […] […] […] […] constant. En vertu de l'hyp. a) et du lemme […] ci-dessous, il en résulte qu'il existe un voisinage $U_1$ de $\varepsilon_1(S)$ tel que $f' \mid U_1 \times_S X_2$ soit de la forme $f_1 p_1$, où $f_1 \colon U_1 \to G$ est un $S$-morphisme convenable, […] […] pour $x_1 \in U_1$, $f' \circ$ […] […] $k(x_1) \otimes_S X_2$ […] […] […] […] […] $G$. En vertu du lemme 2 […] ⌜et $p_1$ étant universellement ouvert⌝ b), […] […] […] […] […] ci-dessus, cela […] […] […] […] $x \in \overline{U}_1$, i.e. $\forall x \in X_1 \times_S X_2$ […] […] c). En vertu du lemme 1, on […] […] […] prendre $U_1 = X_1$.

Cela prouve l'existence de $f_1$, $f_2$ ayant les propriétés ($\ast$), l'unicité pour […] […] [ $f_1 \varepsilon_1 =$ section […] […] […] ] […] de la […] de $f_2 \varepsilon$, […] […] […] […] […] […] […] [[…] $f_1$ […] […]] […] […] […] […].

$f = f_1 p_1^{*} f_2 p_2$, […] $f_1 \varepsilon_1$ […] $f_2$ […] […] […] […] […] $\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2}$ […] […] […] […] ⌜morphisme unité⌝ $(f_1 \varepsilon_1)\varphi_2 =$ section […] […] […] […]. D'ailleurs, dans […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \[f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2})\] le bas de la page, très surchargé de ratures et d'ajouts, n'est lu que par fragments.

26En haut à droite, « 2 » : pagination de l'auteur.

Lemme 1. Soient $f \colon X \to Y$ un morphisme propre, $Y$ loc. noeth., tel que $f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_Y$, et soit ⌜soit⌝ $h \colon Z \to Y$un symbole biffé avant $Y$. un morphisme séparé loc. de type fini, $Z$ préschéma de type fini, $g \colon X \to Z$ un $Y$-morphisme, […] $y \in Y$, supposons que $g(X_y) \subset Z_y$ soit fini. Alors il existe un ⌜ouvert⌝ voisinage $U$ de $y$ et une section $\sigma$ de $Z$ sur $U$, telles que \[g \mid f^{-1}(U) = \sigma \circ (f \mid f^{-1}(U)) .\] Pour $U$ donné, $\sigma$ est unique.

[…] important […] sous forme corollaire plus bas

Dém. Considérons $g(X) = X' \subset Z$. Il est propre sur $Y$, et sa fibre $X'_y$ en $y$ est finie, donc $\exists\, U \ni y$ tq $X' \mid U$ soit fini sur $U$. On peut supposer $U = Y$. Soit $\mathcal{A} = g_*(\underline{O}_X)$, c'est un faisceau cohérent d'algèbres sur $Z$, définissant un $Z'$ fini sur $Z$, et on a une factorisation canonique $g = g'' g'$. On aau-dessus de la ligne : « $\mathcal{A} = g_*(\underline{O}_X)$ ». \[\underline{O}_Y \to h_*(\mathcal{A}) \subset f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_Y ,\] le premier terme est d'abord écrit $g''(\underline{O})$, biffé, puis $\underline{O}_Y$. donc \[(h \circ g'')_*(\underline{O}_{Z'}) \simeq \underline{O}_Y ,\] i.e. $Z' \to Y$ est un isom. On prend alors $\sigma = g''(h g'')^{-1}$. L'unicité de $\sigma$ est évidente. De cette unicité […] […]

diagramme de la marge gauche :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z' \arrow[dr, "g''"] & \\
X \arrow[ur, "g'"] \arrow[rr, "g"] \arrow[d, "f"'] & & Z \arrow[dll, "h"] \\
Y & &
\end{tikzcd}

Corollaire. Sous les conditions du lemme, l'ens. $U$ des $y \in Y$ satisfaisant la condition $g(X_y)$ fini est ouvert, et il existe une section unique

27$\sigma$ de $Z$ sur $U$ telle que $g \mid f^{-1}(U) = \sigma (f \mid f^{-1}(U))$.

Lemme 2. Soient $f \colon X \to Y$ un morphisme de type fini universellement ouvert, dans l'[…] $h \colon Z \to Y$ un morphisme ⌜loc.⌝ de type fini, […] […] […] $g \colon X \to Z$ un $Y$-morphisme, alors l'ens. $U$ des $y \in Y$ tels que $g(X_y)$ soit fini est ouvert […] fermé.

En effet on se ramène […] […] $Y$ noethérien, […] $X \to Z$ dominant, […] constructibles […] […] […] […] […] $Y$ […] le spectre […] […] […] […] discrète, et […] […] […] […] […] $y$ est […] $U$. On peut […] […] supposer $X$ ⌜il⌝ irréductible, donc dominant […] […] réduit $Y$, donc $\overline{g(X)}$ est irréductible et domine $Y$, […] la fibre générique […] […] […] […] la fibre spéciale, […] […] […]. cqfd.

Corollaire 1 Supposons $p_*(\underline{O}_{X_1})$biffure ondulée. Dans la conclusion du th. il suffit de […] […] […] ⌜supposer […]⌝ […]

Remarque. Le lemme 2 est […] […] […] […] […] […] […] […] corollaire […]. $p \colon X_1 \times_S X_2 \to S$ est propre et $p_*(\underline{O}_{X_1 \times X_2}) \simeq \underline{O}_S$. […] […] […] […] […] […] En effet, […] \[\text{\struck{$f_2 \; f = f \circ \varepsilon_1 p_1 - f \circ \varepsilon_2$}} \qquad f' = f - f_1 p_1 - f_2 p_2 \quad (f_i = f \circ u_i \ldots),\] il vient donc pour […] […] que $f'(\text{fibres})$ est fini, donc […] […] […] […] […] […] […] […] […] et appliquer lemme 2.

28En haut à droite, « 3 » : pagination de l'auteur.

Corollaire 2. Soit $A$ $A$ un schéma abélien sur $S$ loc. noethérien, et $G$ un préschéma en groupes loc. de type fini sur $S$. Alors […] […] tout homomorphisme ⌜de $S$-préschémas⌝ de $A$ dans $G$ est de la forme (de façon unique) \[f = u + c\] où $u$ est un homomorphisme de groupes, et où $c$ est un homomorphisme « constant » [i.e. produit d'une section de $G$ sur $S$ […]]. On a nécessairement \[c = f \circ \varepsilon_A ,\] où $\varepsilon_A$ est la section unité de $A$.

[…] […] […] commutatif Donc […] si $f \circ \varepsilon_A = \varepsilon_G$, $f$ est un homomorphisme de schémas en groupes.

Corollaire 3. Soit $A$ un schéma abélien sur $S$. Alors $A$ est commutatif. Toute loi de composition sur $A$, telle que $\varepsilon_A$ […] soit élément unité bilatère, est la loi de composition donnée de $A$.

Il suffit de prouver cette dernière assertion. Or si $f \colon A \times A \to A$ est une loi de composition, en vertu du cor. 1 : \[f = [f \circ (\varepsilon \times \mathrm{id}_A)]\, p_1 + [f \circ (\mathrm{id}_A \times \varepsilon)]\, p_2 + [f \circ (\varepsilon_1 \times \varepsilon_2)]\, p\,,\] entre le deuxième et le troisième terme, un terme biffé illisible. i.e. $f = p_1 + p_2$, c'est la loi de composition donnée. OK.

29Reformulation du th.

Th. $X$ propre et plat sur $S$, $H^0(X_s, \underline{O}_{X_s}) \simeq k(s)$ pour tout $s \in S$, ($S$ loc. noeth.), $\varepsilon_X$ une section de $X/S$, $\mathrm{Hom}(X,$ $G$ un foncteur sur […] $(\mathit{Sch})_{/S}^{\circ}$ à valeurs dans la catégorie des groupes, $f \colon X \to G$ un $S$-homom. fonctoriel. […] […] […] […] […] […] […] on suppose donné

(i) Si $S_0$ est un sous-préschéma réduit de $S$ ayant même ensemble sous-jacent, et si $G$ l'homom. $f_0 \colon X_0 \to G_0$ est trivial, alors $f$ l'est [pourvu que $G$ […] […] […] petite catégorie)].

(ii) Si de plus $G$ commute aux limites projectives ⌜[cas de la localisation]⌝ d'anneaux noethériens, […] […], aux limites d'anneaux completspassage très surchargé. […] […] […] aux morphismes $\mathrm{Spec}(\widehat{A}) \to \mathrm{Spec}(A)$ des morphismes […] […] $G$-[…], alors si $f_s = f \times_S k(s)$ est triviale, $f$ est triviale dans un voisinage de $s$.

(iii) Si $G$ est représentable ⌜séparé⌝ sur $S$, alors sous les conditions de (ii), […] $f$ est trivial sur la composante connexe de $s$.

Formulation […] lemme, $\underline{\mathrm{Hom}}_S^{\bullet}(X, G)$ est non ramifié sur $S$.

30Th. Soient $f \colon X \to S$ propre et plat, $\underline{O}_S \simeq f_*(\underline{O}_X)$ universellement, $S$ loc. noeth., $G$ foncteur $(\mathit{Sch})_{/S}^{\circ} \to (\mathit{Ens})$ici « $(\mathit{Ens})$ » ; à la p. 29 il demandait des valeurs dans les groupes. :

a. $G$ formellement représentable …

b) $G$ « compatible avec limites d'anneaux artiniens » […]le premier b) est biffé ; au-dessus, entouré, « de notre […] […] ».

b) $G$ compatible avec passage aux complétéslecture très incertaine de la fin de la ligne. […] […] […] plats et qui respectent

c) $G$ compatible avec limites d'⌜anneaux⌝ […] […]

(Par exemple, il suffit que $G$ soit représentable […] et […]note encadrée, en haut à droite, au crayon : « Par exemple il suffit que $G/S$ soit […] […] […] » ; elle est lue de façon trop incertaine pour être transcrite. Conditions vérifiées si $G$ est représentable loc. de type fini sur $S$accolade en marge droite englobant a) à c), écrite verticalement. Utiliser la […] […] […]marge gauche, en oblique.

$u \colon X \to G$, i.e. $u \in G(X)$. Soit $U$ l'ens. des $s \in S$ tels que $u_s \in G(X_s)$ soit l'image d'un élément de $G(k(s))$, i.e. $u_s \colon X_s \to G$ se factorise en \[X_s \to k(s) \to G .\] Alors

1) $U$ est ouvert [et fermé si […] […] … (critère valuatif)]passage dans une autre encre, avec renvoi.

2) Il existe un morphisme $v \in G(U)$ unique tel que l'image de $v$ dans $G(X \mid U)$ soit $u \mid (X \mid U)$il écrit $u \mid (X \mid \overset{\circ}{U})$ ; le petit signe sur $U$ est douteux., etc.

Corollaire 1. Si $S$ est connexe, et s'il existe un $s \in S$ tel que $u_s \colon X_s \to G$ se factorise par $k(s)$, alors $u$ se factorise par \[X \xrightarrow{\ f\ } S \xrightarrow{\ v\ } G .\]

Corollaire 2. Supposons que $X$ et $G$ soient munis de sections sur $S$, et que $u$ soit compatible avec les sections unités. Si $S$ est connexe, et si pour un $s \in S$, $u_s$ est trivial, alors $u$ est trivial.

Corollaire 3. $X$ sur $S$, […] ⌜du cor. 2⌝ $G$ sur $S$ comme […], […] connexe à sections, $Y$ sur $S$ loc. de type fini ⌜$Y$ connexe⌝, sur $S$, et $u \colon X \times_S Y \to G$ un homom. fonctoriel fidèlement […] […] l'homom. trivial sur $\varepsilon_X \times_S Y$, et s'il existe $y \in Y$ tel que $u_y \colon X \times k(y) \to G$ soit trivial, alors $u$ est trivial.

31Cor. 4. Sous les conditions du cor. 2, soit de plus $Y$ loc. de type fini sur $S$, ⌜à fibres géom. connexes, $Y$⌝ muni d'une section $\varepsilon_Y$. Soit $u \colon X \times Y \to G$ induisant les morphismes triviaux $\varepsilon_X \times Y \to G$ et $X \times \varepsilon_Y \to G$, alors $u$ est trivial.

Cor. 5 ⌜(Weil)⌝ Sous les conditions du cor. 4, supposons foncteur en groupes, les sections de plus $G$ un […]. Alors tout morphisme $u \colon X \times_S Y \to G$ se met de façon unique sous la forme \[u = u_1\, \mathrm{pr}_1 + u_2\, \mathrm{pr}_2 + v\, p\] le dernier terme est surchargé. pris dans le groupe $X \times_S Y = \underline{X}_Y$lecture incertaine de cette égalité., $p \colon X \times_S Y \to S$ le morphisme structural, $u_1 \colon X \to G$, $u_2 \colon Y \to G$il écrit $u_2 \colon X \to G$., $v \colon S \to G$ des $S$-morphismes convenables.

[Demander Mumford]cette ligne et la suite de la page sont d'une autre encre.

Question. Soit $S$ (noethérien […] […] […] […] […] $S$ spectre d'un anneau de val. discrète géom. complet), $X$, $Y$ propres et plats sur $S$, tels que $f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_S$ et $g_*(\underline{O}_Y) \simeq \underline{O}_S$ universellement, munis de sections $e_X$ et $e_Y$. Soit $\underline{L}$ un Module inversible sur $X$, […] trivialisations données sur $e_X \times_S Y$ et $X \times_S e_Y$, [compatibles sur $e_X \times_S e_Y$], et supposons qu'il existe un ouvert non vide $U$ tel que $\underline{L} \mid X \times_S Y \mid U$ soit trivial. Alors $\underline{L}$ est trivial [En d'autres termes, $\underline{\mathrm{Corr}}_S(X, Y)$ est toujours séparé sur $S$] ; c'est vrai si […] $\underline{\mathrm{Pic}}_{X \times_S Y}$ […] […] […], par exemple si $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ et $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ […] […] […]]. Rejoint l'affirmation si $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ ou $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ existe sur les anneaux de val. discrète complets. Désirons […] […] […] […] […]

Il suffit que $\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}$ ou $\underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S}$ soit pré-ét-représentable, en particulier suffit que $X$ ou $Y$ soit projectif sur $S$. Si $f$ ou $g$ […] […] […] Picard […] sur $S$.deux notes de la marge inférieure gauche, reliées par des renvois au texte ; cf. la lettre des pp. 21–22, qui énonce les mêmes conditions.

32Théorème 1 ⌜(Définition des schémas abéliens)⌝. Soient $S$ $S$ préschéma loc. noethérien normallecture incertaine du dernier mot, souligné., $X$ $S$-préschéma propre et simple, $e$ une section de $X$ sur $S$, supposons que pour tout $s \in S$ tel que $X_s = f^{-1}(s)$ soit un schéma abélien sur $k(s)$. Alors il existe […] sur $X$ une structure de schéma abélien sur $S$, admettant $e$ comme section unitéla fin de la phrase est en partie biffée..

Cor. Même si $S$ n'est pas normal, une structure abélienne est déterminée par la connaissance de la section unité. (Cela […] […] […])

À partir d'ici et jusqu'au bas de la page, le texte est barré d'un réseau de traits obliques ; il se lit sous la rature.

Théorème 2. Soient $S$ […] noethérien ⌜de type fini⌝, $X_1$ et $X_2$ ⌜deux⌝ préschémas […] sur $S$ ($\varphi_i \colon X_i \to S$). On suppose :

(i) les $\varphi_i$ plats et $\varphi_{2*}(\underline{O}_{X_2}) = \underline{O}_S$, ou $\varphi_2$ séparable ;

(ii) les fibres de $X_1$ […], et $X_1$ est connexe.

$X_1$ muni d'une section $s_1$« $s_1$ » cerclé..

Alors […] Soit $G$ schéma en groupes sur $S$, abélien, ⌜considérons⌝ \[u \colon X_1 \times_S X_2 \to G ;\] $\exists\, u_1 \colon X_1 \to S$sic, pour $X_1 \to G$. unique, $u_2 \colon X_2 \to G$, tels que […] \[u = u_1\, \mathrm{pr}_1 + u_2\, \mathrm{pr}_2 .\]

Cor. Soit $S$ $S$, […] $X_1 = X_2 =$ $X$ un schéma […] sur $S$ à fibres connexes, et […], $X/S$ plat, simple, $u \colon X \to G$ tel que $u(e) = e$, alors $u$ est un homom. de groupes.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \times X \arrow[r] \arrow[d, "{u \times u}"'] & X \arrow[d, "u"] \\
G \times G \arrow[r] & G
\end{tikzcd}

33Page presque vierge : trois lignes de programme, en tête.

Unicité ([…]) $f$ comp. Rem. sur […] […] ⌜et commutativité⌝

Schémas

34Lemme 1. Soient $G$ […], […] […] connexe ⌜irréd. et propre⌝ sur $k$, $e$ point rationnel de $G$, $G \times G \to G$ loi de multiplication ayant ⌜admettant⌝ $e$ comme unité, $G \xrightarrow{\ \vee\ } G$ ⌜application⌝ […] […] à droite telle que \[x y^{\vee} = e \iff x = y .\] Alors c'est la loi de composition est associative et commutative [donc $G$ est une variété abélienne].

Démonstration. Considérons, \[\text{\struck{$f(a,b,c) = [(ab)c]\,[a(bc)]^{\vee}$}}\] \[f(a,b) = (ab)(ba)^{\vee} .\] On a \[f(e, x) = f(x, e) = e ,\] donc \[\begin{cases} f(a, x) = f(e, x) = e & \text{pour } a \in U \text{ voisinage de } e, \\ f(x, a) = f(x, e) = e & \text{pour } a \in U', \end{cases}\] une accolade et une flèche renvoient ces deux lignes à « rigidité ». donc $f(x,x) = f(e,x) = f(x,e) = f(e,e) =$

donc par prolongement [[…] […] […]] on a $f(x, y) = e$ pour tout $x, y$, d'où commutativité.

Donc $(ab)(ba)^{\vee} = e$ i.e. $ba = ab$.

Pour l'associativité, on fait \[f(a,b,c) = [(ab)c]\,[a(bc)]^{\vee}\] il écrit les deux crochets avec des virgules : « $[(ab, c]\,[a(bc,]^{\vee}$ ». on a $f(a,b,c) = e$ si $a [\ldots c] = e$ […] […] […] ⌜pour […] […] $a \in U$ voisinage de $e$⌝

donc $f(x, y, z) = e$lecture incertaine des arguments.

lemme $f(abc) =$la page s'arrête sur ce signe d'égalité.

36Lemme 3. Soit $G$ schéma simple et propre sur $S$ ⌜$= \mathrm{Spec}(A)$⌝ loc. noeth., ⌜$A$⌝ artinien local, anneau $G$ muni d'une section $e$. Soit $S_0 = \mathrm{Spec}(A/\mathfrak{J})$, […] […] […] soit […] […] […] idéal tel que $\mathfrak{J}^2 = 0$ ⌜[…] […] $S_0$⌝début très surchargé : une première rédaction, biffée, introduisait $S_0 = \mathrm{Spec}(A/\mathfrak{J})$ avec un idéal $\mathfrak{J}$ de carré nul ; la lecture définitive est incertaine. […] […] […] supposons que \[G_0 = G \times_S S_0\] soit un schéma abélien ayant $e_0$ comme section unité. Alors il […] Soit Alors il existe une structure multiplicative unique sur $G$, induisant celle de $G_0$ et pour laquelle $e$ […] […] […] […] ⌜soit […] […]⌝ (sic) […] […] donc $G$ est un schéma abélien par cette structure, de section unité $e$.

L'obstruction […] à construire une […] supposons $S$ noeth. affinelecture incertaine de cette ligne.. L'obstruction […] à un prolongement de la multiplication $G_0 \times G_0 \xrightarrow{\ \pi_0\ } G_0$ est dans \[H^1\bigl(G_0 \times G_0,\ \pi_0^{*}(\underline{\mathcal{V}}_{G_0/S_0}) \otimes \ill{}\bigr) =\] par Künneth […] \[H^1(G_0 \times G_0, \underline{O}_{G_0 \times G_0}) \otimes_{k} (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}) .\] il écrit d'abord $\otimes_{K_0}$, corrigé en $\otimes_k$ ; « $\mathfrak{m}$ » est une lecture probable de la dernière lettre. Künneth s'applique, il suffit de montrer que la restriction de l'obstruction à $e \times G_0$ et $G_0 \times e$ est nulle. Or c'est vrai, car on peut […] ⌜relever⌝, à $H^1(G_0, \underline{O}_{G_0}) \otimes_k (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m})$, […] les obstructions à prolonger $g \mapsto g\,g$ et $g \mapsto g\,e$, qui sont les identités, donc se prolongent. Pour l'unicité, […] […] […] […] dans $H^0(G_0 \times G_0, \underline{O}_{G_0 \times G_0}) \otimes_k (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m})$.

Lemme 2 […]note de la marge gauche, en face du dernier alinéa. Plus généralement, si […] […] […] $X \to G$, l'obstruction à prolonger est dans $H^1(X_0, \underline{O}_{X_0}) \otimes \mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}$, et l'indétermination dans $H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) \otimes_k \mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}$les deux dernières lignes, au bas de la page, sont très serrées..

38du lemme 2 Cor. Si dans $H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) = k$, cette indétermination ne dépend que de $k$ : elle est donnée par […] l'image ⌜par les⌝ ⌜sections⌝ de $X$ dans les […] […] […] la section unique $e_0$ [[…] […] […] par […], […] […] […]]. D'où une caractérisation […] de l'unicité […] […] fixe l'extension, […] […] la section […] […] […] […] $e$.

De plus, […] […] ⌜[…] de⌝ […] […] $G$ par $e\,g$ et $g\,e$, elle est aussi fixée par $e$, les […] donc $e$ est donc d'après ce qui précède : \[e\,g = g, \qquad g\,e = g ;\] donc $e$ est section unité bilatère. Par le même raisonnement, on voit que $g\,g' = g'\,g$ et $(g\,g')\,g'' = g\,(g'\,g'')$, car on a deux morphismes $G \times G \rightrightarrows G$ (resp. $G \times G \times G \rightrightarrows G$) qui coïncident sur le […], et transforment $e \times e$ (resp. $e \times e \times e$) en $e$.

Cor. 1 du lemme 3. Possibilité ([…] ⌜et unicité⌝) de l'extension d'une structure abélienne donnée sur $G_0$, et la section unité […] [il suffit d'exiger $e \times e \to e$], lorsqu'on se donne une section.

Cor. 2. Dans le cas où on se place sur un anneau local complet.la page s'arrête ici ; cette dernière phrase est lue avec beaucoup d'incertitude.

40Cor. 3. Soit un schéma abélien sur un $S$ loc. noeth., il y a une seule structure multiplicative possible admettant la section $e$ comme section unité bilatère.

[S'obtient aussi par d'autres voies […] […]]

À partir de l'unicité, on prouve l'existence quand on est sur un anneau local noeth., $G$ simple et propre sur $S$, à section unique, $G_0$ schéma abélien sur $k$ : on utilise par le théorème par de descente. Enfin, on doit encore prouver de l'énoncé quand $S$ est loc. noeth. connexe. Cela est conséquence du fait que l'ensemble des pts où la fibre est abélienne (qui est déjà ouvert) est aussi fermé. On se ramène au cas où $S = \mathrm{Spec}(V)$, $V$ anneau de valuation discrète. Alors c'est connu. […] [Lemme de décalage] D'où

Théorème. Soit $S$ loc. noeth. connexe, $G$ simple et propre sur $S$ avec section ⌜section⌝ unique. Si une fibre est abélienne, il y a sur $G$ une structure mult. unique d.g. $e \times e$ ⌜admettant $e$ comme unité⌝, et elle est abélienne.

L'argument s'arrête en bas de la p. 40 sur l'énoncé du théorème ; la suite, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.