Fonds Grothendieck, cote n° 57, pages 21–40

Fin d'une lettre dactylographiée en anglais, commencée avant ce lot (« Dear Murre », p. 19 du fonds) : c'est sa lettre à J. P. Murre, reprise ici à partir de la p. 21. La flèche que la machine ne portait pas est restituée comme ajout de l'éditeur. simplicity the fibers of X géoémetrically normal, and hence X normal !), hence D is linearly equivalent to 0, what we wanted to prove.

I am convinced however that \underline{\mathrm{Corr}} is always separated (with the usual assumptions of properness, flatness, and direct image of the structure sheaf, for both factors, of course). This is easily seen to be true if the \underline{\mathrm{Pic}} functor of either factor is representable, by a simple use of dimension theory (namely, we have a morphisme X \to \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} whose image has a general fiber of dimension zero, hence the same holds for the special fiber …). But it is true also, by an immediate adaptation of the same argument, if we suppose only that \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} is pre-ét-représentable say, i.e. is a quotient of a representable functor Q by an étale equivalence relation (in fact, quasi-finite and flat would do as well), with Q locally of finite type over S. Now this assumption is certainly satisfied if Y is projective over S, as one sees by using the reprsentation of \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} (or rather big open pieces of it) as the quotient of a suitable scheme of immersions of Y into some P^r, by the action of the projective group operating freely, and taking a quasi-section of the corresponding equivalence relation … On the other hand, if one does not assume X nor Y projective over S, one may think of using Chow's lemma; as S is the spectrum of a discrete valuation ring, one does not loose flatness in using Chow's lemma, unfortunately one will loose however, I am affraid, the assumption H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) \simeq k(s), and I am affraid that this will make serious technical trouble. Another interesting approach, via topology, is to try to prove that under the usual assumptions on X, the "specialization morphisme" from the fundamental group of the general geometric fiber to the one of the special fiber has an image of finite index – or at least that this is so after

making the groups abelian. It seems to me that the latter statement can be proved via the Picard functor, when X is assumed projective over S.

I am sending you some notes, including a sketch of the proof of the theorem of representability of unramified functors, although I do not think the latter can be of any use to you, as i have a hard time myself to read them. I think the notes you took when we discussed the matter a few month ago should be much more detailed; anyhow, there are certainly no simplifications in my notes relative to yours, the inverse is more plausible.

Sincerely yours

Rigidité

Titre de sa main, sur la chemise de la p. 23, qui porte « Rigidité » et au-dessous « Groupes V », le V souligné ; la chemise n'a pas de page propre ici.

Rigidité et groupes alg. 1titre en capitales en tête de page ; « ET » est écrit sur un mot biffé illisible, et le « 1 » à droite est la pagination de l'auteur.

« Théorème »note encadrée, écrite en oblique dans la marge supérieure gauche, reliée par un trait au mot « Théorème » ; au-dessous, un petit schéma : X_1 \times_S X_2 avec ses projections p_1, p_2 vers X_1, X_2, et \varphi_1, \varphi_2 vers S. Théorème. Soient S un préschéma, \varphi_i \colon X_i \to S (i = 1, 2) deux préschémas ~~loc. de type fini sur S,~~ de type fini sur S, \varepsilon une section de X_1 sur S, ~~G schéma en groupes~~ ~~on suppose~~ soient p_i (i=1,2) les deux projections de X_1 \times_S X_2 sur les facteurs. On suppose :

a) p_1 est propre, et p_{1*}(\underline{O}_{X_1 \times X_2}) \simeq \underline{O}_{X_1}.

~~b) \varphi U de \varepsilon(S) X_1 X_1 \times_S X_2~~

b) p_1 est universellement ouvert, X_1 plat sur S à fibres géom. primaires.

[Ex. \varphi_2 est propre, plat et s \in S \Rightarrow k(s) \simeq H^0(X_{2,s}, \underline{O}_{X_{2,s}}) ; ~~« primaires » i.e. sans cycles ass. immergés,~~ \varphi_1 ~~plat~~ à fibres géom. irréductibles]. Alors pour tout préschéma en groupes G sur S, séparé sur S, et tout S-morphisme f \colon X_1 \times_S X_2 \longrightarrow G on a f = (f_1 p_1)(f_2 p_2) le produit est d'abord écrit (f_1 \cdot p_1^{*}) puis retouché ; la lecture (f_1 p_1)(f_2 p_2) est celle que la suite confirme. où f_1 \colon X_1 \to G, \qquad f_2 \colon X_2 \to G il écrit « f_2 \colon X_2 \to X », par lapsus pour G. sont des S-homomorphismessic : il faut entendre « S-morphismes »., déterminés de façon unique par la condition supplémentaire

f_1 \varepsilon_1 = section unité ~~pour~~ , et donc f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2}) ~~f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2})~~ ~~[ \varphi_2 soit une f_2 = ]~~ de plus X_2 .

Hypothèses par la commutative plus haut Corollaire. Supposons section \varepsilon_2 sur S. Alors f se met de façon unique sous la forme f = f_1 p_1 + f_2 p_2 + \sigma \varphi (tel que f_i \varepsilon_i = section unité), où f_i \colon X_i \to G sont des S-morphismes, \sigma \colon S \to G une section de G sur S, [\varphi désignant ~~\varphi_1 \times_S \varphi_2~~ la projection X_1 \times_S X_2 \to S].

Démonstration du th.

Soit f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times_S \mathrm{id}_{X_2}) et considérons f' = f - f_2 p_2 \colon X_1 \times_S X_2 \longrightarrow G ; petit diagramme : X_1 \times_S X_2 \to X_1 et X_1 \times_S X_2 \to X_1 \times G, X_1 \times G \to X_1. ~~a) et~~ f' \circ (\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2}) = morphisme unité X_2 \to G, i.e. pour tout x_1 \in \varepsilon_1(S), le morphisme induit f' \colon k(x_1) \otimes_{k(s)} X_2 \longrightarrow G constant. En vertu de l'hyp. a) et du lemme ci-dessous, il en résulte qu'il existe un voisinage U_1 de \varepsilon_1(S) tel que f' \mid U_1 \times_S X_2 soit de la forme f_1 p_1, où f_1 \colon U_1 \to G est un S-morphisme convenable, pour x_1 \in U_1, f' \circ k(x_1) \otimes_S X_2 G. En vertu du lemme 2 et p_1 étant universellement ouvert b), ci-dessus, cela x \in \overline{U}_1, i.e. \forall x \in X_1 \times_S X_2 c). En vertu du lemme 1, on prendre U_1 = X_1.

Cela prouve l'existence de f_1, f_2 ayant les propriétés (\ast), l'unicité pour ~~[ f_1 \varepsilon_1 = section ] de la de f_2 \varepsilon,~~ ~~[ f_1 ]~~ .

~~f = f_1 p_1^{*} f_2 p_2, f_1 \varepsilon_1 f_2 \varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2}~~ morphisme unité (f_1 \varepsilon_1)\varphi_2 = ~~section~~ . D'ailleurs, dans f_2 = f \circ (\varepsilon_1 \times \mathrm{id}_{X_2}) le bas de la page, très surchargé de ratures et d'ajouts, n'est lu que par fragments.

En haut à droite, « 2 » : pagination de l'auteur.

Lemme 1. Soient f \colon X \to Y un morphisme propre, Y loc. noeth., tel que f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_Y, ~~et soit~~ soit h \colon Z \to Yun symbole biffé avant Y. un morphisme séparé loc. de type fini, ~~Z préschéma de type fini,~~ g \colon X \to Z un Y-morphisme, y \in Y, supposons que g(X_y) \subset Z_y soit fini. Alors il existe un ouvert voisinage U de y et une section \sigma de Z sur U, telles que g \mid f^{-1}(U) = \sigma \circ (f \mid f^{-1}(U)) . Pour U donné, \sigma est unique.

important sous forme corollaire plus bas

Dém. Considérons g(X) = X' \subset Z. Il est propre sur Y, et sa fibre X'_y en y est finie, donc \exists\, U \ni y tq X' \mid U soit fini sur U. On peut supposer U = Y. Soit \mathcal{A} = g_*(\underline{O}_X), c'est un faisceau cohérent d'algèbres sur Z, définissant un Z' fini sur Z, et on a une factorisation canonique g = g'' g'. On aau-dessus de la ligne : « \mathcal{A} = g_*(\underline{O}_X) ». \underline{O}_Y \to h_*(\mathcal{A}) \subset f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_Y , le premier terme est d'abord écrit g''(\underline{O}), biffé, puis \underline{O}_Y. donc (h \circ g'')_*(\underline{O}_{Z'}) \simeq \underline{O}_Y , i.e. Z' \to Y est un isom. On prend alors \sigma = g''(h g'')^{-1}. L'unicité de \sigma est évidente. De cette unicité

diagramme de la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & Z' \arrow[dr, "g''"] & \\ X \arrow[ur, "g'"] \arrow[rr, "g"] \arrow[d, "f"'] & & Z \arrow[dll, "h"] \\ Y & & \end{tikzcd}

Corollaire. Sous les conditions du lemme, l'ens. U des y \in Y satisfaisant la condition g(X_y) fini est ouvert, et il existe une section unique

\sigma de Z sur U telle que g \mid f^{-1}(U) = \sigma (f \mid f^{-1}(U)).

Lemme 2. Soient f \colon X \to Y un morphisme de type fini universellement ouvert, ~~dans l'~~ h \colon Z \to Y un morphisme loc. de type fini, g \colon X \to Z un Y-morphisme, alors l'ens. U des y \in Y tels que g(X_y) soit fini est ouvert fermé.

En effet on se ramène Y noethérien, X \to Z dominant, constructibles Y le spectre discrète, et y est U. On peut supposer X il irréductible, ~~donc~~ dominant réduit Y, donc \overline{g(X)} est irréductible et domine Y, la fibre générique la fibre spéciale, . cqfd.

Corollaire 1 ~~Supposons p_*(\underline{O}_{X_1})~~biffure ondulée. Dans la conclusion du th. il suffit de supposer

Remarque. ~~Le lemme 2 est~~ ~~corollaire .~~ p \colon X_1 \times_S X_2 \to S est propre et p_*(\underline{O}_{X_1 \times X_2}) \simeq \underline{O}_S. En effet, \text{\struck{$f_2 \; f = f \circ \varepsilon_1 p_1 - f \circ \varepsilon_2$}} \qquad f' = f - f_1 p_1 - f_2 p_2 \quad (f_i = f \circ u_i \ldots), il vient donc pour que f'(\text{fibres}) est fini, donc et appliquer lemme 2.

En haut à droite, « 3 » : pagination de l'auteur.

Corollaire 2. Soit A A un schéma abélien sur S loc. noethérien, et G un préschéma en groupes loc. de type fini sur S. Alors tout homomorphisme de S-préschémas de A dans G est de la forme (de façon unique) f = u + c où u est un homomorphisme de groupes, et où c est un homomorphisme « constant » [i.e. produit d'une section de G sur S ]. On a nécessairement c = f \circ \varepsilon_A , où \varepsilon_A est la section unité de A.

commutatif Donc si f \circ \varepsilon_A = \varepsilon_G, f est un homomorphisme de schémas en groupes.

Corollaire 3. Soit A un schéma abélien sur S. Alors A est commutatif. Toute loi de composition sur A, telle que \varepsilon_A soit élément unité bilatère, est la loi de composition donnée de A.

Il suffit de prouver cette dernière assertion. Or si f \colon A \times A \to A est une loi de composition, en vertu du cor. 1 : f = [f \circ (\varepsilon \times \mathrm{id}_A)]\, p_1 + [f \circ (\mathrm{id}_A \times \varepsilon)]\, p_2 + [f \circ (\varepsilon_1 \times \varepsilon_2)]\, p\,, entre le deuxième et le troisième terme, un terme biffé illisible. i.e. f = p_1 + p_2, c'est la loi de composition donnée. OK.

Reformulation du th.

Th. X propre et plat sur S, H^0(X_s, \underline{O}_{X_s}) \simeq k(s) pour tout s \in S, (S loc. noeth.), \varepsilon_X une section de X/S, ~~\mathrm{Hom}(X,~~ G un foncteur sur (\mathit{Sch})_{/S}^{\circ} à valeurs dans la catégorie des groupes, f \colon X \to G un S-homom. fonctoriel. ~~on suppose donné~~

(i) Si S_0 est un sous-préschéma réduit de S ayant même ensemble sous-jacent, et si G l'homom. f_0 \colon X_0 \to G_0 est trivial, alors f l'est [pourvu que G petite catégorie)].

(ii) Si de plus G commute aux limites projectives [cas de la localisation] d'anneaux noethériens, , aux limites d'anneaux completspassage très surchargé. aux morphismes \mathrm{Spec}(\widehat{A}) \to \mathrm{Spec}(A) des morphismes G-, alors si f_s = f \times_S k(s) est triviale, f est triviale dans un voisinage de s.

(iii) Si G est représentable séparé sur S, alors sous les conditions de (ii), f est trivial sur la composante connexe de s.

Formulation lemme, \underline{\mathrm{Hom}}_S^{\bullet}(X, G) est non ramifié sur S.

Th. Soient f \colon X \to S propre et plat, \underline{O}_S \simeq f_*(\underline{O}_X) universellement, S loc. noeth., G foncteur (\mathit{Sch})_{/S}^{\circ} \to (\mathit{Ens})ici « (\mathit{Ens}) » ; à la p. 29 il demandait des valeurs dans les groupes. :

a. G formellement représentable …

~~b) G « compatible avec limites d'anneaux artiniens »~~ le premier b) est biffé ; au-dessus, entouré, « de notre ».

b) G compatible avec passage aux complétéslecture très incertaine de la fin de la ligne. plats et qui respectent

c) G compatible avec limites d'anneaux

(Par exemple, il suffit que G soit représentable et note encadrée, en haut à droite, au crayon : « Par exemple il suffit que G/S soit » ; elle est lue de façon trop incertaine pour être transcrite. Conditions vérifiées si G est représentable loc. de type fini sur Saccolade en marge droite englobant a) à c), écrite verticalement. Utiliser la marge gauche, en oblique.

u \colon X \to G, i.e. u \in G(X). Soit U l'ens. des s \in S tels que u_s \in G(X_s) soit l'image d'un élément de G(k(s)), i.e. u_s \colon X_s \to G se factorise en X_s \to k(s) \to G . Alors

1) U est ouvert [et fermé si … (critère valuatif)]passage dans une autre encre, avec renvoi.

2) Il existe un ~~morphisme~~ v \in G(U) unique tel que l'image de v dans G(X \mid U) soit u \mid (X \mid U)il écrit u \mid (X \mid \overset{\circ}{U}) ; le petit signe sur U est douteux., ~~etc.~~

Corollaire 1. Si S est connexe, et s'il existe un s \in S tel que u_s \colon X_s \to G se factorise par k(s), alors u se factorise par X \xrightarrow{\ f\ } S \xrightarrow{\ v\ } G .

Corollaire 2. Supposons que X et G soient munis de sections sur S, et que u soit compatible avec les sections unités. Si S est connexe, et si pour un s \in S, u_s est trivial, alors u est trivial.

Corollaire 3. X sur S, du cor. 2 G sur S comme , ~~connexe à sections,~~ Y sur S loc. de type fini Y connexe, ~~sur~~ S, et u \colon X \times_S Y \to G un homom. fonctoriel ~~fidèlement~~ l'homom. trivial sur \varepsilon_X \times_S Y, et s'il existe y \in Y tel que u_y \colon X \times k(y) \to G soit trivial, alors u est trivial.

Cor. 4. Sous les conditions du cor. 2, soit de plus Y loc. de type fini sur S, à fibres géom. connexes, Y muni d'une section \varepsilon_Y. Soit u \colon X \times Y \to G induisant les morphismes triviaux \varepsilon_X \times Y \to G et X \times \varepsilon_Y \to G, alors u est trivial.

Cor. 5 (Weil) Sous les conditions du cor. 4, supposons ~~foncteur en groupes, les sections~~ de plus G un . Alors tout morphisme u \colon X \times_S Y \to G se met de façon unique sous la forme u = u_1\, \mathrm{pr}_1 + u_2\, \mathrm{pr}_2 + v\, p le dernier terme est surchargé. pris dans le groupe X \times_S Y = \underline{X}_Ylecture incertaine de cette égalité., p \colon X \times_S Y \to S le morphisme structural, u_1 \colon X \to G, u_2 \colon Y \to Gil écrit u_2 \colon X \to G., v \colon S \to G des S-morphismes convenables.

[Demander Mumford]cette ligne et la suite de la page sont d'une autre encre.

Question. Soit S (noethérien S spectre d'un anneau de val. discrète géom. complet), X, Y propres et plats sur S, tels que f_*(\underline{O}_X) \simeq \underline{O}_S et g_*(\underline{O}_Y) \simeq \underline{O}_S universellement, munis de sections e_X et e_Y. Soit \underline{L} un Module inversible sur X, trivialisations données sur e_X \times_S Y et X \times_S e_Y, [compatibles sur e_X \times_S e_Y], et supposons qu'il existe un ouvert non vide U tel que \underline{L} \mid X \times_S Y \mid U soit trivial. Alors \underline{L} est trivial [En d'autres termes, \underline{\mathrm{Corr}}_S(X, Y) est toujours séparé sur S] ; c'est vrai si \underline{\mathrm{Pic}}_{X \times_S Y} , par exemple si \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} et \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} ]. Rejoint l'affirmation si \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} ou \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} existe sur les anneaux de val. discrète complets. Désirons

Il suffit que \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} ou \underline{\mathrm{Pic}}_{Y/S} soit pré-ét-représentable, en particulier suffit que X ou Y soit projectif sur S. Si f ou g Picard sur S.deux notes de la marge inférieure gauche, reliées par des renvois au texte ; cf. la lettre des pp. 21–22, qui énonce les mêmes conditions.

Théorème 1 (Définition des schémas abéliens). Soient S S préschéma loc. noethérien normallecture incertaine du dernier mot, souligné., X S-préschéma propre et simple, e une section de X sur S, supposons que pour tout s \in S tel que X_s = f^{-1}(s) soit un schéma abélien sur k(s). Alors il existe sur X une structure de schéma abélien sur S, admettant e comme section unitéla fin de la phrase est en partie biffée..

Cor. Même si S n'est pas normal, une structure abélienne est déterminée par la connaissance de la section unité. (Cela )

À partir d'ici et jusqu'au bas de la page, le texte est barré d'un réseau de traits obliques ; il se lit sous la rature.

Théorème 2. Soient S noethérien de type fini, X_1 et X_2 deux préschémas sur S (\varphi_i \colon X_i \to S). On suppose :

(i) les \varphi_i plats et \varphi_{2*}(\underline{O}_{X_2}) = \underline{O}_S, ou \varphi_2 séparable ;

(ii) les fibres de X_1 , et X_1 est connexe.

X_1 muni d'une section s_1« s_1 » cerclé..

~~Alors~~ Soit G schéma en groupes sur S, ~~abélien~~, considérons u \colon X_1 \times_S X_2 \to G ; \exists\, u_1 \colon X_1 \to Ssic, pour X_1 \to G. unique, u_2 \colon X_2 \to G, tels que u = u_1\, \mathrm{pr}_1 + u_2\, \mathrm{pr}_2 .

Cor. Soit S S, ~~X_1 = X_2 =~~ X un schéma sur S à fibres connexes, et , X/S plat, simple, u \colon X \to G tel que u(e) = e, alors u est un homom. de groupes.

\begin{tikzcd} X \times X \arrow[r] \arrow[d, "{u \times u}"'] & X \arrow[d, "u"] \\ G \times G \arrow[r] & G \end{tikzcd}

Page presque vierge : trois lignes de programme, en tête.

Unicité () f comp. Rem. sur et commutativité

Schémas

Lemme 1. Soient G ~~, connexe~~ irréd. et propre sur k, e point rationnel de G, G \times G \to G loi de multiplication ~~ayant~~ admettant e comme unité, G \xrightarrow{\ \vee\ } G application ~~à droite~~ telle que x y^{\vee} = e \iff x = y . Alors c'est la loi de composition est associative et commutative [donc G est une variété abélienne].

Démonstration. Considérons, \text{\struck{$f(a,b,c) = [(ab)c]\,[a(bc)]^{\vee}$}} f(a,b) = (ab)(ba)^{\vee} . On a f(e, x) = f(x, e) = e , donc \begin{cases} f(a, x) = f(e, x) = e & \text{pour } a \in U \text{ voisinage de } e, \\ f(x, a) = f(x, e) = e & \text{pour } a \in U', \end{cases} une accolade et une flèche renvoient ces deux lignes à « rigidité ». ~~donc f(x,x) = f(e,x) = f(x,e) = f(e,e) =~~

donc par prolongement [ ] on a f(x, y) = e pour tout x, y, d'où commutativité.

Donc (ab)(ba)^{\vee} = e i.e. ba = ab.

Pour l'associativité, on fait f(a,b,c) = [(ab)c]\,[a(bc)]^{\vee} il écrit les deux crochets avec des virgules : « [(ab, c]\,[a(bc,]^{\vee} ». on a f(a,b,c) = e si a [\ldots c] = e pour a \in U voisinage de e

donc f(x, y, z) = electure incertaine des arguments.

lemme f(abc) =la page s'arrête sur ce signe d'égalité.

Lemme 3. Soit G schéma simple et propre sur S = \mathrm{Spec}(A) ~~loc. noeth.~~, A artinien local, ~~anneau~~ G muni d'une section e. ~~Soit S_0 = \mathrm{Spec}(A/\mathfrak{J}),~~ ~~soit~~ ~~idéal tel que \mathfrak{J}^2 = 0~~ S_0début très surchargé : une première rédaction, biffée, introduisait S_0 = \mathrm{Spec}(A/\mathfrak{J}) avec un idéal \mathfrak{J} de carré nul ; la lecture définitive est incertaine. supposons que G_0 = G \times_S S_0 soit un schéma abélien ayant e_0 comme section unité. ~~Alors il~~ ~~Soit~~ Alors il existe une structure multiplicative unique sur G, induisant celle de G_0 et pour laquelle e soit (sic) donc G est un schéma abélien par cette structure, de section unité e.

L'obstruction à construire une supposons S ~~noeth.~~ affinelecture incertaine de cette ligne.. L'obstruction à un prolongement de la multiplication G_0 \times G_0 \xrightarrow{\ \pi_0\ } G_0 est dans H^1\bigl(G_0 \times G_0,\ \pi_0^{*}(\underline{\mathcal{V}}_{G_0/S_0}) \otimes \ill{}\bigr) = ~~par Künneth~~ H^1(G_0 \times G_0, \underline{O}_{G_0 \times G_0}) \otimes_{k} (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}) . il écrit d'abord \otimes_{K_0}, corrigé en \otimes_k ; « \mathfrak{m} » est une lecture probable de la dernière lettre. Künneth s'applique, il suffit de montrer que la restriction de l'obstruction à e \times G_0 et G_0 \times e est nulle. Or c'est vrai, car on peut relever, à H^1(G_0, \underline{O}_{G_0}) \otimes_k (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}), les obstructions à prolonger g \mapsto g\,g et g \mapsto g\,e, qui sont les identités, donc se prolongent. Pour l'unicité, dans H^0(G_0 \times G_0, \underline{O}_{G_0 \times G_0}) \otimes_k (\mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}).

Lemme 2 note de la marge gauche, en face du dernier alinéa. Plus généralement, si X \to G, l'obstruction à prolonger est dans H^1(X_0, \underline{O}_{X_0}) \otimes \mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}, et l'indétermination dans H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) \otimes_k \mathcal{V} \otimes_k \mathfrak{m}les deux dernières lignes, au bas de la page, sont très serrées..

du lemme 2 Cor. Si dans H^0(X_0, \underline{O}_{X_0}) = k, cette indétermination ne dépend que de k : elle est donnée par l'image par les sections de X dans les la section unique e_0 ~~[ par , ]~~. D'où une caractérisation de l'unicité fixe l'extension, la section e.

De plus, de G par e\,g et g\,e, elle est aussi fixée par e, ~~les~~ donc e est donc d'après ce qui précède : e\,g = g, \qquad g\,e = g ; donc e est section unité bilatère. Par le même raisonnement, on voit que g\,g' = g'\,g et (g\,g')\,g'' = g\,(g'\,g''), car on a deux morphismes G \times G \rightrightarrows G (resp. G \times G \times G \rightrightarrows G) qui coïncident sur le , et transforment e \times e (resp. e \times e \times e) en e.

Cor. 1 du lemme 3. Possibilité ( et unicité) de l'extension d'une structure abélienne donnée sur G_0, et la section unité [il suffit d'exiger e \times e \to e], lorsqu'on se donne une section.

Cor. 2. Dans le cas où on se place sur un anneau local complet.la page s'arrête ici ; cette dernière phrase est lue avec beaucoup d'incertitude.

Cor. 3. Soit un schéma abélien sur un S loc. noeth., il y a une seule structure multiplicative possible admettant la section e comme section unité bilatère.

[S'obtient aussi par d'autres voies ]

À partir de l'unicité, on prouve l'existence quand on est sur un anneau local noeth., G simple et propre sur S, à section unique, G_0 schéma abélien sur k : on utilise par le théorème par de descente. Enfin, on doit encore prouver de l'énoncé quand S est loc. noeth. connexe. Cela est conséquence du fait que l'ensemble des pts où la fibre est abélienne (qui est déjà ouvert) est aussi fermé. On se ramène au cas où S = \mathrm{Spec}(V), V anneau de valuation discrète. Alors c'est connu. [Lemme de décalage] D'où

Théorème. Soit S loc. noeth. connexe, G simple et propre sur S avec ~~section~~ section unique. Si une fibre est abélienne, il y a sur G une structure mult. unique d.g. ~~e \times e~~ admettant e comme unité, et elle est abélienne.

L'argument s'arrête en bas de la p. 40 sur l'énoncé du théorème ; la suite, s'il y en a une, est au-delà de ce lot.