Cote n° 56, pages 21–38

Cote n° 56 · batch 2 · pages 21–38 · Transcription · Lefschetz-Hodge - Vanishing cycles : notes manuscrites (s.d.), tiré à part (1962)
Datation de l’inventaire : 1962
Édition de démonstration

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Cohomologie des quadriques (suite)

suite de la page 19 (lot 1), qui s'arrête sur le cas « 1) \(n\) pair » ; titre de l'édition

2) \(n\) impair \(\geqslant 1\), la suite exacte […] […] […] : \[0 \to H^{n}(U^{n}) \to H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^{n}) \to 0\] i.e. \(H^{n-1}(Q^{n-1})\) est une extension de \(H^{n+1}(Q^{n})\) par […]les exposants de cette ligne sont écrits vite ; « \(H^{n-1}(Q^{n-1})\) » et « \(H^{n+1}(Q^n)\) » sont lus d'après la suite exacte qui précède

a) Cohomologie de \(Q^n\) nulle en dim impaire.

b) \(H^i(U^n)\) nul si \(i \neq 0, n\), isomorphe à \(A\) (resp. \(A \otimes \nu_n\)) si \(i = 0\) (resp. \(i = n\))« \(i = 0\) (resp. \(i = n\)) » est entouré et relié par un trait au « si » de la ligne

b') Énoncé dual

c) \(H^i(Q^{n+1}) \to H^i(Q^n)\) est \[\left| \begin{array}{l} \text{bijectif si}\ \struck{\ill{}}\ i \geqslant 2,\ i \neq n \\ \text{injectif pour tt}\ i \end{array} \right\}\ (n\ \text{pair}) \qquad \left| \begin{array}{l} \text{bijectif si}\ i \geqslant 2,\ i \neq n+1 \\ \text{surjectif pour tt}\ i \geqslant 1 \end{array} \right\}\ (n\ \text{impair})\] l'exposant du premier \(Q\) est surchargé, et un « \((A)\) » biffé le suit ; « \(n+1\) » est une lecture douteuse. Dans la première accolade, le « \(i \geqslant 2\) » est écrit par-dessus « \(2 \leqslant\) » et un mot biffé

c') Énoncé dual : \(H^i(Q^n) \to H^i(Q^{n+1})\) est \[\left| \begin{array}{l} \text{bijectif si}\ i \leqslant 2n-2,\ i \neq n \\ \text{injectif pour tt}\ i \end{array} \right\}\ n\ \text{pair} \qquad \left| \begin{array}{l} \text{bijectif si}\ i \leqslant 2n-2,\ i \neq n-1 \\ \text{injectif pour tt}\ i \leqslant 2n-\ldots \end{array} \right\}\ n\ \text{impair}\] en regard, à droite, un mot entouré, […], relié à la seconde accolade, et au-dessous « […] […] » souligné ; sous la seconde ligne, « […] […] […] » en interligne. L'exposant du second \(Q\) est lu \(n+1\), douteux

d) \(H^{2i}(Q^n)\) est de rang de rang \(1\) […] […] pour \(n\) pair et […] \(i = n\), où il est de rang \(2\).

e) […] Si \(n\) pair, […]

\(X_1 \subset X' = Y[t_1, \ldots, t_n]\), les deux s'envoyant sur \(Y\) au crayon, tête-bêche au pied de la page, d'un trait plus fin ; rien ne le relie à ce qui précède

feuillet de tapuscrit du même exposé que les pages impaires du lot 1, paginé « 23 » : fin de la preuve que \(G/Z\) n'a pas de sous-groupe de type multiplicatif autre que le groupe unité (\(H \cap G/Z_0 = 0\), donc \(H \to G/G_0\) injectif, \(H\) radiciel et de rang majoré par celui de \(G/G_0\), d'où un plus grand sous-groupe de type multiplicatif \(Z\)) ; par Exp VI et Exp VII, une extension commutative de deux groupes de type multiplicatif est de type multiplicatif, d'où \(Z'/Z = 0\) ; par le « principe de l'extension finie », il en est de même de \((G/Z)_K = G_K/Z_K\) ; puis le début de la preuve que \(Z\) est un centre réductif : tout \(u : H \to G_S\), \(H\) de type multiplicatif et de type fini sur \(S\), se factorise par \(Z_S\), par réduction au cas d'un corps (Exp IX 5.2 et 6.8)

Sa main : les flèches et le « \(\cap\) » ajoutés à l'encre ; « Cela […] [implique] que la famille des sous-groupes de type multiplicatifs de \(G\) admet un plus grand élément », le mot étant écrit à l'encre sur un mot tapé.

\(\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1 \simeq Q^2 \subset Q^1 \simeq \mathbf{P}^1\) \(\dfrac{n-1}{2} + 1 = \dfrac{n+1}{2}\)sic pour l'inclusion : c'est \(Q^1\) qui est une section de \(Q^2\)

\(\cdot \to H^0(Q^1) \to H^2(\) la ligne s'arrête là

\[n = 2\nu \qquad H^2(Q^n) \;\text{---}\; H^{2\nu-2}(Q^n)\]

\[\xi^0 \;-\; \xi^{\nu-1} \quad \xi^{\nu} \quad \xi^{\nu+1} \ \cdots \ \xi^{2\nu}\] sous \(\xi^{\nu}\), un « \(\ell\) » isolé ; au-dessus de \(\xi^{\nu+1}\), un « \([\xi\) » inachevé ; au-dessous, une ligne « \(\xi_2^1 \cdots \xi^{\nu}\ \xi\) » biffée

\[Q^n \quad \left\{ \begin{array}{l} \xi^i \in H^{2i}(Q^n, \mu(i)) \qquad \struck{0 \leqslant i \leqslant 2n} \\ \struck{\lambda_{2\nu} \in H^{2\nu}(Q^{2\nu})}\ \ \lambda_{2\nu} \in H^{2\nu}(Q^{2\nu}) \end{array} \right.\]

\(Q \cdot \xi_i\) isolé, à gauche

\[Q^{n-1} \subset Q^n \qquad \xi_i \longleftarrow \xi_i \qquad \xi_i \rightsquigarrow \xi_{i+2} \qquad \begin{pmatrix} 1, & 1 \\ 1, & -1 \end{pmatrix}\]

\[\begin{array}{ccccc} Q^0 \subset & Q^1 \subset & Q^2 \subset & Q^3 \subset & Q^4 \\[4pt] (\lambda_0, \xi^0) & \xi^0 & \xi^0 & \xi^0 & \xi^0 \\ & \tfrac12 \xi & (\lambda_1, \xi) & \xi & \xi \\ & & \tfrac12 \xi^2 & \tfrac12 \xi^2 & (\lambda_2, \xi^2) \\ & & & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 \\ & & & & \tfrac12 \xi^4 \end{array}\] la colonne de \(Q^0\) porte « \(\lambda_0^{+}\,\xi^0_{+}\) », les indices douteux

\(Q^{\ldots}\) : \(\xi \ldots\)

\[\boxed{ \begin{array}{ll} Q^{n = 2\nu} : & \xi^0, \ldots, \xi^{\nu-1}, [\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}], \tfrac12 \xi^{\nu+1}, \ldots, \tfrac12 \xi^{2\nu} \\[4pt] Q^{n = 2\nu+1} : & \xi^0, \ldots, \xi^{\nu}, \tfrac12 \xi^{\nu+1}, \ldots, \tfrac12 \xi^{2\nu+1} \end{array}} \qquad \lambda_{\nu}\]

[…] […] \(2\) dans \(H^{2\nu}(Q^{2\nu})\), […] […] \(\tfrac12(\xi^{\nu} + \lambda_{\nu}) = \varphi_{\nu}\) […] base \((\xi^{\nu}, \varphi_{\nu})\)écrit en biais au-dessus du cadre, relié par un trait à \([\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}]\)

feuillet de tapuscrit, paginé « 11 » : le Lemme 1.14 (si \(T\) est un tore maximal de \(G\) et \(R\) un sous-tore qui commute à \(T\), alors \(R \subset T\)), démontré par le sous-groupe image \(T'\) de \(R \times_S T \to G\), qui est un tore contenant \(T\), donc égal à \(T\) ; d'où 1.13 ; le Corollaire 1.15 (\(G\) commutatif, lisse et affine : un unique tore maximal, qui contient tout sous-tore) ; le Corollaire 1.16 (\(G\) lisse et affine à fibres géométriques connexes et nilpotentes : un unique tore maximal, central, le plus grand sous-tore) et le début de sa preuve, par 1.7 b), 1.13 et Exp IX 5.6 b), réduite au cas d'un corps algébriquement clos

Sa main :

les deux premières lignes, tapées et biffées d'un trait ondulé (« En vertu de 10.5.3. c'est un sous-groupe fermé de G lisse … ») ; « Ceci résulte du résultat suivant : » ;
la renumérotation à l'encre en 1.4, 1.7, 1.8, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16 ;
« Lemme 1.14. Soient \(G\) affine [un \(S\)-préschéma en groupes,] de présentation finie sur \(S\) » ;
« En particulier[, utilisant 6.7. b) :] » ;
Corollaire 1.15 : « commutatif, lisse et affine sur \(S\)[, de rang réductif localement constant.] Alors » ;
Corollaire 1.16 : « clôture algébrique [\(k\)] de \(k(s)\) » ; la phrase « Supposons de plus le rang réductif de \(G\) loc. constant. » insérée avant « Alors \(G\) admet » ; « [de plus] \(T\) est central » ;
« En vertu de Exp [IX], 5.6. b) », le numéro de l'exposé écrit à l'encre sur un autre.

\[Q^i \subset Q^j \qquad\qquad \xi\]

\[\struck{\mathbf{Z}[T][T'] / T^{2\nu+2},\ 2T' - T^{\nu+1}}\]

\[\left\{ \begin{array}{l} \xi^0, \ldots, \xi^{\nu-1}, [\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}], \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \\ \xi^0, \ldots, \xi^{\nu}, \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu+1} \end{array} \right. \qquad \left[ \begin{array}{l} 2\xi_i = \xi^i \\ \xi^i \xi_j = \xi_{i+j} \\ \xi_i \xi_j = 0 \ \text{pr raisons de degré} \\ \lambda_{\nu}^2 = 2\xi_{2\nu} = \xi^{2\nu} \\ \lambda_{\nu} \xi = 0 \\ \lambda_{\nu} \xi_{\alpha} = 0 \quad \alpha \geqslant \nu+1 \ \text{raisons de degré} \end{array} \right.\] colonne encadrée à droite de la page. « \(\lambda_\nu \xi = 0\) » est lu tel quel

\[Q^i \subset Q^j \quad (i \leqslant j)\] \[\left. \begin{array}{l} \xi^{\alpha} \longleftarrow \xi^{\alpha} \\ \xi_{\alpha} \longleftarrow \xi_{\alpha} \\ 0 \longleftarrow \lambda_{\nu} \\ \xi_{\nu} \longleftarrow \varphi_{\nu} \end{array} \right\}\ \text{si}\ i < j = 2\nu\] : \(\lambda_{\nu}\) […] une classe effectivele premier « \(\longleftarrow\) » est écrit sur une flèche biffée ; l'indice de \(\xi_\nu\) dans la dernière ligne est empâté

\[\left. \begin{array}{l} \xi^{\alpha} \rightsquigarrow \xi^{\alpha + (j-i)} \\ \xi_{\alpha} \rightsquigarrow \xi_{\alpha + (j-i)} \\ \lambda_{\nu} \rightsquigarrow 0 \\ \varphi_{\nu} \rightsquigarrow \xi_{\nu + (j-i)} \end{array} \right\}\ \text{si}\ i = 2\nu < j\] : \(\lambda_{\nu}\) […] une classe « évanescente ».

feuillet de tapuscrit, paginé « 21 », dans le paragraphe 4 : fin du critère 4.3 (pour que \(Z\) soit un centre réductif de \(G\), il faut et il suffit qu'il soit de type multiplicatif et que chaque \(Z_s\) soit un centre réductif de \(G_s\)), démontré par Exp IX 5.6 b), 6.8 et 5.1 bis ; la remarque que cette hypothèse fibre par fibre est purement géométrique ; le Théorème 4.4 (un groupe algébrique affine sur un corps admet un centre réductif) et le début de sa preuve, par réduction au cas commutatif (Exp VIII 6.7) et algébriquement clos, où \(G = Z \times U\) avec \(Z\) de type multiplicatif et \(U\) « unipotent »

Sa main :

« de présentation finie[, et à fibres affines,] \(Z\) un sous-préschéma en groupes » ;
la renumérotation à l'encre en 4.2, 4.3, 4.4 ; « Exp IX 5.1. bis » ;
« Nous verrons […] [dans Exp XIII] que dans ce cas \(G\) s'écrit comme un produit \(Z \times U\) » ;
quelques lettres repassées (« En », « de ») et le « \(\in\) » ajouté.

page écrite en travers de la feuille

\[\begin{bmatrix} 1, & 1 \\ 1, & -1 \end{bmatrix}\]

\[\begin{array}{ccccccc} Q^0 & Q^1 & Q^2 & Q^3 & Q^4 & Q^5 & Q^6 \\[4pt] [\lambda_0, \xi^0] & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 \\ & \tfrac12 \xi & [\lambda_1, \xi] & \xi & \xi & \xi & \xi \\ & & \tfrac12 \xi^2 & \tfrac12 \xi^2 & [\lambda_2, \xi^2] & \xi^2 & \xi^2 \\ & & & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 & [\lambda_3, \xi^3] \\ & & & & \tfrac12 \xi^4 & \tfrac12 \xi^4 & \tfrac12 \xi^4 \\ & & & & & \tfrac12 \xi^5 & \tfrac12 \xi^5 \\ & & & & & & \tfrac12 \xi^6 \end{array}\] colonnes réunies ici en un tableau ; sur la page chaque quadrique a sa colonne. Dans celle de \(Q^1\), le \(\xi\) porte une marque empâtée en exposant

a) Cohomologie de \(Q^n\) nulle en dim impaireau pied de la page, tête-bêche et biffé : c'est le a) de la page 21

feuillet de tapuscrit, paginé « 12 » : fin de la preuve de 1.16 (\(T(k)\) est dans le centre de \(G(k)\) par BIBLE 6 th. 2, donc \(T\) est dans le centre de \(G\)) ; la Proposition 1.17, « triviale », sur \(G \supset H \supset T\) ; puis le début du paragraphe 2, « Le groupe de Weyl » : sur un corps algébriquement clos, \(C\) et \(N\) centralisateur et normalisateur d'un tore maximal \(T\) sont des sous-groupes fermés lisses, \(C\) ouvert dans \(N\), \(W = N/C\) est un groupe fini étale, le « groupe de Weyl géométrique » de \(G\) relativement à \(T\) ; par le théorème de conjugaison de Borel il ne dépend pas du tore maximal, et sa formation commute à l'extension de la base

Sa main :

« ce qui implique que \(T\) est dans le centre de \(G\), en vertu de Exp VI [car \(\mathrm{Centr}_G(T)\) est un sous-schéma fermé de \(G\) (Exp VIII 6.6.), qui contient les points de \(G(k)\), donc est identique à \(G\) par le Nullstellensatz, (\(G\) étant réduit).] » Nullstellensatzentouré, dans la marge gauche ;
la renumérotation en 1.17 et 2. ;
Proposition 1.17 : « Soient \(G \supset H \supset T\) des préschémas en groupes de type fini sur \(S\). Alors [Conditions équivalentes :] (i) \(T\) est un tore maximal de \(G\), c'est un tore maximal de \(H\), et pour tout \(s \in S\), \(G_s\) et \(H_s\) ont même rang réductif (ii) \(T\) est un tore maximal de \(H\), et pour tout \(s \in S\), on a égalité des rangs réductifs \(\rho_r(G_s) = \rho_r(H_s)\), alors \(T\) est un tore maximal de \(G\). », les « (i) », « (ii) » et les \(\rho_r\) étant de sa main ;
« soit \(G\) un groupe algébrique sur \(k\)[, lisse et affine sur \(k\).] Si \(T\) est un tore maximal » ; « en vertu de [Exp XI] 5.9. » ; « [\(W =\)] \(N/C\) » ; deux passages tapés biffés sur la définition du groupe de Weyl ; « (ou simplement groupe de Weyl si une confusion n'est pas à craindre), de \(G\) relativement à \(T\) » repris entre parenthèses et soulignés ; « du théorème de [conjugaison de] Borel ».

les deux lignes qui suivent sont au crayon

\(\boxed{F \otimes G}\)

\[L_{\cdot}(F_{\cdot}) \otimes L_{\cdot}(G_{\cdot}) = F \mathbin{\underline{\otimes}} G\] le second \(\otimes\) est souligné deux fois

\[n = 2\nu\]

\[H^{n-1}(U^{n-1})(1) \xrightarrow[\partial]{\text{ins}} H^n(Q^n) \xrightarrow{\text{res}} H^n(U^n)\] l'étiquette « ins » de la première flèche est une lecture douteuse. Une flèche courbe va du premier terme au troisième, marquée « […] bij » et d'une fraction « \(\mathrm{exc}^2 / \ell^{(2\nu+1)} \rightsquigarrow 2\ell^{(2\nu)}\) », lecture douteuse

\[\begin{array}{lll} \ell^{2\nu+1} & & \\ \ell^{2\nu+1} \rightsquigarrow \lambda_{\nu} & [\lambda_{\nu}, \xi^{\nu}] \rightsquigarrow [2\ell^{2\nu}, 0] & \\ & \varphi_{\nu} = \tfrac12 (\lambda_{\nu} + \xi^{\nu}) \rightsquigarrow \ell^{2\nu} & \end{array}\] le premier « \(\ell^{2\nu+1}\) » est écrit sur un autre exposant

\(H^0(Q^0) \to H^0(U^0)\)

\[\lambda_{\nu} \longleftarrow \ell_{2\nu}\]

\[H^{n+1}_c(U^{n+1})(+1) \xleftarrow[\partial]{} H^n(Q^n) \xleftarrow{i_{\partial}} H^n_c(U^n)\]

au-dessus de la première flèche, une étiquette illisible

\[\begin{array}{ll} [2\ell_{2\nu+1}, 0] \longleftarrow [\lambda_{\nu}, \xi^{\nu}] & \\ \ell_{2\nu+1} \longleftarrow \varphi_{\nu} & \\ 2\ell_{2\nu+1} \longleftarrow \ell_{2\nu} & \end{array}\] la dernière ligne est portée sur une flèche courbe du dernier terme de la suite au premier ; une flèche verticale, à droite, relie la suite du haut à celle du bas

\[Q^{n+1} - Q^{n} = U^{n+1}\]

N.B. On définit \(\varphi_{\nu}\) directement par un […] isotrope maximal — les deux familles de tels […] […] des classes \(\alpha_{\nu}\), \(\beta_{\nu}\). […] composantes : on a \[\alpha_{\nu} + \beta_{\nu} = \xi^{\nu}, \qquad \alpha_{\nu} - \beta_{\nu} = \lambda_{\nu}, \qquad \varphi_{\nu} = \alpha_{\nu} \ \ldots\]

feuillet de tapuscrit, paginé « 26 » : démonstration de a) et b) d'un énoncé sur le centre réductif — pour a) et la première assertion de b), renvoi à 1.7 et à Exp IX 5.6 ; puis la seconde assertion de b), que \(G' = G/Z\) a pour centre réductif le sous-groupe unité : \(G/Z\) est représentable, affine, de présentation finie et lisse sur \(S\) (Exp VIII 5.1, 5.8, Exp VI), à fibres connexes ; on se ramène au cas d'un corps (4.3) et on fait opérer l'image inverse \(Z_1\) d'un sous-groupe central \(Z'\) de type multiplicatif de \(G'\) par automorphismes intérieurs. De sa main, seulement un crochet devant « sont également triviales »

\[Q^{2\nu} : \qquad \xi : H^{2i}(Q^{2\nu}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu})(1) \qquad \struck{\ill{}}\ (0 \leqslant i \leqslant 2\nu - 1)\] devant chacun des deux \(Q^{2\nu}\), un signe biffé ; la borne de droite est surchargée

injectif si \(i < 2\nu\) i.e. \(i \leqslant \nu - 1\)

bijectif si \(i \neq \nu - 1, \nu\)

\(i = \nu - 1\) : injectif si \(i = \nu - 1\), conoyau libre de base \(\varphi_{\nu}\)

\(i = \nu\) : noyau surjectif, noyau libre de base \(\lambda_{\nu}\)

\[Q^{2\nu+1} \qquad \xi : H^{2i}(Q^{2\nu+1}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu+1})(1) \qquad (0 \leqslant i \leqslant 2\nu)\] le « \(+1\) » du dernier exposant est entouré, ajouté au-dessus

bijectif si \(i \neq \nu\)

injectif de conoyau \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) si \(i = \nu\)

feuillet de tapuscrit, paginé « 31 » : suite de la démonstration d'un énoncé sur le rang réductif \(\rho_r\) — fin de a) (\(\dim C' \leqslant \dim C\)) ; b) si \(\rho_r\) est localement constant, un tore maximal dans une fibre l'est au voisinage ; les équivalences (i) \(\Leftrightarrow\) (ii bis) et la réciproque (i) \(\Rightarrow\) (ii) par le foncteur \(\mathcal{T}\) des tores maximaux, sous-foncteur du foncteur \(F\) de Exp XI 4.1, représentable par un sous-préschéma ouvert de \(F\), donc lisse, et admettant une section localement pour la topologie étale (Exp XI 1.10) ; c) conséquence de Exp XI 5.4 bis et du théorème de conjugaison de Borel ; début de d)

Sa main :

« donc \(\dim C' \leqslant \dim C\) », le signe à l'encre ; une ligne tapée biffée au début de b) ;
« si \(T_s\) est [tore] maximal dans \(G_s\) » ; les \(\rho_r\) et les flèches \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\) à l'encre ;
« reste à prouver l'implication inverse [(i) \(\Rightarrow\) (ii)] » ;
« le foncteur \(F\) de [Exp XI] 4.1., qui est donc un préschéma […] lisse [et séparé] sur \(S\) » ;
le sous-foncteur noté \(\mathcal{T}\) à l'encre, et \(\mathcal{T}\)dans la marge gauche ; « pour un \(S'\) sur \(S\) », « \(G_{S'}\) », « point \(s \in S'\) » corrigés à l'encre ; « Utilisant la remarque[, moyennant (i),] que » ;
« et par suite est lisse [et séparé] sur \(S\) » ; « une section localement localement au sens de la topologie étale en vertu de [Exp XI] 1.10. » ; « c) C'est une conséquence immédiate de [Exp XI] 5.4. bis ».

Quadriques Une base pour l'équivalence linéaire dans \(Q^{2n}\) est formée de \[1, H, H^2, \ldots, H^{n-1}, \underbrace{S', S''}, HS' = HS'', \ldots, H^n S' = H^n S''\] sous l'accolade, un mot illisible

On a \(H^n = S' + S''\)

[\(H\) est une section hyperplane dans l'immersion projective évidente, \(S'\) et \(S''\) sont définis par des sous-espaces linéaires de dimension de dim. […] \(Q^{2n}\), appartenant aux deux familles algébriques distinctes de tels sous-espaces]

Une base de \(Q^{2n+1}\) est formée de \[1, H, \ldots, H^n, \frac{H^{n+1}}{2}, \ldots, \frac{H^{2n+1}}{2}\] [où \(H\) est une section hyperplane, et où les formes \(\frac{H^{n+1}}{2} \ldots \frac{H^{2n+1}}{2}\) correspondent aux sous-variétés linéaires contenues dans \(Q^{2n+1}\)]

feuillet de papier bistre, d'une écriture plus posée que celle des pages qui précèdent ; les mots courts restent réduits à des traits et sont lus d'après le sens

Le tiré à part

première page d'un tiré à part imprimé : Antoine Delzant, « Définition des classes de Stiefel-Whitney d'un module quadratique sur un corps de caractéristique différente de 2 », Note transmise par M. Jean Leray, extraite des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. 255, p. 1366-1368, séance du 10 septembre 1962 (d'après la page 38, qui ne porte que cette mention). Pour \(A\) de caractéristique \(\neq 2\), l'anneau \(Q(A)\) des classes de formes quadratiques, engendré par le monoïde des classes de modules quadratiques non dégénérés, et son augmentation (le rang) ; \(D(A) = A^*/2A^*\) identifié à \(H^1(A, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) ; l'homomorphisme \(\varphi : \mathbf{Z}(D) \to Q(A)\) ; la Proposition : \(\varphi\) est surjectif, compatible aux augmentations, de noyau engendré par les \(e_a + e_b - e_{a'} - e_{b'}\) tels que \(\varphi_a + \varphi_b = \varphi_{a'} + \varphi_{b'}\) ; le cup-produit \(D(A) \times D(A) \to H^2(A, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\), \((e_a, e_b) \mapsto a.b\), vu dans le groupe de Brauer. Rien de sa main

page 2 du tiré à part : \(a.b\) est la classe de l'algèbre de quaternions \((a, b)\) ; par un théorème de Witt, le noyau de \(\varphi\) est engendré par les \(e_a + e_b - e_{a'} - e_{b'}\) avec \(e_{a+b} = e_{a'+b'}\) et \(a.b = a'.b'\) ; pour \(H\) un anneau gradué et \(\widetilde{H} = \mathbf{Z} \times (1 + \hat H^+)\) « l'anneau filtré déduit de \(H\) par le procédé exposé par Grothendieck » (Bull. Soc. math. France 86, 1958), un homomorphisme \(w^1 : D(A) \to H^1\) vérifiant la condition du corollaire définit \(Q(A) \to \widetilde{H}\) ; avec \(H = H(A)\) la cohomologie galoisienne à coefficients \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), on obtient \(w : Q(A) \to \widetilde{H(A)}\) et les classes de Stiefel-Whitney \(w^i(q) \in H^i(A, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\), avec \(w^n(q + q') = \sum_{i+j=n} w^i(q) w^j(q')\) ; pour \(q = \sum a_j x_j^2\), \(w^1(q) = \sum a_j\) (le discriminant) et \(w^2(q) = \sum_{i<j} a_i . a_j\), interprété par les algèbres de Clifford (Springer) ; \(w\) est un homomorphisme de foncteurs. Rien de sa main

page 3 du tiré à part : sur un corps de nombres, l'application \(Q(A) \to \prod_v Q(A_v)\) est injective (Hasse) ; sur un complété discret une forme est déterminée par \(\varepsilon\), \(w^1\), \(w^2\) ; sur \(\mathbf{R}\), \(H(\mathbf{R}) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}[t]\) et \(w^j(q) = \binom{n}{j} \bmod 2\), \(n\) le nombre de carrés négatifs ; d'où, par un diagramme commutatif, que sur un corps de nombres une forme quadratique est déterminée par son rang et ses classes de Stiefel-Whitney. Remarque : on ne sait pas si \(\mathrm{grad}^2(Q(A)) \to H^2(A, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\) est toujours injective, ni si tout élément d'ordre 2 du groupe de Brauer est somme d'éléments \(a.b\). Références : Bourbaki, Algèbre IX ; Grothendieck, Bull. SMF 86 ; Springer, Proc. Akad. Amst. 62 A ; Witt, Crelle 176. Rien de sa main