Cohomologie des quadriques (suite)
suite de la page 19 (lot 1), qui s'arrête sur le cas « 1) n pair » ;
titre de l'édition
2) n impair \geqslant 1, la suite exacte
:
0 \to H^{n}(U^{n}) \to H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^{n}) \to 0
i.e. H^{n-1}(Q^{n-1}) est une extension de H^{n+1}(Q^{n}) par
les exposants de cette ligne sont écrits vite ; « H^{n-1}(Q^{n-1}) »
et « H^{n+1}(Q^n) » sont lus d'après la suite exacte qui précède
a) Cohomologie de Q^n nulle en dim impaire.
b) H^i(U^n) nul si i \neq 0, n, isomorphe à A (resp. A \otimes \nu_n) si
i = 0 (resp. i = n)« i = 0 (resp. i = n) » est entouré et relié
par un trait au « si » de la ligne
b') Énoncé dual
c) H^i(Q^{n+1}) \to H^i(Q^n) est
\left|
\begin{array}{l}
\text{bijectif si}\ \struck{\ill{}}\ i \geqslant 2,\ i \neq n \\
\text{injectif pour tt}\ i
\end{array}
\right\}\ (n\ \text{pair})
\qquad
\left|
\begin{array}{l}
\text{bijectif si}\ i \geqslant 2,\ i \neq n+1 \\
\text{surjectif pour tt}\ i \geqslant 1
\end{array}
\right\}\ (n\ \text{impair})
l'exposant du premier Q est surchargé, et un « (A) » biffé le suit ;
« n+1 » est une lecture douteuse. Dans la première accolade, le « i \geqslant 2 »
est écrit par-dessus « 2 \leqslant » et un mot biffé
c') Énoncé dual : H^i(Q^n) \to H^i(Q^{n+1}) est
\left|
\begin{array}{l}
\text{bijectif si}\ i \leqslant 2n-2,\ i \neq n \\
\text{injectif pour tt}\ i
\end{array}
\right\}\ n\ \text{pair}
\qquad
\left|
\begin{array}{l}
\text{bijectif si}\ i \leqslant 2n-2,\ i \neq n-1 \\
\text{injectif pour tt}\ i \leqslant 2n-\ldots
\end{array}
\right\}\ n\ \text{impair}
en regard, à droite, un mot entouré, , relié à la seconde
accolade, et au-dessous « » souligné ; sous la seconde ligne,
«
d) H^{2i}(Q^n) est de rang de rang 1 pour n pair et
e) Si n pair,
X_1 \subset X' = Y[t_1, \ldots, t_n], les deux s'envoyant sur Y
au crayon, tête-bêche au pied de la page, d'un trait plus fin ; rien ne
le relie à ce qui précède
feuillet de tapuscrit du même exposé que les pages impaires du lot 1,
paginé « 23 » : fin de la preuve que G/Z n'a pas de sous-groupe de type
multiplicatif autre que le groupe unité (H \cap G/Z_0 = 0, donc
H \to G/G_0 injectif, H radiciel et de rang majoré par celui de G/G_0,
d'où un plus grand sous-groupe de type multiplicatif Z) ; par Exp VI et
Exp VII, une extension commutative de deux groupes de type multiplicatif est de
type multiplicatif, d'où Z'/Z = 0 ; par le « principe de l'extension finie »,
il en est de même de (G/Z)_K = G_K/Z_K ; puis le début de la preuve que Z est
un centre réductif : tout u : H \to G_S, H de type multiplicatif et de type
fini sur S, se factorise par Z_S, par réduction au cas d'un corps
(Exp IX 5.2 et 6.8)
Sa main : les flèches et le « \cap » ajoutés à l'encre ; « Cela
\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1 \simeq Q^2 \subset Q^1 \simeq \mathbf{P}^1
\dfrac{n-1}{2} + 1 = \dfrac{n+1}{2}sic pour l'inclusion : c'est
Q^1 qui est une section de Q^2
\cdot \to H^0(Q^1) \to H^2( la ligne s'arrête là
n = 2\nu \qquad H^2(Q^n) \;\text{---}\; H^{2\nu-2}(Q^n)
\xi^0 \;-\; \xi^{\nu-1} \quad \xi^{\nu} \quad \xi^{\nu+1} \ \cdots \ \xi^{2\nu}
sous \xi^{\nu}, un « \ell » isolé ; au-dessus de \xi^{\nu+1}, un
« [\xi » inachevé ; au-dessous, une ligne « \xi_2^1 \cdots \xi^{\nu}\ \xi »
biffée
Q^n \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\xi^i \in H^{2i}(Q^n, \mu(i)) \qquad \struck{0 \leqslant i \leqslant 2n} \\
\struck{\lambda_{2\nu} \in H^{2\nu}(Q^{2\nu})}\ \ \lambda_{2\nu} \in H^{2\nu}(Q^{2\nu})
\end{array}
\right.
Q \cdot \xi_i isolé, à gauche
Q^{n-1} \subset Q^n \qquad
\xi_i \longleftarrow \xi_i \qquad
\xi_i \rightsquigarrow \xi_{i+2}
\qquad
\begin{pmatrix} 1, & 1 \\ 1, & -1 \end{pmatrix}
\begin{array}{ccccc}
Q^0 \subset & Q^1 \subset & Q^2 \subset & Q^3 \subset & Q^4 \\[4pt]
(\lambda_0, \xi^0) & \xi^0 & \xi^0 & \xi^0 & \xi^0 \\
& \tfrac12 \xi & (\lambda_1, \xi) & \xi & \xi \\
& & \tfrac12 \xi^2 & \tfrac12 \xi^2 & (\lambda_2, \xi^2) \\
& & & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 \\
& & & & \tfrac12 \xi^4
\end{array}
la colonne de Q^0 porte « \lambda_0^{+}\,\xi^0_{+} », les indices
douteux
Q^{\ldots} : \xi \ldots
\boxed{
\begin{array}{ll}
Q^{n = 2\nu} : & \xi^0, \ldots, \xi^{\nu-1}, [\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}],
\tfrac12 \xi^{\nu+1}, \ldots, \tfrac12 \xi^{2\nu} \\[4pt]
Q^{n = 2\nu+1} : & \xi^0, \ldots, \xi^{\nu}, \tfrac12 \xi^{\nu+1}, \ldots,
\tfrac12 \xi^{2\nu+1}
\end{array}}
\qquad \lambda_{\nu}
2 dans H^{2\nu}(Q^{2\nu}),
\tfrac12(\xi^{\nu} + \lambda_{\nu}) = \varphi_{\nu} base
(\xi^{\nu}, \varphi_{\nu})écrit en biais au-dessus du cadre, relié
par un trait à [\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}]
feuillet de tapuscrit, paginé « 11 » : le Lemme 1.14 (si T est
un tore maximal de G et R un sous-tore qui commute à T, alors
R \subset T), démontré par le sous-groupe image T' de
R \times_S T \to G, qui est un tore contenant T, donc égal à T ; d'où
1.13 ; le Corollaire 1.15 (G commutatif, lisse et affine : un unique tore
maximal, qui contient tout sous-tore) ; le Corollaire 1.16 (G lisse et affine
à fibres géométriques connexes et nilpotentes : un unique tore maximal, central,
le plus grand sous-tore) et le début de sa preuve, par 1.7 b), 1.13 et
Exp IX 5.6 b), réduite au cas d'un corps algébriquement clos
Sa main :
- les deux premières lignes, tapées et biffées d'un trait ondulé
(«
En vertu de 10.5.3. c'est un sous-groupe fermé de G lisse … ») ;
« Ceci résulte du résultat suivant : » ;
- la renumérotation à l'encre en 1.4, 1.7, 1.8, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16 ;
- « Lemme 1.14. Soient G
affine un S-préschéma en
groupes, de présentation finie sur S » ;
- « En particulier, utilisant 6.7. b) : » ;
- Corollaire 1.15 : « commutatif, lisse et affine sur S, de rang
réductif localement constant. Alors » ;
- Corollaire 1.16 : « clôture algébrique k de k(s) » ; la phrase
« Supposons de plus le rang réductif de G loc. constant. » insérée avant
« Alors G admet » ; « de plus T est central » ;
- « En vertu de Exp IX, 5.6. b) », le numéro de l'exposé écrit à
l'encre sur un autre.
Q^i \subset Q^j \qquad\qquad \xi
\struck{\mathbf{Z}[T][T'] / T^{2\nu+2},\ 2T' - T^{\nu+1}}
\left\{
\begin{array}{l}
\xi^0, \ldots, \xi^{\nu-1}, [\xi^{\nu}, \lambda_{\nu}], \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu} \\
\xi^0, \ldots, \xi^{\nu}, \xi_{\nu+1}, \ldots, \xi_{2\nu+1}
\end{array}
\right.
\qquad
\left[
\begin{array}{l}
2\xi_i = \xi^i \\
\xi^i \xi_j = \xi_{i+j} \\
\xi_i \xi_j = 0 \ \text{pr raisons de degré} \\
\lambda_{\nu}^2 = 2\xi_{2\nu} = \xi^{2\nu} \\
\lambda_{\nu} \xi = 0 \\
\lambda_{\nu} \xi_{\alpha} = 0 \quad \alpha \geqslant \nu+1 \ \text{raisons de degré}
\end{array}
\right.
colonne encadrée à droite de la page. « \lambda_\nu \xi = 0 » est lu
tel quel
Q^i \subset Q^j \quad (i \leqslant j)
\left.
\begin{array}{l}
\xi^{\alpha} \longleftarrow \xi^{\alpha} \\
\xi_{\alpha} \longleftarrow \xi_{\alpha} \\
0 \longleftarrow \lambda_{\nu} \\
\xi_{\nu} \longleftarrow \varphi_{\nu}
\end{array}
\right\}\ \text{si}\ i < j = 2\nu
: \lambda_{\nu} une classe effectivele premier
« \longleftarrow » est écrit sur une flèche biffée ; l'indice de
\xi_\nu dans la dernière ligne est empâté
\left.
\begin{array}{l}
\xi^{\alpha} \rightsquigarrow \xi^{\alpha + (j-i)} \\
\xi_{\alpha} \rightsquigarrow \xi_{\alpha + (j-i)} \\
\lambda_{\nu} \rightsquigarrow 0 \\
\varphi_{\nu} \rightsquigarrow \xi_{\nu + (j-i)}
\end{array}
\right\}\ \text{si}\ i = 2\nu < j
: \lambda_{\nu} une classe « évanescente ».
feuillet de tapuscrit, paginé « 21 », dans le paragraphe 4 : fin du
critère 4.3 (pour que Z soit un centre réductif de G, il faut et il suffit
qu'il soit de type multiplicatif et que chaque Z_s soit un centre réductif de
G_s), démontré par Exp IX 5.6 b), 6.8 et 5.1 bis ; la remarque que cette
hypothèse fibre par fibre est purement géométrique ; le Théorème 4.4 (un groupe
algébrique affine sur un corps admet un centre réductif) et le début de
sa preuve, par réduction au cas commutatif (Exp VIII 6.7) et algébriquement
clos, où G = Z \times U avec Z de type multiplicatif et U « unipotent »
Sa main :
- « de présentation finie, et à fibres affines, Z un
sous-préschéma en groupes » ;
- la renumérotation à l'encre en 4.2, 4.3, 4.4 ; « Exp IX 5.1. bis » ;
- « Nous verrons
- quelques lettres repassées (« En », « de ») et le « \in » ajouté.
page écrite en travers de la feuille
\begin{bmatrix} 1, & 1 \\ 1, & -1 \end{bmatrix}
\begin{array}{ccccccc}
Q^0 & Q^1 & Q^2 & Q^3 & Q^4 & Q^5 & Q^6 \\[4pt]
[\lambda_0, \xi^0] & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 & \xi^0 = 1 \\
& \tfrac12 \xi & [\lambda_1, \xi] & \xi & \xi & \xi & \xi \\
& & \tfrac12 \xi^2 & \tfrac12 \xi^2 & [\lambda_2, \xi^2] & \xi^2 & \xi^2 \\
& & & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 & \tfrac12 \xi^3 & [\lambda_3, \xi^3] \\
& & & & \tfrac12 \xi^4 & \tfrac12 \xi^4 & \tfrac12 \xi^4 \\
& & & & & \tfrac12 \xi^5 & \tfrac12 \xi^5 \\
& & & & & & \tfrac12 \xi^6
\end{array}
colonnes réunies ici en un tableau ; sur la page chaque quadrique a sa
colonne. Dans celle de Q^1, le \xi porte une marque empâtée en exposant
a) Cohomologie de Q^n nulle en dim impaireau pied de la page,
tête-bêche et biffé : c'est le a) de la page 21
feuillet de tapuscrit, paginé « 12 » : fin de la preuve de 1.16 (T(k)
est dans le centre de G(k) par BIBLE 6 th. 2, donc T est dans le centre de
G) ; la Proposition 1.17, « triviale », sur G \supset H \supset T ; puis le
début du paragraphe 2, « Le groupe de Weyl » : sur un corps algébriquement
clos, C et N centralisateur et normalisateur d'un tore maximal T sont des
sous-groupes fermés lisses, C ouvert dans N, W = N/C est un groupe fini
étale, le « groupe de Weyl géométrique » de G relativement à T ; par le
théorème de conjugaison de Borel il ne dépend pas du tore maximal, et sa
formation commute à l'extension de la base
Sa main :
- « ce qui implique que T est dans le centre de G,
en vertu de
Exp VI car \mathrm{Centr}_G(T) est un sous-schéma fermé de G
(Exp VIII 6.6.), qui contient les points de G(k), donc est identique à G
par le Nullstellensatz, (G étant réduit). »
Nullstellensatzentouré, dans la marge gauche ;
- la renumérotation en 1.17 et 2. ;
- Proposition 1.17 : « Soient G \supset H \supset T des préschémas en
groupes de type fini sur S.
Alors Conditions équivalentes :
(i) T est un tore maximal de G, c'est un tore maximal de H, et
pour tout s \in S, G_s et H_s ont même rang réductif (ii) T est un
tore maximal de H, et pour tout s \in S, on a égalité des rangs réductifs
\rho_r(G_s) = \rho_r(H_s), alors T est un tore maximal de G. »,
les « (i) », « (ii) » et les \rho_r étant de sa main ;
- « soit G un groupe algébrique sur k, lisse et affine sur
k. Si T est un tore maximal » ; « en vertu de Exp XI 5.9. » ;
« W = N/C » ; deux passages tapés biffés sur la définition du
groupe de Weyl ; « (ou simplement groupe de Weyl si une confusion n'est pas à
craindre), de G relativement à T » repris entre parenthèses et
soulignés ; « du théorème de conjugaison de Borel ».
les deux lignes qui suivent sont au crayon
\boxed{F \otimes G}
L_{\cdot}(F_{\cdot}) \otimes L_{\cdot}(G_{\cdot}) = F \mathbin{\underline{\otimes}} G
le second \otimes est souligné deux fois
n = 2\nu
H^{n-1}(U^{n-1})(1) \xrightarrow[\partial]{\text{ins}} H^n(Q^n)
\xrightarrow{\text{res}} H^n(U^n)
l'étiquette « ins » de la première flèche est une lecture douteuse. Une flèche courbe va du premier terme au troisième, marquée
«
\begin{array}{lll}
\ell^{2\nu+1} & & \\
\ell^{2\nu+1} \rightsquigarrow \lambda_{\nu} &
[\lambda_{\nu}, \xi^{\nu}] \rightsquigarrow [2\ell^{2\nu}, 0] & \\
& \varphi_{\nu} = \tfrac12 (\lambda_{\nu} + \xi^{\nu}) \rightsquigarrow \ell^{2\nu} &
\end{array}
le premier « \ell^{2\nu+1} » est écrit sur un autre exposant
H^0(Q^0) \to H^0(U^0)
\lambda_{\nu} \longleftarrow \ell_{2\nu}
H^{n+1}_c(U^{n+1})(+1) \xleftarrow[\partial]{} H^n(Q^n)
\xleftarrow{i_{\partial}} H^n_c(U^n)
au-dessus de la première flèche, une étiquette illisible
\begin{array}{ll}
[2\ell_{2\nu+1}, 0] \longleftarrow [\lambda_{\nu}, \xi^{\nu}] & \\
\ell_{2\nu+1} \longleftarrow \varphi_{\nu} & \\
2\ell_{2\nu+1} \longleftarrow \ell_{2\nu} &
\end{array}
la dernière ligne est portée sur une flèche courbe du dernier terme de la
suite au premier ; une flèche verticale, à droite, relie la suite du haut à
celle du bas
Q^{n+1} - Q^{n} = U^{n+1}
N.B. On définit \varphi_{\nu}
directement par un isotrope
maximal — les deux familles de tels des
classes \alpha_{\nu}, \beta_{\nu}. composantes : on a
\alpha_{\nu} + \beta_{\nu} = \xi^{\nu}, \qquad
\alpha_{\nu} - \beta_{\nu} = \lambda_{\nu}, \qquad
\varphi_{\nu} = \alpha_{\nu} \ \ldots
feuillet de tapuscrit, paginé « 26 » : démonstration de a) et b) d'un
énoncé sur le centre réductif — pour a) et la première assertion de b), renvoi à
1.7 et à Exp IX 5.6 ; puis la seconde assertion de b), que G' = G/Z a pour
centre réductif le sous-groupe unité : G/Z est représentable, affine, de
présentation finie et lisse sur S (Exp VIII 5.1, 5.8, Exp VI), à fibres
connexes ; on se ramène au cas d'un corps (4.3) et on fait opérer l'image
inverse Z_1 d'un sous-groupe central Z' de type multiplicatif de G' par
automorphismes intérieurs. De sa main, seulement un crochet devant « sont
également triviales »
Q^{2\nu} : \qquad \xi : H^{2i}(Q^{2\nu}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu})(1)
\qquad \struck{\ill{}}\ (0 \leqslant i \leqslant 2\nu - 1)
devant chacun des deux Q^{2\nu}, un signe biffé ; la borne de
droite est surchargée
injectif si i < 2\nu i.e. i \leqslant \nu - 1
bijectif si i \neq \nu - 1, \nu
i = \nu - 1 : injectif si i = \nu - 1, conoyau libre de base
\varphi_{\nu}
i = \nu : noyau surjectif, noyau libre de base
\lambda_{\nu}
Q^{2\nu+1} \qquad \xi : H^{2i}(Q^{2\nu+1}) \to H^{2i+2}(Q^{2\nu+1})(1)
\qquad (0 \leqslant i \leqslant 2\nu)
le « +1 » du dernier exposant est entouré, ajouté au-dessus
bijectif si i \neq \nu
injectif de conoyau \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} si i = \nu
feuillet de tapuscrit, paginé « 31 » : suite de la démonstration d'un
énoncé sur le rang réductif \rho_r — fin de a) (\dim C' \leqslant \dim C) ;
b) si \rho_r est localement constant, un tore maximal dans une fibre l'est au
voisinage ; les équivalences (i) \Leftrightarrow (ii bis) et la réciproque
(i) \Rightarrow (ii) par le foncteur \mathcal{T} des tores maximaux, sous-foncteur
du foncteur F de Exp XI 4.1, représentable par un sous-préschéma ouvert de
F, donc lisse, et admettant une section localement pour la topologie étale
(Exp XI 1.10) ; c) conséquence de Exp XI 5.4 bis et du théorème de conjugaison
de Borel ; début de d)
Sa main :
- « donc \dim C' \leqslant \dim C », le signe à l'encre ; une ligne tapée
biffée au début de b) ;
- « si T_s est tore maximal dans G_s » ; les \rho_r et les
flèches \Rightarrow, \Leftrightarrow à l'encre ;
- « reste à prouver l'implication inverse (i) \Rightarrow (ii) » ;
- « le foncteur F de Exp XI 4.1., qui est donc un préschéma
- le sous-foncteur noté \mathcal{T} à l'encre, et
\mathcal{T}dans la marge gauche ;
« pour un S' sur S », « G_{S'} », « point s \in S' » corrigés à
l'encre ; « Utilisant la remarque, moyennant (i), que » ;
- « et par suite est lisse et séparé sur S » ; « une section
localement localement au sens de la topologie étale en vertu de
Exp XI 1.10. » ; « c) C'est une conséquence immédiate de Exp XI
5.4. bis ».
Quadriques Une base pour l'équivalence linéaire dans Q^{2n} est formée
de
1, H, H^2, \ldots, H^{n-1}, \underbrace{S', S''}, HS' = HS'',
\ldots, H^n S' = H^n S''
sous l'accolade, un mot illisible
On a H^n = S' + S''
[H est une section hyperplane dans l'immersion projective évidente, S' et
S'' sont définis par des sous-espaces linéaires de dimension
de dim. Q^{2n}, appartenant aux deux familles algébriques
distinctes de tels sous-espaces]
Une base de Q^{2n+1} est formée de
1, H, \ldots, H^n, \frac{H^{n+1}}{2}, \ldots, \frac{H^{2n+1}}{2}
[où H est une section hyperplane, et où les formes
\frac{H^{n+1}}{2} \ldots \frac{H^{2n+1}}{2} correspondent aux sous-variétés
linéaires contenues dans Q^{2n+1}]
feuillet de papier bistre, d'une écriture plus posée que celle des pages
qui précèdent ; les mots courts restent réduits à des traits et sont lus
d'après le sens