Cote n° 56 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Lefschetz-Hodge - Vanishing cycles : notes manuscrites (s.d.), tiré à part (1962)
Datation de l’inventaire : 1962
Édition de démonstration

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Situation des « vanishing cycles » : […] Cas des quadriques

titre de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; c'est lui qui nomme la suite, et le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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Vanishing cycles : cas des quadriquesinscrit en biais dans le coin supérieur gauche, séparé du reste de la page par un trait oblique

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"] \\
S
\end{tikzcd}

\(f\) morphisme projectif plat

\(S\) spectre d'un anneau de val. discrète strictement local

\(X_0\) fibre spéciale quadrique à point singulier

\(\overline{X}_1\) fibre générique géométrique, quadrique non singulière

dimension commune des fibres \(n-1\)

[…]

\(X \subset \mathbf{P}^{n}_{S}\) défini par une équation quadratique …

\(H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1)\) ? (Cf. la suite exacte générale \[\cdots \to H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1) \to \Phi^{i+1} \to H^{i+1}(X_0) \to H^{i+1}(\overline{X}_1) \to \cdots\]

On sait par l'[…] […] de \(H^i(X_0)\) etligne portée en interligne au-dessus de la suivante

1°) \(n\) pair, […] \(n\) impair, \(X_0\) et \(\overline{X}_1\) ont […] […] en dim impaire. Donc […] […] \[0 \to \Phi^{2\nu} \to H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1) \to \Phi^{2\nu+1} \to 0\] i.e. les \(\Phi^i\) […] […] […] les noyaux et conoyaux du […] de spécialisation.

N.B. […] […] […] […] \(X\) […] \(X_0\), […] […] […] \(\xi \in H^2(X, \mu(1))\), provenant de la section […] […] […] […] […] […] restriction […] […] fibre […] …les quatre dernières lignes de la page sont d'une écriture très rapide ; seuls \(X\), \(X_0\) et la classe \(\xi\) se lisent sûrement

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feuillet de tapuscrit, repris à la main, de l'exposé « XII Tores maximaux, groupe de Weyl, sous-groupes de Cartan, centre réductif des schémas en groupes lisses et affines » (voir page 7), sans rapport avec les notes manuscrites au verso desquelles il se trouve ; il est gardé parce qu'il porte sa main. Le texte tapé est le sien et publié : on en donne la teneur et ses interventions, sans le recomposer. La page est barrée de trois longs traits de crayon. Elle donne les énoncés a) à d) d'un théorème sur les fonctions \(\rho_r\) (rang réductif), \(\rho_n\) (rang nilpotent) et \(\rho_u = \rho_n - \rho_r\) sur \(S\) : a) \(\rho_r\) est semi-continue inférieurement, \(\rho_n\) et \(\rho_u\) supérieurement ; b) équivalence de (i) \(\rho_r\) localement constante, (ii) existence locale, pour la topologie étale, d'un tore maximal dans \(G\), (ii bis) la même chose pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte ; c) deux tores maximaux sont localement conjugués pour la topologie étale ; d) sous b), \(\rho_n\) (donc \(\rho_u\)) est aussi localement constante ; puis le début de la démonstration de a), par réduction au cas d'un changement de base fidèlement plat quasi-compact (SGA VIII 4.3)

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1°) \(n\) pair \(= 2\nu\), \(n-1\) impair \(n-1 = 2\nu - 1 = 2(\nu-1)+1\)

\[\left. \begin{array}{ll} H^{*}(X_0) : & 1, \xi_0, \ldots, \xi_0^{\nu-1}, [\xi_0^{\nu}, \lambda'_{\nu}], \tfrac{1}{2}\xi_0^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_0^{2\nu-1} \\[4pt] H^{*}(\overline{X}_1) : & 1, \xi_1, \ldots, \xi_1^{\nu-1}, \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_1^{2\nu-1} \end{array} \right] \quad \begin{array}{l} \xi_0 \mapsto \xi_1 \\ \lambda'_{\nu} \mapsto 0 \end{array}\]

Donc \(H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1)\) bijectif excepté si \(i \neq 2\nu = n\)

\(H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1)\) surjectif, noyau engendré par \(\lambda'_{\nu}\)

Donc

2°) \(n\) impair \(= 2\nu+1\), \(n - 1 = 2\nu\)

\[\left. \begin{array}{ll} H^{*}(X_0) : & 1, \xi_0, \ldots, \xi_0^{\nu-1}, \xi_0^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi_0^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_0^{2\nu} \\[4pt] H^{*}(\overline{X}_1) : & 1, \xi_1, \ldots, \xi_1^{\nu-1}, [\xi_1^{\nu}, \lambda_{\nu}], \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_1^{2\nu} \end{array} \right] \quad \xi_0 \mapsto \xi_1\]

Donc \(H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1)\) bijectif si \(i \neq 2\nu = n-1\)

\(H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1)\) injectif, conoyau engendré par \(\lambda_{\nu}\)le dernier symbole est surchargé au point d'être à peine lisible

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feuillet de tapuscrit du même exposé XII, paginé « 1 » : le début du paragraphe 1, « Tores maximaux ». Il rappelle qu'on utilisera désormais le Séminaire Chevalley 56/57 (« BIBLE ») ; définit, pour \(G\) algébrique sur \(k\) algébriquement clos, les tores maximaux et note qu'ils coïncident avec ceux de \(G_{\text{réd}}\) ; cite le théorème de Borel (conjugaison des tores maximaux, BIBLE 6, th. 4 c) et définit le rang réductif de \(G\) ; signale que l'hypothèse « \(G\) affine » est inutile grâce au théorème de Chevalley sur les extensions d'une variété abélienne par un groupe affine ; commence la définition du sous-groupe de Cartan. Le haut de la page est couvert d'une rangée de croix au crayon, et deux longs traits de crayon la barrent de haut en bas

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Calcul affine Nous remplaçons \(X\) par \(U = X - Z\) ([…] […] à l'infini), on a ainsi \[\cdots \to H^i(U_0) \to H^i(\overline{U}_1) \to \Phi^{i+1} \to H^{i+1}(X_0) \to H^{i+1}(\overline{X}_1) \to \cdots\] les deux derniers termes portent bien \(X\), non \(U\)

Or on a maintenant \(\underline{H^i(U_0) = 0}\) \(i \neq 0\),

d'où \[H^i(\overline{U}_1) \simeq \Phi^{i+1}\] d'où directement \[\Phi^i = 0 \ \text{si}\ i \neq n, \qquad \Phi^n = H^{n-1}(\overline{U}_1)\] engendré par le « vanishing cycle » …

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feuillet de tapuscrit paginé « 0 » : la page de titre de l'exposé, « XII Tores maximaux, groupe de Weyl, sous-groupes de Cartan, centre réductif des schémas en groupes lisses et affines. par A. Grothendieck ». Le texte tapé annonce qu'à partir de cet exposé on fera usage des résultats connus sur les groupes algébriques lisses sur un corps algébriquement clos, notamment de la théorie de Borel exposée au Séminaire Chevalley 56/57 (« BIBLE », exposés 4 à 7), la théorie des schémas n'y apportant pas de simplification notable ; le but est d'en déduire des résultats analogues sur une base quelconque, à la différence de la théorie de structure de Chevalley des groupes semi-simples, qui se traite ab ovo sur une base quelconque

Dans les exposés oraux, nous nous étions limités aux préschémas en groupes affines sur \(S\), en nous appuyant de façon essentielle sur les théorèmes de représentabilité de Exp XI N° 4. Dans les présentes notes (cf Nos 6 à 8) nous montrons rapidement comment on peut éliminer les hypothèses affines […] Exp XI […] par une autre méthode plus simple n'utilisant pas les résultats les plus délicats de Exp. XI.

Pour d'autres généralisations des résultats contenus dans le présent exposé, voir également exposés Exp. XV et XVI. (Il est évident que le contenu des exposés XI, XII, XV, XVI devrait être complètement refondu).écrit de bas en haut dans la marge gauche, lu en tournant la feuille ; un signe de renvoi le rattache au bas du paragraphe manuscrit

Calculs de cohomologie des quadriques, des cônes projetants

titre de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 8), qui ne porte rien d'autre ; il nomme la suite et ne reçoit pas de numéro de page

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Cohomologie […] d'un cône projectif

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "h"] & & \\
C' \arrow[r, hook, "i'"'] \arrow[d] \arrow[rr, bend left=35] & \widehat{C}' \arrow[d] & X' \arrow[l, hook', "j^{\prime}"] \arrow[d, "h"] \\
C \arrow[r, hook, "i"'] \arrow[rr, bend right=35] & \widehat{C} & X \arrow[l, hook', "j"]
\end{tikzcd}

le diagramme est redessiné d'après le croquis ; la flèche \(h\) de la colonne de gauche descend de \(X\) vers \(C'\), telle qu'elle est tracée

\(E = C - a\)

\(\widehat{E} = \widehat{C} - a\)

\[\struck{H^{i-1}(X) \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(\widehat{C}') \to H^i(X) \to H^{i+1}(\widehat{C})}\] \(H^i(C) \to\)au-dessus de la suite biffée, « \(i \geqslant 0\) »

[…] \[\begin{array}{ccccccc} \cdots \to H^{i-1}(X) & \to & H^i(\widehat{C}) & \to & H^i(\widehat{C}') & \to & H^i(X) \to \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \| \\ H^{i-1}(X) & \to & H^i(C) & \to & H^i(C') & \xrightarrow{\text{bij}} & H^i(X) \end{array}\]

\[\boxed{H^i(C) = 0 \quad \text{si}\ i \neq 0}\] \[0 \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(\widehat{C}') \to H^i(X) \to 0\] \[\boxed{H^i(\widehat{C}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i-2}(X)(-1) \qquad i \neq 0}\] provenant de l'injection de Gysin \(X \xrightarrow{j} \widehat{C}\)

\(j_*(a)\, j_*(b) = j_*(ab\xi)\) car \(j^* j_*(c) = c\xi\), ce qui détermine la structure multiplicative …

\(E\) \(\widehat{C} - a \to\) fibré sur \(X\) en fibres des droites aff. vectorielles,

\(\simeq \widehat{C}' - a\), donc \[\boxed{H^{*}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(\widehat{C} - a)}, \qquad \widehat{C} - a = \widehat{E}, \qquad \widehat{C} - a - X = E\] \[H^{i-2}(X)(-1) \to H^i(\widehat{E}) \to \boxed{H^i(E)} \to H^{i-1}(X)(-1) \to H^{i+1}(\widehat{E})\] avec \(H^i(\widehat{E}) \simeq H^i(X)\), \(H^{i+1}(\widehat{E}) \simeq H^{i+1}(X)\) ; la première flèche est la multiplication par \(\xi\) (cup-\(\xi\)).légende écrite en biais sous la première flèche

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feuillet de tapuscrit du même exposé : « Remarques 1.11 ». a) le préschéma \(\mathcal{T}\) de 6.10 s'appellera le préschéma des tores maximaux de \(G\) ; on verra au N° 5 qu'il est affine sur \(S\), ce qu'on peut vérifier directement quand \(G\) est un sous-préschéma en groupes fermé de \(\mathrm{Gl}(n)\), \(\mathcal{T}\) s'identifiant alors à un sous-préschéma ouvert et fermé du préschéma qui représente les sous-groupes de type multiplicatif de \(G\). b) sur une démonstration de 1.7, donc de 1.9, qui n'utilise pas les résultats délicats de l'exposé XI

[de façon générale,] il est possible (et sans doute avantageux) d'éliminer totalement les résultats de représentabilité de Exp XI N° 4 de la théorie présentée dans le présent exposé et les suivants.

« de façon générale, » est écrit deux fois, dans la marge gauche, entouré, et au bout de la dernière ligne tapée ; l'encadré manuscrit est lui-même traversé de quelques traits obliques fins, qui prolongent peut-être les croix du passage biffé

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Si \(X\) est non singulière (connexe de dim \(n\)) on trouve : \[\boxed{ \begin{array}{lll} i \leqslant n & H^i(E) \simeq P^i(X) & \text{mod torsion} \\ i \geqslant n+1 & H^i(E) \simeq P^{\uncertain{i-2}}(X)(-1) & \text{mod. de torsion} \end{array}}\] en vertu du th. de Lefschetzla lettre \(P\) de la seconde ligne est repassée en gras et son exposant empâté

\[\cdots \to H^{i-1}(C) \to H^{i-1}(E) \to H^i_a(C) \to H^i(C) \to H^i(E) \to H^{i+1}_a(C) \to \cdots\] avec \(H^{i-1}(C) = 0\) si \(i - 1 \neq 0\), \(H^i(C) = 0\) si \(i \neq 0\).

\(i \neq 0, 1\) \[\to H^0_a(C) \to H^0(C) \xrightarrow{\text{bij}} H^0(E) \to H^1_a(C) \to H^1(C) \to H^1(E) \to H^2_a(C) \to H^2(C)\] avec \(H^0_a(C) = 0\), \(H^1(C) = 0\), \(H^2(C) = 0\) ; la flèche bij si \(X\) connexe.

\[\boxed{ \begin{array}{l} H^0_a(C) = H^1_a(C) = 0 \\ H^i_a(C) \simeq H^{i-1}(E) \quad \text{si}\ i \geqslant 2 \end{array}}\]

Cas \(X\) une quadrique \(Q^n\), donc \(\widehat{C} = Q'^{\,n+1}\), on trouve \[\underline{H^i(Q'^{\,n+1}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i-2}(Q^n)(-1)} \quad \text{si}\ i \neq 0 \quad \text{donc :}\] \[\begin{array}{ll} \left(1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi^{2\nu}\right) & \text{si}\ \boxed{n+1 = 2\nu} \\[6pt] \left(1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, [\xi^{\nu+1}, \lambda'_{\nu+1}], \tfrac{1}{2}\xi^{\nu+2}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi^{2\nu+1}\right) & \text{si}\ \boxed{n+1 = 2\nu+1} \end{array}\] avec \(\xi\lambda'_{\nu+1} = 0\), \(\lambda'^{\,2}_{\nu+1} = 0\).

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feuillet de tapuscrit du même exposé : la fin de la démonstration de 1.7 (le centralisateur \(C\) d'un tore maximal est représentable et lisse, d'où la constance locale de \(s \mapsto \rho_n(s) = \dim C_s\)) ; la convention « \(G\) de rang réductif localement constant » pour les conditions de 1.7 b) ; le Corollaire 1.9 (si \(\rho_r(s) = \rho_n(s)\), \(\rho_r\) et \(\rho_n\) sont constants au voisinage de \(s\), et le rang unipotent y est nul), avec sa démonstration par 1.7 a) et l'inégalité \(\rho_r \leqslant \rho_n\) ; le Corollaire 1.10 (\(G\) de rang réductif localement constant, le foncteur \(\mathcal{T} : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\) des tores maximaux est représentable par un préschéma lisse, séparé et de type fini sur \(S\)), avec la démonstration du « type fini » par \(\mathcal{T} \simeq G/\mathrm{Norm}_G(T)\)

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[…]en haut de la page, deux lettres barrées reliées par une flèche

\[\left\{ \begin{array}{ll} H^i(E) = 0 & \text{si}\ i \neq 0, 2\nu - 2, 4\nu - 1 \\[4pt] H^{2(\nu-1)}(E) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \ell \neq 2 \\ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & \text{si}\ \ell = 2 \end{array} \right. \\[10pt] H^{4\nu-1}(E) \simeq \mu(-2\nu) \end{array} \right. \qquad \boxed{n + 1 = 2\nu} \ \ n = 2\nu - 1\] « \(2\nu - 2\) » est surchargé sur « \(2(\nu-1)\) » ; à côté, un « si \(i \neq 2(\nu-1)\) » biffé et une surcharge illisible

\[\left\{ \begin{array}{l} H^i(E) = 0 \quad \text{si}\ i \neq (0), 2\nu - 1, 2\nu + 1, 4\nu + 1 \\ H^0(E) = \mu(0) \\ H^{2\nu-1}(E) \simeq \mu(-\nu+1) \\ H^{2\nu+1}(E) \simeq \mu(-\nu-1) \\ H^{\uncertain{4\nu+1}}(E) \simeq \mu(-2\nu-1) \end{array} \right. \qquad \boxed{n + 1 = 2\nu + 1} \ \ n = 2\nu\] les exposants des trois dernières lignes sont surchargés ; le « \(0\) » de la liste des exceptions est entouré

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feuillet de tapuscrit du même exposé, dans le paragraphe 2 : la fin d'une démonstration de semi-continuité (le sous-schéma ouvert et fermé \(G'\), fini sur \(S\), de \(G\) étale séparé, est un groupe constant \(A_S\) sur le spectre d'un anneau de valuation discrète complet ; le monomorphisme canonique \(A \to B\) vers la fibre géométrique générique donne \(f(s) \leqslant f(t)\)), la continuité de \(f\) en \(s\) équivalente à celle de \(s \mapsto \mathrm{card}\, f(s)\) et à la finitude de \(W\) au voisinage de \(s\) ; puis le Lemme 2.3 : \(G\) affine lisse sur \(k\) algébriquement clos, \(R \subset T\) deux sous-tores ; alors \(W(R)\) est isomorphe à un quotient d'un sous-groupe de \(W(T)\)

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Cohomologie à supports compacts […] de \(C, E, \widehat{E}\) …

La cohomologie à support compact de \(E, \widehat{E}\) se déduit simplement par dualité de la [coh. usuelle] […] de \(E, \widehat{E}\) lorsque \(X\) est lisse … celles de \(\widehat{C}\) est identique à la cohomologie usuelle (car \(\widehat{C}\) est propre …).

Reste à déterminer la coh. à support[s] compact[s] de \(C\).

Or on a \(H^{*}_c(C') \Longleftarrow H^{*}_c(\ldots)\) \[\cdots \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(X) \to H^{i+1}_c(C) \to H^{i+1}(\widehat{C}) \to H^{i+1}(X)\] avec \(H^i(\widehat{C}) \simeq H^{i-2}(X)(-1)\) si \(i \neq 0\), et \(H^{i+1}(\widehat{C}) \simeq H^{i-1}(X)(-1)\).

Comparant avec la suite exacte […] \(H^{*}_c(\widehat{C})\) […] \(\widehat{E} \subset \widehat{C}\), […] […] celle […] […] […] la coh. de \(E\) […] […] […] détermine […] :

prévoir, si \(i \neq 0\), \(H^i(E) \simeq H^{i+1}_c(C) \simeq H^{i+1}_a(C)\), […]

[…] […] […] \(E \subset C\), \[\boxed{H^{*}_a(C) \simeq H^{*}_c(C) \quad ??}\] \(H^i_a(C) = H^i_c(C) =\)

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feuillet de tapuscrit du même exposé : la fin d'une remarque (tout tore est contenu dans un tore maximal quand \(S\) est artinien, ou local avec \(G\) « réductif ») ; la Définition 1.5 des rangs réductif, nilpotent et unipotent de \(G\) sur un corps \(k\) comme ceux de \(G_{\bar k}\), invariants par extension du corps de base ; la Remarque 1.6, qui construit sur le spectre d'un anneau de valuation discrète un schéma en groupes affine et lisse de fibre générale \(\mathbf{G}_m\) et de fibre spéciale \(\mathbf{G}_a\), sans tore maximal, où le rang réductif des fibres n'est pas continu ; l'énoncé initial du Théorème 1.7 (notations \(\rho_r(s)\), \(\rho_n(s)\)), qui se poursuit page 3

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Cohomologie des quadriques

\(Q^n\) quadrique non singulière de dim \(n\) sur \(k\) sép. clos.

\(Q^{n-1}\) section à l'infini.

\(U^n = AQ^n = Q^n - Q^{n-1}\) pour \(A\) coefficient annulé par un \(m\)lecture de « annulé par un \(m\) » peu sûre

\[H^i_c(U^n, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\ i \neq n, 2n \\ A \otimes \nu'_n & \text{si}\ i = n \\ A \otimes \mu_m(-n) & \text{si}\ i = 2n \end{array} \right. \quad (\text{si}\ n \neq 0)\] \[\nu'_n = \check{\nu}_n \otimes \mu_m(-n) = \left\{ \begin{array}{ll} \mu_m(-\tfrac{n}{2}) & n\ \text{pair} \\ \mu_m(-\tfrac{n+1}{2}) & n\ \text{impair} \end{array} \right.\] \[\nu'_n = \check{\nu}_n = \mu_m(-\tfrac{n}{2}) \quad n\ \text{pair}, \qquad \nu'_n = \nu_n \otimes \mu_m(1) \quad n\ \text{impair}\] les deux dernières égalités sont ajoutées d'une autre encre ; les indices et accents des \(\nu\) sont peu lisibles

si \(n\) impair, […] […], on ne sait déterminer qu'au signe près …écrit en biais dans la marge gauche, à côté d'une double flèche verticale qui relie \(H^i_c\) et \(H^i\)

dualement \[H^i(U^n, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\ i \neq 0, n \\ A \otimes \nu_n & \text{si}\ i = 0 \\ A & \text{si}\ i = n . \end{array} \right.\] deux flèches croisées échangent les deux dernières lignes : il faut lire \(A\) pour \(i = 0\) et \(A \otimes \nu_n\) pour \(i = n\) ; un « si \(n \neq 0\) » entouré les accompagne \[\nu_n \simeq \mu_m(-\tfrac{n}{2}) \ \text{si}\ n\ \text{pair}, \qquad \nu_n \simeq \mu_m(-\tfrac{n \pm 1}{2}) \ \text{si}\ n\ \text{impair}\] le signe dans \(n \pm 1\) est surchargé

\(H^i_c(U^n, A) \xrightarrow{\varphi} H^i(U^n, A)\) est nul sauf si \(n\) pair, \(i = n\), (dans exc. 2) […] […] […] […] […] […] de \(H^i_c(U^n, A)\) tel que \(\langle \ell, \varphi(\ell) \rangle = 2\)une ligne entière biffée précède ces trois derniers mots

\[H^{i-1}(U^n) \to H^{i-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^i(Q^n) \to H^i(U^n) \to H^{i-1}(Q^{n-1})(-1) \to \cdots\] \[H^{i-2}(Q^{n-1})(-1) \xrightarrow{\alpha_*} H^i(Q^n) \ \text{est}\ \left| \begin{array}{ll} \text{surjectif} & \text{si}\ i \neq 0, n \\ \text{injectif} & \text{si}\ i \neq 1, n+1 \end{array} \right| \ \text{bijectif si}\ i \neq 0, \struck{\ill{}}\, n, n+1\]

Reste à préciser ce qui se passe pour \(i = 0, 1, n, n+1\) ??

Pour \(i = 0, 1\) \(\alpha_*\) est nul [\(i = 1\), bij car bijectif, car les deux membres nuls) (si \(\boxed{n \neq 1}\) […] […] \(\neq 0\)]

Pour \(i = n, n+1\) on a la […] suite exacte \[0 \to H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^n(Q^n) \to H^n(U^n) \to H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^n) \to 0\] le « \((-1)\) » du premier terme semble barré, ou traversé par la flèche

1) \(n\) pair \(\geqslant 0\), la suite exacte […] […] se réduit à : \[0 \to H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^n(Q^n) \to H^n(U^n) \to 0\] donc \(H^n(Q^n)\) est extension de \(H^n(U^n)\) par \(H^{n-2}(Q^{n-1})(-1)\) …

20

feuillet de tapuscrit du même exposé, dans le paragraphe 2 : la réduction au cas où \(R_s\) est un tore maximal de \(G_s\), l'égalité \(w(s) = w'(s)\) et les inégalités \(w(t) \geqslant w'(t)\), \(w'(t) \geqslant w'(s)\) pour \(t\) voisin de \(s\) ; le Lemme 2.2 (\(W\) étale, séparé et quasi-fini sur \(S\) ; la fonction \(f\) qui associe à \(s\) la classe de la fibre géométrique de \(W\) en \(s\), dans l'ensemble ordonné \(E\) des classes de groupes finis, est semi-continue inférieurement ; elle est constante au voisinage de \(s\) si et seulement si \(s \mapsto \mathrm{card}\, f(s)\) l'est, si et seulement si \(W\) est fini au-dessus d'un voisinage de \(s\)) ; le début de sa démonstration (réduction au cas affine noethérien, constructibilité, EGA IV 9, EGA \(0_{\mathrm{III}}\) 9.3.4, EGA II 7.1.7)