Fonds Grothendieck, cote n° 56, pages 1–20 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 56 Lefschetz-Hodge - Vanishing cycles : notes manuscrites (s.d.), tiré à part (1962) Pages 1 à 20 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1962Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/56.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

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Situation des « vanishing cycles » : Cas des quadriques

titre de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 1), qui ne porte rien d'autre ; c'est lui qui nomme la suite, et le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Vanishing cycles : cas des quadriquesinscrit en biais dans le coin supérieur gauche, séparé du reste de la page par un trait oblique

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ S \end{tikzcd}

f morphisme projectif plat

S spectre d'un anneau de val. discrète strictement local

X_0 fibre spéciale quadrique à point singulier

\overline{X}_1 fibre générique géométrique, quadrique non singulière

dimension commune des fibres n-1

X \subset \mathbf{P}^{n}_{S} défini par une équation quadratique …

H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1) ? (Cf. la suite exacte générale \cdots \to H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1) \to \Phi^{i+1} \to H^{i+1}(X_0) \to H^{i+1}(\overline{X}_1) \to \cdots

On sait par l' de H^i(X_0) etligne portée en interligne au-dessus de la suivante

1°) n pair, n impair, X_0 et \overline{X}_1 ont en dim impaire. Donc 0 \to \Phi^{2\nu} \to H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1) \to \Phi^{2\nu+1} \to 0 i.e. les \Phi^i les noyaux et conoyaux du de spécialisation.

N.B. X X_0, \xi \in H^2(X, \mu(1)), provenant de la section restriction fibre …les quatre dernières lignes de la page sont d'une écriture très rapide ; seuls X, X_0 et la classe \xi se lisent sûrement

feuillet de tapuscrit, repris à la main, de l'exposé « XII Tores maximaux, groupe de Weyl, sous-groupes de Cartan, centre réductif des schémas en groupes lisses et affines » (voir page 7), sans rapport avec les notes manuscrites au verso desquelles il se trouve ; il est gardé parce qu'il porte sa main. Le texte tapé est le sien et publié : on en donne la teneur et ses interventions, sans le recomposer. La page est barrée de trois longs traits de crayon. Elle donne les énoncés a) à d) d'un théorème sur les fonctions \rho_r (rang réductif), \rho_n (rang nilpotent) et \rho_u = \rho_n - \rho_r sur S : a) \rho_r est semi-continue inférieurement, \rho_n et \rho_u supérieurement ; b) équivalence de (i) \rho_r localement constante, (ii) existence locale, pour la topologie étale, d'un tore maximal dans G, (ii bis) la même chose pour la topologie fidèlement plate quasi-compacte ; c) deux tores maximaux sont localement conjugués pour la topologie étale ; d) sous b), \rho_n (donc \rho_u) est aussi localement constante ; puis le début de la démonstration de a), par réduction au cas d'un changement de base fidèlement plat quasi-compact (SGA VIII 4.3)

les lettres \rho (et \rho_r, \rho_n, \rho_u, \rho') sont partout portées à la main dans les blancs laissés par la machine ; « localement conjugués » est entouré d'un trait ; « la topologie de Zariski de S étant en effet quotient de celle de S' » : « de Zariski » inséré à la main au-dessus de la ligne, après « (SGA VIII) », biffé.

1°) n pair = 2\nu, n-1 impair n-1 = 2\nu - 1 = 2(\nu-1)+1

\left. \begin{array}{ll} H^{*}(X_0) : & 1, \xi_0, \ldots, \xi_0^{\nu-1}, [\xi_0^{\nu}, \lambda'_{\nu}], \tfrac{1}{2}\xi_0^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_0^{2\nu-1} \\[4pt] H^{*}(\overline{X}_1) : & 1, \xi_1, \ldots, \xi_1^{\nu-1}, \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_1^{2\nu-1} \end{array} \right] \quad \begin{array}{l} \xi_0 \mapsto \xi_1 \\ \lambda'_{\nu} \mapsto 0 \end{array}

Donc H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1) bijectif excepté si i \neq 2\nu = n

H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1) surjectif, noyau engendré par \lambda'_{\nu}

Donc

\Phi^i = 0 si i \neq (2\nu = n) ; \Phi^{\uncertain{2\nu}} \simeq \mu(-\nu) (isom. déterminé au signe près …) l'exposant de \Phi et le -\nu sont repassés et empâtés R^i f_* constant si i \neq n ; R^n f_* = un -faisceau concentré en s, isom. à \mu(\ldots). en dimension constante \pi opère trivialement sur H^{*}(\overline{X}_1) et sur \Phi^{2\nu}c) est écrit dans la marge gauche, en regard de b)

2°) n impair = 2\nu+1, n - 1 = 2\nu

\left. \begin{array}{ll} H^{*}(X_0) : & 1, \xi_0, \ldots, \xi_0^{\nu-1}, \xi_0^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi_0^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_0^{2\nu} \\[4pt] H^{*}(\overline{X}_1) : & 1, \xi_1, \ldots, \xi_1^{\nu-1}, [\xi_1^{\nu}, \lambda_{\nu}], \tfrac{1}{2}\xi_1^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi_1^{2\nu} \end{array} \right] \quad \xi_0 \mapsto \xi_1

Donc H^i(X_0) \to H^i(\overline{X}_1) bijectif si i \neq 2\nu = n-1

H^{2\nu}(X_0) \to H^{2\nu}(\overline{X}_1) injectif, conoyau engendré par \lambda_{\nu}le dernier symbole est surchargé au point d'être à peine lisible

\Phi^i = 0 si i \neq 2\nu + 1 = n ; \Phi^n \simeq \mu(\ldots) R^i f_* constant si i \neq n-1 ; R^{n-1} f_* est « pur » … \pi opère trivialement sur H^i(\overline{X}_1) pour i \neq n-1, mais non sur \Phi^n …écrit dans la marge gauche, au pied de la page

feuillet de tapuscrit du même exposé XII, paginé « 1 » : le début du paragraphe 1, « Tores maximaux ». Il rappelle qu'on utilisera désormais le Séminaire Chevalley 56/57 (« BIBLE ») ; définit, pour G algébrique sur k algébriquement clos, les tores maximaux et note qu'ils coïncident avec ceux de G_{\text{réd}} ; cite le théorème de Borel (conjugaison des tores maximaux, BIBLE 6, th. 4 c) et définit le rang réductif de G ; signale que l'hypothèse « G affine » est inutile grâce au théorème de Chevalley sur les extensions d'une variété abélienne par un groupe affine ; commence la définition du sous-groupe de Cartan. Le haut de la page est couvert d'une rangée de croix au crayon, et deux longs traits de crayon la barrent de haut en bas

le titre : « 1. Tores maximaux et groupe de Weyl », le « 1 » repassé à l'encre ; « conjugués par un élément de G(k) = G_{\text{réd}}(k) », inséré au-dessus de la ligne ; en marge, au crayon et entouré, « G_{\text{réd}}(k) » ; « affirmant que tout groupe algébrique connexe lisse sur k est une extension d'une variété abélienne par un groupe affine ; cf N° 6 nous n'aurons pas besoin de cette généralisation » ; « Dans les Nos 1 à 4, nous nous bornerons le plus souvent aux aux groupes préschémas en groupes affines sur la base. » — avec, en marge, « pas à la ligne » ; « Soit G un groupe algébrique lisse sur k, G sur k étant comme ci-dessus, et T un tore maximal de G, le centralisateur C(T) de T dans G sera appelé le » — avec, en marge, « à la ligne ».

Calcul affine Nous remplaçons X par U = X - Z ( à l'infini), on a ainsi \cdots \to H^i(U_0) \to H^i(\overline{U}_1) \to \Phi^{i+1} \to H^{i+1}(X_0) \to H^{i+1}(\overline{X}_1) \to \cdots les deux derniers termes portent bien X, non U

Or on a maintenant \underline{H^i(U_0) = 0} i \neq 0,

d'où H^i(\overline{U}_1) \simeq \Phi^{i+1} d'où directement \Phi^i = 0 \ \text{si}\ i \neq n, \qquad \Phi^n = H^{n-1}(\overline{U}_1) engendré par le « vanishing cycle » …

feuillet de tapuscrit paginé « 0 » : la page de titre de l'exposé, « XII Tores maximaux, groupe de Weyl, sous-groupes de Cartan, centre réductif des schémas en groupes lisses et affines. par A. Grothendieck ». Le texte tapé annonce qu'à partir de cet exposé on fera usage des résultats connus sur les groupes algébriques lisses sur un corps algébriquement clos, notamment de la théorie de Borel exposée au Séminaire Chevalley 56/57 (« BIBLE », exposés 4 à 7), la théorie des schémas n'y apportant pas de simplification notable ; le but est d'en déduire des résultats analogues sur une base quelconque, à la différence de la théorie de structure de Chevalley des groupes semi-simples, qui se traite ab ovo sur une base quelconque

« BOREL » et « CHEVALLEY » repassés à la main en capitales, trois fois ; « Il semble d'ailleurs que la théorie des schémas n'apporte aucune simplification notable à la théorie exposée de BOREL, telle qu'elle est exposée dans BIBLE. C'est pourquoi il n'a pas semblé utile de la reproduire notre objet étant dans le présent Séminaire » ; après « … sur un préschéma de base quelconque), » il ajoute, entouré : « (que nous avons suivi dans les Nos 1 à 4) » ; puis, en bas de page, un paragraphe entier de sa main : Dans les exposés oraux, nous nous étions limités aux préschémas en groupes affines sur S, en nous appuyant de façon essentielle sur les théorèmes de représentabilité de Exp XI N° 4. Dans les présentes notes (cf Nos 6 à 8) nous montrons rapidement comment on peut éliminer les hypothèses affines Exp XI par une autre méthode plus simple n'utilisant pas les résultats les plus délicats de Exp. XI.

Pour d'autres généralisations des résultats contenus dans le présent exposé, voir également exposés Exp. XV et XVI. (Il est évident que le contenu des exposés XI, XII, XV, XVI devrait être complètement refondu).écrit de bas en haut dans la marge gauche, lu en tournant la feuille ; un signe de renvoi le rattache au bas du paragraphe manuscrit

Calculs de cohomologie des quadriques, des cônes projetants

titre de sa main, en haut à droite du feuillet de garde (page 8), qui ne porte rien d'autre ; il nomme la suite et ne reçoit pas de numéro de page

Cohomologie d'un cône projectif

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "h"] & & \\ C' \arrow[r, hook, "i'"'] \arrow[d] \arrow[rr, bend left=35] & \widehat{C}' \arrow[d] & X' \arrow[l, hook', "j^{\prime}"] \arrow[d, "h"] \\ C \arrow[r, hook, "i"'] \arrow[rr, bend right=35] & \widehat{C} & X \arrow[l, hook', "j"] \end{tikzcd}

le diagramme est redessiné d'après le croquis ; la flèche h de la colonne de gauche descend de X vers C', telle qu'elle est tracée

E = C - a

\widehat{E} = \widehat{C} - a

\struck{H^{i-1}(X) \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(\widehat{C}') \to H^i(X) \to H^{i+1}(\widehat{C})} H^i(C) \toau-dessus de la suite biffée, « i \geqslant 0 »

\begin{array}{ccccccc} \cdots \to H^{i-1}(X) & \to & H^i(\widehat{C}) & \to & H^i(\widehat{C}') & \to & H^i(X) \to \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \| \\ H^{i-1}(X) & \to & H^i(C) & \to & H^i(C') & \xrightarrow{\text{bij}} & H^i(X) \end{array}

\boxed{H^i(C) = 0 \quad \text{si}\ i \neq 0} 0 \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(\widehat{C}') \to H^i(X) \to 0 \boxed{H^i(\widehat{C}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i-2}(X)(-1) \qquad i \neq 0} provenant de l'injection de Gysin X \xrightarrow{j} \widehat{C}

j_*(a)\, j_*(b) = j_*(ab\xi) car j^* j_*(c) = c\xi, ce qui détermine la structure multiplicative …

E \widehat{C} - a \to fibré sur X en fibres des droites aff. vectorielles,

\simeq \widehat{C}' - a, donc \boxed{H^{*}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(\widehat{C} - a)}, \qquad \widehat{C} - a = \widehat{E}, \qquad \widehat{C} - a - X = E H^{i-2}(X)(-1) \to H^i(\widehat{E}) \to \boxed{H^i(E)} \to H^{i-1}(X)(-1) \to H^{i+1}(\widehat{E}) avec H^i(\widehat{E}) \simeq H^i(X), H^{i+1}(\widehat{E}) \simeq H^{i+1}(X) ; la première flèche est la multiplication par \xi (cup-\xi).légende écrite en biais sous la première flèche

feuillet de tapuscrit du même exposé : « Remarques 1.11 ». a) le préschéma \mathcal{T} de 6.10 s'appellera le préschéma des tores maximaux de G ; on verra au N° 5 qu'il est affine sur S, ce qu'on peut vérifier directement quand G est un sous-préschéma en groupes fermé de \mathrm{Gl}(n), \mathcal{T} s'identifiant alors à un sous-préschéma ouvert et fermé du préschéma qui représente les sous-groupes de type multiplicatif de G. b) sur une démonstration de 1.7, donc de 1.9, qui n'utilise pas les résultats délicats de l'exposé XI

le « s » de « Remarques » et le « 1 » de « 1.11 » sont de sa main ; « Il ne serait pas difficile est possible de donner une démonstration de 1.7. donc de 1.9. n'utilisant pas les résultats délicats de Exp XI, mais seulement les résultats faciles Exp XI 3.12. et 6.2., en travaillant uniquement avec des groupes de type multiplicatif finis sur la base » ; en marge, au crayon et entouré, « et 6.2., » ; « comparer Exp N° 7. Par contre, La même remarque vaut pour la démonstration de 1.10., » — la suite tapée (« s'appuie de façon essentielle sur Exp XI 4.1. Dans un autre exposé, nous donnerons une version généralisée de 1.10. par une démonstration différente … les théorèmes de représentabilité de Exp XI N° 4 pourraient être éliminés de la théorie présentée dans le présent exposé et les suivants ») est encadrée, biffée ligne à ligne et barrée de grandes croix, et remplacée par : de façon générale, il est possible (et sans doute avantageux) d'éliminer totalement les résultats de représentabilité de Exp XI N° 4 de la théorie présentée dans le présent exposé et les suivants.

« de façon générale, » est écrit deux fois, dans la marge gauche, entouré, et au bout de la dernière ligne tapée ; l'encadré manuscrit est lui-même traversé de quelques traits obliques fins, qui prolongent peut-être les croix du passage biffé

Si X est non singulière (connexe de dim n) on trouve : \boxed{ \begin{array}{lll} i \leqslant n & H^i(E) \simeq P^i(X) & \text{mod torsion} \\ i \geqslant n+1 & H^i(E) \simeq P^{\uncertain{i-2}}(X)(-1) & \text{mod. de torsion} \end{array}} en vertu du th. de Lefschetzla lettre P de la seconde ligne est repassée en gras et son exposant empâté

\cdots \to H^{i-1}(C) \to H^{i-1}(E) \to H^i_a(C) \to H^i(C) \to H^i(E) \to H^{i+1}_a(C) \to \cdots avec H^{i-1}(C) = 0 si i - 1 \neq 0, H^i(C) = 0 si i \neq 0.

i \neq 0, 1 \to H^0_a(C) \to H^0(C) \xrightarrow{\text{bij}} H^0(E) \to H^1_a(C) \to H^1(C) \to H^1(E) \to H^2_a(C) \to H^2(C) avec H^0_a(C) = 0, H^1(C) = 0, H^2(C) = 0 ; la flèche bij si X connexe.

\boxed{ \begin{array}{l} H^0_a(C) = H^1_a(C) = 0 \\ H^i_a(C) \simeq H^{i-1}(E) \quad \text{si}\ i \geqslant 2 \end{array}}

Cas X une quadrique Q^n, donc \widehat{C} = Q'^{\,n+1}, on trouve \underline{H^i(Q'^{\,n+1}) \xleftarrow{\ \sim\ } H^{i-2}(Q^n)(-1)} \quad \text{si}\ i \neq 0 \quad \text{donc :} \begin{array}{ll} \left(1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, \tfrac{1}{2}\xi^{\nu+1}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi^{2\nu}\right) & \text{si}\ \boxed{n+1 = 2\nu} \\[6pt] \left(1, \xi, \ldots, \xi^{\nu}, [\xi^{\nu+1}, \lambda'_{\nu+1}], \tfrac{1}{2}\xi^{\nu+2}, \ldots, \tfrac{1}{2}\xi^{2\nu+1}\right) & \text{si}\ \boxed{n+1 = 2\nu+1} \end{array} avec \xi\lambda'_{\nu+1} = 0, \lambda'^{\,2}_{\nu+1} = 0.

feuillet de tapuscrit du même exposé : la fin de la démonstration de 1.7 (le centralisateur C d'un tore maximal est représentable et lisse, d'où la constance locale de s \mapsto \rho_n(s) = \dim C_s) ; la convention « G de rang réductif localement constant » pour les conditions de 1.7 b) ; le Corollaire 1.9 (si \rho_r(s) = \rho_n(s), \rho_r et \rho_n sont constants au voisinage de s, et le rang unipotent y est nul), avec sa démonstration par 1.7 a) et l'inégalité \rho_r \leqslant \rho_n ; le Corollaire 1.10 (G de rang réductif localement constant, le foncteur \mathcal{T} : (\mathrm{Sch})^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) des tores maximaux est représentable par un préschéma lisse, séparé et de type fini sur S), avec la démonstration du « type fini » par \mathcal{T} \simeq G/\mathrm{Norm}_G(T)

les numéros « 1.7 », « 1.9 », « 1.10 » ont partout leur premier chiffre surchargé à l'encre en « 1 » ; les lettres \rho, \mathcal{T}, \in, \leqslant sont de sa main ; « Corollaire La démonstration de 1.7. est achevée » ; « représentable et lisse sur S par Exp. XI 5.3. » ; « soit s \in S tel que \rho_u(s) = 0 i.e. \rho_r(s) = \rho_n(s) » ; « Il reste à vérifier que \mathcal{T} est de type fini sur S » ; « Mais alors \mathcal{T} est isomorphe à G/\mathrm{Norm}_G(T) (comparer Exp XI 5.3. bis et 5.5.). ».

en haut de la page, deux lettres barrées reliées par une flèche

\left\{ \begin{array}{ll} H^i(E) = 0 & \text{si}\ i \neq 0, 2\nu - 2, 4\nu - 1 \\[4pt] H^{2(\nu-1)}(E) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \ell \neq 2 \\ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & \text{si}\ \ell = 2 \end{array} \right. \\[10pt] H^{4\nu-1}(E) \simeq \mu(-2\nu) \end{array} \right. \qquad \boxed{n + 1 = 2\nu} \ \ n = 2\nu - 1 « 2\nu - 2 » est surchargé sur « 2(\nu-1) » ; à côté, un « si i \neq 2(\nu-1) » biffé et une surcharge illisible

\left\{ \begin{array}{l} H^i(E) = 0 \quad \text{si}\ i \neq (0), 2\nu - 1, 2\nu + 1, 4\nu + 1 \\ H^0(E) = \mu(0) \\ H^{2\nu-1}(E) \simeq \mu(-\nu+1) \\ H^{2\nu+1}(E) \simeq \mu(-\nu-1) \\ H^{\uncertain{4\nu+1}}(E) \simeq \mu(-2\nu-1) \end{array} \right. \qquad \boxed{n + 1 = 2\nu + 1} \ \ n = 2\nu les exposants des trois dernières lignes sont surchargés ; le « 0 » de la liste des exceptions est entouré

feuillet de tapuscrit du même exposé, dans le paragraphe 2 : la fin d'une démonstration de semi-continuité (le sous-schéma ouvert et fermé G', fini sur S, de G étale séparé, est un groupe constant A_S sur le spectre d'un anneau de valuation discrète complet ; le monomorphisme canonique A \to B vers la fibre géométrique générique donne f(s) \leqslant f(t)), la continuité de f en s équivalente à celle de s \mapsto \mathrm{card}\, f(s) et à la finitude de W au voisinage de s ; puis le Lemme 2.3 : G affine lisse sur k algébriquement clos, R \subset T deux sous-tores ; alors W(R) est isomorphe à un quotient d'un sous-groupe de W(T)

« il contient un sous-schéma à la fois ouvert et fermé G', fini sur S, tel que G'_s = G_s (EGA II 6.2.6.) » ; « on a donc un monomorphisme canonique A \to B » ; « indiquée dans 2.1. », « Lemme 2.3. » : le « 2 » surchargé à l'encre ; « indépendant de la structure de groupe sur W, et a été signalé après Exp XI 5.10. ; d'ailleurs sa démonstration se fait aisément par les arguments précédents, en utilisant le critère valuatif de propreté EGA II 7.3.8. » ; « comme dans Exp XI 5.9. » ; le dernier alinéa (« Dans la démonstration qui suit, il sera commode d'interpréter G, R, T, C(R), N(R), C(T), N(T) de façon purement ensembliste … ») est encadré et barré.

Cohomologie à supports compacts de C, E, \widehat{E} …

La cohomologie à support compact de E, \widehat{E} se déduit simplement par dualité de la coh. usuelle de E, \widehat{E} lorsque X est lisse … celles de \widehat{C} est identique à la cohomologie usuelle (car \widehat{C} est propre …).

Reste à déterminer la coh. à supports compacts de C.

Or on a H^{*}_c(C') \Longleftarrow H^{*}_c(\ldots) \cdots \to H^i(\widehat{C}) \to H^i(X) \to H^{i+1}_c(C) \to H^{i+1}(\widehat{C}) \to H^{i+1}(X) avec H^i(\widehat{C}) \simeq H^{i-2}(X)(-1) si i \neq 0, et H^{i+1}(\widehat{C}) \simeq H^{i-1}(X)(-1).

Comparant avec la suite exacte H^{*}_c(\widehat{C}) \widehat{E} \subset \widehat{C}, celle la coh. de E détermine :

prévoir, si i \neq 0, H^i(E) \simeq H^{i+1}_c(C) \simeq H^{i+1}_a(C),

E \subset C, \boxed{H^{*}_a(C) \simeq H^{*}_c(C) \quad ??} H^i_a(C) = H^i_c(C) =

feuillet de tapuscrit du même exposé : la fin d'une remarque (tout tore est contenu dans un tore maximal quand S est artinien, ou local avec G « réductif ») ; la Définition 1.5 des rangs réductif, nilpotent et unipotent de G sur un corps k comme ceux de G_{\bar k}, invariants par extension du corps de base ; la Remarque 1.6, qui construit sur le spectre d'un anneau de valuation discrète un schéma en groupes affine et lisse de fibre générale \mathbf{G}_m et de fibre spéciale \mathbf{G}_a, sans tore maximal, où le rang réductif des fibres n'est pas continu ; l'énoncé initial du Théorème 1.7 (notations \rho_r(s), \rho_n(s)), qui se poursuit page 3

« (on verra dans l'exposé ultérieur XIV que la réciproque est vraie que la réciproque est vraie lorsque S est artinien , ou lorsque S est un schéma local et G est “réductif” » ; les numéros « 1.5 », « 1.2 », « 1.6 », « 1.7 » ont leur premier chiffre surchargé en « 1 » ; « Définition 1.5. Soit G un groupe algébrique sur un corps k, » ; « avec l'extension de la base, les rangs notions de rang introduites » ; « ne contient aucun tore sauf le tore trivial T (réduit au sous-groupe unité) » ; les \rho de l'énoncé de 1.7 sont de sa main.

Cohomologie des quadriques

Q^n quadrique non singulière de dim n sur k sép. clos.

Q^{n-1} section à l'infini.

U^n = AQ^n = Q^n - Q^{n-1} pour A coefficient annulé par un mlecture de « annulé par un m » peu sûre

H^i_c(U^n, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\ i \neq n, 2n \\ A \otimes \nu'_n & \text{si}\ i = n \\ A \otimes \mu_m(-n) & \text{si}\ i = 2n \end{array} \right. \quad (\text{si}\ n \neq 0) \nu'_n = \check{\nu}_n \otimes \mu_m(-n) = \left\{ \begin{array}{ll} \mu_m(-\tfrac{n}{2}) & n\ \text{pair} \\ \mu_m(-\tfrac{n+1}{2}) & n\ \text{impair} \end{array} \right. \nu'_n = \check{\nu}_n = \mu_m(-\tfrac{n}{2}) \quad n\ \text{pair}, \qquad \nu'_n = \nu_n \otimes \mu_m(1) \quad n\ \text{impair} les deux dernières égalités sont ajoutées d'une autre encre ; les indices et accents des \nu sont peu lisibles

si n impair, , on ne sait déterminer qu'au signe près …écrit en biais dans la marge gauche, à côté d'une double flèche verticale qui relie H^i_c et H^i

dualement H^i(U^n, A) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\ i \neq 0, n \\ A \otimes \nu_n & \text{si}\ i = 0 \\ A & \text{si}\ i = n . \end{array} \right. deux flèches croisées échangent les deux dernières lignes : il faut lire A pour i = 0 et A \otimes \nu_n pour i = n ; un « si n \neq 0 » entouré les accompagne \nu_n \simeq \mu_m(-\tfrac{n}{2}) \ \text{si}\ n\ \text{pair}, \qquad \nu_n \simeq \mu_m(-\tfrac{n \pm 1}{2}) \ \text{si}\ n\ \text{impair} le signe dans n \pm 1 est surchargé

H^i_c(U^n, A) \xrightarrow{\varphi} H^i(U^n, A) est nul sauf si n pair, i = n, (dans exc. 2) de H^i_c(U^n, A) tel que \langle \ell, \varphi(\ell) \rangle = 2une ligne entière biffée précède ces trois derniers mots

H^{i-1}(U^n) \to H^{i-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^i(Q^n) \to H^i(U^n) \to H^{i-1}(Q^{n-1})(-1) \to \cdots H^{i-2}(Q^{n-1})(-1) \xrightarrow{\alpha_*} H^i(Q^n) \ \text{est}\ \left| \begin{array}{ll} \text{surjectif} & \text{si}\ i \neq 0, n \\ \text{injectif} & \text{si}\ i \neq 1, n+1 \end{array} \right| \ \text{bijectif si}\ i \neq 0, \struck{\ill{}}\, n, n+1

Reste à préciser ce qui se passe pour i = 0, 1, n, n+1 ??

Pour i = 0, 1 \alpha_* est nul [i = 1, bij car bijectif, car les deux membres nuls) (si \boxed{n \neq 1} \neq 0]

Pour i = n, n+1 on a la suite exacte 0 \to H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^n(Q^n) \to H^n(U^n) \to H^{n-1}(Q^{n-1})(-1) \to H^{n+1}(Q^n) \to 0 le « (-1) » du premier terme semble barré, ou traversé par la flèche

1) n pair \geqslant 0, la suite exacte se réduit à : 0 \to H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) \to H^n(Q^n) \to H^n(U^n) \to 0 donc H^n(Q^n) est extension de H^n(U^n) par H^{n-2}(Q^{n-1})(-1) …

feuillet de tapuscrit du même exposé, dans le paragraphe 2 : la réduction au cas où R_s est un tore maximal de G_s, l'égalité w(s) = w'(s) et les inégalités w(t) \geqslant w'(t), w'(t) \geqslant w'(s) pour t voisin de s ; le Lemme 2.2 (W étale, séparé et quasi-fini sur S ; la fonction f qui associe à s la classe de la fibre géométrique de W en s, dans l'ensemble ordonné E des classes de groupes finis, est semi-continue inférieurement ; elle est constante au voisinage de s si et seulement si s \mapsto \mathrm{card}\, f(s) l'est, si et seulement si W est fini au-dessus d'un voisinage de s) ; le début de sa démonstration (réduction au cas affine noethérien, constructibilité, EGA IV 9, EGA 0_{\mathrm{III}} 9.3.4, EGA II 7.1.7)

« La deuxième Les deux inégalités sont contenues dans les deux lemmes suivants » ; « Lemme 2.2. », « introduit dans 2.1. » : le « 2 » surchargé ; « étale, quasi-fini et séparé et quasi-fini sur S » ; « qui est un élément ensemble de l'ensemble ordonné E » ; « semi-continue inférieurement. Pour qu'elle soit constante au voisinage de s \in S, il faut et il suffit » ; « celui invoqué dans la démonstration de Exp XI 5.10., nous nous bornons à une esquisse de la démonstration (qui est du type le plus standard) » ; « et sorites de EGA IV 9), et en vertu de EGA 0_{\mathrm{III}} 9.3.4. on est ramené pour la semi-continuité à prouver que si t est une générisation de s, on a f(t) \geqslant f(s) » ; « grâce à EGA II 7.1.7. ».