Cote n° 53 · batch 2 · pages 21–33 · Transcription · Groupes algébriques : notes manuscrites (s.d.), lettre (1973)
Datation de l’inventaire : 1973
Édition de démonstration

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21Rectification Si \(G\) monoïde affine de t.f. sur un corps \(k\), on a une immersion fermée multiplicative \(G \to M_{n,k}\) (non \(G \to \mathrm{GL}_{n,k}\)), car on peut montrer que si \(G\) est un monoïde de prés. finie sur un anneau \(k\), tel que les translations à g (à dr.) sont […] […] — p.ex. s'il \(\exists\) mon. \(G \to G'\), \(G'\) un groupe — alors \(G\) est un objet gr.-pr.). au-dessus de « groupe », un mot interlinéaire relié par un trait, peut-être « facteur… » ; la fin de la phrase, « objet gr.-pr. », est incertaine

Soit \(X\) schéma affine sur \(k\), […] de l'algèbre \(A\). On définit \[\check{A} = \mathrm{Dist}(X)(k) ,\] […] […] le foncteur \(k' \mapsto \mathrm{Dist}(X, k')\), noté \[\mathrm{Dis}(X) \quad \bigl(\,= V(A)\ \text{comme Module sur } \mathcal{O}_k\bigr)\] \(\swarrow\) covariant

  1. a)\(\mathrm{Dist}(X)\) fonctoriel covariant en \(X\) ;
  2. b)\(\mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(Y) \xrightarrow{\ \pi_{X,Y}\ } \mathrm{Dist}(X \times Y)\) bilinéaire

[et universel pour les hom bilinéaires de \(\mathrm{Dis}(X) \times \mathrm{Dis}(Y)\) dans un \(V(M)\)] i.e. définit en fait un isom \[\mathrm{Dist}(X) \boxtimes \mathrm{Dist}(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Dist}(X \times Y) .\] la ligne a) porte, raturée au-dessus, « variant en \(X\) » ou approchant ; la flèche marginale « covariant » y renvoie

  1. c)On a un i[…] fonctorielle \[X \xrightarrow{\ \alpha_X\ } \mathrm{Dist}(X) \qquad [\text{distribution ponctuelle}],\] compatible aux produits, i.e. … commutativité du

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\begin{tikzcd}
  X \times Y \arrow[r, "\alpha_X \times \alpha_Y"] \arrow[dr, "\pi_{X \times Y}"'] & \mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(Y) \arrow[d, "\pi_{X,Y}"] \\
  & \mathrm{Dist}(X \times Y)
\end{tikzcd}

l'étiquette de la diagonale est écrite \(\pi_{X\times Y}\) sur la page, alors que c'est la flèche ponctuelle de \(X\times Y\) qu'appelle le diagramme ; la transcription garde la lettre de la page

Si \(G\) est muni d'une loi de comp., \(\mathrm{Dist}(G)\) aussi. Elle est unitaire ssi celle de \(\mathrm{Dist}(G)\) l'est. deux lignes biffées d'un trait, puis de traits verticaux En fait on peut reconstruire \(X\) à partir de \(\mathrm{Dist}(X) = D\) et la structure co-algébrique \[D \xrightarrow{\ \Delta\ } D \boxtimes D \qquad \bigl[V(A) \boxtimes V(B) \overset{\mathrm{def}}{\simeq} V(A \otimes B)\bigr]\] \[[\text{NB } \boxtimes = \otimes \text{ si } A \text{ ou } B \text{ proj.\ de t.f.}]\] doit être une « application diagonale » ass. comm. et counitaire [i.e. muni de \(D \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathcal{O} \ldots\)] comme formé des \(x \in D(k')\) tels que \[\boxed{\ \Delta(x) = x \boxtimes x\ }\] NB on réinterprète \(D\) comme \(\mathrm{Dist}\) en […] […] \(X\) : muni de diagonale commutative, counitaire note marginale en oblique, dans le coin inférieur gauche, lue en partie ; « \(\mathrm{Dist}(X)\) » y paraît sous une forme abrégée

22[cet exprime que l'hom \(A \to k'\) est un hom d'algèbres]

Si \(G\) est muni d'une loi de comp., […] […] \(\mathrm{Dist}(G)\), celle-ci est (ass. comm.) ssi celle de \(G\) l'est, et unitaire \(G\) admet une unité bilatère ssi \(\mathrm{Dist}(G)\) a une unité […] \(e\) telle que \(\delta(e) = e \boxtimes e\).

Dire que \(G\) opère sur un module \(M\) [(g.)] signifie que \(\mathrm{Dist}(G)\) y opère à gauche — et cette opération étend celle de \(G\). « (g.) » est inscrit au-dessus de la ligne, après \(M\) ; l'étendue de la reprise « et cette opération étend » est de lecture probable, non sûre

NB Dans certains cas, \(\mathrm{Dist}(X)\) se reconstitue à partir de \[\mathrm{Dist}(X, k) = \mathrm{Dist}(X)(k),\] p.ex. si \(A\) est […] projectif de t.f. sur \(k\), ou plus gén. si \(A\) est somme de modules projectifs de t.f. (p.ex. \(k\) un corps) — mais alors il faut considérer \(\mathrm{Dist}(X, k)\) comme module topologique.

Re NB Surtout remarquons pour mémoire. En plus de \(G\), \(\mathrm{Dist}(G)\) [voire \(\mathrm{Dist}(G, k)\)] contient toute l'information infinitésimale de \(G\) : p.ex. l'algèbre de Lie de \(G\) est contenue dans \(\mathrm{Dist}(G, k)\), et la […] sa loi de \([\ ]\) est déduite par le crochet de l'algèbre, et on a aussi sa puiss. \(p\)-ième aussi — de sorte que l'hyperalgèbre. la phrase s'arrête sur « l'hyperalgèbre. » ; « Surtout remarquons » est une lecture très incertaine de la première ligne

Cas des schémas constants : on retrouve l'algèbre d'un groupe fini.

Cas des gr. pr. diagonalisables \[A = k(M) \quad \text{algèbre du groupe à coeff.\ dans } k\] \[\begin{array}{lcl} A \otimes A \longrightarrow A & \text{provient de} & M \times M \longrightarrow M \ \text{loi de groupe} \\ A \otimes A \longleftarrow A & \text{---} & M \times M \longleftarrow M \ \text{diagonale} \end{array}\] \[\mathrm{Dist}(D(M))(k) = k^M\] avec la loi d'algèbre produit (ne dépend pas de la str. de groupe de \(M\) !) [Combinaison linéaire infinie de caractères]. sous « \(A\otimes A \leftarrow A\) », un signe « \(=\) » au crayon, peu marqué ; « diagonale » est écrit au-dessus de la seconde ligne

23\(A\) algèbre d'un \(k\)-groupe monoïde affine \(G\)
\(M\) \(k\)-module
opération de \(G\) sur \(M\) : […] \[\begin{cases} 1)\ 1x = x \\ 2)\ g(g'x) = gg'x \end{cases} \qquad \text{i.e.}\quad G \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}_k(M) = \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(W(M))\] « Opération sans axiomes » correspond à […] \[u : M_A \xrightarrow[A\text{-lin}]{} M_A, \qquad M_A = A \otimes_k M,\] ou \[u_0 : M \longrightarrow A \otimes_k M \qquad k\text{-lin.}\] deux traits courbes, sur \(A\otimes_k M\), semblent indiquer l'échange des facteurs, en \(M\otimes_k A\) ; c'est l'ordre qu'emploient les formules qui suivent

L'axiome \(1x = x\)

Si \(g \in G(k')\) correspond à un hom de \(k\)-algèbres \(A \xrightarrow{g} k'\), alors \(g_M\) sera l'endomorphisme […] de \((k', g) \otimes_A M\) défini déduit de \(g \otimes_A i\) par changement de base, i.e. l'unique hom \(M_{k'} \to M_{k'}\) tel que le diagramme d'hom \(A\)-linéaires

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\begin{tikzcd}
  M_A \arrow[r, "u"] \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_M"'] & M_A \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_M"] \\
  M_{k'} \arrow[r, "g_M"'] & M_{k'}
\end{tikzcd}

à gauche du carré, entre crochets, \(M\) envoie deux flèches, vers \(M_A\) et vers \(M_{k'}\) est commutatif ; mais cela signifie aussi que le diagramme

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes g"] \\
  M \otimes k' \arrow[r, "g_M"'] & M \otimes k'
\end{tikzcd}

est commutatif, ou encore, notant que la donnée de \(g_M\) est équivalente à celle de \(g_M^{\circ} = g_M \circ \mathrm{can} : M \to M \otimes k'\), à la f[…] commutativité de

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "g^{\circ}_M"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes g"] \\
  & M \otimes k'
\end{tikzcd}

Pour obtenir l'axiome 1), on fait \(k' = k\), \(g = \struck{\ill{}}(\varepsilon : A \to k)\), d'où

(1')

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "="'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \varepsilon"] \\
  & M
\end{tikzcd}

comm. i.e. \((\mathrm{id}_M \otimes \varepsilon)\, u_0 = \mathrm{id}_M\).

24Pour écrire 2), on écrit prend \(k' = A \otimes A\), et on choisit les deux hom \[A \mathrel{\substack{\xrightarrow{\ g\ } \\ \xrightarrow[\ g'\ ]{}}} A \otimes A\] […] donnés par \[g(\lambda) = \lambda \otimes 1, \qquad g'(\lambda) = 1 \otimes \lambda ,\] et on écrit l'égalité comme une égalité de deux endom. de \(M_{A\otimes A}\) \(M_{k'} = M_{A\otimes A}\) qu'on va écrire — puis on écrira l'égalité [de leurs composés] avec \(M \xrightarrow{\mathrm{can}} M_{A\otimes A}\) — donc finalement il faudra définir deux \(k\)-hom \(M \to M_{A \otimes A}\), savoir \[x \longmapsto g\,x', \qquad x \longmapsto g'\,x'\] (où \(x'\) est l'image de \(x\) dans \(M_{k'} = M_{A\otimes A}\)). l'« égalité de leurs composés » est une lecture de sens : la ligne porte « l'égalité » suivi d'un mot bref illisible

Or \[(gg')_M\, x' = (gg')^{\circ}_M\, x = (\mathrm{id}_M \otimes gg') \circ u_0 :\]

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "(gg')^{\circ}_M"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \pi"] \\
  & M \otimes A \otimes A
\end{tikzcd}

à droite de ce diagramme, une règle de calcul sur les éléments, du type \(y \otimes \lambda \mapsto \ldots\), est raturée et illisible ; \(gg'\) n'est autre que la comultiplication \(\pi : A \to A \otimes A\) \[g_M(g'_M x') = \ ?\] Calculons \(g'_M x' \in M_{k'}\) (\(= (g'_M)^{\circ} x\)), c'est \((\mathrm{id}_M \otimes g')(u_0(x))\) :

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] & M \otimes A \arrow[d] \\
  & M \otimes A \otimes A
\end{tikzcd}

\(y \otimes \lambda \longmapsto y \otimes 1 \otimes \lambda\).

Donc \(g_M(g'_M x')\) s'obtient en appliquant au résultat \(g_M\), donné par \[g_M(y \otimes \lambda \otimes \mu) = g^{\circ}_M(y)\, \lambda \otimes \mu = (\mathrm{id}_M \otimes g)(u_0(y))\, \lambda \otimes \mu ,\] en […] donc \[g_M(y \otimes 1 \otimes \lambda) = \underbrace{(\mathrm{id}_M \otimes g)\, u_0(y)}_{\in\, M \otimes A \otimes 1}\, 1 \otimes \lambda ,\] donc

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[d, "u_0"'] & \\
  M \otimes A \arrow[r, "u_0 \otimes \mathrm{id}_A"] & M \otimes A \otimes A
\end{tikzcd}

c'est le diagramme de \((g_M g'_M)^{\circ}\) ; dans \(M \otimes A \otimes A\) au bout de la flèche, il souligne d'un trait ondulé le facteur \(M \otimes A\) ; une ligne raturée court sous le cadre Donc l'axiome 2 s'exprime comme

(2')

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "u_0"] \arrow[d, "u_0"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \pi"] \\
  M \otimes A \arrow[r, "u_0 \otimes \mathrm{id}_A"'] & M \otimes A \otimes A
\end{tikzcd}

commutatif.

25NB L'homom. \(A \to A \otimes A\) s'interprète comme un hom […] ligne biffée d'un trait, et en outre barrée de grandes boucles ; au-dessus, « de \(k\)-modules », relié par un trait, semble pris dans la même rature

NB À tout \(k\)-module \(M\) associons le foncteur en \(\mathcal{O}\)-modules \[W(M) : k' \longmapsto \mathrm{Hom}_{k\text{-}\mathrm{Mod}}(M, k')\] qui dépend de façon contravariante de \(M\). On trouve :

  1. a)\(M \mapsto V(M)\), \(\quad \mathrm{Mod}(k)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Mod}(\mathcal{O})\) est pl. fidèle, i.e. \[\forall M, N \qquad \mathrm{Hom}_k(M, N) \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{M,N}\ } \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(W(N), W(M))\] […] sous la formule, une ligne entière est raturée et illisible ; l'étiquette de l'alinéa, « b) », y est d'abord biffée puis reprise à la ligne suivante
  2. b)\(\forall M, N\) […] l'accouplement canonique \[V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N) \longrightarrow V(M \otimes_k N) ,\] […] pas un isom, car il n'est pas vrai que \[\bigl[\mathrm{Hom}_k(M, k') \otimes_{k'} \mathrm{Hom}_{k'}(N', k') \simeq \mathrm{Hom}_{k'}(M' \otimes_{k'} N', k')\bigr]\] interligne, au-dessus : \(M'^{\vee} \otimes_{k'} N'^{\vee} \to (M' \otimes_k N')^{\vee}\) définit cependant, en prenant les Hom dans […] un \(V(P)\), un hom fonctoriel \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M \otimes_k N), V(P)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N), V(P))\] avec \(\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M\otimes_k N), V(P)) \simeq \mathrm{Hom}_k(P, M \otimes N)\).

il écrit tantôt \(V\), tantôt \(W\) pour le même foncteur ; la page ne permet pas de les distinguer, et la transcription suit la lettre qu'il trace

On trouve donc ainsi

on dit aussi : \(M\) comodule […] dit aussi : […] comodule, […] […] […] signifie que \(V(A)\) opère sur \(W(M)\) à gauche deux notes cerclées dans la marge gauche, reliées par un trait à « module » et à l'accouplement ; la seconde, écrite en oblique et serrée, ne se lit qu'en partie

26Soit donc \(A\) une coalgèbre (ass. unit.) et \(M\) un comodule [à g.] sur \(A\), la coalgèbre \(\check{A} = V(A)(k)\) opère à droite sur \(V(M)\), donc à gauche sur \(W(M)\), ou ce qui revient au même, sur \(M\), donc \(V(M\) \(M\)) devient un \(\check{A}\)-alg module. Si \[\xi : A \longrightarrow k \quad (k\text{-lin}) \in \check{A}, \qquad x \in M,\] on \[\xi \cdot x = (\mathrm{id}_M \otimes \xi)(u_0(x)),\] i.e. \[\xi_M = (\mathrm{id}_M \otimes \xi) \circ u_0 .\] « à g. » est inscrit au-dessus de « comodule » ; la lecture « à gauche » est suggérée par la phrase même Notons que si \(A\) est […] projectif de t.f. sur \(k\), on a un isom., on a un isom \(M \otimes A \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k(\ldots)\) \[M \otimes A \simeq \mathrm{Hom}_k(\check{A}, M) ,\] donc la donnée des \(\bigl[M \xrightarrow{u_0} M \otimes_k A\bigr]\) [satisfaisant certaines conditions] […] équivaut à la donnée de \[\check{A} \longrightarrow \mathrm{Hom}_k(M, M)\] satisfaisant des conditions pareilles. On trouve ainsi que la donnée d'une structure de \(A\)-comodule […] sur \(M\) […], que si le \(k\)-module \(A\) est projectif de t.f. \(A\), la donnée d'une structure de coalgèbre (ass. unit.) équivaut à celle d'une str. d'algèbre (ass. unit.) sur \(\check{A}\).

Si \(k\) est un corps, on a […] […] \(A = \varinjlim A_i\), \(A_i\) les […] […] de dim. finie, d'où \(\check{A} = \varprojlim \check{A}_i\) (lim. projective) […] de \(\check{A}\) gén. si \(A\) est somme directe de modules de t.f. proj. Munissant \(\check{A}\) de la topologie de la convergence simple, on a \[M \otimes_k A \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k(\check{A}, M),\] le passage « Si \(k\) est un corps, … » est biffé par plusieurs traits obliques et horizontaux ; seules des bribes s'en lisent. La note marginale semble remplacer l'hypothèse biffée donc \[\mathrm{Hom}(N, M \otimes_k A) \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k\bigl(\check{A}, \underbrace{\mathrm{Hom}_k(N, M)}_{\text{muni de la top.\ de la conv.\ simple}}\bigr)\] donc on trouve qu'une structure de comodule (ass. unit.) sur \(M\) revient à la donnée d'une la phrase se poursuit à la page suivante

27structure de \(\check{A}\)-module sur \(M\) tel que pour tout \(x \in M\), \(\xi \mapsto \xi x\) soit continue (i.e. s'annule sur un des \(J_i \subset \check{A}\) …). De même, on voit que la donnée d'une structure de coalgèbre (co. unit.) sur le \(k\)-module \(A\) […] équivaut à la donnée d'une opération structure de \(k\)-algèbre (ass. unitaire) sur \(\check{A}\) qui soit continue [car si \(\check{P}, \check{Q}, \check{R}\) sont […] […], […] continues au-dessus de \(\check{P}\), \(\check{Q}\), \(\check{R}\) : \(k^{\Sigma}\), \(k^{J}\), \(k^{\Lambda}\), reliés par \(\simeq\) ou \(=\) ; le deuxième exposant est incertain. Au-dessus du mot biffé, « bil. » \(\check{P} \times \check{Q} \longrightarrow \check{R} = \varprojlim \check{R}_\gamma\)

\[\begin{align*} \mathrm{Bil\,cont}_k(\check{P}, \check{Q}; \check{R}) &\simeq \mathrm{Bil\,cont}_k\bigl(\check{P}, \check{Q}; \varprojlim_{\gamma} \check{R}_\gamma\bigr) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \bigl[\mathrm{Bil\,cont}_k(\check{P}, \check{Q}; \check{R}_\gamma)\bigr] \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \Bigl[\varinjlim_{\alpha,\beta} \underbrace{\mathrm{Bil}_k(\check{P}_\alpha, \check{Q}_\beta; \check{R}_\gamma)}_{\mathrm{Hom}_k(\check{P}_\alpha \otimes \check{Q}_\beta,\, \check{R}_\gamma)}\Bigr] \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \varinjlim_{\alpha,\beta} \mathrm{Hom}_k(R_\gamma, P_\alpha \otimes Q_\beta) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \mathrm{Hom}_k(R_\gamma, P \otimes Q) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_k(R, P \otimes Q) \qquad !\ ] \end{align*}\] une ligne « \(\simeq\) » laissée vide et biffée entre la troisième et la quatrième égalité ; dans la première ligne, « cont » est surchargé sous « Bil »

On est dans le cas envisagé […] si \(A\) est limite inductive filtrante On a également les […] […] dénombrable de sous-modules projectifs [de t.f.], à morphismes de transition ayant des supplém. mon. univ. [i.e. ayant des rétractions à g.]

Mais dans le cas général, on ne peut oublier \(V(A)\) [et ses opérations] au profit de \(\check{A} = V(A)(k)\) … « et ses opérations » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait

Modules quotients et sous-modules stables par une co-opération de la coalgèbre \(A\) : Soit \(M \twoheadrightarrow N'\) un ép., alors \[V(N') \subset V(M) \quad \text{mono},\] et il est clair ce que signifie que \(V(N')\) est stable ; on dira alors que \(N'\) est stable par la coop. de \(M\). Cela signifie aussi qu'\(\exists\) un hom \(N' \xrightarrow{\ \omega_{N'}\ } N' \otimes A\) rendant commutatif

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\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "\omega_M"] \arrow[d] & M \otimes A \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_A"] \\
  N' \arrow[r, "\omega_{N'}"'] & N' \otimes A
\end{tikzcd}

et cet \(\omega_{N'}\) est unique et satisfait aux axiomes d'unitarité et associativité. Si \(A\) est l'alg. affine l'épimorphisme est tracé \(M \to N'\), surmonté d'une lettre peu nette, qui doit être le \(g\) de la flèche verticale ; au bas de la page, « \(N'\) » est inscrit sous « cet » ; la phrase se poursuit à la page suivante

28d'un monoïde affine \(G\), cela signifie aussi qu'il existe une opération de \(G\) sur \(M'\) que telle que \(M \to M'\) soit comp. […] op., et il est clair (comme \(W(M') \to W(M)\) inj.) que cette opération sera unique. un mot interlinéaire, peut-être « devient », est écrit sous \(M'\) et appelé par un trait vers la parenthèse

Si […] un mono \[M'' \overset{i}{\hookrightarrow} M\] alors il ne sera pas vrai en général que \(V(M) \to V(M'')\) soit surjectif, ni que \(W(M'') \to W(M)\) soit injectif, donc […] cette condition […] […] […] à parler d'opération induite, […] On dira qu'il existe une op. induite si on peut faire opérer \(G\) sur \(M''\) de telle façon que \(M'' \to M\) soit comp. aux opérations. Mais il n'est plus clair que l'op. « induite » soit unique ! En termes d'alg. comm., la question est de trouver un \(\Delta_{M''} : M'' \to M'' \otimes A\) rendant commutatif

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\begin{tikzcd}
  M'' \arrow[r, "u_{M''}\,?"] \arrow[d, hook, "i"'] & M'' \otimes A \arrow[d, "i \otimes \mathrm{id}_A"] \\
  M \arrow[r, "u_M"'] & M \otimes A
\end{tikzcd}

On peut dire que c'est unique [et existe] si \(i \otimes \mathrm{id}_A = i_A\) soit un mono, et si [\(i \otimes \mathrm{id}_{A \otimes A}\) l'est aussi, […] […] […] […] ; alors \(M'\) est stable ssi \(M''\) l'est]. passage interlinéaire serré et raturé en partie, à droite : on y lit encore « \(\mathrm{Im}(M'') \subset \mathrm{Im}\,M''_{\ldots}\) », « associativité » et, souligné, « existe » ; le reste est illisible

Ceci Ces conditions envisagées sont ok dans les cas suivants :

  1. a)\(A\) est plat (v. […] le cas courant)
  2. b)\(M/M''\) est \(A\)-plat
  3. c)\(M''\) facteur direct dans \(M\).

[…] à droite de a), trois lignes biffées de grands zigzags, qui finissaient sur « dans \(M''\otimes A\) » ; en dessous, cerclé : « Alors l'intersection finie de sous-modules stables est stable, kif kif sommes quelconques » supposons ces conditions, […] \(M'\) stable ssi \(M''\) stable la note marginale, en oblique et biffée de traits obliques, est reliée par une accolade à la liste a)–c)

Dans le cas \(A\) libre [ou plus gén. somme de modules proj. de t.f.] on voit que \(M'\) est stable ssi \(M'\) est stable […] sous l'action de \(\check{A}\), i.e. […] un sous-\(\check{A}\)-module. On trouve donc

Proposition Si \(A\) est somme de modules proj. de t.f., alors un sous-\(k\)-module d'un \(A\)-comodule \(M\) est stable ssi il est stable sous […] est un sous-\(\check{A}\)-module.

29Corollaire 1 Pour tout […] sous-module \(M'\) de \(M\), il y a un plus petit sous-module [\(M'^{S}\)] stable de \(M\) qui contienne \(M'\), et c'est aussi le sous \(\check{A}\)-module engendré. Si \(M'\) est de t.f. sur [sur] \(k\), \(M'^{S}\) aussi, donc […] « \(M'^{S}\) » est inscrit au-dessus de « sous-module » ; l'exposant \(S\) est une lecture de la lettre tracée, qui ressemble aussi à un \(G\)

Corollaire 2 \(M\) est limite inductive filtrante de ses sous-modules de t.f. stables. la ligne se termine par un mot bref biffé

Corollaire 3 […] Considérons \(A\) comme bimodule sur lui-même [[…]] à g. et à droite, alors donc comme bimodule sur \(\check{A}\), […] […], lorsque alors […] […] \(H\) […], considérons les sous-bimodules \(B \subset A\). On […] que Analogue Cor 1, 2 […] […] […] \(A\) […] \(A\) considéré comme […] \(A\) [la coalgèbre produit (\(A^{\circ}\) l'opposée de \(A\))] \(A\) sous […] \(A \otimes A^{\circ}\) et on module […] celle-ci, on trouve directement, on trouve ce passage est remanié à l'extrême : un titre « Corollaire 3 » biffé, plusieurs amorces raturées, un ajout interlinéaire « la coalgèbre produit (\(A^{\circ}\) l'opposée de \(A\)) » relié par un long trait ; la syntaxe exacte n'est pas restituable

Cor 3 […] Tout sous-bimodule \(B\) de \(A\) est contenu dans un plus petit sous-bimodule \(B^{S}\) stable par stable à g. et à droite (i.e. le sous-\(\check{A}\)-bimodule engendré), et si \(B\) est de t.f. sur \(k\), \(B^{S}\) aussi. Donc \(A = \varinjlim A_i\), les \(A_i\) étant stables à g. et à droite.

Or cette stabilité [pour un \(B\) donné] signifie que \(\pi : A \to A \otimes A\) envoie \(B\) dans \((B \otimes A) \cap (A \otimes B)\). Si \(B\) […] \(A/B\) est plat sur \(k\) (par ex. le cas courant) cela signifie aussi que \(\pi\) envoie \(B\) dans \(B \otimes B\), donc veut dire qu'il y a une structure de coalgèbre induite. On trouve donc

Cor. 4 Toute coalgèbre [\(A\)] sur un corps est \(\varinjlim\) [fil.] de coalgèbres de t.f., donc \(\check{A}\) est \(\varprojlim\) [fil. stricte] d'algèbres finies sur \(k\). « fil. » et « fil. stricte » sont des ajouts interlinéaires ; la première limite est inductive, la seconde, soulignée d'une flèche vers la gauche, projective

30Prop. \(G\) […] [groupe (monoïde)] affine sur le corps \(k\). Alors

  1. a)\(G\) […] est limite projective [filtrante, stricte] de [groupes] […] (monoïdes) affines de t.f. sur \(k\), […] des morphismes […]
  2. b)Si \(G\) est un monoïde [(groupe)] affine de t.f. sur \(k\), on peut trouver un entier \(n\) et une immersion fermée \[G \longrightarrow \mathrm{M}(n)_k \qquad (\text{resp.\ } G \to \mathrm{GL}(n)_k)\] soumise aux multiplications.

« entier » est lu d'après le sens, le mot étant tracé d'un seul long trait. Le \(\mathrm{M}\) est surchargé sur un \(\mathrm{GL}\) ; en exposant, une petite croix

Dém. \(G \longleftrightarrow A\), […] et \(A = \varinjlim_i A_i\), les \(A_i\) les sous-algèbres de t.f. de \(A\). On s'intéresse aux sous-algèbres \(B\) qui sont « stables » par \(\pi : A \to A \otimes A\), et il est clair que si \(M \subset A\) est stable sous \(\pi\), la sous-algèbre [\(B\)] (qu'elle engendre) aussi. Donc le corollaire 2 nous dit que l'on peut supposer les \(A_i\) stables par \(\pi\). Si \(G\) un groupe, d'où antipodisme \(\sigma\) de \(A\), alors si \(M\) stable sous \(\sigma\), alors l'algèbre \(B\) aussi. Or si \(M\) stable par \(\pi\), \(\sigma M\) aussi [\(M\) sous-module à g. [(à dr.)] sous \(\check{A}\) \(\Longleftrightarrow\) \(\sigma M\) sous-module à dr. (g.) sous \(\check{A}\)], donc \(M + \sigma M\) aussi, donc on peut supposer les \(A_i\) stables par \(\sigma\), donc les \(G_i\) sont des groupes.

Supposons maintenant \(A\) de t.f., donc on a un sous \(k\)-module [de t.f.] \(M\) de \(A\) qui engendre \(A\) comme […] algèbre. Considérons On peut supposer \(M\) stable par \(\check{A}\) à gauche droite, donc que \(G\) y opère à droite […]. Donc \[G \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Aut}}_k(M) \quad (\simeq \mathrm{GL}(n)_k)\] où \(n = \dim M\). Prouvons que c'est un mono. On a […] […] \(g \mapsto \varepsilon(f)\) … Considérons [pour \(\varphi \in M\)] la fonction sur \(G\) \[g \longmapsto \varepsilon(g \cdot \varphi) = (g\varphi)(1) = \varphi(g)\] au-dessus de « la fonction », « \(\varphi \in M\) » ; sous \(g \cdot \varphi\), un mot interlinéaire, peut-être « élém. » […] Donc \(M \subset \mathrm{Im}\bigl[\text{anneau \uncertain{affine} de } \underline{\mathrm{End}}_k(M) \to A\bigr]\) donc \(V\) […] affine de \(\underline{\mathrm{End}}_k(M)\) et […] fonction coordonnée de \(\mathrm{GL}(n)\) s'envoient sur \(A\), ok.

31Si \(A\) est l'algèbre [affine] d'un monoïde [affine \(G\)] sur \(k\) [i.e. \(A\) est muni, en plus de la comultiplication \(\pi\), d'une multiplication [ass. et unitaire] bilinéaire qui en fait une [ass. unitaire] qui est de plus commutative, et \(\pi\) est un hom d'algèbres] alors \(\forall k'\), les éléments de [\(V(A)(k') =\)] \(\mathrm{Hom}(A, k')\) [i.e. les hom. linéaires \(A \to k'\)] […] s'appellent les « distributions de \(G\) à […] coeff [h-mod.] dans \(k'\) », notés \(\mathrm{Dist}(G)(k')\) [[algèbre des distributions]]. Donc on a elles forment une \(k'\)-algèbre [« l'algèbre du groupe [monoïde] \(G\) à coeff. dans \(k'\) »] et on a un homomorphisme de monoïdes \[G(k') \hookrightarrow \mathrm{Dist}(G)(k')^{\times}\] et si \(G\) est un groupe \[G(k') \hookrightarrow \mathrm{Dist}(G)(k')^{*} \qquad [\text{pratiquement jamais un isom}]\] « ass. et unitaire » est écrit au-dessus de « multiplication », « ass. unitaire » au-dessus des mots biffés ; « h-mod. », au-dessus de « coeff », est très incertain

Ex : \(G\) un groupe fini constant ordinaire \(\Gamma\), \(G = \Gamma_k\), […] […], \(A =\) algèbre des fonctions [à valeurs dans \(k\)] sur \(\Gamma\) [postulat] l'exemple est encadré puis biffé de quatre traits obliques

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  G \arrow[r, "\mathrm{id}_G \times \sigma"] \arrow[dr, "p"'] & G \times G \arrow[r, "\pi"] & G \\
  & e \arrow[ur, "\varepsilon"'] &
\end{tikzcd}

au-dessus, « \(g\,g^{-1} = 1\) » ; la pointe de la première flèche est peu nette, le sens retenu est celui qu'impose le diagramme dual \(A \to A \otimes A\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  A & A \otimes A \arrow[l] & A \arrow[l, "\pi"'] \arrow[dl, "\varepsilon"] \\
  & k \arrow[ul, "p"] &
\end{tikzcd}

sur la flèche de gauche : \(x\,\sigma y \longleftarrow\!\shortmid\ (x, y)\) \(\pi(x) =\) \(\mathrm{Dist}(X) \xrightarrow{\ \pi\ } \mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(X)\), \(\varepsilon\) […] \(\mathrm{Dist}(X)\) […] \(e\) \(X \times Y \ldots A \otimes A,\ x \otimes y \ldots\) […] deux notes marginales écrites le long du bord gauche, tournées d'un quart de tour ; la seconde est une esquisse de flèches entre \(X\times Y\), \(A\otimes A\) et \(k\), qu'on ne restitue pas

32Exemples de groupes algébriques affines sur \(k\). \[\begin{array}{llll} \mathbb{G}_m,\ \mathbb{G}_a, & \mathrm{GL}(n), & O(Q), & \text{s-groupe de } \mathrm{GL}(n) \text{ invariant des tenseurs} \\ & \mathrm{SL}(n) & \ \cap & \quad \ldots \\ & & \mathrm{GL}(n) & \\ & \mathrm{Tr}(n) & & \\ & \mathrm{Tr}_0(n) & & \\ \multicolumn{2}{l}{\mathrm{Diag}_0(n) \subset \mathrm{Diag}(n)} & & \\ \quad \wr & & & \\ \mathbb{G}_m & & & \end{array}\] à gauche de \(\mathrm{Tr}_0(n)\), une abréviation brève, peut-être « Sp. » ; l'isomorphisme vertical relie \(\mathrm{Diag}_0(n)\) à \(\mathbb{G}_m\) immersion de \(\mathbb{G}_a\) dans \(\mathrm{GL}(2)\)

Soit \(M\) un \(k\)-module. \[W(M) : k' \longmapsto M \otimes_k k' \qquad (\text{un faisceau } \mathcal{O}_k\text{-Module, pas seulement un groupe})\] Pour que ce soit représentable, il faut que \(W(M)\) transforme injections \(k' \to k''\) en injections, donc que \(M\) soit plat sur \(k\). […] Il faut qu'il transforme produits (infinis) d'algèbres en produits \[M \otimes_k \prod k'_i \longrightarrow \prod_i M \otimes_k k'_i \quad \text{bijectif.}\] On sait que ceci faisant tous les \(k'_i\) égaux à \(k\), on trouve \[M \otimes k^I \xrightarrow{\ \sim\ } M^I .\] Et on sait tout de suite que cela implique que \(M\) est de type fini, donc […] quotient d'un libre fini \(\to R \to L\) \[0 \to R \to L \to M \to 0\] […] et comme \(M\) est plat, cela reste exacte par \(\otimes_k k^I\), donc \(R \otimes k^I \xrightarrow{\sim} R^I\), donc \(R\) de type fini, donc \(M\) de présentation finie, donc \(M\) plat de prés. finie, donc \(M\) projectif de t.f. (facteur direct d'un libre).

Inversement, si \(M\) projectif de t.f. i.e. facteur direct d'un libre \(L = k^n\), par un projecteur \(p\), on a \[M \otimes_k k' = \mathrm{Ker}\bigl((1 - p)_{k'} : k'^n \to k'^n\bigr)\] \[W(M) = \mathrm{Ker}\bigl(E^n \xrightarrow{\ 1-p\ } E^n\bigr)\] c'est repr. \(E\) désigne sans doute le schéma affine standard \(\mathbb{G}_a\) ; la page ne le définit pas

33\[V(M) = \mathrm{Hom}_{k\text{-mod}}(M, k') = \mathrm{Hom}_{k'\text{-mod}}(M \otimes_k k', k')\] est représentable par \(\mathrm{Sym}^{*}_k(M) = \sum_{n \geqslant 0} \mathrm{Sym}^{n}_k(M)\) \[\Bigl[\ V(M) \times W(M) \longrightarrow \mathcal{O}_k = W(k) \qquad V(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_k}\bigl(W(M), W(k)\bigr)\] le second membre est expliqué par une accolade : \(k' \longmapsto \mathrm{Hom}\bigl(W(M)_{k'}, W(k')\bigr)\), avec \(W(M)_{k'} \simeq W(M_{k'})\) au-dessus, et en dessous \(= \mathrm{Hom}_{k'}(M_{k'}, k') = \mathrm{Hom}_k(M, k')\). Le crochet ouvert n'est pas refermé Or \(M \longmapsto W(M)\) \[\mathrm{Mod}(k) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_k) \quad \text{est \emph{pleinement fidèle}.}\] Mod \(\underline{M} \longmapsto V(M)\) idem après ext. de la base à \(k'\) De […] […] Donc on a une dualité parfaite entre \(V(M)\) et \(W(M)\) … « Donc on a une … » est encadré à gauche d'un trait, sous deux mots biffés ; « dualité » est proposé pour un mot bref commençant par « b » ou « d », peut-être « bi-dualité » \[\underline{\mathrm{Aut}}_{\mathcal{O}}(M) \subset \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(M) \qquad \text{représentable si } M \text{ est proj.\ t.f.}\]

fla, \(D(\Gamma)\) … dernière ligne, sous un trait horizontal : « fla » (ou « fl\(_a\) ») suivi de \(D(\Gamma)\) et de points de suspension ; la lecture du premier mot est incertaine