Fonds Grothendieck, cote n° 53, pages 21–33

Rectification Si G monoïde affine de t.f. sur un corps k, on a une immersion fermée multiplicative G \to M_{n,k} (non G \to \mathrm{GL}_{n,k}), car on peut montrer que si G est un monoïde de prés. finie sur un anneau k, tel que les translations à g (à dr.) sont — p.ex. s'il \exists mon. G \to G', G' un groupe — alors G est un objet gr.-pr.). au-dessus de « groupe », un mot interlinéaire relié par un trait, peut-être « facteur… » ; la fin de la phrase, « objet gr.-pr. », est incertaine

Soit X schéma affine sur k, de l'algèbre A. On définit \check{A} = \mathrm{Dist}(X)(k) , le foncteur k' \mapsto \mathrm{Dist}(X, k'), noté \mathrm{Dis}(X) \quad \bigl(\,= V(A)\ \text{comme Module sur } \mathcal{O}_k\bigr) \swarrow covariant

a)\mathrm{Dist}(X) fonctoriel covariant en X ; b)\mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(Y) \xrightarrow{\ \pi_{X,Y}\ } \mathrm{Dist}(X \times Y) bilinéaire

[et universel pour les hom bilinéaires de \mathrm{Dis}(X) \times \mathrm{Dis}(Y) dans un V(M)] i.e. définit en fait un isom \mathrm{Dist}(X) \boxtimes \mathrm{Dist}(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Dist}(X \times Y) . la ligne a) porte, raturée au-dessus, « variant en X » ou approchant ; la flèche marginale « covariant » y renvoie

c)On a un i fonctorielle X \xrightarrow{\ \alpha_X\ } \mathrm{Dist}(X) \qquad [\text{distribution ponctuelle}], compatible aux produits, i.e. … commutativité du

\begin{tikzcd} X \times Y \arrow[r, "\alpha_X \times \alpha_Y"] \arrow[dr, "\pi_{X \times Y}"'] & \mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(Y) \arrow[d, "\pi_{X,Y}"] \\ & \mathrm{Dist}(X \times Y) \end{tikzcd}

l'étiquette de la diagonale est écrite \pi_{X\times Y} sur la page, alors que c'est la flèche ponctuelle de X\times Y qu'appelle le diagramme ; la transcription garde la lettre de la page

~~Si G est muni d'une loi de comp., \mathrm{Dist}(G) aussi. Elle est unitaire ssi celle de \mathrm{Dist}(G) l'est.~~ deux lignes biffées d'un trait, puis de traits verticaux En fait on peut reconstruire X à partir de \mathrm{Dist}(X) = D et la structure co-algébrique D \xrightarrow{\ \Delta\ } D \boxtimes D \qquad \bigl[V(A) \boxtimes V(B) \overset{\mathrm{def}}{\simeq} V(A \otimes B)\bigr] [\text{NB } \boxtimes = \otimes \text{ si } A \text{ ou } B \text{ proj.\ de t.f.}] doit être une « application diagonale » ass. comm. et counitaire [i.e. muni de D \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathcal{O} \ldots] comme formé des x \in D(k') tels que \boxed{\ \Delta(x) = x \boxtimes x\ } NB on réinterprète D comme \mathrm{Dist} en X : muni de diagonale commutative, counitaire note marginale en oblique, dans le coin inférieur gauche, lue en partie ; « \mathrm{Dist}(X) » y paraît sous une forme abrégée

[cet exprime que l'hom A \to k' est un hom d'algèbres]

Si G est muni d'une loi de comp., \mathrm{Dist}(G), celle-ci est (ass. comm.) ssi celle de G l'est, et ~~unitaire~~ G admet une unité bilatère ssi \mathrm{Dist}(G) a une unité e telle que \delta(e) = e \boxtimes e.

Dire que G opère sur un module M (g.) signifie que \mathrm{Dist}(G) y opère à gauche — et cette opération étend celle de G. « (g.) » est inscrit au-dessus de la ligne, après M ; l'étendue de la reprise « et cette opération étend » est de lecture probable, non sûre

NB Dans certains cas, \mathrm{Dist}(X) se reconstitue à partir de \mathrm{Dist}(X, k) = \mathrm{Dist}(X)(k), p.ex. si A est projectif de t.f. sur k, ou plus gén. si A est somme de modules projectifs de t.f. (p.ex. k un corps) — mais alors il faut considérer \mathrm{Dist}(X, k) comme module topologique.

Re NB Surtout remarquons pour mémoire. En plus de G, \mathrm{Dist}(G) [voire \mathrm{Dist}(G, k)] contient toute l'information infinitésimale de G : p.ex. l'algèbre de Lie de G est contenue dans \mathrm{Dist}(G, k), ~~et la~~ sa loi de [\ ] est déduite par le crochet de l'algèbre, et on a aussi sa puiss. p-ième aussi — de sorte que l'hyperalgèbre. la phrase s'arrête sur « l'hyperalgèbre. » ; « Surtout remarquons » est une lecture très incertaine de la première ligne

Cas des schémas constants : on retrouve l'algèbre d'un groupe fini.

Cas des gr. pr. diagonalisables A = k(M) \quad \text{algèbre du groupe à coeff.\ dans } k \begin{array}{lcl} A \otimes A \longrightarrow A & \text{provient de} & M \times M \longrightarrow M \ \text{loi de groupe} \\ A \otimes A \longleftarrow A & \text{---} & M \times M \longleftarrow M \ \text{diagonale} \end{array} \mathrm{Dist}(D(M))(k) = k^M avec la loi d'algèbre produit (ne dépend pas de la str. de groupe de M !) [Combinaison linéaire infinie de caractères]. sous « A\otimes A \leftarrow A », un signe « = » au crayon, peu marqué ; « diagonale » est écrit au-dessus de la seconde ligne

A algèbre d'un k-~~groupe~~ monoïde affine G M k-module opération de G sur M : \begin{cases} 1)\ 1x = x \\ 2)\ g(g'x) = gg'x \end{cases} \qquad \text{i.e.}\quad G \longrightarrow \underline{\mathrm{End}}_k(M) = \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(W(M)) « Opération sans axiomes » correspond à u : M_A \xrightarrow[A\text{-lin}]{} M_A, \qquad M_A = A \otimes_k M, ou u_0 : M \longrightarrow A \otimes_k M \qquad k\text{-lin.} deux traits courbes, sur A\otimes_k M, semblent indiquer l'échange des facteurs, en M\otimes_k A ; c'est l'ordre qu'emploient les formules qui suivent

~~L'axiome 1x = x~~

Si g \in G(k') correspond à un hom de k-algèbres A \xrightarrow{g} k', alors g_M sera l'endomorphisme de (k', g) \otimes_A M ~~défini~~ déduit ~~de g \otimes_A i~~ par changement de base, i.e. l'unique hom M_{k'} \to M_{k'} tel que le diagramme d'hom A-linéaires

\begin{tikzcd} M_A \arrow[r, "u"] \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_M"'] & M_A \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_M"] \\ M_{k'} \arrow[r, "g_M"'] & M_{k'} \end{tikzcd}

à gauche du carré, entre crochets, M envoie deux flèches, vers M_A et vers M_{k'} est commutatif ; mais cela signifie aussi que le diagramme

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes g"] \\ M \otimes k' \arrow[r, "g_M"'] & M \otimes k' \end{tikzcd}

est commutatif, ou encore, notant que la donnée de g_M est équivalente à celle de g_M^{\circ} = g_M \circ \mathrm{can} : M \to M \otimes k', à la f commutativité de

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "g^{\circ}_M"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes g"] \\ & M \otimes k' \end{tikzcd}

Pour obtenir l'axiome 1), on fait k' = k, g = \struck{\ill{}}(\varepsilon : A \to k), d'où

(1')

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "="'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \varepsilon"] \\ & M \end{tikzcd}

comm. i.e. (\mathrm{id}_M \otimes \varepsilon)\, u_0 = \mathrm{id}_M.

Pour écrire 2), on ~~écrit~~ prend k' = A \otimes A, et on choisit les deux hom A \mathrel{\substack{\xrightarrow{\ g\ } \\ \xrightarrow[\ g'\ ]{}}} A \otimes A donnés par g(\lambda) = \lambda \otimes 1, \qquad g'(\lambda) = 1 \otimes \lambda , et on écrit l'égalité comme une égalité de deux endom. de ~~M_{A\otimes A}~~ M_{k'} = M_{A\otimes A} qu'on va écrire — puis on écrira l'égalité de leurs composés avec M \xrightarrow{\mathrm{can}} M_{A\otimes A} — donc finalement il faudra définir deux k-hom M \to M_{A \otimes A}, savoir x \longmapsto g\,x', \qquad x \longmapsto g'\,x' (où x' est l'image de x dans M_{k'} = M_{A\otimes A}). l'« égalité de leurs composés » est une lecture de sens : la ligne porte « l'égalité » suivi d'un mot bref illisible

Or (gg')_M\, x' = (gg')^{\circ}_M\, x = (\mathrm{id}_M \otimes gg') \circ u_0 :

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] \arrow[dr, "(gg')^{\circ}_M"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \pi"] \\ & M \otimes A \otimes A \end{tikzcd}

à droite de ce diagramme, une règle de calcul sur les éléments, du type y \otimes \lambda \mapsto \ldots, est raturée et illisible ; gg' n'est autre que la comultiplication \pi : A \to A \otimes A g_M(g'_M x') = \ ? Calculons g'_M x' \in M_{k'} (= (g'_M)^{\circ} x), c'est (\mathrm{id}_M \otimes g')(u_0(x)) :

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] & M \otimes A \arrow[d] \\ & M \otimes A \otimes A \end{tikzcd}

y \otimes \lambda \longmapsto y \otimes 1 \otimes \lambda.

Donc g_M(g'_M x') s'obtient en appliquant au résultat g_M, donné par g_M(y \otimes \lambda \otimes \mu) = g^{\circ}_M(y)\, \lambda \otimes \mu = (\mathrm{id}_M \otimes g)(u_0(y))\, \lambda \otimes \mu , en donc g_M(y \otimes 1 \otimes \lambda) = \underbrace{(\mathrm{id}_M \otimes g)\, u_0(y)}_{\in\, M \otimes A \otimes 1}\, 1 \otimes \lambda , donc

\begin{tikzcd} M \arrow[d, "u_0"'] & \\ M \otimes A \arrow[r, "u_0 \otimes \mathrm{id}_A"] & M \otimes A \otimes A \end{tikzcd}

c'est le diagramme de (g_M g'_M)^{\circ} ; dans M \otimes A \otimes A au bout de la flèche, il souligne d'un trait ondulé le facteur M \otimes A ; une ligne raturée court sous le cadre Donc l'axiome 2 s'exprime comme

(2')

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "u_0"] \arrow[d, "u_0"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_M \otimes \pi"] \\ M \otimes A \arrow[r, "u_0 \otimes \mathrm{id}_A"'] & M \otimes A \otimes A \end{tikzcd}

commutatif.

~~NB L'homom. A \to A \otimes A s'interprète comme un hom~~ ligne biffée d'un trait, et en outre barrée de grandes boucles ; au-dessus, « de k-modules », relié par un trait, semble pris dans la même rature

NB À tout k-module M associons le foncteur en \mathcal{O}-modules W(M) : k' \longmapsto \mathrm{Hom}_{k\text{-}\mathrm{Mod}}(M, k') qui dépend de façon contravariante de M. On trouve :

a)M \mapsto V(M), \quad \mathrm{Mod}(k)^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Mod}(\mathcal{O}) est pl. fidèle, i.e. \forall M, N \qquad \mathrm{Hom}_k(M, N) \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{M,N}\ } \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(W(N), W(M)) sous la formule, une ligne entière est raturée et illisible ; l'étiquette de l'alinéa, « b) », y est d'abord biffée puis reprise à la ligne suivante b)\forall M, N l'accouplement canonique V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N) \longrightarrow V(M \otimes_k N) , pas un isom, car il n'est pas vrai que \bigl[\mathrm{Hom}_k(M, k') \otimes_{k'} \mathrm{Hom}_{k'}(N', k') \simeq \mathrm{Hom}_{k'}(M' \otimes_{k'} N', k')\bigr] interligne, au-dessus : M'^{\vee} \otimes_{k'} N'^{\vee} \to (M' \otimes_k N')^{\vee} définit cependant, en prenant les Hom dans un V(P), un hom fonctoriel \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M \otimes_k N), V(P)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N), V(P)) avec \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M\otimes_k N), V(P)) \simeq \mathrm{Hom}_k(P, M \otimes N).

il écrit tantôt V, tantôt W pour le même foncteur ; la page ne permet pas de les distinguer, et la transcription suit la lettre qu'il trace

On trouve donc ainsi

\cdot)Une loi de composition \mathcal{O}-linéaire sur un V(A) (A un k-module) est une comultiplication A \xrightarrow{\pi} A \otimes A. Une unité pour la loi de composition est une (counité) A \xrightarrow{\varepsilon} k. « augmentation » est écrit au-dessus de « counité », que cerne un trait Une la loi de composition est (comm.) ssi la loi d'algèbre est (comm.). sens attendu : la loi de composition est associative (commutative) ssi la loi de coalgèbre est coassociative (cocommutative) ; les mots eux-mêmes ne se lisent pas Si M est un module, un accouplement \mathcal{O}-bilinéaire V(A) \times V(M) \longrightarrow V(M) est une diagonale M \to A \otimes M. Si A muni de \varepsilon et \pi est unitaire, alors ~~la loi de~~ l'accouplement est unitaire ssi le diagramme (1') comm. ; ~~Si A muni d'une~~ \lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x (ass.) ssi le diagramme 2' est commutatif.

on dit aussi : M comodule dit aussi : comodule, signifie que V(A) opère sur W(M) à gauche deux notes cerclées dans la marge gauche, reliées par un trait à « module » et à l'accouplement ; la seconde, écrite en oblique et serrée, ne se lit qu'en partie

Soit donc A une coalgèbre (ass. unit.) et M un comodule à g. sur A, la coalgèbre \check{A} = V(A)(k) opère à droite sur V(M), donc à gauche sur W(M), ou ce qui revient au même, sur M, donc ~~V(M~~ M) devient un \check{A}-~~alg~~ module. Si \xi : A \longrightarrow k \quad (k\text{-lin}) \in \check{A}, \qquad x \in M, on \xi \cdot x = (\mathrm{id}_M \otimes \xi)(u_0(x)), i.e. \xi_M = (\mathrm{id}_M \otimes \xi) \circ u_0 . « à g. » est inscrit au-dessus de « comodule » ; la lecture « à gauche » est suggérée par la phrase même Notons que si A est projectif de t.f. sur k, ~~on a un isom.,~~ on a un isom ~~M \otimes A \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k(\ldots)~~ M \otimes A \simeq \mathrm{Hom}_k(\check{A}, M) , donc la donnée des \bigl[M \xrightarrow{u_0} M \otimes_k A\bigr] [satisfaisant certaines conditions] équivaut à la donnée de \check{A} \longrightarrow \mathrm{Hom}_k(M, M) satisfaisant des conditions pareilles. On trouve ainsi que la donnée d'une structure de A-comodule sur M , que si le k-module A est projectif de t.f. A, la donnée d'une structure de coalgèbre (ass. unit.) équivaut à celle d'une str. d'algèbre (ass. unit.) sur \check{A}.

~~Si k est un corps, on a A = \varinjlim A_i, A_i les de dim. finie, d'où \check{A} = \varprojlim \check{A}_i (lim. projective) de \check{A}~~ gén. si A est somme directe de modules de t.f. proj. Munissant \check{A} de la topologie de la convergence simple, on a M \otimes_k A \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k(\check{A}, M), le passage « Si k est un corps, … » est biffé par plusieurs traits obliques et horizontaux ; seules des bribes s'en lisent. La note marginale semble remplacer l'hypothèse biffée donc \mathrm{Hom}(N, M \otimes_k A) \simeq \mathrm{Hom\,cont}_k\bigl(\check{A}, \underbrace{\mathrm{Hom}_k(N, M)}_{\text{muni de la top.\ de la conv.\ simple}}\bigr) donc on trouve qu'une structure de comodule (ass. unit.) sur M revient à la donnée d'une la phrase se poursuit à la page suivante

structure de \check{A}-module sur M tel que pour tout x \in M, \xi \mapsto \xi x soit continue (i.e. s'annule sur un des J_i \subset \check{A} …). De même, on voit que la donnée d'une structure de coalgèbre (co. unit.) sur le k-module A équivaut à la donnée d'une ~~opération~~ structure de k-algèbre (ass. unitaire) sur \check{A} qui soit continue [car si \check{P}, \check{Q}, \check{R} sont , ~~continues~~ au-dessus de \check{P}, \check{Q}, \check{R} : k^{\Sigma}, k^{J}, k^{\Lambda}, reliés par \simeq ou = ; le deuxième exposant est incertain. Au-dessus du mot biffé, « bil. » ~~\check{P} \times \check{Q} \longrightarrow \check{R} = \varprojlim \check{R}_\gamma~~

\begin{align*} \mathrm{Bil\,cont}_k(\check{P}, \check{Q}; \check{R}) &\simeq \mathrm{Bil\,cont}_k\bigl(\check{P}, \check{Q}; \varprojlim_{\gamma} \check{R}_\gamma\bigr) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \bigl[\mathrm{Bil\,cont}_k(\check{P}, \check{Q}; \check{R}_\gamma)\bigr] \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \Bigl[\varinjlim_{\alpha,\beta} \underbrace{\mathrm{Bil}_k(\check{P}_\alpha, \check{Q}_\beta; \check{R}_\gamma)}_{\mathrm{Hom}_k(\check{P}_\alpha \otimes \check{Q}_\beta,\, \check{R}_\gamma)}\Bigr] \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \varinjlim_{\alpha,\beta} \mathrm{Hom}_k(R_\gamma, P_\alpha \otimes Q_\beta) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \mathrm{Hom}_k(R_\gamma, P \otimes Q) \\ &\simeq \mathrm{Hom}_k(R, P \otimes Q) \qquad !\ ] \end{align*} une ligne « \simeq » laissée vide et biffée entre la troisième et la quatrième égalité ; dans la première ligne, « cont » est surchargé sous « Bil »

On est dans le cas envisagé si A est limite inductive filtrante ~~On a également les~~ dénombrable de sous-modules projectifs de t.f., à morphismes de transition ~~ayant des~~ ~~supplém.~~ mon. univ. [i.e. ayant des rétractions à g.]

Mais dans le cas général, on ne peut oublier V(A) et ses opérations au profit de \check{A} = V(A)(k) … « et ses opérations » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait

Modules quotients et sous-modules stables par une co-opération de la coalgèbre A : Soit M \twoheadrightarrow N' un ép., alors V(N') \subset V(M) \quad \text{mono}, et il est clair ce que signifie que V(N') est stable ; on dira alors que N' est stable par la coop. de M. Cela signifie aussi qu'\exists un hom N' \xrightarrow{\ \omega_{N'}\ } N' \otimes A rendant commutatif

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "\omega_M"] \arrow[d] & M \otimes A \arrow[d, "g \otimes \mathrm{id}_A"] \\ N' \arrow[r, "\omega_{N'}"'] & N' \otimes A \end{tikzcd}

et cet \omega_{N'} est unique et satisfait aux axiomes d'unitarité et associativité. Si A est l'alg. affine l'épimorphisme est tracé M \to N', surmonté d'une lettre peu nette, qui doit être le g de la flèche verticale ; au bas de la page, « N' » est inscrit sous « cet » ; la phrase se poursuit à la page suivante

d'un monoïde affine G, cela signifie aussi qu'il existe une opération de G sur M' ~~que~~ telle que M \to M' soit comp. op., et il est clair (comme W(M') \to W(M) inj.) que cette opération sera unique. un mot interlinéaire, peut-être « devient », est écrit sous M' et appelé par un trait vers la parenthèse

Si un mono M'' \overset{i}{\hookrightarrow} M alors il ne sera pas vrai en général que V(M) \to V(M'') soit surjectif, ni que W(M'') \to W(M) soit injectif, donc cette condition à parler d'opération induite, On dira qu'il existe une op. induite si on peut faire opérer G sur M'' de telle façon que M'' \to M soit comp. aux opérations. Mais il n'est plus clair que l'op. « induite » soit unique ! En termes d'alg. comm., la question est de trouver un \Delta_{M''} : M'' \to M'' \otimes A rendant commutatif

\begin{tikzcd} M'' \arrow[r, "u_{M''}\,?"] \arrow[d, hook, "i"'] & M'' \otimes A \arrow[d, "i \otimes \mathrm{id}_A"] \\ M \arrow[r, "u_M"'] & M \otimes A \end{tikzcd}

On peut dire que c'est unique et existe si i \otimes \mathrm{id}_A = i_A soit un mono, et si [i \otimes \mathrm{id}_{A \otimes A} l'est aussi, ; alors M' est stable ssi M'' l'est]. passage interlinéaire serré et raturé en partie, à droite : on y lit encore « \mathrm{Im}(M'') \subset \mathrm{Im}\,M''_{\ldots} », « associativité » et, souligné, « existe » ; le reste est illisible

~~Ceci~~ Ces conditions envisagées sont ok dans les cas suivants :

a)A est plat (v. le cas courant) b)M/M'' est A-plat c)M'' facteur direct dans M.

à droite de a), trois lignes biffées de grands zigzags, qui finissaient sur « dans M''\otimes A » ; en dessous, cerclé : « Alors l'intersection finie de sous-modules stables est stable, kif kif sommes quelconques » supposons ces conditions, M' stable ssi M'' stable la note marginale, en oblique et biffée de traits obliques, est reliée par une accolade à la liste a)–c)

Dans le cas A libre [ou plus gén. somme de modules proj. de t.f.] on voit que M' est stable ssi M' est stable ~~sous l'action de \check{A}~~, i.e. un sous-\check{A}-module. On trouve donc

Proposition Si A est somme de modules proj. de t.f., alors un sous-k-module d'un A-comodule M est stable ssi il ~~est stable sous~~ est un sous-\check{A}-module.

Corollaire 1 Pour tout sous-module M' de M, il y a un plus petit sous-module M'^{S} stable de M qui contienne M', et c'est aussi le sous \check{A}-module engendré. Si M' est de t.f. ~~sur~~ sur k, M'^{S} aussi, donc « M'^{S} » est inscrit au-dessus de « sous-module » ; l'exposant S est une lecture de la lettre tracée, qui ressemble aussi à un G

Corollaire 2 M est limite inductive filtrante de ses sous-modules de t.f. stables. la ligne se termine par un mot bref biffé

~~Corollaire 3~~ Considérons A comme bimodule sur lui-même à g. et à droite, ~~alors~~ donc comme bimodule sur \check{A}, ~~, lorsque~~ ~~alors H~~ , considérons les sous-bimodules B \subset A. ~~On que~~ Analogue Cor 1, 2 ~~A A considéré comme~~ A la coalgèbre produit (A^{\circ} l'opposée de A) A ~~sous~~ A \otimes A^{\circ} et on module celle-ci, on trouve directement, on trouve ce passage est remanié à l'extrême : un titre « Corollaire 3 » biffé, plusieurs amorces raturées, un ajout interlinéaire « la coalgèbre produit (A^{\circ} l'opposée de A) » relié par un long trait ; la syntaxe exacte n'est pas restituable

Cor 3 Tout sous-bimodule B de A est contenu dans un plus petit sous-bimodule B^{S} ~~stable par~~ stable à g. et à droite (i.e. le sous-\check{A}-bimodule engendré), et si B est de t.f. sur k, B^{S} aussi. Donc A = \varinjlim A_i, les A_i étant stables à g. et à droite.

Or cette stabilité pour un B donné signifie que \pi : A \to A \otimes A envoie B dans (B \otimes A) \cap (A \otimes B). Si B A/B est plat sur k (par ex. le cas courant) cela signifie aussi que \pi envoie B dans B \otimes B, donc veut dire qu'il y a une structure de coalgèbre induite. On trouve donc

Cor. 4 Toute coalgèbre A sur un corps est \varinjlim fil. de coalgèbres de t.f., donc \check{A} est \varprojlim fil. stricte d'algèbres finies sur k. « fil. » et « fil. stricte » sont des ajouts interlinéaires ; la première limite est inductive, la seconde, soulignée d'une flèche vers la gauche, projective

Prop. G groupe (monoïde) affine sur le corps k. Alors

a)G est limite projective filtrante, stricte de groupes (monoïdes) affines de t.f. sur k, ~~des morphismes~~ b)Si G est un monoïde (groupe) affine de t.f. sur k, on peut trouver un entier n et une immersion fermée G \longrightarrow \mathrm{M}(n)_k \qquad (\text{resp.\ } G \to \mathrm{GL}(n)_k) soumise aux multiplications.

« entier » est lu d'après le sens, le mot étant tracé d'un seul long trait. Le \mathrm{M} est surchargé sur un \mathrm{GL} ; en exposant, une petite croix

Dém. G \longleftrightarrow A, et A = \varinjlim_i A_i, les A_i les sous-algèbres de t.f. de A. On s'intéresse aux sous-algèbres B qui sont « stables » par \pi : A \to A \otimes A, et il est clair que si M \subset A est stable sous \pi, la sous-algèbre B (qu'elle engendre) aussi. Donc le corollaire 2 nous dit que l'on peut supposer les A_i stables par \pi. Si G un groupe, d'où antipodisme \sigma de A, alors si M stable sous \sigma, alors l'algèbre B aussi. Or si M stable par \pi, \sigma M aussi [M sous-module à g. (à dr.) sous \check{A} \Longleftrightarrow \sigma M sous-module à dr. (g.) sous \check{A}], donc M + \sigma M aussi, donc on peut supposer les A_i stables par \sigma, donc les G_i sont des groupes.

Supposons maintenant A de t.f., donc on a un sous k-module de t.f. M de A qui engendre A comme algèbre. ~~Considérons~~ On peut supposer M stable par \check{A} à ~~gauche~~ droite, donc que G y opère à ~~droite~~ . Donc G \longrightarrow \struck{\ill{}}\ \underline{\mathrm{Aut}}_k(M) \quad (\simeq \mathrm{GL}(n)_k) où n = \dim M. Prouvons que c'est un mono. On a ~~g \mapsto \varepsilon(f)~~ … Considérons pour \varphi \in M la fonction sur G g \longmapsto \varepsilon(g \cdot \varphi) = (g\varphi)(1) = \varphi(g) au-dessus de « la fonction », « \varphi \in M » ; sous g \cdot \varphi, un mot interlinéaire, peut-être « élém. » Donc M \subset \mathrm{Im}\bigl[\text{anneau \uncertain{affine} de } \underline{\mathrm{End}}_k(M) \to A\bigr] donc V affine de \underline{\mathrm{End}}_k(M) et fonction coordonnée de \mathrm{GL}(n) s'envoient sur A, ok.

Si A est l'algèbre affine d'un monoïde affine G sur k [i.e. A est muni, en plus de la comultiplication \pi, d'une multiplication ass. et unitaire bilinéaire ~~qui en fait une~~ ass. unitaire qui est de plus commutative, et \pi est un hom d'algèbres] alors \forall k', les éléments de V(A)(k') = \mathrm{Hom}(A, k') i.e. les hom. linéaires A \to k' s'appellent les « distributions de G à coeff h-mod. dans k' », notés \mathrm{Dist}(G)(k') [algèbre des distributions]. Donc ~~on a~~ elles forment une k'-algèbre [« l'algèbre du ~~groupe~~ monoïde G à coeff. dans k' »] et on a un homomorphisme de monoïdes G(k') \hookrightarrow \mathrm{Dist}(G)(k')^{\times} et si G est un groupe G(k') \hookrightarrow \mathrm{Dist}(G)(k')^{*} \qquad [\text{pratiquement jamais un isom}] « ass. et unitaire » est écrit au-dessus de « multiplication », « ass. unitaire » au-dessus des mots biffés ; « h-mod. », au-dessus de « coeff », est très incertain

~~Ex : G un groupe fini ~~constant~~ ordinaire \Gamma, G = \Gamma_k, , A = algèbre des fonctions à valeurs dans k sur \Gamma postulat~~ l'exemple est encadré puis biffé de quatre traits obliques

\begin{tikzcd} G \arrow[r, "\mathrm{id}_G \times \sigma"] \arrow[dr, "p"'] & G \times G \arrow[r, "\pi"] & G \\ & e \arrow[ur, "\varepsilon"'] & \end{tikzcd}

au-dessus, « g\,g^{-1} = 1 » ; la pointe de la première flèche est peu nette, le sens retenu est celui qu'impose le diagramme dual ~~A \to A \otimes A~~

\begin{tikzcd} A & A \otimes A \arrow[l] & A \arrow[l, "\pi"'] \arrow[dl, "\varepsilon"] \\ & k \arrow[ul, "p"] & \end{tikzcd}

sur la flèche de gauche : x\,\sigma y \longleftarrow\!\shortmid\ (x, y) \pi(x) = \mathrm{Dist}(X) \xrightarrow{\ \pi\ } \mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(X), \varepsilon \mathrm{Dist}(X) e X \times Y \ldots A \otimes A,\ x \otimes y \ldots deux notes marginales écrites le long du bord gauche, tournées d'un quart de tour ; la seconde est une esquisse de flèches entre X\times Y, A\otimes A et k, qu'on ne restitue pas

Exemples de groupes algébriques affines sur k. \begin{array}{llll} \mathbb{G}_m,\ \mathbb{G}_a, & \mathrm{GL}(n), & O(Q), & \text{s-groupe de } \mathrm{GL}(n) \text{ invariant des tenseurs} \\ & \mathrm{SL}(n) & \ \cap & \quad \ldots \\ & & \mathrm{GL}(n) & \\ & \mathrm{Tr}(n) & & \\ & \mathrm{Tr}_0(n) & & \\ \multicolumn{2}{l}{\mathrm{Diag}_0(n) \subset \mathrm{Diag}(n)} & & \\ \quad \wr & & & \\ \mathbb{G}_m & & & \end{array} à gauche de \mathrm{Tr}_0(n), une abréviation brève, peut-être « Sp. » ; l'isomorphisme vertical relie \mathrm{Diag}_0(n) à \mathbb{G}_m immersion de \mathbb{G}_a dans \mathrm{GL}(2)

Soit M un k-module. W(M) : k' \longmapsto M \otimes_k k' \qquad (\text{un faisceau } \mathcal{O}_k\text{-Module, pas seulement un groupe}) Pour que ce soit représentable, il faut que W(M) transforme injections k' \to k'' en injections, donc que M soit plat sur k. Il faut qu'il transforme produits (infinis) d'algèbres en produits M \otimes_k \prod k'_i \longrightarrow \prod_i M \otimes_k k'_i \quad \text{bijectif.} ~~On sait que ceci~~ faisant tous les k'_i égaux à k, on trouve M \otimes k^I \xrightarrow{\ \sim\ } M^I . Et on sait tout de suite que cela implique que M est de type fini, donc quotient d'un libre ~~fini~~ ~~\to R \to L~~ 0 \to R \to L \to M \to 0 et comme M est plat, cela reste exacte par \otimes_k k^I, donc R \otimes k^I \xrightarrow{\sim} R^I, donc R de type fini, donc M de présentation finie, donc M plat de prés. finie, donc M projectif de t.f. (facteur direct d'un libre).

Inversement, si M projectif de t.f. i.e. facteur direct d'un libre L = k^n, par un projecteur p, on a M \otimes_k k' = \mathrm{Ker}\bigl((1 - p)_{k'} : k'^n \to k'^n\bigr) W(M) = \mathrm{Ker}\bigl(E^n \xrightarrow{\ 1-p\ } E^n\bigr) c'est repr. E désigne sans doute le schéma affine standard \mathbb{G}_a ; la page ne le définit pas

V(M) = \mathrm{Hom}_{k\text{-mod}}(M, k') = \mathrm{Hom}_{k'\text{-mod}}(M \otimes_k k', k') ~~est~~ représentable par \mathrm{Sym}^{*}_k(M) = \sum_{n \geqslant 0} \mathrm{Sym}^{n}_k(M) \Bigl[\ V(M) \times W(M) \longrightarrow \mathcal{O}_k = W(k) \qquad V(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}_k}\bigl(W(M), W(k)\bigr) le second membre est expliqué par une accolade : k' \longmapsto \mathrm{Hom}\bigl(W(M)_{k'}, W(k')\bigr), avec W(M)_{k'} \simeq W(M_{k'}) au-dessus, et en dessous = \mathrm{Hom}_{k'}(M_{k'}, k') = \mathrm{Hom}_k(M, k'). Le crochet ouvert n'est pas refermé Or M \longmapsto W(M) \mathrm{Mod}(k) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_k) \quad \text{est \emph{pleinement fidèle}.} ~~Mod~~ \underline{M} \longmapsto V(M) idem après ext. de la base à k' De Donc on a une dualité parfaite entre V(M) et W(M) … « Donc on a une … » est encadré à gauche d'un trait, sous deux mots biffés ; « dualité » est proposé pour un mot bref commençant par « b » ou « d », peut-être « bi-dualité » \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathcal{O}}(M) \subset \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(M) \qquad \text{représentable si } M \text{ est proj.\ t.f.}

fla, D(\Gamma) … dernière ligne, sous un trait horizontal : « fla » (ou « fl_a ») suivi de D(\Gamma) et de points de suspension ; la lecture du premier mot est incertaine