Cote n° 53 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupes algébriques : notes manuscrites (s.d.), lettre (1973)
Datation de l’inventaire : 1973
Édition de démonstration

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Groupes algébriques

inscrit au crayon au milieu de la chemise (page 1) et répété sur son onglet ; la main n'est pas sûrement la sienne ; la chemise ne reçoit pas de numéro de page

2Déf Prop \(G \times G \xrightarrow{\ p\ } G\) ouvert

Cor. Si \(P\) un [ps.] torseur sous \(G\) (\(G \times P \xrightarrow{\sim} P \times P\), \((g,x) \mapsto (gx, x)\)) alors \(\pi : G \times P \to P\) ouvert

Lemme Soit \(X\) schéma sur \(k\) sur lequel \(G\) opère. Conditions équivalentes

tout ce début de page est barré de grands traits obliques ; au-dessus de « ouvert » dans b), un ajout cerclé « univ. sur \(X\) » ; dans la marge gauche, un mot biffé illisible ; sous c), « schéma » souligné, relié à la ligne par un trait

Cor \(G\) groupe sur corps. Alors \(G\) séparé.

Prop \(G\) groupe sur un corps. Alors \(\pi : G \times G \to G\) [univ.] ouvert. Plus gén.,

[…] Si \(X\) ps. torseur sous \(G\). Alors \(G \times X \xrightarrow{\ \pi\ } X\) est [univ.] ouvert.

Lemme Soit \(G\) opérant sur \(X\). Soit \(a\) S'il \(\exists\) un corps \(k'/k\) et \(a \in X(k')\) tel que \(G_{k'} \to X_{k'}\), \(g \mapsto ga\) est ouvert (resp. univ. ouvert surjectif) […] vrai pour tt autre pt de \(X\) à valeurs dans un \(k''/k\), et […] sur un \(S\). On dit que \(X\) est un espace homogène ce lemme est barré de traits obliques, et sa dernière ligne d'un trait horizontal

Prop Supposons que \(G \times X \xrightarrow{\ \pi\ } X\) soit ouvert (p. ex. \(X\) un ps. torseur). Alors pour \(U \subset G\), \(V \subset X\), \(U\), \(V\) ouverts, …

composantes irréd., etc. « \(G_0\) » surmonté d'une flèche dans b) est lu comme une abréviation de « générisation » ; dans c'), « \(U \times V\) » est écrit tel quel là où l'on attendrait \(U.V\)

Cor Supposons […] \(\pi : G \times X \to X \times X\) ouvert (p. ex. …). Alors \(X\) est réunion […] de parties qu. cptes \(W_i\) […] qui sont à la fois ouvertes, fermées, et quasi-compactes [donc stables par \(G^0\)]. En particulier, les comp. connexes de \(X\) sont quasi-compactes.

2. (Cor. […]) Les composantes connexes de \(X\) sont les comp. irréductibles

3la moitié supérieure du feuillet porte, au crayon et barrées au crayon de grands traits obliques, des notations sans rapport avec ce qui suit : \(\mu_r\), \(G\), \(G^0\), \(k[[t]]\), \(K\), \(G_{\mathrm{réd}}\) ; \(\mathcal{R} = \mathrm{Ab}(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}\), \(\mathrm{Ab}(\mathcal{C})\) ; \(\sigma = \lbrace G^n\rbrace\), \(G^n \to G^m\), \(G^n \to G\) ; \(\Delta_0 \supset \Delta\) ; \(\underline{\mathrm{Hom}}(\sigma, (\mathrm{ENS}))\) et \((\mathrm{ENS})_{/R}\) reliés par des flèches marquées « top. » ; puis, à l'encre et barrée de traits obliques, la fin d'une démonstration étrangère au propos, sur des couples \((C'_i, \lambda'_i) = (C_{\varphi(i)}, \lambda_{\varphi(i)})\) et des flèches « \(\lambda'_i\)-précisantes », close par « cqfd »

Dém prop a) est trivial

b) Soit \(x\) OPS \(U, V \neq \emptyset\), […] à prouver on est ramené à prouver que si \(x \in W = U.V\), \(W(k)\) \(x = u_0 v_0\) (\(u_0 \in U(k)\), \(v_0 \in V(k)\)) (\(W = U.V\)), alors l'image inverse de \(U.V\) dans \(G\) par \(G \xrightarrow{\ \varphi\ } X\), \(\varphi(g) = g.x\), est stable contient \(G_0\), i.e. que pour \(g \in G^0\), on a \(gx = u.v\) (pour ext. de \(k\) […], […] \(u \in U(k')\), \(v \in V(k')\)). […] On aura \(u^{-1} g x \in V\) i.e. \(u^{-1} g \in \varphi^{-1}(V) = W\), i.e. \(u \in g\) \(u \in g W^{-1}\), donc il suffit de voir que \(g W^{-1} \cap U \neq \emptyset\). Or soit \(T = G^0 u_0\), alors […] \(T\) est irréductible et […] \[T \cap U \ni u_0 , \qquad g W^{-1} \cap T \ni g u_0\] [car \(g u_0 \in T\), \(g u_0 \in g W^{-1}\) i.e. \(u_0 \in W^{-1}\) ou \(u_0^{-1} \in W\) car \(u_0^{-1}.x = v_0 \in V\)]. Mais alors \(g W^{-1} \cap T\) et \(U \cap T\) sont des ouverts non vides de \(T\) irréductible, donc d'intersection \(\neq \emptyset\), cqfd.

c) Résulte de la partie a) dans

Lemme Soit \(T\) […], partie de \(X\) stable […] [interligne : si les \(\varphi_x : G_{k'} \to X_{k'}\) générisants] […] générisants (p. ex. \(X\) […]) Une partie \(W\) de \(X\) […], stable par \(G^0\), est-elle […] stable par spécialisation et par générisation (i.e., si \(X\) loc. noeth., est-elle ouverte et fermée)

Dém 1) Supposons \(W\) stable par \(G^0\), […] i.e. \(\pi\) induit \(G^0 \times W \to W\), donc […] \(x, y \in X\) […], \(G^0 \times W \to W \times W\) … \(x \in W \Leftrightarrow y \in W\). […] Si \(W\) est st. Mais alors […] Mais \(G^0 \times W \to\) […]. Montrons que si \(y \in W\), \(x\) générisant \(y\), alors \(x \in W\). On OPS \(y \in W(k)\), et on a alors \(\varphi : g \mapsto gy\), \(G^0 \to W\), induisant […] ; or \(\varphi\) est générisant et \(G^0\) stable par générisation, donc \(\varphi(G^0)\) stable par générisation. On a prouvé que \(W\) est stable par générisation, donc \(\complement W\) l'est aussi, donc \(W\) est stable par spécialisation. Or \(G \times W \to W \times W\) est générisant et \(G\) […] les lignes du milieu de cette démonstration sont reprises plusieurs fois, barrées et encadrées ; seul ce qui se lit est donné

4page au crayon

3) Groupes […] radiciels Structure des types de groupes radiciels [interligne : […]]

Données (\(k\) parfait)

\[e \subset G^0_{\mathrm{réd}} \subset G^0 \subset G \qquad (G \text{ qu.-cpt} \Leftrightarrow G/G^0 \text{ cpt})\] sous la chaîne, trois accolades : sous \(e \subset G^0_{\mathrm{réd}}\), « groupe lisse » ; sous \(G^0_{\mathrm{réd}} \subset G^0\), « radiciel […] » ; sous \(G^0 \subset G\), « loc. cpts sép. »

[…] \(\mu_p\), \(\alpha_p\) Cas commutatif

Structure cas lisse connexe assez bien connue. Déc. en \(\underline{\text{V.A}}\), \(\underline{\text{SS}}\), […] tore, […] groupes \(\mathbf{G}_a^s\) [interligne : tore \(\mathbf{G}_m^r\) tordu … tordus (?)]

Structure des radiciels groupes […] radiciels : dévissage en groupes de hauteur 1, qui sont décrits par des \(p\)-algèbres de Lie resp.

Structure des groupes discrets (finis)

Cas abéliens VA, \(\mathbf{G}_a\), \(\mathbf{G}_m\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(\mu_p\), \(\alpha_p\)

54) Réciproquement, si \(W\) est ouvert et fermé stable par spécialisation, alors \(\pi^{-1}(W) \subset G^0 \times W\) est ouvert et fermé [interligne : aussi], donc stable par \(G^0\), et contenant \(e \times W\), il contient \(G^0 \times W\)… (Ici, on n'utilise pas l'hyp. sur les \(\varphi\))

Prop Soit \(G \xrightarrow{\ u\ } H\) […] hom de gr. alg., […] (générisant) (univ. générisant). Si \(u\) est plat sur un ouvert, il est plat […], donc […] \(u(G)\) stable par […] générisat.

Cor Supposons qu'il existe un pt maximal \(x\) de \(H\) tel que \(G_x \neq \emptyset\) (p. ex. \(u\) dominant et \(G\) qu.-cpt) alors si \(H\) est réduit, \(u\) est plat, donc générisant (donc générisant …). Si on ne suppose pas \(H\) réduit, \(u\) est générisant, […] l'image \(u(H)\) est stable par générisation […]. Prop. et Cor. sont encadrés ensemble et barrés de traits obliques Il faut un argument pour « univ. » générisant

Cor Conditions équivalentes sur \(u\)

Sous ces conditions, \(u(G)\) est stable par spécialisation ([…]). dans c), « de \(G\) » est écrit, là où l'on attendrait « de \(H\) »

Dém a)\(\Leftrightarrow\)a') connu, a')\(\Leftarrow\)c) […] trivial, b)\(\Rightarrow\)c) trivial, prouvons a)\(\Rightarrow\)b. Or \(W = u(G)\) est stable par \(H_0\), donc les […] étant générisant, il est stable par spécialisation, […] donc b) devient trivial.

Cor Si \(G\) qu.-cpt, Im \(u\) est fermée dominant […] \(H\) l. t. f.

Prop. Si \(G \to H\) un mono, avec \(G\) […] de t.f., alors \(u\) est une immersion fermée. Est-il vrai que […] stable par spécialisation ? […] note marginale au crayon, écrite en biais dans la marge gauche, en face des deux énoncés qui précèdent

1) \(\left\lbrace\begin{array}{l} \text{Groupes discrets (ou tordus)} \\ \text{Groupes profinis (------)} \\ \text{Groupes loc.\ cpts (tot.\ discontinus) (ou tordus)} \end{array}\right.\) groupes séparables tot. discontinus

\(\simeq\) groupes topologiques loc. compacts tot. discont. avec opérations continues de \(\pi\), \(\pi \times G \to G\) continue.

2) Groupes connexes, Séparables [sont qu.-cpts] | sur corps parfait : Extension (can.) d'une VA par un groupe connexe lisse affine \(\Longleftrightarrow \varprojlim G_i\), les \(G_i\) de type fini, […]

6[…] Prop Soit \(X\) schéma […] sur corps \(k\) […] parfait. Soit \(k'\) une extension de \(k\), supposons que […] \(X\) soit loc. de t.f. sur \(k\) ou \(k'\) ext. de type fini de \(k\), de sorte que les anneaux locaux de \(X_{k'}\) sont noeth. Alors \(X_{k'}\) est régulier. au-dessus de la ligne biffée de tête, « régulier » remplace un mot biffé

Corollaire Soit \(A\) un anneau local régulier sur \(k\), \(k'\) une extension de \(k\). On suppose que \(k' \otimes A\) ess. de t.f. sur \(k\). \(A\) […] de t.f. […] Alors \(A \otimes_k k'\) est régulier.

Prop \(X\) schéma [ess. loc. de t.f.] sur \(k\), \(k\) ext. parfait. Conditions équivalentes

les implications sont fléchées dans la marge entre les lettres a) à d) ; le long de la marge gauche, une note tournée de sa main, en grande partie illisible : « […] si \(X\) loc. de t.f. sur \(k\), […] \(X \otimes k'\) […] extensions […] radicielles […] »

Dém b)\(\Rightarrow\)a) car si \(A \to B\) hom. local [plat] d'anneaux loc. noeth., \(A\) régulier et \(B/\mathfrak{m}B\) régulier … c)\(\Rightarrow\)b) car si \(A \to B\) hom. local fid. plat d'anneaux loc. noeth., […] \(B\) régulier \(\Rightarrow A\) régulier… d)\(\Rightarrow\)c) par passage à la limite.

Déf On dit alors que \(X\) géom. régulier [ou lisse sur \(k\) si \(X\) est loc. de t.f. sur \(k\)]

\(X\) géom. régulier [géom. régulier] \(\Longrightarrow X\) régulier. La réciproque est vraie pour tt \(X\) sur \(k\) (on prenant \(X = \mathrm{Spec}\,k'\), \(k'\) ext. finie radicielle de \(k\)) ssi \(k\) est parfait.

\(X\) lisse [géom. rég.]\(/k \Longleftrightarrow X_{k'}\) géom. régulier sur \(k'\)

Si \(X\) et \(Y\) lisses [géom. rég.] sur \(k \Longrightarrow X \times_k Y\) géom. réguliers sur \(k\).

NB \(X\) […] géom. régulier\(/k\) en un point \(x \in X\) : \(\mathrm{Loc}_x(X)\) est géom. rég. sur \(k\) [interligne : ou \(\underline{O}_{X,x}\) est géom. rég.] On a les résultats analogues au précédent. NB Si \(k(x)\) est séparable sur \(k\), régulier \(\Rightarrow\) géom. rég.

Théorème L'ens. des pts de \(X\) où \(X\) est géom. régulier est […]. [On est ramené au cas où \(k\) est parfait ([…] alg. clos)].

Prop (Critère jacobien) \(X\) [loc. de t.f. sur \(k\)] est géom. régulier [lisse] en \(x\) ssi il existe un [voisinage ouvert \(U\) et un] morphisme \[f : U \longrightarrow E^n_k \qquad (U \text{ vois.\ ouvert de } x)\] tel que \(f\) soit « étale » en \(x\), i.e. [loc. de prés. finie] plat et à fibres étales

Corollaire L'ens. des pts où \(X\) est géom. lisse sur \(k\) est ouvert.

7Corollaire. Cet ouv. est dense ssi pour […] tt pt maximal \(x \in X\), \(\underline{O}_{X,x}\) est réduit et \(k(x)\) est une extension séparable de \(k\) [\(\Leftrightarrow\) extension étale d'une extension transcend. pure] [interligne : au-dessus d'une ext. de t.f.]

Corollaire Si \(k\) est parfait, l'ens. des pts où \(X\) est lisse est un ouvert dense.

NB On a une série analogue pour la normalité géométrique, sans condition de finitude. Si \(X\) est géom. […] loc. de t.f. sur \(k\), l'ens. des pts où \(X\) est géom. normal sur \(k\) est ouvert, [et dense si \(k\) est parfait] [Une extension d'un corps est géom. normale ssi elle est séparable]

Proposition \(G\) groupe sur corps \(k\). Conditions équivalentes

marche aussi si \(X\) un […] schéma sur lequel \(G\) opère \(G \times X\) et tel que \(G \times X \to X \times X\), \((g,x) \mapsto (gx, x)\) surjectif (\(X\) universellement homogène)

On a évidemment c)\(\Rightarrow\)b)\(\Rightarrow\)a') \(\Rightarrow\)a) […].

a)\(\Rightarrow\)b) Soit \(g \in G\), un pt maximal de \(G\) tel que \(G\) est séparable […]. Donc \(k(g)\) est une ext. séparable de \(k\), donc \(G\) est géom. normal en \(g\). Donc, quitte à faire une extension de la base, on est ramené à le voir pour \(g\) rat. sur \(k\). Soit \(g'\) un pt maximal de \(G\), on sait que \(G\) est géom. normal en \(g'\) ; faisant une extension Donc \(G\) a un pt \(g\) où il est géom. normal. Prouvons qu'il en est de même pour tt autre pt \(g'\). Par ext. de la base, on est ramené au cas \(g\), \(g'\) rat. /\(k\). Mais alors ils sont conjugués par translation ! NB Si \(G\) de t.f. sur \(k\), alors \(G\) réduit \(\Rightarrow G\) sép. ? (supposé […])

b)\(\Rightarrow\)a) Esq. de démonstration.

Corollaire 1 Soit \(k\) parfait. Alors \(G_{\mathrm{réd}}\) est géom. normal (resp. lisse, si \(G\) est loc. de t.f. sur \(k\))

8[…] Corollaire 2 […] [Les] composantes irréductibles de \(G\) sont les composantes connexes. En particulier, \(G^0\) est irréductible ([…] loc. de t.f.) C'est dans

On peut supposer \(k\) parfait, \(G\) réduit donc normal (resp. lisse). Mais alors c'est vrai pour tt schéma normal [(lisse)] sur \(k\)… On a supposé ici \(G\) loc. de t.f. On peut s'en […] Sinon on peut dire que \(G_0\), la comp. irréd. de \(e\), est stable par générisation, donc contient \(\mathrm{Loc}_e(G)\). […] loc. de t.f. […] \(G\) […] loc. de t.f.

Corollaire 3 Pour deux ouverts \(U\), \(V\) de \(G\), […] \(UV\) est une partie à la fois [ouverte et fermée de \(G\) (si de plus qu.-cpts)], contenant \(G^0\) si \(U\), \(V\) sont des ouverts de \(G\) qui contiennent \(e\), \(UV \supset G^0\), donc stable par translation par \(G^0\). […] conséquence immédiate de 2 premières […] [supposons \(U\), \(V\) qu. cpts ou \(G\) loc. de t.f.]

[…] l'implique : \(W = U \cap U^{-1} \cap V \cap V^{-1}\). […] Pour prouver […] OPS par descente que \(U\) contient pt rat. /\(k\), et par translation que \(U \ni e\). \(UU^{-1} \supset G^0\). […] Soit \(g \in G^0\), il faut montrer que (pour une ext. \(k'\) de \(k(g)\)) \(g = uv^{-1}\), avec \(u, v \in U(k')\), i.e. \((gU \cap U)(k') \neq \emptyset\), […] il suffit de prouver que (\(k_1 = k(g)\)) […] or \(gU \cap G^0\) et \(U \cap G^0\) sont des ouverts non vides de \(G^0\) (contenant \(g\) et \(e\)), donc ont une intersection non vide, puisque \(G^0\) est irréd. Autre dém. \(G \times G \to G\) est plat (projection : \(G \times G \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_1\ } G\)) donc générisant, donc […] l'image de \(U \times V\) est stable par générisation, donc si \(G\) est loc. de t.f. La démonstration montre que \(U.V\) stable par translation par \(G^0\), donc étant qu.-cpt il est stable ouvert et fermé. […] \(U.V\) ouvert comme image de \(U \times_k V \subset G \times_k G\) par \(G \times_k G \to G\), qui est ouvert [dém. : \(G \times G \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_1\ } G\) qui l'est]. D'autre part, pour prouver que \(U.V\) est fermé, il suffit, comme \(U.V\) est […] qu.-cpt donc rétrocompact (tant que \(G\) séparé), […] de voir que \(x \in U.V\), \(y \in \overline{\lbrace x\rbrace}\), alors \(y \in U.V\). […] \(x \in U.V\) On est ramené à […] le prouver pour \(x\) la page est un palimpseste : plusieurs passages encadrés et barrés de traits obliques, des reprises dans l'interligne ; l'ordre de lecture retenu suit les renvois de sa main ; dans la marge gauche, une note encadrée, en grande partie illisible, où se lit « […] \(G\) […] supposons […] loc. de t.f. »

9Rectificatif sur critère d'irréductibilité géom.

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  Z \arrow[r, "f"] & X & X' \arrow[l, "p"'] & Z' \arrow[l, "f'"'] \\
  k \arrow[rr, no head] & & k' &
\end{tikzcd}

le schéma est redessiné d'après un croquis de marge, où \(Z'\) et \(p\) sont notés au-dessus de la flèche \(X' \to X\) ; sous \(k'\), « séparable »

Supposons

Alors \(X\) géom. irréductible.

Dém [OPS \(Z\) réduit à un pt \(a\) de \(X\) […] \(X\) irréd] Soit \(k'\) clôture séparable [ext. finie galoisienne] de \(k\), alors \(X'_i\) une composante irréductible de \(X'\). Elle domine contenant \(f'(Z')\). Ses transformées par \(\pi\) sont des composantes irréductibles contenant \(f'(Z')\), donc sont égales à […] \(X'_i\). Donc \(X'_i\) est l'image inverse d'une partie fermée irréductible de \(X\), savoir de \(p(X'_i)\), or \(p(X'_i) = X\) [\(p\) ouvert + \(p\) fermé], donc \(X'_i = X'\), donc \(X'\) est irréd.

Contre-exemple si on laisse tomber b) \(X = \mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2)\), \(Z = \mathrm{Spec}\,\mathbb{R}\), \[Z \to X, \qquad \mathbb{R} \longleftarrow \mathbb{R}[x,y]/\text{---}, \qquad 0 \longleftarrow\!\shortmid x, y\]

[…] \(\pi_0(X/k)\)

Remarque Dans l'équivalence \(\mathrm{Et}(k) \simeq (\pi\text{-Ens})\), \(X \mapsto E\) :

dans la marge gauche, en face du tableau, un mot biffé illisible

Rappel sur la construction de \(\pi_0(X/k)\) lorsque […] […] \(X_{k'}\) (\(k'\) clôture […] de \(k\)) est localement connexe, dont les [et les] composantes connexes définissables sur des ext. finies de \(k\) (p. ex. \(X\) qu.-cpt, ou \(X\) loc. de t. finie sur \(k\))

10\((*)\) Les pts de \(\underline{\pi}_0(X/k)\) correspondent aux composantes connexes de \(X\), pour toute telle composante \(X_{(x)}\), \(k(x)\) est la plus grande sous-algèbre […] séparable de \(\Gamma(X_{(x)}, \underline{O}_{X_{(x)}})\) sur \(k(x)\).

Que se passe-t-il pour \(X = \mathrm{Spec}\,k'\) ?

On a \(k' = \varinjlim k_i \Rightarrow X = \varprojlim X_i\), \(X_i = \mathrm{Spec}\,k_i\) sous-cat. galoisienne finie de \(k'\) \[X' = \varprojlim X'_i = \varprojlim_i (\pi_i)_k = (\pi)_k , \qquad \pi_0(X') = \pi \quad (\text{isom.\ \underline{topologique}})\] la note « sous-cat. galoisienne finie de \(k'\) » est cerclée et reliée par un trait à \(k_i\)

Ce n'est plus un schéma étale sur \(k\)

Schéma proétale sur \(k\) [[…] \(=\) entier séparable \(=\) réduit à cat. résiduelles alg. sép.]

[Schéma loc. proétale sur \(k\)] \[\left\lbrace\begin{array}{l} \mathrm{Proét}(k) \simeq \pi\text{-esp.\ \uncertain{prof.}\ disc.} \simeq \text{\uncertain{Alg.\ sép.}}(k) \\ \mathrm{Locproét}(k) \simeq \pi\text{-esp.\ loc.\ cpt disc.} \end{array}\right.\]

Si \(X\) qu.-cpt sur \(k\) (pour simplifier) on construit une algèbre proétale \(\to k\), comme suit

\(\left\lbrace\begin{array}{ll} \text{a)} & \struck{\ill{}}\ \underline{\pi}_0(X/k) \text{ est proétale et } X \to \underline{\pi}_0(X/k) \text{ \struck{est} surj.\ à fibres géom.\ connexes} \\ \text{b)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ fonctoriel en } X \\ \text{c)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ commute aux produits} \\ \text{d)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ commute à l'extension de la base \ldots} \end{array}\right.\)

NB \(\underline{\pi}_0(X/k)\) peut se définir comme schéma loc. proétale, […] si tout pt de \(X\) a un voisinage ouvert et fermé \(U\), tel que la décomposition de \(U_{\bar k}\) en somme soit soit finie (p. ex. \(U\) qu.-cpt).

11

Schémas sur un corps.

Rappels […] parfaits […]

\textcircled{\small 1} Séparabilité

Rappel Soit \(k\) un corps. Conditions équivalentes

Soit \(A\) une algèbre sur un corps \(k\), Propriétés équivalentes

faire gaffe : […] limite […] que \(A \otimes_k k'\) réduit une flèche relie d) à b)

Déf On dit alors que \(A\) est séparable sur \(k\) (ou géom. réduit)

Cor Soit \(X\) schéma sur \(k\). Propriétés équiv.

Déf On dit alors que \(X\) est sép. sur \(k\), ou encore [géom.] réduit. Ainsi, […] tt schéma [géom.] réduit sur \(k\) est géom. réduit, la réciproque étant vraie ssi \(k\) est parfait.

NB Si \(k'/k\) est une extension de \(k\), \(X\) sép. sur \(k\) \(\Longleftrightarrow X_{k'}\) sép. \(/k'\)

C'est un critère « géométrique ». \hfill Stabilité par produit

\textcircled{\small 2} […] Irréductibilité

Rappel Soit \(k\) […] un corps. Conditions équivalentes

Toute limite […] d'irréd. (univ. connexe) […] irréd. (univ. connexe)

Soit \(X\) schéma sur corps \(k\), \(\bar k\) une extension alg. close de \(k\). Conditions équivalentes

faire gaffe : la limite […] ([…] limite d'irréd. par des morphismes dominants […])

12Déf On dit alors que \(X\) est géom. irréductible.

Ainsi […] tout \(k\)-schéma irréductible est géom. irréductible, réciproque vraie ssi \(k\) est sép. clos. lu tel quel : l'énoncé attendu est « géom. irréductible \(\Rightarrow\) irréductible, la réciproque étant vraie ssi \(k\) est sép. clos » ; la ligne porte un début biffé illisible

NB Si \(k'/k\) une extension, \(X/k\) géom. irréd \(\Longleftrightarrow X_{k'}/k'\) géom. irréd. \hfill / Stabilité par produit

\textcircled{\small 3} […]

Th Soit \(k\) un corps sép. clos. Si \(X\) et \(Y\) sont deux \(k\)-schémas connexes, \(X \times_k Y\) est connexe.

Dém. dans le cas où \(X\) et \(Y\) sont loc. de t.f. sur \(k\). (Cas général utilise technique de descente), plus précisément que \(X \times Y \to Y\) la top. de \(Y\) est quotient de celle de \(X \times Y\).

NB Si \(k\) est un corps tel que pour tout \(X\) [connexe] fini sur \(k\), \(X \times_k X\) est connexe, alors \(k\) est sép. clos.

Prop Soit \(k\) un corps, \(\bar k\) une cat. […] sép. close, \(X\) un \(k\)-schéma. Conditions équivalentes

[…] limite […] séparante […] \(\mathrm{Spec}\,k_i \to \mathrm{Spec}\,k'\) […] ouvert.

Déf. On dit alors que \(X\) est géom. connexe sur \(k\).

Ainsi […] géom. connexe sur \(k\) \(\Rightarrow\) connexe, la réciproque vraie ssi \(k\) sép. clos.

NB \(X_{k'}\) géom. connexe\(/k'\) \(\Longleftrightarrow X\) géom. connexe sur \(k'\). Stabilité par produit. « sur \(k'\) » à la fin de la ligne, là où l'on attendrait « sur \(k\) »

\textcircled{\small 4} intégrité

\(k\) un corps. Conditions équivalentes a) Si \(X\) et \(Y\) deux \(k\)-algèbres intègres

13Prop Soit \(X\) un schéma sur corps \(k\), \(\bar k\) une cat. alg. close de \(k\). Cond. équiv.

Déf On dit alors que \(X\) est géom. intègre (\(\Leftrightarrow\) géom. irréd. et géom. réduit)

Ainsi géom. intègre \(\Rightarrow\) intègre, réciproque vraie ssi \(k\) alg. clos.

\(X/k\) géom. int. \(\Longleftrightarrow X_{k'}/k'\) géom. intègre

Stabilité par produits

Prop Soit \(X\) sur corps \(k\), \(Z \xrightarrow{\ u\ } X\), \(X\) connexe, \(Z\) géom. connexe [non vide] (p. ex. \(Z\) rationnel\(/k\)) (géom. irréductible). Alors \(X\) est géom. connexe (géom. irréd).

Soit \(k'\) la clôture séparable de \(X\) [extension finie galoisienne]. Alors \(\pi = \mathrm{Gal}(k'/k)\) opère sur \(X_{k'} = X \times_k \mathrm{Spec}(k')\) et sur \(Z_{k'}\), de façon à commuter à \(u_{k'} : Z_{k'} \to X_{k'}\). Les [Soit \(U\)] [parties] ouvertes et fermées de \(X_{k'}\), […] [[…] \(\neq \emptyset\) […] \(X_k\)] […] qu'elle est stable sous l'action de \(\pi\). En effet […] \(U\) contient quitte à remplacer \(U\) par \(\complement U\), on peut supposer que \(U\) contient \(u_{k'}(Z_{k'})\), qui est stable par \(\pi\), donc l'intersection des ouverts fermés qui contiennent \(u_{k'}(Z_{k'})\) est stable sous \(\pi\), [des] transformés de \(U\) par le gr. \(\pi\) est un ouvert stable tel que donc c'est l'image inverse d'une partie de \(X\) non vide, provenant donc d'un ouvert […] de \(X\), cqfd.

Ex Composante neutre [\(G^0\)] d'un groupe algébrique Elle est quasi-compacte [Quand elle est ouverte, p. ex. \(G\) loc. de t.f. sur \(S\), alors on a […] de la structure induite]

\(G_{\mathrm{réd}}\) pour \(k\) parfait : un sous-groupe fermé de \(G\)

\(G^0_{\mathrm{réd}}\) id.

\(\left[\begin{array}{l} \text{Soient } U, V \text{ \add{deux} ouverts de } G, \text{ alors } U.V^{-1} \supset G^0 \ [\Rightarrow \text{ et si } U, V \text{ contiennent} \\ \text{l'élément neutre, } UV \supset G^0] \end{array}\right]\)

[Cor. \(G^0\) quasi-compact]

14Schémas (finis) étales sur un corps \(k\) : la catégorie est équivalente : la catégorie des \(\pi\)-ensembles (finis), \(\pi = \mathrm{Gal}(\bar k/k)\).

Application Soit \(X\) un schéma sur \(k\), supposons d'abord que \(X_{\bar k}\) est loc. connexe [p. ex. loc. noeth., ou avec des composantes irréductibles loc. finies ; tel est le cas si \(X\) est loc. de t.f. sur \(k\)]. Alors \(I = \pi_0(X_{\bar k})\) est un ens. discret, et on a un [[…]] morphisme de \(\bar k\)-schémas

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\begin{tikzcd}
  X_{\bar k} \arrow[d] \\
  I_{\bar k}
\end{tikzcd}

(il est universel pour les morphismes de \(X\) dans des schémas constants). D'ailleurs \(\pi\) opère sur […] \(I\), donc \(I_{\bar k}\) provient d'un […] schéma étale \(T\) sur \(k\) [si on prouve que \(\pi\) opère continûment — ce sera le cas en tous cas si \(X\) est quasi-compact]. Alors la théorie de la descente nous prouve que \(X \simeq X_{\bar k}/\pi\), \(T = I_{\bar k}/\pi\), (dans catégorie des schémas) donc on trouve

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\begin{tikzcd}
  X \arrow[d, "f"] \\
  T
\end{tikzcd}

\(T\) étant étale sur \(k\), […] on […] que \(f\) est surjectif et à fibres géom. connexes — et ceci suffit à caractériser \(X\) [\(T\)]. On peut aussi décrire comme le morphisme universel de \(X\) dans un schéma étale sur \(k\). i.e. les composantes connexes de \(X_{\bar k}\) […] définies sur une ext. finie de \(k\). C'est vrai si \(X\) qu.-cpt, […]

Tout-à-fait le schéma des composantes connexes géom. de \(X\). Un pt […] \(X_\xi\), […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X \arrow[d] & X' \arrow[d, no head] \\
  T \arrow[d] & T' \arrow[d, no head] \\
  S = \mathrm{Spec}\,k \arrow[r, no head] & S'
\end{tikzcd}

val. dans un \(S'/k\) « est » une partie ouverte et fermée de […] \(X_{S'}\) le schéma est dessiné dans la marge gauche ; la ligne qui le commente court sous le paragraphe précédent

Généralisation On suppose \(X\) quasi-compact, ou somme de schémas qu.-cpts : On trouve un \(T\) [affine] proétale, ayant les mêmes propriétés qu'avant. Le foncteur qu'il représente est un peu plus subtil à décrire….

15\(\left\lbrace\begin{array}{l} \text{Groupes sur des bases } S \text{ quelconques. Prendre base } S \text{ ou prendre base } k \text{ ?} \\ \text{Groupes non-affines OK.} \end{array}\right.\)

Représentations linéaires de \(D(M)\) [cas particulier : \(\mathbf{G}_m\), \(\mu_n\)]

Application : homomorphismes \(D(M) \to \mathbf{G}_m\) : on trouve que \(M_S\) est « réflexif » vis à vis de \(\mathbf{G}_m\).

Dualité de Cartier \(\underline{\mathrm{Hom}}(G, \mathbf{G}_m)\) […] représentable ? Cela l'est si \(G\) diagonalisable, mais [non (p. ex. \(G = \mathbf{G}_a\))] pas pour un [gr.] schéma en groupe affine lisse de t.f.). Par contre, si \(G\) est fini loc. libre sur \(S\), on a \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_m) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}\text{-alg}}(\underline{O}_S[T, T^{-1}], \mathcal{A}) \simeq W(\mathcal{A})^{*},\] et le sous foncteur est celui des \(g\) \(u \in W(\mathcal{A})^{*}(S')\) tels que \[\pi(u) = u \otimes u , \qquad \varepsilon(u) = 1\] [NB On peut […] les conditions […] car \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_m) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{mon}}(G, \underline{O}^{*})\)] \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, H)\) représentable si \(G \to\) fini loc. libre, \(H\) affine ([…])

[…] La représentabilité est claire, mais de plus on reconnaît que c'est \(\mathrm{Spec}(\check{\mathcal{A}})\), \(\check{\mathcal{A}}\) [\(= \mathrm{Dist}(G)_S\)] étant une algèbre grâce à la structure de coalgèbre de \(\mathcal{A}\). D'autre part, la structure de coalgèbre de \(\check{\mathcal{A}}\) provient du fait que le foncteur qu'il représente est un foncteur-groupe. \(\check{\mathcal{A}}\) comm. car \(G\) comm. […] \(\underline{\mathrm{Hom}}(\check{\mathcal{A}}, k')\) […] \((\check{\mathcal{A}})_{\mathrm{ab}}\) […]

Th. Tout groupe comm. fini loc. libre [\(G\)] est réflexif pour [\(\mathbf{G}_m\)]. I.e. Son dual \(G^{*}\) est fini loc. libre comm., d'où une involution \(G \mapsto G^{*}\) de la catégorie des groupes comm. loc. libres. Elle correspond à la dualité des bialgèbres bicommutatives sur \(S\).

Ex \(\mu_n \leftrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(\alpha_p \leftrightarrow \alpha_p\) | Mais aussi \(D(M) \longleftrightarrow M_S\)

Marche \(\pm\) pour les schémas en groupes affines […] sur \(S\) tels que [[…]] […] un groupe fini loc. libre, groupes discrets, groupes diagonalisables, et variétés discrètes tordues… Si on veut inclure le groupe \(\mathbf{G}_a\), il faut…

La dualité de Cartier domine la théorie des groupes algébriques (ou formels) commutatifs, affines ou non — mais, il faut la compléter par la considération de \(\underline{\mathrm{Ext}}^1(G, \mathbf{G}_m)\) alors.