Fonds Grothendieck, cote n° 53, pages 1–20 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

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 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 53 Groupes algébriques : notes manuscrites (s.d.), lettre (1973) Pages 1 à 20 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1973Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/53.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

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Groupes algébriques

inscrit au crayon au milieu de la chemise (page 1) et répété sur son onglet ; la main n'est pas sûrement la sienne ; la chemise ne reçoit pas de numéro de page

Déf Prop G \times G \xrightarrow{\ p\ } G ouvert

Cor. Si P un ps. torseur sous G (G \times P \xrightarrow{\sim} P \times P, (g,x) \mapsto (gx, x)) alors \pi : G \times P \to P ouvert

Lemme Soit X schéma sur k sur lequel G opère. Conditions équivalentes

\forall S sur k, et section a de X_S sur S, le morphisme G_S \to X_S, g \mapsto ga, a : (g,x) \mapsto (gx, x), est ouvert (resp. ouvert surjectif) Le morphisme G \times X \to X \times X est univ. ouvert (resp. univ. ouvert et surjectif) \exists un S sur k, S \neq \emptyset, et une section a de X_S sur S, tels que

tout ce début de page est barré de grands traits obliques ; au-dessus de « ouvert » dans b), un ajout cerclé « univ. sur X » ; dans la marge gauche, un mot biffé illisible ; sous c), « schéma » souligné, relié à la ligne par un trait

Cor G groupe sur corps. Alors G séparé.

Prop G groupe sur un corps. Alors \pi : G \times G \to G univ. ouvert. Plus gén.,

Si X ps. torseur sous G. Alors G \times X \xrightarrow{\ \pi\ } X est univ. ouvert.

Lemme Soit G opérant sur X. Soit a S'il \exists un corps k'/k et a \in X(k') tel que G_{k'} \to X_{k'}, g \mapsto ga est ouvert (resp. univ. ouvert surjectif) vrai pour tt autre pt de X à valeurs dans un k''/k, et sur un S. On dit que X est un espace homogène ce lemme est barré de traits obliques, et sa dernière ligne d'un trait horizontal

Prop Supposons que G \times X \xrightarrow{\ \pi\ } X soit ouvert (p. ex. X un ps. torseur). Alors pour U \subset G, V \subset X, U, V ouverts, …

U.V ouverte si \pi ouvert (p. ex. X un ps. tors.) U.V stable par générisation [si les \varphi_x : G_{k'} \to X_{k'} générisants, ] UV stable par spécialisation (si x \in X(k')) p. ex. ouvert) Si U, V qu. cpts (et X sép. séparé), ou X loc. noeth., U \times V est fermé. interligne : et X quasi-sép. (p. ex. X un ps. torseur)

composantes irréd., etc. « G_0 » surmonté d'une flèche dans b) est lu comme une abréviation de « générisation » ; dans c'), « U \times V » est écrit tel quel là où l'on attendrait U.V

Cor Supposons \pi : G \times X \to X \times X ouvert (p. ex. …). Alors X est réunion de parties qu. cptes W_i qui sont à la fois ouvertes, fermées, et quasi-compactes [donc stables par G^0]. En particulier, les comp. connexes de X sont quasi-compactes.

2. (Cor. ) Les composantes connexes de X sont les comp. irréductibles

la moitié supérieure du feuillet porte, au crayon et barrées au crayon de grands traits obliques, des notations sans rapport avec ce qui suit : \mu_r, G, G^0, k[[t]], K, G_{\mathrm{réd}} ; \mathcal{R} = \mathrm{Ab}(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}, \mathrm{Ab}(\mathcal{C}) ; \sigma = \lbrace G^n\rbrace, G^n \to G^m, G^n \to G ; \Delta_0 \supset \Delta ; \underline{\mathrm{Hom}}(\sigma, (\mathrm{ENS})) et (\mathrm{ENS})_{/R} reliés par des flèches marquées « top. » ; puis, à l'encre et barrée de traits obliques, la fin d'une démonstration étrangère au propos, sur des couples (C'_i, \lambda'_i) = (C_{\varphi(i)}, \lambda_{\varphi(i)}) et des flèches « \lambda'_i-précisantes », close par « cqfd »

Dém prop a) est trivial

b) Soit x OPS U, V \neq \emptyset, à prouver on est ramené à prouver que si x \in W = U.V, W(k) x = u_0 v_0 (u_0 \in U(k), v_0 \in V(k)) (W = U.V), alors l'image inverse de U.V dans G par G \xrightarrow{\ \varphi\ } X, \varphi(g) = g.x, est stable contient G_0, i.e. que pour g \in G^0, on a gx = u.v (pour ext. de k , u \in U(k'), v \in V(k')). On aura u^{-1} g x \in V i.e. u^{-1} g \in \varphi^{-1}(V) = W, i.e. u \in g u \in g W^{-1}, donc il suffit de voir que g W^{-1} \cap U \neq \emptyset. Or soit T = G^0 u_0, alors T est irréductible et T \cap U \ni u_0 , \qquad g W^{-1} \cap T \ni g u_0 [car g u_0 \in T, g u_0 \in g W^{-1} i.e. u_0 \in W^{-1} ou u_0^{-1} \in W car u_0^{-1}.x = v_0 \in V]. Mais alors g W^{-1} \cap T et U \cap T sont des ouverts non vides de T irréductible, donc d'intersection \neq \emptyset, cqfd.

c) Résulte de la partie a) dans

Lemme Soit T , partie de X stable interligne : si les \varphi_x : G_{k'} \to X_{k'} générisants générisants (p. ex. X ) Une partie W de X , stable par G^0, est-elle stable par spécialisation et par générisation (i.e., si X loc. noeth., est-elle ouverte et fermée)

Dém 1) Supposons W stable par G^0, i.e. \pi induit G^0 \times W \to W, donc x, y \in X , G^0 \times W \to W \times W … x \in W \Leftrightarrow y \in W. Si W est st. Mais alors Mais G^0 \times W \to . Montrons que si y \in W, x générisant y, alors x \in W. On OPS y \in W(k), et on a alors \varphi : g \mapsto gy, G^0 \to W, induisant ; or \varphi est générisant et G^0 stable par générisation, donc \varphi(G^0) stable par générisation. On a prouvé que W est stable par générisation, donc \complement W l'est aussi, donc W est stable par spécialisation. Or G \times W \to W \times W est générisant et G les lignes du milieu de cette démonstration sont reprises plusieurs fois, barrées et encadrées ; seul ce qui se lit est donné

page au crayon

3) Groupes radiciels Structure des types de groupes radiciels interligne :

Données (k parfait)

e \subset G^0_{\mathrm{réd}} \subset G^0 \subset G \qquad (G \text{ qu.-cpt} \Leftrightarrow G/G^0 \text{ cpt}) sous la chaîne, trois accolades : sous e \subset G^0_{\mathrm{réd}}, « groupe lisse » ; sous G^0_{\mathrm{réd}} \subset G^0, « radiciel » ; sous G^0 \subset G, « loc. cpts sép. »

\mu_p, \alpha_p Cas commutatif

Structure cas lisse connexe assez bien connue. Déc. en \underline{\text{V.A}}, \underline{\text{SS}}, tore, groupes \mathbf{G}_a^s interligne : tore \mathbf{G}_m^r tordu … tordus (?)

Structure des radiciels groupes radiciels : dévissage en groupes de hauteur 1, qui sont décrits par des p-algèbres de Lie resp.

Structure des groupes discrets (finis)

Cas abéliens VA, \mathbf{G}_a, \mathbf{G}_m, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mu_p, \alpha_p

4) Réciproquement, si W est ouvert et fermé stable par spécialisation, alors \pi^{-1}(W) \subset G^0 \times W est ouvert et fermé interligne : aussi, donc stable par G^0, et contenant e \times W, il contient G^0 \times W… (Ici, on n'utilise pas l'hyp. sur les \varphi)

Prop Soit G \xrightarrow{\ u\ } H hom de gr. alg., (générisant) (univ. générisant). Si u est plat sur un ouvert, il est plat , donc u(G) stable par générisat.

Cor Supposons qu'il existe un pt maximal x de H tel que G_x \neq \emptyset (p. ex. u dominant et G qu.-cpt) alors si H est réduit, u est plat, donc générisant (donc générisant …). Si on ne suppose pas H réduit, u est générisant, l'image u(H) est stable par générisation . Prop. et Cor. sont encadrés ensemble et barrés de traits obliques Il faut un argument pour « univ. » générisant

Cor Conditions équivalentes sur u

u est univ. générisant — a') u générisant en un point. u(G) \supset H^0. \exists un point maximal x de G tel que u^{-1}(x) \neq \emptyset.

Sous ces conditions, u(G) est stable par spécialisation (). dans c), « de G » est écrit, là où l'on attendrait « de H »

Dém a)\Leftrightarrowa') connu, a')\Leftarrowc) trivial, b)\Rightarrowc) trivial, prouvons a)\Rightarrowb. Or W = u(G) est stable par H_0, donc les étant générisant, il est stable par spécialisation, donc b) devient trivial.

Cor Si G qu.-cpt, Im u est fermée dominant H l. t. f.

Prop. Si G \to H un mono, avec G de t.f., alors u est une immersion fermée. Est-il vrai que stable par spécialisation ? note marginale au crayon, écrite en biais dans la marge gauche, en face des deux énoncés qui précèdent

1) \left\lbrace\begin{array}{l} \text{Groupes discrets (ou tordus)} \\ \text{Groupes profinis (------)} \\ \text{Groupes loc.\ cpts (tot.\ discontinus) (ou tordus)} \end{array}\right. groupes séparables tot. discontinus

\simeq groupes topologiques loc. compacts tot. discont. avec opérations continues de \pi, \pi \times G \to G continue.

2) Groupes connexes, Séparables [sont qu.-cpts] | sur corps parfait : Extension (can.) d'une VA par un groupe connexe lisse affine \Longleftrightarrow \varprojlim G_i, les G_i de type fini,

Prop Soit X schéma sur corps k parfait. Soit k' une extension de k, supposons que X soit loc. de t.f. sur k ou k' ext. de type fini de k, de sorte que les anneaux locaux de X_{k'} sont noeth. Alors X_{k'} est régulier. au-dessus de la ligne biffée de tête, « régulier » remplace un mot biffé

Corollaire Soit A un anneau local régulier sur k, k' une extension de k. On suppose que k' \otimes A ess. de t.f. sur k. A de t.f. Alors A \otimes_k k' est régulier.

Prop X schéma ess. loc. de t.f. sur k, k ext. parfait. Conditions équivalentes

\forall schéma Y sur k, Y régulier \Rightarrow X \times_k Y régulier \forall ext. k'/k, X_{k'} est régulier \forall X_{\bar k} régulier \forall ext. finie radicielle k' de k, X_{k'} est régulier.

les implications sont fléchées dans la marge entre les lettres a) à d) ; le long de la marge gauche, une note tournée de sa main, en grande partie illisible : « si X loc. de t.f. sur k, X \otimes k' extensions radicielles »

Dém b)\Rightarrowa) car si A \to B hom. local plat d'anneaux loc. noeth., A régulier et B/\mathfrak{m}B régulier … c)\Rightarrowb) car si A \to B hom. local fid. plat d'anneaux loc. noeth., B régulier \Rightarrow A régulier… d)\Rightarrowc) par passage à la limite.

Déf On dit alors que X géom. régulier [ou lisse sur k si X est loc. de t.f. sur k]

X géom. régulier géom. régulier \Longrightarrow X régulier. La réciproque est vraie pour tt X sur k (on prenant X = \mathrm{Spec}\,k', k' ext. finie radicielle de k) ssi k est parfait.

X lisse géom. rég./k \Longleftrightarrow X_{k'} géom. régulier sur k'

Si X et Y lisses géom. rég. sur k \Longrightarrow X \times_k Y géom. réguliers sur k.

NB X géom. régulier/k en un point x \in X : \mathrm{Loc}_x(X) est géom. rég. sur k interligne : ou \underline{O}_{X,x} est géom. rég. On a les résultats analogues au précédent. NB Si k(x) est séparable sur k, régulier \Rightarrow géom. rég.

Théorème L'ens. des pts de X où X est géom. régulier est . [On est ramené au cas où k est parfait ( alg. clos)].

Prop (Critère jacobien) X loc. de t.f. sur k est géom. régulier lisse en x ssi il existe un voisinage ouvert U et un morphisme f : U \longrightarrow E^n_k \qquad (U \text{ vois.\ ouvert de } x) tel que f soit « étale » en x, i.e. [loc. de prés. finie] plat et à fibres étales

Corollaire L'ens. des pts où X est géom. lisse sur k est ouvert.

Corollaire. Cet ouv. est dense ssi pour tt pt maximal x \in X, \underline{O}_{X,x} est réduit et k(x) est une extension séparable de k [\Leftrightarrow extension étale d'une extension transcend. pure] interligne : au-dessus d'une ext. de t.f.

Corollaire Si k est parfait, l'ens. des pts où X est lisse est un ouvert dense.

NB On a une série analogue pour la normalité géométrique, sans condition de finitude. Si X est géom. loc. de t.f. sur k, l'ens. des pts où X est géom. normal sur k est ouvert, et dense si k est parfait [Une extension d'un corps est géom. normale ssi elle est séparable]

Proposition G groupe sur corps k. Conditions équivalentes

G séparable/k en un pt a') G sép. G géom. normal sur k (Si G loc. de t.f. sur k) G lisse/k

marche aussi si X un schéma sur lequel G opère G \times X et tel que G \times X \to X \times X, (g,x) \mapsto (gx, x) surjectif (X universellement homogène)

On a évidemment c)\Rightarrowb)\Rightarrowa') \Rightarrowa) .

a)\Rightarrowb) Soit g \in G, un pt maximal de G tel que G est séparable . Donc k(g) est une ext. séparable de k, donc G est géom. normal en g. Donc, quitte à faire une extension de la base, on est ramené à le voir pour g rat. sur k. Soit g' un pt maximal de G, on sait que G est géom. normal en g' ; faisant une extension Donc G a un pt g où il est géom. normal. Prouvons qu'il en est de même pour tt autre pt g'. Par ext. de la base, on est ramené au cas g, g' rat. /k. Mais alors ils sont conjugués par translation ! NB Si G de t.f. sur k, alors G réduit \Rightarrow G sép. ? (supposé )

b)\Rightarrowa) Esq. de démonstration.

Corollaire 1 Soit k parfait. Alors G_{\mathrm{réd}} est géom. normal (resp. lisse, si G est loc. de t.f. sur k)

Corollaire 2 Les composantes irréductibles de G sont les composantes connexes. En particulier, G^0 est irréductible ( loc. de t.f.) C'est dans

On peut supposer k parfait, G réduit donc normal (resp. lisse). Mais alors c'est vrai pour tt schéma normal (lisse) sur k… On a supposé ici G loc. de t.f. On peut s'en Sinon on peut dire que G_0, la comp. irréd. de e, est stable par générisation, donc contient \mathrm{Loc}_e(G). loc. de t.f. G loc. de t.f.

Corollaire 3 Pour deux ouverts U, V de G, UV est une partie à la fois ouverte et fermée de G (si de plus qu.-cpts), contenant G^0 si U, V sont des ouverts de G qui contiennent e, UV \supset G^0, donc stable par translation par G^0. conséquence immédiate de 2 premières supposons U, V qu. cpts ou G loc. de t.f.

l'implique : W = U \cap U^{-1} \cap V \cap V^{-1}. Pour prouver OPS par descente que U contient pt rat. /k, et par translation que U \ni e. UU^{-1} \supset G^0. Soit g \in G^0, il faut montrer que (pour une ext. k' de k(g)) g = uv^{-1}, avec u, v \in U(k'), i.e. (gU \cap U)(k') \neq \emptyset, il suffit de prouver que (k_1 = k(g)) or gU \cap G^0 et U \cap G^0 sont des ouverts non vides de G^0 (contenant g et e), donc ont une intersection non vide, puisque G^0 est irréd. Autre dém. G \times G \to G est plat (projection : G \times G \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_1\ } G) donc générisant, donc l'image de U \times V est stable par générisation, donc si G est loc. de t.f. La démonstration montre que U.V stable par translation par G^0, donc étant qu.-cpt il est stable ouvert et fermé. U.V ouvert comme image de U \times_k V \subset G \times_k G par G \times_k G \to G, qui est ouvert [dém. : G \times G \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_1\ } G qui l'est]. D'autre part, pour prouver que U.V est fermé, il suffit, comme U.V est qu.-cpt donc rétrocompact (tant que G séparé), de voir que x \in U.V, y \in \overline{\lbrace x\rbrace}, alors y \in U.V. x \in U.V On est ramené à le prouver pour x la page est un palimpseste : plusieurs passages encadrés et barrés de traits obliques, des reprises dans l'interligne ; l'ordre de lecture retenu suit les renvois de sa main ; dans la marge gauche, une note encadrée, en grande partie illisible, où se lit « G supposons loc. de t.f. »

Rectificatif sur critère d'irréductibilité géom.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] Z \arrow[r, "f"] & X & X' \arrow[l, "p"'] & Z' \arrow[l, "f'"'] \\ k \arrow[rr, no head] & & k' & \end{tikzcd}

le schéma est redessiné d'après un croquis de marge, où Z' et p sont notés au-dessus de la flèche X' \to X ; sous k', « séparable »

Supposons

Z géom. irréd, f(Z) non contenu dans l'un des points où passent plusieurs comp. irréd. géom. (p. ex. f(Z) contient un pt géom. normal, univ. géom. régulier, de X_{\mathrm{réd}}).

Alors X géom. irréductible.

Dém [OPS Z réduit à un pt a de X X irréd] Soit k' clôture séparable ext. finie galoisienne de k, alors X'_i une composante irréductible de X'. Elle domine contenant f'(Z'). Ses transformées par \pi sont des composantes irréductibles contenant f'(Z'), donc sont égales à X'_i. Donc X'_i est l'image inverse d'une partie fermée irréductible de X, savoir de p(X'_i), or p(X'_i) = X [p ouvert + p fermé], donc X'_i = X', donc X' est irréd.

Contre-exemple si on laisse tomber b) X = \mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2), Z = \mathrm{Spec}\,\mathbb{R}, Z \to X, \qquad \mathbb{R} \longleftarrow \mathbb{R}[x,y]/\text{---}, \qquad 0 \longleftarrow\!\shortmid x, y

\pi_0(X/k)

Remarque Dans l'équivalence \mathrm{Et}(k) \simeq (\pi\text{-Ens}), X \mapsto E :

X quasi-compact (de degré n) — E fini (d'ordre n) X connexe [ou : irréductible, ou : X = \mathrm{Spec}\,K, K ext. finie sép.] — \pi transitif sur E Décomposition de X en somme de composantes connexes — décomposition de E en somme d'orbites \varprojlim finies de schémas — \varprojlim finies de \pi-ens. \varinjlim de schémas — \varinjlim de \pi-ens. mono X \to Y (resp. épi) — F injectif (resp. surjectif) [ X un torseur sous G groupe fini ordinaire — E un torseur à droite sous G ; les opérations de G commutant à l'action de \pi [dans ce cas, la structure est définie par un hom continu \pi \to G] ]

dans la marge gauche, en face du tableau, un mot biffé illisible

Rappel sur la construction de \pi_0(X/k) lorsque X_{k'} (k' clôture de k) est localement connexe, dont les et les composantes connexes définissables sur des ext. finies de k (p. ex. X qu.-cpt, ou X loc. de t. finie sur k)

(*) Les pts de \underline{\pi}_0(X/k) correspondent aux composantes connexes de X, pour toute telle composante X_{(x)}, k(x) est la plus grande sous-algèbre séparable de \Gamma(X_{(x)}, \underline{O}_{X_{(x)}}) sur k(x).

Que se passe-t-il pour X = \mathrm{Spec}\,k' ?

On a k' = \varinjlim k_i \Rightarrow X = \varprojlim X_i, X_i = \mathrm{Spec}\,k_i sous-cat. galoisienne finie de k' X' = \varprojlim X'_i = \varprojlim_i (\pi_i)_k = (\pi)_k , \qquad \pi_0(X') = \pi \quad (\text{isom.\ \underline{topologique}}) la note « sous-cat. galoisienne finie de k' » est cerclée et reliée par un trait à k_i

Ce n'est plus un schéma étale sur k

Schéma proétale sur k [ = entier séparable = réduit à cat. résiduelles alg. sép.]

[Schéma loc. proétale sur k] \left\lbrace\begin{array}{l} \mathrm{Proét}(k) \simeq \pi\text{-esp.\ \uncertain{prof.}\ disc.} \simeq \text{\uncertain{Alg.\ sép.}}(k) \\ \mathrm{Locproét}(k) \simeq \pi\text{-esp.\ loc.\ cpt disc.} \end{array}\right.

Si X qu.-cpt sur k (pour simplifier) on construit une algèbre proétale \to k, comme suit

A = limite inductive des sous-algèbres étales de \Gamma(X, \underline{O}_X) = limite plus grande sous-alg. ind-étale de \Gamma(X, \underline{O}_X). X \longrightarrow \mathrm{Spec}(A) \overset{\text{déf}}{=} \underline{\pi}_0(X/k) Pour toute ext. finie étale k_i \subset k' de k, on désigne par A_i l'anneau des fonctions loc. constantes sur X_{k_i}, à valeurs dans k_i. Soit \overline{A} = \varinjlim_i A_{i,k'} = fonctions loc. constantes sur X_{k'} fonctions loc. constantes sur X_{k_i} à val. dans k', à valeurs dans k', alors \overline{A} est réduite et \pi opère dessus par transport de structure, on pose A = (\overline{A})^{\pi}.

\left\lbrace\begin{array}{ll} \text{a)} & \struck{\ill{}}\ \underline{\pi}_0(X/k) \text{ est proétale et } X \to \underline{\pi}_0(X/k) \text{ \struck{est} surj.\ à fibres géom.\ connexes} \\ \text{b)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ fonctoriel en } X \\ \text{c)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ commute aux produits} \\ \text{d)} & \underline{\pi}_0(X/k) \text{ commute à l'extension de la base \ldots} \end{array}\right.

NB \underline{\pi}_0(X/k) peut se définir comme schéma loc. proétale, si tout pt de X a un voisinage ouvert et fermé U, tel que la décomposition de U_{\bar k} en somme soit soit finie (p. ex. U qu.-cpt).

Schémas sur un corps.

Rappels parfaits

\textcircled{\small 1} Séparabilité

Rappel Soit k un corps. Conditions équivalentes

k parfait i.e. car. 0, ou (car. p > 0) x \mapsto x^p bijectif) un produit tensoriel d'algèbres réduites sur k est réduit \Longrightarrow Un produit sur k de schémas réduits est réduit interligne : Pour toute extension finie k' de k, k' \otimes_k k' est réduit extension parfaite de k.

Soit A une algèbre sur un corps k, Propriétés équivalentes

\forall extension k' de k, A \otimes_k k' réduit \forall k-algèbre réduite B, A \otimes_k B réduit A \otimes_k \bar k est réduit \forall ext. finie radicielle k' de k, A \otimes_k k' est réduit.

faire gaffe : limite que A \otimes_k k' réduit une flèche relie d) à b)

Déf On dit alors que A est séparable sur k (ou géom. réduit)

Cor Soit X schéma sur k. Propriétés équiv.

Pour tout k-schéma réduit Y, X \times_k Y réduit Pour toute extension k' de k, X_{k'} réduit X_{\bar k} est réduit (Si X = \bigcup X_i, les X_i affines d'anneaux A_i) les A_i sont séparables/k

Déf On dit alors que X est sép. sur k, ou encore géom. réduit. Ainsi, tt schéma géom. réduit sur k est géom. réduit, la réciproque étant vraie ssi k est parfait.

NB Si k'/k est une extension de k, X sép. sur k \Longleftrightarrow X_{k'} sép. /k'

C'est un critère « géométrique ». \hfill Stabilité par produit

\textcircled{\small 2} Irréductibilité

Rappel Soit k un corps. Conditions équivalentes

k sép. clos i.e. cat. finie séparable de k est \simeq k Si A et B sont deux k- algèbres intègres, A \otimes B / \mathrm{Nil} est intègre [b')] Si X, Y sont deux k-schémas irréd, alors X \times_k Y est irréd] Si k' est une extension finie de k, k' \otimes_k k' \to a un noyau nilpotent

Toute limite d'irréd. (univ. connexe) irréd. (univ. connexe)

Soit X schéma sur corps k, \bar k une extension alg. close de k. Conditions équivalentes

\forall Y sur k, Y irréductible, X \times_k Y est irréductible \forall extension k' de k, X_{k'} est irréductible X_{\bar k} est irréductible \forall cat. finie k' de k, X \otimes_k k' irréd.

faire gaffe : la limite ( limite d'irréd. par des morphismes dominants )

Déf On dit alors que X est géom. irréductible.

Ainsi tout k-schéma irréductible est géom. irréductible, réciproque vraie ssi k est sép. clos. lu tel quel : l'énoncé attendu est « géom. irréductible \Rightarrow irréductible, la réciproque étant vraie ssi k est sép. clos » ; la ligne porte un début biffé illisible

NB Si k'/k une extension, X/k géom. irréd \Longleftrightarrow X_{k'}/k' géom. irréd. \hfill / Stabilité par produit

\textcircled{\small 3}

Th Soit k un corps sép. clos. Si X et Y sont deux k-schémas connexes, X \times_k Y est connexe.

Dém. dans le cas où X et Y sont loc. de t.f. sur k. (Cas général utilise technique de descente), plus précisément que X \times Y \to Y la top. de Y est quotient de celle de X \times Y.

Si X est connexe, X_{k'} est connexe non vide pour toute extension k' de k [en effet, les fibres de X_{k'} \to X sont connexes non vides] Les fibres de X \times Y \to Y étant connexes non vides et Y connexe, X \times Y est connexe

NB Si k est un corps tel que pour tout X connexe fini sur k, X \times_k X est connexe, alors k est sép. clos.

Prop Soit k un corps, \bar k une cat. sép. close, X un k-schéma. Conditions équivalentes

\forall k-schéma Y, X \times_k Y est connexe \forall ext. k' de k, X_{k'} est connexe X_{\bar k} est connexe. \forall ext. finie gal. k' de k, X_{k'} est connexe.

limite séparante \mathrm{Spec}\,k_i \to \mathrm{Spec}\,k' ouvert.

Déf. On dit alors que X est géom. connexe sur k.

Ainsi géom. connexe sur k \Rightarrow connexe, la réciproque vraie ssi k sép. clos.

NB X_{k'} géom. connexe/k' \Longleftrightarrow X géom. connexe sur k'. Stabilité par produit. « sur k' » à la fin de la ligne, là où l'on attendrait « sur k »

\textcircled{\small 4} intégrité

k un corps. Conditions équivalentes a) Si X et Y deux k-algèbres intègres

k alg. clos Si A, B sont deux k-algèbres intègres, A \otimes_k B intègre Soit X, Y intègres \Rightarrow X \times_k Y int. Pour toute ext. finie k' de k, k' \otimes_k k' intègre.

Prop Soit X un schéma sur corps k, \bar k une cat. alg. close de k. Cond. équiv.

\forall k-schéma intègre Y, X \times_k Y intègre. \forall ext. k' de k, X_{k'} intègre \forall X_{\bar k} intègre

Déf On dit alors que X est géom. intègre (\Leftrightarrow géom. irréd. et géom. réduit)

Ainsi géom. intègre \Rightarrow intègre, réciproque vraie ssi k alg. clos.

X/k géom. int. \Longleftrightarrow X_{k'}/k' géom. intègre

Stabilité par produits

Prop Soit X sur corps k, Z \xrightarrow{\ u\ } X, X connexe, Z géom. connexe non vide (p. ex. Z rationnel/k) (géom. irréductible). Alors X est géom. connexe (géom. irréd).

Soit k' la clôture séparable de X extension finie galoisienne. Alors \pi = \mathrm{Gal}(k'/k) opère sur X_{k'} = X \times_k \mathrm{Spec}(k') et sur Z_{k'}, de façon à commuter à u_{k'} : Z_{k'} \to X_{k'}. Les Soit U parties ouvertes et fermées de X_{k'}, \neq \emptyset X_k qu'elle est stable sous l'action de \pi. En effet U contient quitte à remplacer U par \complement U, on peut supposer que U contient u_{k'}(Z_{k'}), qui est stable par \pi, donc l'intersection des ouverts fermés qui contiennent u_{k'}(Z_{k'}) est stable sous \pi, des transformés de U par le gr. \pi est un ouvert stable tel que donc c'est l'image inverse d'une partie de X non vide, provenant donc d'un ouvert de X, cqfd.

Ex Composante neutre G^0 d'un groupe algébrique Elle est quasi-compacte [Quand elle est ouverte, p. ex. G loc. de t.f. sur S, alors on a de la structure induite]

G_{\mathrm{réd}} pour k parfait : un sous-groupe fermé de G

G^0_{\mathrm{réd}} id.

\left[\begin{array}{l} \text{Soient } U, V \text{ \add{deux} ouverts de } G, \text{ alors } U.V^{-1} \supset G^0 \ [\Rightarrow \text{ et si } U, V \text{ contiennent} \\ \text{l'élément neutre, } UV \supset G^0] \end{array}\right]

[Cor. G^0 quasi-compact]

Schémas (finis) étales sur un corps k : la catégorie est équivalente : la catégorie des \pi-ensembles (finis), \pi = \mathrm{Gal}(\bar k/k).

Application Soit X un schéma sur k, supposons d'abord que X_{\bar k} est loc. connexe [p. ex. loc. noeth., ou avec des composantes irréductibles loc. finies ; tel est le cas si X est loc. de t.f. sur k]. Alors I = \pi_0(X_{\bar k}) est un ens. discret, et on a un morphisme de \bar k-schémas

\begin{tikzcd} X_{\bar k} \arrow[d] \\ I_{\bar k} \end{tikzcd}

(il est universel pour les morphismes de X dans des schémas constants). D'ailleurs \pi opère sur I, donc I_{\bar k} provient d'un schéma étale T sur k [si on prouve que \pi opère continûment — ce sera le cas en tous cas si X est quasi-compact]. Alors la théorie de la descente nous prouve que X \simeq X_{\bar k}/\pi, T = I_{\bar k}/\pi, (dans catégorie des schémas) donc on trouve

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] \\ T \end{tikzcd}

T étant étale sur k, on que f est surjectif et à fibres géom. connexes — et ceci suffit à caractériser X T. On peut aussi décrire comme le morphisme universel de X dans un schéma étale sur k. i.e. les composantes connexes de X_{\bar k} définies sur une ext. finie de k. C'est vrai si X qu.-cpt,

Tout-à-fait le schéma des composantes connexes géom. de X. Un pt X_\xi,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d] & X' \arrow[d, no head] \\ T \arrow[d] & T' \arrow[d, no head] \\ S = \mathrm{Spec}\,k \arrow[r, no head] & S' \end{tikzcd}

val. dans un S'/k « est » une partie ouverte et fermée de X_{S'} le schéma est dessiné dans la marge gauche ; la ligne qui le commente court sous le paragraphe précédent

Généralisation On suppose X quasi-compact, ou somme de schémas qu.-cpts : On trouve un T affine proétale, ayant les mêmes propriétés qu'avant. Le foncteur qu'il représente est un peu plus subtil à décrire….

\left\lbrace\begin{array}{l} \text{Groupes sur des bases } S \text{ quelconques. Prendre base } S \text{ ou prendre base } k \text{ ?} \\ \text{Groupes non-affines OK.} \end{array}\right.

Représentations linéaires de D(M) [cas particulier : \mathbf{G}_m, \mu_n]

Application : homomorphismes D(M) \to \mathbf{G}_m : on trouve que M_S est « réflexif » vis à vis de \mathbf{G}_m.

Dualité de Cartier \underline{\mathrm{Hom}}(G, \mathbf{G}_m) représentable ? Cela l'est si G diagonalisable, mais non (p. ex. G = \mathbf{G}_a) pas pour un gr. schéma en groupe affine lisse de t.f.). Par contre, si G est fini loc. libre sur S, on a \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_m) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\underline{O}\text{-alg}}(\underline{O}_S[T, T^{-1}], \mathcal{A}) \simeq W(\mathcal{A})^{*}, et le sous foncteur est celui des g u \in W(\mathcal{A})^{*}(S') tels que \pi(u) = u \otimes u , \qquad \varepsilon(u) = 1 [NB On peut les conditions car \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_m) = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{mon}}(G, \underline{O}^{*})] \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, H) représentable si G \to fini loc. libre, H affine ()

La représentabilité est claire, mais de plus on reconnaît que c'est \mathrm{Spec}(\check{\mathcal{A}}), \check{\mathcal{A}} = \mathrm{Dist}(G)_S étant une algèbre grâce à la structure de coalgèbre de \mathcal{A}. D'autre part, la structure de coalgèbre de \check{\mathcal{A}} provient du fait que le foncteur qu'il représente est un foncteur-groupe. \check{\mathcal{A}} comm. car G comm. \underline{\mathrm{Hom}}(\check{\mathcal{A}}, k') (\check{\mathcal{A}})_{\mathrm{ab}}

Th. Tout groupe comm. fini loc. libre G est réflexif pour \mathbf{G}_m. I.e. Son dual G^{*} est fini loc. libre comm., d'où une involution G \mapsto G^{*} de la catégorie des groupes comm. loc. libres. Elle correspond à la dualité des bialgèbres bicommutatives sur S.

Ex \mu_n \leftrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \alpha_p \leftrightarrow \alpha_p | Mais aussi D(M) \longleftrightarrow M_S

Marche \pm pour les schémas en groupes affines sur S tels que un groupe fini loc. libre, groupes discrets, groupes diagonalisables, et variétés discrètes tordues… Si on veut inclure le groupe \mathbf{G}_a, il faut…

La dualité de Cartier domine la théorie des groupes algébriques (ou formels) commutatifs, affines ou non — mais, il faut la compléter par la considération de \underline{\mathrm{Ext}}^1(G, \mathbf{G}_m) alors.