Cote n° 52, pages 1–13

Cote n° 52 · batch 1 · pages 1–13 · Transcription · Théorème de Torelli : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration

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Th. de Torelli

titre de sa main, écrit au coin supérieur droit d'un feuillet de couverture qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit donc pas de page, conformément à l'usage suivi depuis le dossier 29 : le saut dans la numérotation est la trace qu'il a été passé. Le titre de l'inventaire, « Théorème de Torelli », est cette abréviation développée, et il est donc de lui

Th. 1 Soit \(C\) un schéma en courbes simple, propre, irréductible sur \(S\) loc. noeth., de genre \(g \geq 2\), \(J^{0}_{C/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{C/S}\) son schéma jacobien homogène.le dernier mot de l'énoncé n'est pas assuré : les traits se laissent lire « homogène » et rien d'autre ne s'y ajuste, mais l'adjectif surprend appliqué à \(\mathrm{Pic}^{0}\) lui-même Alors \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est injectif.

Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) induisant l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). Soit \(\bar{\sigma}\) l'automorphisme de \(J^{1}_{C/S}\) induit par \(\sigma\), il sera, donc, de la forme \(T_{s}\), translationle mot est abrégé et la lecture repose sur ce que dit la suite de la phrase, non sur l'encre : ce qui est associé à la section \(s\) ne peut être que la translation par \(s\) associé à une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) (lemme à énoncer, d'ailleurs trivial car se ⌜qui moyennant descente devrait se⌝ ramener à l'énoncé ensembliste). Il faut montrer que la section \(s\) est l'identité. À vrai dire, \(C\) étant projectif sur \(S\), l'énoncé est équivalent à

Corollaire 1 \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est un monomorphisme (et \(=\) une immersion fermée, si l'on se rappelle que \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C)\) est propre sur \(S\))

[…]

deux lignes insérées ici et biffées d'un trait continu ; elles ne se laissent pas lire

Comme les deux mbs sont non ramifiés sur \(S\) [pas d'automorphismes infinitésimaux !] on est ramené à prouver que c'est injectif géométriquement ([…] […] […], et […] pts à valeurs dans des corps alg. clos), donc à démontrer le

Lemme Soit \(C\) une courbe alg. non sing. complète et irréd. de genre \(g \geq 2\) sur \(k\) alg. clos, \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) induisant l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). Alors \(\sigma\) est l'identité.

En effet, l'automorphisme de \(J^{1}_{C/S}\) induit par \(s\) est de la forme \(T_{a}\), où \(a\) est un pt de \(J^{0}\) rat. \(/k\), égal à \(\sigma x - x\) pour tt \(x \in C(k)\). (\(C\) étant considéré comme plongé dans \(J^{1}\).) Donc \(\sigma(x) = x + a\), donc […] […] en suivant […] \(\mathrm{Spec}(k)\).

Corollaire 2 Sous les conditions du Th., Toute Une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) sur \(A\)la lettre est un \(A\) majuscule et non un \(S\) ; aucun \(A\) n'a été introduit à ce point du dossier, il ne le sera qu'à la page 4 telle que la translation \(T_{s}\) de \(J^{1}_{C/S}\) conserve \(C\) (plongée dans \(J^{1}_{C/S}\)) est l'identité section nulle.« section nulle » en interligne au-dessus de « l'identité » biffé

En effet, il résulte de la formule des traces que le « nb. de pts fixes » de \(\sigma\) est égal : \(-1 + 2g - 1 = 2(g-1) > 0\) \(1 - 2g + 1 = 2 - 2g\) (puisque \(\sigma\) opère trivialement dans la jacobienne \(J^{0}\), donc sa trace vaut \(2g\)] et si \(x\) est un pt fixe, […] \(a = \sigma x - x = 0\).

la version biffée du calcul, \(1 - 2g + 1 = 2 - 2g\), est écrite sous celle qui reste et lui est opposée de signe

le haut de la page est un bloc encadré, puis annulé par deux longues diagonales. Il se lit en partie et est donné ici ; l'annulation n'est signalée qu'une fois

Utilisant le corollaire 2 lorsque \(S = \mathrm{Spec}(k(\varepsilon))\) pour \(S' = \mathrm{Spec}(\underline{D}(\underline{I}))\), où \(\underline{I}\) est un faisceau cohér. sur \(S\), \(\underline{D}(\underline{I}) = \underline{O}_{S} + \underline{I}\) (\(\underline{I}\) de carré nul) et tous les automorphismes de \(C' = C \times_{S} S'\) qui induisent l'identité sur \(C\)), on trouve

Prop.

Corollaire 3 Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\) satisfaisant les hyp. du th. Alors \[\underline{\mathrm{Isom}}_{S}(C, C') \longrightarrow \underline{\mathrm{Isom}}_{S}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S})\] est une immersion fermée.

Soit maintenant \(A\) un schéma abélien ⌜de dim. relative \(g\)⌝ polarisé sur \(S\) (polarisé au sens strict : on se donne une section du schéma de Nér.-Sév.). Pour tout \(T\) sur \(S\), on désigne par \(F(T)\) l'ensemble des classes, à isom. près, de courbes \(C\) sur \(S_{T}\) \(= T\), satisfaisant aux conditions générales du Th., et munies d'un isom. de \(J^{0}_{C/T}\) sur \(A\), ⌜compatible avec⌝ […] les polarisations.

la page est écrite très vite et à demi recouverte de biffures ; ce qui suit est ce que le feuillet soutient

le bloc du haut, encadré, est annulé par quatre longues diagonales ; il est donné tel qu'il se lit. La rigidification qu'il propose est abandonnée plus bas au profit d'une section de \(J^{1}\)

\(F'(T)\) l'ensemble analogue, mais où […] […] à la structure de \(C\) […] la donnée […] […] une rigidification par des \(\underline{\Omega}\) […] […] de \((\underline{\Omega}^{1}_{C/T})^{\otimes h}\) (\(h \geq 3\) étant choisi).

Soit \(v = 2h(g-1) - (g-1) = (2h-1)(g-1)\).}

rédiger proprement

Proposition ⌜Théorème⌝ Le foncteur \(F'(T)\) et \(F(T)\) […] est représentable, et […] par un \(M\) quasi-projectif sur \(S\) ; le morphisme […] […] un fibré principal homogène de […]

suivent quatre lignes biffées et barrées de traits ondulés, où l'on distingue \(F(T)\), \(F'(T)\) et un « Coll » souligné ; elles ne se laissent pas lire

Plus précisément : le morphisme structural \(M \to S\) est radiciel et […] […] […] ; le morphisme est un […] ⌜non ramifié⌝ […] […]

Démonstration

\(F'(T)\), en considérant […] […] \(M\) sur \(S\). Soit \(T\) […] […] les changements de base \(T\)

Foncteur \(F'(T)\) analogue à \(F(T)\), […] […] nouveau foncteur représentant […] sur \(C\) une structure supplémentaire : une section de \(J^{1}_{C/S}\) sur \(T\). D'après les remarques générales […] […] […] […]

Le morphisme \(F'(T) \to F(T)\), le passage […] […] \(F(T) \times_{F}\) \(F' \times_{F} F' \rightrightarrows F'\) […] […] d'ailleurs, […] \(M'\) identifiable : […] si \(F'\) est représentable […] \(A \times M'\), […] […] \(M'\) par des opérations de gpe.

le bord gauche de la page porte, en biais, un second bloc plus rapide encore : on y lit « ex : […] courbes […] hyperelliptiques […] », et rien de plus ne s'en laisse tirer. Un petit cadre quadrillé, biffé, occupe le bas de la marge

isom., on sait déjà qu'il y a […] un ouvert quasi-projectif sur \(S\) du schéma de Hilbert [car le […] degré de \(C\) dans \(A_{T}\) est connu …]. Je fais La deuxième condition elle aussi s'exprime par un ouvert plus petit.

On a ainsi prouvé que \(F'\), donc \(F\), est représentable quasi-projectivement, donc \(F\) aussi. Nous voulons prouver que l'on a un immersion ⌜morphisme radiciel […]⌝. Pour la question essentielle, on se ramène aux deux cas particuliers suivants :

(i) \(S = \mathrm{Spec}(k)\) spectre d'un corps, alg. clos si on veut.

a) \(M\) ne peut avoir […] […] ⌜[…] […] à conjugaison près par le groupe \(\mathbb{Z}/2 \subset \mathrm{Aut}_{S}(A)\)⌝ […] ⌜deux⌝ […] […] […] : c'est le théorème de Torelli sous sa forme classique ⌜En fait […] […] \(x \in M\) […] […]⌝.

b) \(M \to \mathrm{Spec}(k)\) est non ramifié, i.e. les ⌜deux⌝ pts de \(M\) à valeurs dans \(\mathrm{Spec}(k[t]/t^{2})\) localisés en le même point de \(M\) sont identiques. Pour ce dernier point,

En vertu du th. 1, […], il opère sans pt fixe, donc le quotient

Si \(F'\) est représentable par \(M'\) ⌜universellement quasi-projectif sur […]⌝, alors \(A\) opère sur \(M'\), en vertu du th. 1, il opère sans pts fixes. D'après un résultat général ⌜à démontrer […]⌝, il s'ensuit que \(F\) est représentable car \(M'/A\) existe « universellement », et alors \(M = M'/A\) représente \(F\). On […] […] […] […] […] que \(A\) est propre et plat sur \(S\).

à dégager

Or \(F'(T)\) s'explicite comme un sous-ensemble de \(\underline{\mathrm{Hilb}}_{A/S}(T)\), savoir […] \(C\) qui […] […] équivalentes aux \(C\) plongées dans […] \(A_{T}\), telles que le morphisme naturel \(J^{0}_{C/S} \longrightarrow A_{T}\) déduit du plongement soit un isom. de schémas abéliens […] […] […] polarisation ⌜[…]⌝ polarisés. Or, la exigeons que […] d'ailleurs que dans le morphisme \(C \to A_{T}\), […] […] \(C \to A_{T}\) soit la polarisation induite sur \(C\) soit de degré \(g\), est donnée. D'après la théorie de Hilbert, si on fixe absolument […] […] par \(J^{0}_{C/S} \to A_{T}\) devient […] un

Corollaire signifie ceci : (Toute déformation infinitésimale du premier ordre de \(C\) dans \(A\) [si \(C\) est […] […] positionnée dans \(A\)] est induite par une translation infinitésimale de \(A\) (laquelle est bien déterminée d'ailleurs, puisque \(C\) n'a pas d'automorphismes ⌜infinitésimaux⌝)).

Or comme les déformations infinitésimales en question sont définies par un élément de \(H^{0}(C, \underline{N})\), où \(\underline{N}\) est le faisceau normal de \(C\) dans \(A\).

Considérant la suite exacte \[0 \longrightarrow \underline{T} \longrightarrow \underline{V} \longrightarrow \underline{N} \longrightarrow 0\] où \(\underline{V}\) est induit par le faisceau tangent à \(A\) (un […] constant de rang \(g\)), \(\underline{T}\) est le faisceau tangent à \(C\), […] inversible de degré \(2(1-g) < 0\), et on a donc \[H^{0}(C, \underline{T}) = 0, \qquad H^{0}(C, \underline{V}) \simeq k^{g} \simeq \mathrm{Im}\, H^{0}(A, \check{\Omega}_{A/k}),\] entre \(k^{g}\) et « Im » un premier terme est biffé et la question est donc seulement si \(H^{0}(C, \underline{V}) \to H^{0}(C, \underline{N})\) est surjectif, i.e. \[H^{1}(C, \underline{T}) \longrightarrow H^{1}(C, \underline{V}) \simeq \struck{\ill{}} H^{1}(A, \check{\Omega}_{A/k})\] injectif, i.e.

Corollaire Toute déformation infinitésimale ⌜du premier ordre⌝ de la structure de \(C\) qui induit une déformation infinitésimale triviale de la structure de \(J^{0}_{C/S}\), est triviale.

Traduisant par dualité, on est ramené à la question si \[H^{0}(C, \check{\underline{V}} \otimes \underline{\Omega}) = H^{0}(C, \underline{\Omega}) \otimes H^{0}(C, \underline{\Omega}) \longrightarrow H^{0}(C, \underline{\Omega}^{\otimes 2})\] (où \(\Omega = \Omega^{1}_{C/k}\)) est surjectif. Or ce dernier fait est vrai ssi \(C\) est non hyperelliptique ; dans le cas général hyperelliptique, on sait que le conoyau de l'homomorphisme […] […] est de rang 1, donc le conoyau de \(H^{0}(\underline{V}) \to H^{0}(\underline{N})\) est de rang 1, donc ([…] […] […] \(M\) […] […] sur \(S\)) la fibre de \(M\) en \(s\) est \(\mathrm{Spec}\, k[t]/t^{2}\).

(ii) On veut montrer que \(M \to S\) se factorise en un […] suivi d'un morphisme […] par une immersion. Par le critère valuatif, on est ramené à prouver ceci :

Corollaire Supposons \(S = \mathrm{Spec}(V)\), \(V\) anneau de valuation discrète, Soit \(\eta\) le pt générique de \(S\), […] supposons le morphisme \(M \to V\) surjectif, i.e. que la fibre de \(A\) sur \(V\) soit des jacobiennes. Alors Soit \(C_{\eta}\) une courbe sur

dégager de façon […] les compatibilités

\(\eta\) munie d'un isom. ⌜(compatible aux pol.)⌝ de \[J^{0}_{C_{\eta}/k(\eta)} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{\eta}.\] Alors il existe une courbe \(C\) sur \(S\), et un […] […] […] dont la fibre générique soit \(C_{\eta}\), et un isom. de \(J^{0}_{C/S}\) sur \(A\).

[En d'autres termes, la courbe \(C_{\eta}\) « se réduit bien » et il s'ensuivra que \(J^{0}_{C/S} \to A\) est un isomorphisme […] \(A\) de façon unique de façon à induire l'isom. donné sur la fibre générique].

[…] fois, on construit directement \(C\) dans \(A\), on […] […] supposer […] la […] […] […] […] […] \(V\) est complet : […] […] […] […] sur \(S\), donc \(J_{C/S}\) […] […]

bloc encadré et annulé par une nappe de diagonales ; seuls quelques mots s'en détachent

Soit En effet, pour […] […] […], on peut supposer ([…] […] […] […] ⌜valuation⌝) […] […] complet. […] \(M\) […] \(M'\), et prenons […] déjà que \(C_{\eta}\) correspond à un pt de \(M'\) dans \(k(\eta)\), i.e. on […] \(J_{C_{\eta}/k(\eta)}\) […] […] […] \(A\) rationnel sur \(k(\eta)\), […] […] \(C_{\eta}\) plongé dans \(\underline{A}\). Soit \(C\) la courbe sur \(S\) adhérence de \(C_{\eta}\). [Un résultat de Hoyt

(n'utilisant que le fait que \(A_{a}\) est une jacobienne) nous dit que cette courbe ⌜\(C_{a}\)⌝ a bien une composante de multiplicité 1, et que \(J^{0}_{C_{a}/k(a)}\) est isomorphe au produit des jacobiennes des composantes de \(C_{a}\).]

On n'a pas besoin de Hoyt, mais seulement de Matsusaka

Mais un résultat de Matsusaka ⌜(« géométrique »)⌝ nous apprend que si on […] sur \(A\) un diviseur ⌜positif⌝ irréductible \(\Theta_{a}\) tel que \(\deg(\Theta^{n}/n!) = 1\), et que \[\tfrac{1}{n!}\,\deg \Theta_{a}^{n} = 1, \qquad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, Z\] avant la seconde condition, un premier essai « \(\Theta^{n-1}/(n-1)! \sim\) » est biffé (équivalence numérique) : \(Z\) est un cycle positif, alors \(Z\) […] est une courbe non singulière irréductible, [et de plus — mais nous n'en aurons pas besoin — \(A\) est isomorphe à sa jacobienne […] par l'immersion \(C \to A\), et \(\Theta\) définit la polarisation canon. de la jacobienne].

la première condition signifie que \(\Theta\) définit […] la polarisation

[…] […] l'hypothèse […] Considérons le diviseur \(\Theta_{\eta}\) correspondant à […], et son adhérence \(\Theta\), disons \(\Theta_{a}\). On sait que un symbole biffé précède \((n-1)!\) dans la première relation \[\deg(\Theta_{\eta}^{n})/n! = 1 \quad\text{et}\quad \Theta_{\eta}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{\eta},\] donc \[\deg(\Theta_{a}^{n}/n!) = 1 \quad\text{et}\quad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{a}.\] Comme Si \(C_{a}\) était irréductible, \(\Theta_{a}\) ne serait pas

l'indice que la première lecture rendait \(y\) est le \(\eta\) du point générique introduit p. 9 ; \(a\) est le point fermé

irréductible en vertu du th. de Matsusaka. […], On suppose déjà que \(A_{a}\) est une jacobienne ⌜polarisée⌝ ; donc qu'il est […] […] un résultat d'unicité de Matsusaka affirme qu'il existe […] ⌜à translation près⌝ une seule classe […] de div. \(D\) positif sur \(A_{a}\) […], irréductible […] […], qui soit la […] : […] […] numériquement […] au diviseur, et qu'alors

le bloc qui précède est encadré et traversé de deux longues diagonales ; il est donné tel qu'il se lit, l'annulation n'étant signalée qu'ici

ce diviseur \(\Theta_{a}\) est dans la classe de polarisation donc est irréductible ; donc \(C_{a}\) est irréductible et non singulière sur \(k\). Donc \(C\) se réduit bien, et il est simple sur \(S\), et on achève maintenant facilement.

La démonstration donne d'ailleurs ceci :

Soit Corollaire 1 Soit \(T \struck{\ill{}} = \overline{f(M)}\), où \(f\) est le morphisme structural \(M \to S\). Pour que \(t \in T\) soit dans \(f(M)\), il f. et s. que le diviseur de polarisation de \(A_{t}\) [défini à translation près au moyen de \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\)] soit ⌜vraiment⌝ irréductible.

Corollaire 2 Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\), munies d'isomorphismes […] de schémas abéliens polarisés \(\varphi : J^{0}_{C/S} \to A\) et \(\varphi' : J^{0}_{C'/S} \to A\). Alors On suppose que \(S\) est réduit

le premier bloc de la page est encadré puis annulé d'un long trait sinueux ; il est donné tel qu'il se lit

Corollaire 3 (i) Supposons que \(S\) soit ⌜réduit, et⌝ normal […] […] pts \(s \in S\) tels que \(A_{s}\) soit une jacobienne […] hyperelliptique. Pour que \(A\) soit un schéma jacobien ⌜polarisé⌝, il f. et s. que ses fibres le soient ; […] […] que les fibres génériques […] […] ([…] composantes de \(S\)) le soient, et que les diviseurs de polarisation des ⌜de leurs⌝ fibres puissent être pris irréductibles.

il suffit que \(S\) soit réduit […] […] pts […] […] \(s \in S\) ([…] […]) […] […]

[…] […] […]

la seconde note marginale est entourée ; son premier mot pourrait être « Faux »

(ii) Supposons que \(S\) soit réduit […] […] \(s \in S\) tels que \(A_{s}\) soit hyperelliptique. Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\), munies d'isom. de schémas abéliens polarisés \[\varphi : J^{0}_{C/S} \longrightarrow A, \qquad \varphi' : J^{0}_{C'/S} \longrightarrow A.\] Alors il existe un \(S\)-isomorphisme \(u : C \to C'\) et un seul tel que compatible avec \(\varphi\) et \(\varphi'\).

le feuillet s'arrête là, sur l'énoncé et sans démonstration