Th. de Torelli
titre de sa main, écrit au coin supérieur droit d'un feuillet de couverture
qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit donc pas de page,
conformément à l'usage suivi depuis le dossier 29 : le saut dans la numérotation
est la trace qu'il a été passé. Le titre de l'inventaire, « Théorème de Torelli »,
est cette abréviation développée, et il est donc de lui
Th. 1 Soit C un schéma en courbes simple, propre, irréductible
sur S loc. noeth., de genre g \geq 2, J^{0}_{C/S} =
\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{C/S} son schéma jacobien
homogène.le dernier mot de l'énoncé n'est pas assuré : les
traits se laissent lire « homogène » et rien d'autre ne s'y ajuste, mais
l'adjectif surprend appliqué à \mathrm{Pic}^{0} lui-même Alors
\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to
\underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}) est injectif.
Soit \sigma un automorphisme de C induisant l'identité sur J^{0}_{C/S}.
Soit \bar{\sigma} l'automorphisme de J^{1}_{C/S} induit par \sigma, il
sera, donc, de la forme T_{s}, translationle mot est abrégé
et la lecture repose sur ce que dit la suite de la phrase, non sur l'encre : ce
qui est associé à la section s ne peut être que la translation par s
associé à une section s de J^{0}_{C/S} (l'énoncé l'énoncé
ensembliste). Il faut montrer que la section s est l'identité. À vrai dire,
C étant projectif sur S, l'énoncé est équivalent à
Corollaire 1 \underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to
\underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}) est un
monomorphisme (et = une immersion fermée,
rappelle que \underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to projectif sur S)
deux lignes insérées ici et biffées d'un trait continu ; elles ne se
laissent pas lire
Comme les deux sont non ramifiés sur S [pas
d'automorphismes infinitésimaux !]
Lemme Soit C une courbe alg. non sing. complète
et irréd. de genre g \geq 2 sur k alg. clos, \sigma un
automorphisme de C induisant l'identité sur J^{0}_{C/S}. Alors \sigma
est l'identité.
En effet, l'automorphisme de J^{1}_{C/S} induit par s est de la forme
T_{a}, où a est un pt de J^{0} rat. /k, égal à \sigma x - x pour tt
x \in C(k). (C étant considéré comme plongé dans J^{1}.) Donc
\sigma(x) = x + a, donc en suivant
\mathrm{Spec}(k).
Corollaire 2 Sous les conditions du Th., Toute
Une section s de J^{0}_{C/S} sur Ala lettre est un A majuscule et
non un S ; aucun A n'a été introduit à ce point du dossier, il ne le sera
qu'à la page 4 telle que la translation T_{s} de J^{1}_{C/S} conserve C
(plongée dans J^{1}_{C/S}) est l'identité section
nulle.« section nulle » en interligne au-dessus de « l'identité » biffé
En effet, il résulte de la formule des traces que le « nb. de pts fixes » de
\sigma est égal :
la version biffée du calcul, écrite sous celle qui reste, n'aboutit pas
au même nombre ; elle est trop chargée pour être lue
le haut de la page est un bloc encadré, puis annulé par deux longues
diagonales. Il se lit en partie et est donné ici ; l'annulation n'est signalée
qu'une fois
Utilisant le corollaire 2 lorsque S = \mathrm{Spec}(k(\varepsilon))
pour S' = \mathrm{Spec}(\underline{D}(\underline{I})) : \underline{I}
faisceau cohérent sur S, \underline{D}(\underline{I}) =
\underline{O}_{S} + \underline{I} [\underline{I} de carré nul] et
C' = C \times_{S} \ill{} qui induisent l'identité sur ,
on trouve
Prop.
Corollaire 3 Soient C, C' deux courbes sur S satisfaisant
les hyp. du th. Alors
\underline{\mathrm{Isom}}_{S}(C, C') \longrightarrow
\underline{\mathrm{Isom}}_{S}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S})
est une immersion fermée.
Soit maintenant A un schéma abélien de dim. relative g
polarisé sur S au sens strict : on se donne une section
du schéma de Nér.-Sév.). Pour tout T sur S, on désigne par F(T)
l'ensemble des classes, à isom. près, de courbes C sur S_{T}
= T, satisfaisant aux conditions générales du Th., et
munies d'un isom. de J^{0}_{C/T} sur A, compatible avec
la page est écrite très vite et à demi recouverte de biffures ; ce qui
suit est ce que le feuillet soutient
F'(T) l'ensemble analogue, mais où
la donnée d'une rigidification par des éléments de
(\underline{\Omega}^{1}_{C/T})^{\otimes h} (h \geq 3 ).
Soit v = 2h(g-1) - (g-1) = (2h-1)(g-1).
rédiger proprement
Théorème Le foncteur F'(T) représentable par un M' quasi-projectif sur S,
F'(T), : représentable
application F'(T) \to F(T), le
passage
F' \times_{F} F' \rightrightarrows F' et d'ailleurs,
M' M' par des opérations de
le bord gauche de la page porte, en biais, un second bloc plus rapide
encore : on y lit « ex : courbes hyperelliptiques », et
rien de plus ne s'en laisse tirer. Un petit cadre quadrillé, biffé, occupe le
bas de la marge
page de même farine que la précédente : les articulations portent, la
prose non
par la théorie de Hilbert [car le
]. condition plus petit
que F', F
proportionnels, dans F l'
difficile être . Pour le aux deux cas
particuliers
(i) S = \mathrm{Spec}(k)
deux de Torelli sous sa forme
classique
M ne peut avoir Z/2 \in A_{-g}(A)
c'est le théorème
M \to \mathrm{Spec}(k) deux le cas de
M localisés identiques.
F' le th. 1 quotient
si F' est représentable par (M', dans A qui
M', le th. 1, il . D'après
F est représentable car M'/A existe « universellement »
et alors M = M'/A représente F. A
est propre et plat sur S.
Or F'(T) s'explicite comme sous-ensemble de
\underline{\mathrm{Hilb}}_{A/S}(T), vérifie également
C d'après dans A_{T}, le jacobienne
naturel J^{0}_{C/S} \longrightarrow A_{T}
déduisant Matsusaka, Par exiger
plongement C \to A_{T}, si C \to A_{T} soit
C de dernière. D'après le théorème de Hilbert, \Theta
absolument J^{0}_{C/S} \to A_{T}
d'après ceci ? (Une déformation infinitésimale du premier
ordre de C dans A [si C est positionnée dans
A] ne translation infinitésimale de A (qui est
bien déterminée d'ailleurs, puisque pas d'automorphismes
infinitésimaux).
Or comme les déformations infinitésimales en question sont définies par
un élément de H^{0}(C, \underline{N}), où \underline{N} est le faisceau
normal de C dans A.
Considérant la suite exacte
0 \longrightarrow \underline{T} \longrightarrow \underline{V}
\longrightarrow \underline{N} \longrightarrow 0
où \underline{V} est induit par le faisceau tangent à A (un
constant de rang g, \check{\Omega}), \underline{T} est le faisceau
tangent : C de degré 2(1-g) < 0, et
H^{0}(C, \underline{T}) = 0, \qquad
H^{0}(C, \underline{V}) \simeq k^{g} \simeq
H^{0}(A, \check{\Omega}_{A/k}),
et la question donc H^{0}(C, \underline{V}) \to H^{0}(C,
\underline{N}) surjectif, i.e.
H^{1}(C, \underline{T}) \longrightarrow H^{1}(C, \underline{V})
\simeq \struck{\ill{}} H^{1}(A, \check{\Omega}_{A/k})
injectif, i.e.
Corollaire Toute déformation infinitésimale du
premier ordre de la structure de C qui induit une déformation
infinitésimale triviale de la structure de J^{0}_{C/S},
est triviale.
Traduisant par dualité, on est ramené à la question si
H^{0}(C, \check{\underline{V}} \otimes \underline{\Omega})
= H^{0}(C, \underline{\Omega}) \otimes H^{0}(C, \underline{\Omega})
\longrightarrow H^{0}(C, \underline{\Omega}^{\otimes 2})
(où \Omega = \Omega^{1}_{C/k}) est surjectif. Or ce dernier fait est
vrai ssi C est non hyperelliptique ; dans le cas
(ii) On voit que M \to S est
relatif) :
Corollaire Supposons S = \mathrm{Spec}(k),
\underline{V} relativement discrète, Soit y
le M \to \underline{V} i.e. que le
de A sur \underline{V} des jacobiennes. Alors Soit C_{0}
une courbe sur
le bord gauche de la page porte, en biais, une note de sa main : on y lit
« finalement », et rien de sûr au-delà
(compatible ),
J^{0}_{C_{0}/k(s)} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{s}.
courbe C sur S, C dans plus isom. de
J^{0}_{C/S} A.
, la courbe C_{0} sera évident par
J^{0}_{C/S} \to A de façon unique
les deux tiers inférieurs de la page sont un bloc encadré puis annulé par
une nappe de diagonales, par-dessus une écriture déjà serrée : il n'est pas
lisible et n'est pas donné
Ceci utilisant le fait que A ( une jacobienne) nous dit
que cette courbe C_{a} a bien une multiplicité 1, et
que J^{0}_{C_{a}/k(a)} produit des jacobiennes des
composantes de C_{a}.] (« »)
Mais un résultat de Matsusaka nous apprend que si une
A un diviseur irréductible positif \Theta_{a}
soit une courbe
positif, alors irréductible, [et de plus
A bien une : sa jacobienne]
A, \Theta définit l'immersion la polarisation
Que l'hypothèse
\Theta_{y} correspondantes \Theta_{a}, \Theta, dire
que
\deg(\Theta_{y}^{n})/n! = 1
\quad\text{et}\quad
\deg(\Theta_{a}^{n}/n!) = 1,
C_{a} était irréd. et
\Theta_{y}^{\,n-1} \equiv \struck{\ill{}}\ (n-1)!\, C_{y},
\qquad
\Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{a}.
irréductible, \Theta_{a}
la formule est écrite deux fois, la première biffée ; seule la seconde
est donnée. La classe que l'énoncé général appelle Z est ici la courbe
elle-même, C_{y} ou C_{a}
irréductible au sens du th. de Matsusaka.
multiplicité
Matsusaka affirme qu'il mais dit. D positif
il existe irréductible
) une A : jacobiennes
le haut de la page est traversé de deux longues diagonales et le peu qui
se lit est donné tel quel
une , et dans le cas de Matsusaka
; donc C_{a} est irréductible sur k. Donc
C et il sur S, maintenant .
donnent d'ailleurs ceci :
La démonstration des
Corollaire 1 Soit T \cdot \struck{\ill{}} = \overline{f(M)}, où
f le morphisme structural M \to S. Pour que t \in T de
f(M), il f. et s. que le diviseur la polarisation de A_{t}
[ à translation près nulle,] \deg \Theta^{g}/g! = 1] soit
irréductible.
Corollaire 2 Soient C, C' deux courbes sur S, munies
d'isomorphismes relatives \varphi : J^{0}_{C/S} \to A et
\varphi' : J^{0}_{C'/S} \to A. Alors la
le premier bloc de la page est encadré puis annulé d'un long trait
sinueux ; il est donné tel qu'il se lit
Corollaire 3 (i) Supposons que S soit réduits, et
s \in S tel que A_{s} soit
hyperelliptique polarisé. Pour que une jacobienne
polarisée, il f. et s. que A ait une soient ;
que les composantes soient (composantes de S)
le soient, et que les le diviseur de Matsusaka
puissent être irréductibles.
(ii) Supposons que S soit réduit aux hyperelliptique. deux Soient
C, C' deux courbes sur S, munies d'isom. de relations
polarisées
\varphi : J^{0}_{C/S} \longrightarrow A,
\qquad
\varphi' : J^{0}_{C'/S} \longrightarrow A.
Alors il existe un S-isom. u : C \to C' et un seul
compatible avec \varphi et \varphi'.
le feuillet s'arrête là, sur l'énoncé et sans démonstration