Cote n° 51 · batch 2 · pages 21–22 · Transcription · « Bonne réduction » (Shimura-Koizumi) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Variétés abéliennes » (45 à 56) est daté 1961-1973
Édition de démonstration

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[Le noyau de \(u : A \to P\)]

titre de l'éditeur, entre crochets : le feuillet 21 n'en porte aucun et poursuit l'argument du feuillet 20 (lot 1), qui s'achevait sur la question de savoir si \(A \to P\) est une immersion fermée d'image \(P\).

21« 11 », de sa main, en haut à droite ; aucun autre feuillet du dossier ne porte de numéro de sa main.

Donc l'image de \(A\) est \(P\). Reste à vérifier que le noyau de \(A\) est \(u : A \to P\) \(\to\) [qui, on le sait, est fini sur \(S\), plat génériquement […] le groupe unité] est le groupe unité sur \(S\). la fin de la parenthèse est très rapide ; « le groupe unité » y est lu sur le modèle de la même expression, mieux formée, qui suit le crochet.

En tous cas, ce groupe est d'ordre Ce fib. si \(p\) est l'exposant caractéristique du corps résiduel \(k\), alors la fibre \(K_0\) est un \(p\)-groupe.

En effet, si \(\xi_0\) est un pt de \(K_0\) […] […] ligne biffée d'un trait ; sous elle, une addition interlinéaire reliée par un trait, « de […] », ne se lit pas.

[N.B. […] […], […] la […] \(\xi_0\) d'ordre \(n\) premier à \(p\), alors \(\xi_0\) provient d'une section \(\xi\) d'ordre \(n\) de \(A\) sur \(S\), qui donne une section d'ordre \(n\) de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) […] nulle au pt fermé \(s\), donc […]] tout ce N.B. est encadré et annulé par deux longues diagonales ; on le transcrit sans le biffer mot à mot. Sous « qui donne une » s'insère une petite addition, « & \(X\) […] \(/S\) », dont la place dans la phrase n'est pas sûre.

Ceci résulte facilement du fait que si \(n\) est premier à \(p\), alors \((\mathrm{Pic}_{X/S})_n\) est non ramifié étale sur \(S\), et que \(A_n\) \(A_n\) est ét. un revêtement étale de \(S\). Donc si \(p = 1\), i.e. \(k(v)\) est de car. \(0\), on a fini. Sinon, il faut regarder de plus près - - - - « non ramifié », souligné, est écrit au-dessus de « étale », biffé.

? À étudier : noyaux, images d'homomorphismes de schémas abéliens et multiabéliens, en car. \(\neq 0\), notamment sur une base non réduite… ce paragraphe est séparé du précédent par un trait horizontal sur toute la largeur ; le point d'interrogation est dans la marge gauche. Le signe après « car. » surcharge une lettre ; la fin de la dernière ligne sort du feuillet.

Schémas abéliens sur un \(S\) régulier

titre de sa main, en tête du feuillet 22.

22a) Un schéma abélien \(P\) sur \(S\) est projectif sur \(S\) (Raisonnement de Nakai-[…]) « abélien » est traversé d'un grand trait vertical qui en surcharge l'initiale. Le second nom commence par une majuscule bouclée ; « Shimura », qui s'accorderait avec le titre du dossier, n'est pas exclu, mais le tracé ne le porte pas assez pour qu'on l'imprime.

b) Il existe un schéma de translations, noté \(G\), et \(P\) est un espace fibré principal homogène […] isotrivial sous \(G\).

c) Si \(G\) est un schéma abélien sur \(S\), alors \[H^1(S, G) \subset H^1(K, G).\] Si \(P_K\) est un fibré principal homogène sous \(G_K\), pour qu'il soit provienne d'un \(P\) pr. hom. sous \(G\), il f. et s. qu'il « se réduise bien ». En tous cas, il y a un plus grand […] ouvert \(U\) […] dense de \(S\) tel que \(P_K\) provienne d'un \(P\) sur \(U\) (i.e. l'ouvert où \(P_K\) est se réduit bien). […] le mot lu « ouvert » a la forme d'un trait discontinu terminé en flèche, qui mène du mot noirci à \(U\) ; dans la marge gauche, à hauteur de cette ligne, un petit signe de renvoi.

d) résulte du th. de pureté \(S - U = Z\) est de codim. \(1\) en […] […]. la note marginale est écrite en oblique à la hauteur de la fin de c) et reliée par un trait à d).

Donc \[H^1(K, G) / H^1(S, G) \;\subset\; \sum_{\substack{D\ \uncertain{\text{div.}}\ \struck{\uncertain{\text{irréductible}}} \\ \uncertain{\text{premier}}\text{ de } S}} H^1(\uncertain{K_D}, G) / H^1(\mathcal{O}_D, G)\] le terme de droite est entouré ; de l'ovale descend une flèche vers une colonne de mots soulignés dans le coin inférieur droit : « […] : étudier / […] […] / […] […] / […] complétion ». L'indice \(\mathcal{O}_D\) est souligné sur la page.

Analogue [th. de pureté] pour la bonne réduction des schémas abéliens ? cette question est prise dans une grande boucle tracée depuis « Donc » ; « th. de pureté » est écrit au-dessus, sous une accolade qui le fait porter sur « Analogue ».