Cote n° 51 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · « Bonne réduction » (Shimura-Koizumi) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Variétés abéliennes » (45 à 56) est daté 1961-1973
Édition de démonstration

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« Bonne réduction » (Shimura, Koizumi)

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise de carton par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page ; les guillemets sont les siens

2Shimura – Koizumi encadré, en haut à droite du feuillet

Proposition 1. Soient \(V\) un anneau de valuation discrète [interligne : de corps \(K\)], \(X\) un préschéma sur \(V\) [interligne : \(X' = X_K\) ouvert de \(X\)], \(F\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\), [interligne : \(F' = F_K = F|X'\)] Pour que \(F\) soit plat sur \(V\), il f. et s. que le plus petit sous-schéma […] q. coh. \(G\) de \(F\) soit plat sur \(V\), il quatre lignes biffées de traits horizontaux et d'une grande boucle ; la lecture en est incertaine d'un bout à l'autre

[…] (i) Pour tout faisceau quotient quasi-cohérent \(G' = F'/J'\) \(F_K\), soit \(G\) le faisceau quotient de \(F/J^{*}\), où \(J^{*}\) est le plus grand plus petit [interligne : sous-Module] […] de \(F\) induisant \(J'\) sur \(X' = X_K\) un […] Module \(\subset J'\), — donc \(G\) est le plus petit [interligne : Module] quotient de \(F\) induisant sur \(X'\) un faisceau un faisceau quotient de \(F'\) plus grand majorant \(G'\). Alors \(G\) est quasi-cohérent et \(V\)-plat, et \(G|X' = G'\).

(ii) Soit \(G = F/\) […] Soit \(G = F/J\) un faisceau quotient q. coh. de \(F\) \(F\) qui est \(V\)-plat, et soit \(G' = G|X'\) le quotient correspondant de \(F'\). Alors \(G\) est le plus petit Module quotient de \(F\) majorant qui induise \(G'\) sur \(X'\).

Corollaire 1. Correspondance biunivoque entre l'ensemble des faisceaux quotients q. coh. […] de \(F\) qui sont \(V\)-plats, et des faisceaux quotients q. coh. [interligne : quotients de \(F'\)].

3Dém. On sait déjà (bof) que \(J\) est q. coh. et \(J|X' = J'\), donc \(G\) est q. coh. et \(G|X' = G'\). Prouvons que \(G\) est \(V\)-plat, i.e. que l'uniformisante \(\pi\) de \(V\) est non diviseur de \(0\) dans \(G\). […] Soit […] […] \(\mathcal{N}\) le noyau de \(\pi\) dans \(G\), alors \(G/\mathcal{N}\) est un faisceau [interligne : Module] quotient de \(G\) qui induit encore \(G'\) sur \(X'\), donc d'après la définition minimale de \(G\), \(\mathcal{N} = 0\), ce qui prouve (i).

Pour (ii), on note que si \(G_1\) est le plus petit Module quotient de \(G\) induisant \(G'\) sur \(X'\), […] et on sait que \(G_1 \to\) [interligne : le noyau de \(F\)] majoré par \(G\), alors le noyau de [interligne : libérer] \(G \to G_1\), est [interligne : inclus] \(V\)-plat sur \(V\) et induit \(0\) sur \(X'\) ; il suffit de prouver qu'un tel Module q. coh. est Nul. Or c'est immédiat, puisque \(N \otimes_V K = 0\). Cqfd. \(G \to G_1\) les deux mots interlinéaires de cet alinéa ne se lisent pas sûrement ; l'argument est clair : le noyau \(N\) de \(G \to G_1\) est un sous-Module du Module \(V\)-plat \(G\), donc sans \(\pi\)-torsion, et nul sur \(X'\)

4Corollaire 2. […] Supposons […] qu'on ait deux \(F_1\) et \(F_2\) [interligne : q. coh. sur \(X_1\), resp. \(X_2\)] et qu'on considère les faisceaux [interligne : Modules] quotients de \(F_1\), \(F_2\), \(F_1 \otimes_V F_2\). Alors la correspondance du Cor. 1 est compatible avec la formation du […] produit tensoriel de quotients des \(F_1\), \(F_2\), […] [interligne : \(F_1\) et \(F_2\)] (\(F'_1\) et \(F'_2\)) identifiés à un quotient de \(F_1 \otimes F_2\) (\(F'_1 \otimes F'_2\)).

En effet, le produit tensoriel sur \(V\) de faisceaux q. coh. \(V\)-plats est \(V\)-plat, et la […] formation du produit tensoriel commute à la tensorisation par \(K\).

Corollaire 3. Supposons que Les sous-préschémas [interligne : fermés] \(Y\) de \(X\) plats sur \(V\) sont en correspondance biunivoque avec les sous-préschémas fermés \(Y'\) de \(X' = X \otimes_V K\), à \(Y\) correspond \(Y' = Y \otimes_V K = Y \cap X'\), et à \(Y'\) correspond le sous-préschéma adhérence \(Y = \overline{Y'}\). Cette correspondance est compatible avec les produits cartésiens sur \(V\).

5Corollaire 4. Soit \(G\) un préschéma en groupes sur \(V\), \(H'\) un sous-préschéma en groupes [interligne : fermé] de \(G_K\), \(H\) le sous-préschéma adhérence de \(H'\). Alors \(H\) est un sous-préschéma en groupes de \(G\), plat sur \(V\), dominant induisant \(H'\), et c'est le seul.

Il est évident que \(H\) est stable par symétrie ; reste à prouver que \(p \colon G \times G \to G\) induit \(H \times H \to H\), i.e. que le sous-schéma [interligne : fermé] \(P\) de \(G \times G\) image inverse de \(H\) par \(p\) […] majore \(H \times H\). Or ce sous-schéma induit sur \(X'\) un sous-schéma qui majore \(H' \times H'\), donc il majore \(\overline{H' \times H'}\) qui est \(H \times H\) d'après le cor. 3. Cqfd.

6Prop. 2. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\) loc. noeth., \(G\) q.-projectif sur \(S\) ??? on suppose que \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\) \(\mathrm{Hilb}(G/S)\) existe. On s'intéresse à l'ens. \(F(S) \subset \mathrm{Hilb}(G/S)\) formé des sous-schémas fermés de \(G\), propres et plats sur \(S\), qui sont des schémas en s-groupes. Pour tout \(S'\) sur \(S\), on définit de même \(F(S') \subset \mathrm{Hilb}(G'/S')\), d'où un « sous-foncteur » de \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\). Je dis qu'il est représentable et que le préschéma \(\mathcal{M}\) sur \(S\) est tel que le morphisme induit \(\mathcal{M} \to \mathrm{Hilb}_{G/S}\) soit une immersion fermée. Si \(G\) est propre sur \(S\) et \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\) est réunion disjointe d'ouverts [interligne : \(H_i\)] […] de type fini sur \(S\), alors les \(H_i \cap \mathcal{M} = \mathcal{M}_i\) \(\mathcal{M}\) est réunion disjointe des ouverts \(\mathcal{M}_i = \mathcal{M} \cap H_i\), dont les \(\mathcal{M}_i\) sont propres sur \(S\). la marge porte, à gauche de la deuxième ligne, une note de sa main, reproduite ci-dessus ; une flèche la rattache à « on suppose »

N.B. Si on s'intéresse à la classification des s-schémas [interligne : en groupes \(H\)] de \(G\) qui sont finis [interligne : de type (déjà propres !)] (resp. séparables, resp. abéliens), on trouve des sous-schémas ouverts de \(\mathcal{M}\), le premier étant aussi fermé.

7Les deux premières assertions résultent du fait suivant : Soit \(H\) un sous-schéma fermé de \(G\), [interligne : propre et] plat sur \(S\). Alors il existe un plus petit sous-schéma fermé \(T\) de \(S\) tel que pour tout morphisme \(S' \to S\), l'image inverse \(H'\) soit un ss-groupe de \(G'\) ssi \(S' \to S\) se factorise par \(T\). Or, il faut exprimer, si \(H\) est 1°) la symétrie, […] de \(H\) et \(\check{H}\) sont les mêmes 2°) l' image image inverse de \(H \times H\) est majorée par celle de \(P\), où \(P = p^{-1}(H)\), \(p \colon G \times G \to G\) étant la multiplication. Les deux […] conditions en question, il est connu, s'expriment par la […] domination de […] par des sous-schémas fermés \(T_1\), \(T_2\) de \(S\), on prendra donc \(T = T_1 \cap T_2\). « sous-schémas » : le mot commence par ce qui ressemble à « K- »

Pour la dernière assertion, la caractérisation habituelle des propriétés […] comme en Cor. 4 de prop. 1. OK.

8Corollaires titre isolé en tête du feuillet, souligné ; aucun corollaire ne suit immédiatement

Proposition 3. Soit \(A\) un schéma abélien sur \(V\), et \(u' \colon A' = A_K \to B'\) une isogénie, où \(B'\) est un schéma abélien sur \(K\). Il existe alors un schéma abélien \(B\) sur \(V\), […] tel que \(B \otimes_V K \simeq B'\), et un et cette isogénie homomorphisme \(A\) de schémas abéliens \(u \colon A \to B\) induisant \(u' \colon A' \to B'\).

N.B. On ne se sert pas du th. de Weil, disant que un \(V\)-morphisme \(A_K \to B_K\) […] \(A' \to B'\) provient d'un morphisme \(A \to B\).

Dém. Soit \(H'\) le noyau de \(u'\), c'est un sous-groupe fini de \(A'\), donc provient d'un sous-groupe \(V\)-plat \(H = \overline{H'}\) de \(A\), évidemment fini sur \(V\), étant propre [interligne : et quasi-fini] sur \(V\) : fibre générale finie. […] Comme \(A\) est projectif sur \(V\) ([…]), on considère le [interligne : schéma] quotient \(A/\Gamma\), qui est un schéma en groupes sur \(V\) car \(A\) est plat sur \(V\), plat sur \(V\), (à fibres […]), propre sur \(V\), et tel que la lettre lue \(H\), \(H'\) dans les deux premières lignes de la démonstration pourrait être la même que le \(\Gamma\) qui la remplace à partir de « \(A/\Gamma\) » et au feuillet 9 ; les deux glyphes se ressemblent. La répétition « plat sur \(V\), plat sur \(V\) » est sur la page

9le noyau de \(A \to B\) soit précisément \(\Gamma\), Prouvons maintenant que \(B\) est un schéma abélien Alors la formation du quotient commute avec le changement de base, donc 1) \(B \otimes_V K \simeq A'/\Gamma' \simeq B'\) 2) \(B \otimes_V k\) est isomorphe à \(A \otimes k / \Gamma' \otimes k\), donc est un schéma abélien. Donc \(B\) est un schéma abélien. Cqfd. dans 2), l'indice de \(\Gamma'\) est tel qu'il est écrit ; on attendrait \(\Gamma\)

Corollaire 1. Soit Si \(A'\) [interligne : et \(B'\)] sont des schémas abéliens [interligne : isogènes] sur \(K\), alors \(A'\) se réduit bien par \(V\) ssi \(B'\) se réduit bien par \(V\). S'il en est ainsi, les […] abéliennes réduites sont isogènes.

Corollaire 2 Conséquence : on voit donc […] qu'une classe de variétés abéliennes mod isogénie (p.ex. simple) se réduit bien ou non, et […] parlons donc de la […] classe réduite. Bien entendu, une somme de classes de variétés [interligne : schémas] abéliens sur \(K\) qui se réduisent bien, se réduit bien. En particulier, si les composantes simples de

10\(A'\) se réduisent bien, \(A'\) se réduit bien. On va prouver la réciproque, qui s'exprime :

Théorème (Shimura – Koizumi). Si \(A'\) sur \(K\) se réduit bien, tout schéma abélien quotient aussi. On peut le prouver directement comme proposition 3 la note marginale est écrite en oblique, à gauche de l'énoncé, les mots séparés par des traits

On peut supposer que \(A' = A \otimes_V K\), et le quotient en question facteur direct. Il y a donc des endomorphismes \(p'\), \(q'\) de \(A'\) tels que \[p' + q' = \mathrm{id}, \qquad p'^2 = p', \qquad q'^2 = q' ;\] les endomorphismes correspondants \(p\), \(q\) de \(A\) satisfont les mêmes conditions : \[p + q = \mathrm{id}, \qquad p^2 = p, \qquad q^2 = q .\] Donc on a un isom. \[A = \operatorname{Ker} p \times \operatorname{Ker} q = A_1 \times A_2\] (c'est « fonctoriel » !). Donc \(A_1\) et \(A_2\) sont propres sur \(V\), d'ailleurs le produit de leurs fibres en \(k\) étant \(A \otimes k\), qui est […] [interligne : abélien] sur \(k\), il faut que \(A_1 \otimes k\) et \(A_2 \otimes k\) soient […] connexes […] […] […] \(A_1\) et \(A_2\). D'où la […] un long trait vertical dans la marge de gauche, en bas du feuillet, porte quelques lettres illisibles

11conclusion.

Remarque. Soit \(A\) un schéma abélien sur \(V\), \(B'\) un sous-schéma abélien de \(A' = A_K\). Il résulte de ce qui précède que \(B'\) est de la forme \(B_K\), où \(B\) est un schéma abélien sur \(V\), et où l'immersion \(B' \to A'\) est induite par un morphisme \(B \to A\) (ce dernier point résulte aussi du th. de Weil). Mais Soit \(H\) le sous-schéma fermé de \(A\) image de \(B\), on voit facilement [interligne : tout de suite] que \(H = \overline{B'}\) (car \(H\) induit \(B'\), et donc \(H\) majore \(\overline{B'}\), or \(B\) l'image inverse de \(\overline{B'}\) est un sous-schéma fermé de \(B\) dominant \(B \otimes K\), on identifie : \(B\), donc \(\overline{B'}\) majore \(H\)). C'est donc un sous-schéma en groupes fermé de \(A\), [interligne : plat sur \(V\)] (cf. prop. 1, cor. 4). C'est un schéma abélien, et \(B \to B'\) est un isom. (grâce au th. de Weil p.ex.), i.e. \(B \to A\) est un monomorphisme, i.e. son noyau est […] trivial. « \(B \to B'\) » : sans barre sur la page ; l'argument demande \(B \to \overline{B'}\)

D'après Shimura – Koizumi, il n'en est

12pas toujours ainsi, comme on voit ainsi. Soit […] car. \(k = p > 0\), et prenons deux ss-schémas finis \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\) du schéma abélien \(A\) \(B\), tels que \(\Gamma'_1 \cap \Gamma'_2 = (e)\), \(\Gamma_1 \cap \Gamma_2 \neq (e)\). On en construit facilement, p.ex. en partant de \(B\) courbe elliptique telle que \(B \otimes k\) n'ait pas de points d'ordre \(p\) (donc \(B \otimes k\) a un seul sous-groupe fini d'ordre \(p\)) et \(B \otimes K\) ayant deux sous-groupes distincts d'ordre \(p\) (c'est faisable […] en inégales caractéristiques \(0\), \(p\), […] quitte à […] […] une extension finie de \(K\)). trois lignes lourdement biffées, traversées d'une ligne ondulée, entre « caractéristiques » et « une extension finie de \(K\) » ; on y lit « \(B \otimes K\) », rien de suivi

On pose \(A = B/\Gamma_1 \times B/\Gamma_2\), et on y envoie \(B\) diagonalement. OK.

L'exemple marche encore quand pour \(B\) un schéma […] abélien [interligne : […]] quel. de dim \(\geq 2\), […] pourvu que la puissance \(p\)-ième dans \(\mathrm{Lie}(B)\) soit nulle, de sorte qu'on […] […] […] \(B\) […] \(\mathrm{Lie}(B)\) […] […] […], définissant […] […] […] note marginale écrite en oblique dans la marge inférieure gauche, séparée du corps par une grande courbe qui aboutit au \(B\) de « on y envoie \(B\) diagonalement »

Noter cependant que en car. \(0\) [interligne : […]], tout schéma en groupes de type fini sur un corps est séparable, donc,

13il est immédiat de prouver que […] tout sous-schéma \(A\) en groupes [interligne : fermé] \(B'\) de \(A' = A_K\) est la restriction d'un […] ss-schéma abélien \(B\) de \(A\). Il s'ensuit, si on suppose que \(A\) est un schéma abélien [interligne : projectif] sur un schéma loc. noeth. \(S\) de car. \(0\), tel tel que \(\mathrm{Hilb}_{A/S}\) \(\mathrm{Hilb}(A/S)\) existe [interligne : et soit loc. de type fini] (p.ex. si \(A\) projectif sur \(S\)) que le schéma \(\mathcal{M}\) sur \(S\) de prop. 2 est tel que qui classifie les sous-schémas abéliens ([…]) est tel que ses […] ([…]) […] loc. propre sur \(S\). D'ailleurs, […] en caractéristique […], le \(S\)-schéma \(\mathcal{M}_1\) [interligne : en groupes finis] qui classifie les ss-schémas (séparables en [interligne : loc. non ramifié]) [de] \(A\) est […] sur \(S\). Donc

En caractéristique \(0\) en combinant les deux propriétés, on voit ceci : la phrase commencée par « Donc » est laissée en suspens ; « En caractéristique \(0\) » la reprend à la ligne, et le feuillet s'arrête sur les deux-points

14Th. Proposition Soit \(A\) un schéma abélien sur le […] préschéma connexe et normal ? \(S\) de car. \(0\), de corps \(K\). Supposons […] schéma en groupes tel que \(\mathrm{Hilb}_{A/S}\) existe et soit loc. de type fini sur \(S\) [p.ex. que \(A\) soit projectif sur \(S\)]. Alors pour tout sous-schéma en groupes \(B'\) de \(A' = A \otimes K\), il existe un unique sous-schéma en groupes multiabélien \(B\) de \(A\), tel que \(B' = B \otimes K\). Si \(B'\) est abélien, \(B\) est abélien. N.B. Il suffit que \(A\) soit propre plat sur \(S\) […] […] la composante neutre de \(A\) multiabélienne) […] et \(S\) […] suffit note marginale en oblique, à gauche de l'énoncé ; « normal » est souligné et suivi d'un point d'interrogation. « Multiabélien » revient au feuillet 15, « schémas multi-abéliens »

Pour un emploi de l'hypothèse : \(S\) normal, Ce n'est pas bien […] : \(S\) réduit ? […] probable, mais […] […] si \(S\) est quelconque. […] pour que \(\mathcal{M}\) soit non ramifié sur \(S\). alinéa très raturé : deux lignes biffées, puis un bloc encadré et biffé d'une ligne ondulée, où se lit « unibranche » en interligne ; un crochet et un trait dans la marge de gauche

Question ? Est-il possible en car. \(0\) de définir, si \(A\) est un […] schéma en groupes propre sur \(S\), un plus grand sous-schéma abélien [qui coïncide […] […] de \(A\) si […]]. Ceci si \(S\) est réduit ?

15Remarque. […] Pour \(\mathrm{Hom}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(A,B)\) [où \(A\) et \(B\) sont multiabéliens sur \(S\)] la situation est analogue. Sans hypothèse de […] caractéristique : ce schéma sur \(S\) [sous réserve d'existence, et d'être de [interligne : loc. de] type fini] est loc. ? non ramifié et loc. propre sur \(S\). D'où un théorème analogue au précédent sur l'existence des \(\mathrm{Hom}\) de schémas multi-abéliens.

[Lemme. Soit Soit \(f \colon X' \to X\) un morphisme fini et non ramifié, avec \(X\) normal loc. noeth. unibranche. Alors toute section rationnelle de \(X'\) sur \(X\) est partout définie.

En effet, […] on se ramène au cas où \(f\) \(X\) est intègre [interligne : affine], \(X'\) intègre, \(f \colon X' \to X\) dominant affine non ramifié et birationnel, donc défini par une algèbre […] \(A'\) sur \(A\), contenue dans la clôture intégrale de \(A\) dans \(K\). […] Alors les fibres de \(f\) […] ont un seul pt géométrique. Étant séparable, l'une […] […], et on finit : \(f\) est un isom.] les crochets ouvrant et fermant sont les siens et embrassent tout le lemme

16Proposition. Soient \(V\) un anneau de valuation discrète, de corps \(K\), \(A_K\) une V.A. définie sur \(K\), \(X\) un préschéma projectif sur \(V\), et \(R_1\) sur \(V\) [fibres plat, fibres simples en codim \(\leq 1\)], \(u \colon X_K \to A_K\) une application rationnelle qui « engendre » \(A_K\). Alors \(A_K\) « se réduit bien » sur \(V\), i.e. il existe un \(A\) abélien sur \(V\) tel que \(A_K\) soit isomorphe à \(A \otimes_V K\).

On sait que Soit \(C\) une « courbe générique » dans \(X\), successivement simple sur \(V\). (On sait que cela existe…). Considérons L'image Je dis qu'on sait que alors \(C_K \to A_K\) est un morphisme, et qui engendre \(A_K\) [quitte à […], sur un corps alg. […] clos]. Considérons l'hom. correspondant \(\mathrm{Pic}^0(A_K) \to \mathrm{Pic}^0(C_K)\), qui est injectif […] fait […] un isomorphisme […] \(\mathrm{Pic}^0(A_K)\) […] se réduit bien, […] \(\mathrm{Pic}^0(C_K) \to A_K\) qui est surjectif [question […] sur un corps]. Comme \(\mathrm{Pic}^0(C_K)\) se réduit bien grâce à \(\mathrm{Pic}^0(C)\), il s'ensuit par le th. de Koizumi – Shimura que \(\mathrm{Pic}\,A\) se réduit bien. « dans \(X\) » : la lettre ressemble à un \(V\) ; « successivement » est une conjecture sur un mot réduit à un trait. Le bloc biffé est encadré et couvert de boucles ; la suite, \(\mathrm{Pic}^0(C_K) \to A_K\), est écrite à droite du bloc. Le passage de \(\mathrm{Pic}\,A\) à \(A\) n'est pas écrit

17Th. Soient \(A\) \(V\) un anneau de valuation discrète, \(X\) un préschéma projectif sur \(V\), à fibres simples séparables simples en codim \(\leq 1\), [interligne : \(X_K\) géom. irréd.] Alors \(\mathrm{Pic}^0(X_K)^{\uncertain{\mathrm{red}}}\) et \(\mathrm{Alb}^0(X_K)\) se réduisent bien. l'exposant de \(\mathrm{Pic}^0(X_K)\) est surchargé et peu lisible

Rappelons nous que s'il existe dans \(\mathrm{Pic}^0(X_K)\) un sous-schéma abélien \(\mathrm{Pic}^0(X_K)'\), ayant même ens. sous-jacent, et que \(\mathrm{Alb}^0(X_K)\) est défini comme le dual de ce dernier.

[…] \(\mathrm{Alb}^0(X_K)\) […] […] […] dual […] une ligne biffée et encadrée, couverte d'un gribouillis \(X_K \; x_1\) Faisons une extension non ramifiée sur \(V\), on peut supposer que \(X\) a une section sur \(\mathrm{Spec}(V)\). Cette section nous donne un […] morphisme naturel \(X_K \to \mathrm{Alb}^0(X_K)\), et il est connu que […] ce morphisme engendre \(\mathrm{Alb}^0(X_K)\) […] (c'est formel). Donc par la proposition précédente, \(\mathrm{Alb}^0(X_K)\) se réduit bien. Mais comme \(\mathrm{Pic}^0(X_K)'\) est isogène, il s'ensuit que ce dernier […] se réduit bien également.

18Ceci lorsque, en fait, on prouve d'abord […] que \(\mathrm{Pic}^{0}_{X/S}\) est ouvert, donc en l'occurrence simple sur \(S\). note encadrée en tête du feuillet, reliée par une flèche au mot « Théorème »

Théorème. Soient \(f \colon X \to S\) un morphisme projectif, plat, [interligne : et […] ?] à fibres géométriques intègres […] et simples en codim \(1\), le but étant loc. noethérien et réduit. Alors il existe un sous-préschéma abélien unique \(A\) de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\), dont l'ensemble sous-jacent soit la réunion des composantes connexes [neutres] des fibres de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\). Prouvé seulement en car. \(0\) pour l'instant… est-ce nécessaire ? Non, voir la rigidité des Modules formels des V.A. \(*\) la seconde note marginale est entourée et reliée par une flèche au mot « réduite », souligné dans l'énoncé ; « neutres » manque à la lettre et est suggéré par la suite (« ses fibres sont propres »)

Soit en effet \(P\) ladite réunion. Comme ses fibres sont propres sur \(k\) [vrai …], il s'ensuit par un théorème connu [renvoyant aux critères de propreté de Ch. II] que \(P\) est propre sur \(S\) [question : en est-il de même de \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S}\) ? De façon générale, est-il vrai que \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) est réunion disjointe de parties ouvertes propres sur \(S\) ?]. ? Non […] seulement formel… Nous cherchons un sous-schéma fermé de \(P\), qui soit plat sur \(S\) et qui soit un sous-préschéma en groupes de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) [interligne : et abélien sur \(S\), ensemblistement égal à \(P\)] ([…] […]), pour \(S'\) sur \(S\) variable, \[F(S') = \text{l'ens.\ des sous-schémas fermés de } P_{S'} ,\] qui sont des sous-schémas en groupes de \(G\), [abéliens sur \(S\), ensemblistement égaux à \(P_{S'}\)]. Je dis que le foncteur \(F(S')\) « Ch. II » : le chiffre romain est encadré ; « \(G\) » est tel qu'il est écrit, pour \(\mathrm{Pic}_{X/S'}\)

19est représentable. En effet, laissant d'abord tomber la dernière condition, on est ramené à un sous-schéma fermé de \(\mathrm{Hilb}_{P/S}\) [formé des sous-schémas [interligne : plats] de \(P\) qui sont des sous-groupes de \(\mathrm{Pic}\), et ouvert dans ce dernier par la condition abélienne], montrons que la condition ensembliste est une condition ouverte : elle est en effet invariante par changement de base, et si elle est vérifiée par un \(A \subset P\) en un pt, elle l'est par raison de dimensions, dans un voisinage. De plus, le morphisme \(\mathcal{M} \to S\) de ce problème modulaire a les propriétés suivantes :

(i) Les Ses fibres géométriques sont isomorphes à […] \(\mathrm{Spec}\, k(x)\). Évident, on se ramène sur un corps alg. clos, et utilisant le th. de rigidité. « th. de rigidité » est écrit en interligne et souligné deux fois

(ii) Le morphisme \(\mathcal{M} \to S\) est propre. Il est en effet de type fini, séparé, reste à vérifier le critère valuatif, savoir ceci : dans le cas où \(S\) est le spectre d'un

20anneau de valuation discrète, et où on se donne une section [interligne : rationnelle] de \(\mathcal{M}\) sur \(S\) i.e. on se donne l'unique \(A_K\) abélien sous-groupe de \(\mathrm{Pic}^0(X_K)\) […] prouver que la section est partout définie. Or par le théorème de Koizumi \(A_K\) « se réduit bien », i.e. provient d'un schéma abélien \(A\) sur \(V\). On va essayer de prolonger […] en un morphisme \(A \to \mathrm{Pic}_{X/S}\), i.e. \(A \to P\). C'est possible, vu le fait que les fibres de \(P\) sur \(S\) satisfont les hypothèses du théorème de connexion [interligne : linéaire] de Murre – Chow. [On n'a pas besoin du théorème si \(X\) simple sur \(S\)]. « rationnelle » est entouré ; après \(\mathrm{Pic}^0(X_K)\), un signe qui ressemble à un astérisque suivi de « + »

Reste la question si \(u \colon A \to P\) est une immersion fermée, d'image \(P\). L'image […] est évidemment [interligne : une fibre] de dim. égale à \(\dim A_K\) [interligne : \(= \dim \mathrm{Pic}(X_K)\)] et [continuité de la dimension des fibres du noyau] donc de dim égale à \(\dim \mathrm{Pic}(X_K)\) [théorème de continuité de la dimension des fibres des Picards]. Attention, cela est-il vrai si \(f \colon X \to S\) n'est pas simple ?! dans le dernier \(\mathrm{Pic}(X_K)\), on attendrait la fibre spéciale \(X_k\) ; l'indice est écrit comme les précédents. La démonstration continue au feuillet 21 (batch 2) : « Donc l'image de \(A\) est \(P\). »