« Bonne réduction » (Shimura, Koizumi)
titre de sa main, en haut à droite du feuillet 1, une chemise de
carton par ailleurs vierge qui ne reçoit pas de numéro de page ; les
guillemets sont les siens
Shimura – Koizumi
encadré, en haut à droite du feuillet
Proposition 1. Soient V un anneau de valuation discrète
interligne : de corps K, X un préschéma sur V
interligne : X' = X_K ouvert de X, F un faisceau
quasi-cohérent sur X, interligne : F' = F_K = F|X'
Pour que F soit plat sur V, il f. et s.
que le plus petit sous-schéma q. coh. G de F soit
plat sur V, il
quatre lignes biffées de traits horizontaux et d'une grande boucle ;
la lecture en est incertaine d'un bout à l'autre
F_K, soit G le faisceau quotient de
F/J^{*}, où J^{*} est le plus grand plus petit
interligne : sous-Module J' sur X' = X_K un un faisceau un faisceau quotient de F'
plus grand majorant G'. Alors G est
quasi-cohérent et V-plat, et G|X' = G'.
(ii) Soit G = F/ Soit G = F/J un faisceau quotient
q. coh. de F F qui est V-plat, et soit
G' = G|X' le quotient correspondant de F'. Alors G est le plus petit
Module quotient de F majorant qui induise G' sur
X'.
Corollaire 1. Correspondance biunivoque entre
l'ensemble des faisceaux quotients q. coh.
Dém. On sait déjà (bof) que J est q. coh. et
J|X' = J', donc G est q. coh. et G|X' = G'. Prouvons que G est
V-plat, i.e. que l'uniformisante \pi de V est non diviseur de 0
dans G. faisceau interligne : Module quotient de G qui
induit encore G' sur X', donc d'après la définition minimale de G,
\mathcal{N} = 0, ce qui prouve (i).
Pour (ii), on note que si G_1 est le plus petit Module quotient de G
induisant G' sur X',
Corollaire 2. faisceaux
interligne : Modules quotients de F_1, F_2,
F_1 \otimes_V F_2. Alors la correspondance du Cor. 1 est
compatible avec la formation du F_1, F_2, interligne : F_1 et
F_2 (F'_1 et F'_2) identifiés à un quotient de F_1 \otimes F_2
(F'_1 \otimes F'_2).
En effet, le produit tensoriel sur V de faisceaux q. coh. V-plats est
V-plat, et la
Corollaire 3. Supposons que Les sous-préschémas
interligne : fermés Y de X plats sur V sont en correspondance
biunivoque avec les sous-préschémas fermés Y' de X' = X \otimes_V K,
à Y correspond Y' = Y \otimes_V K = Y \cap X', et à Y' correspond le
sous-préschéma adhérence Y = \overline{Y'}. Cette
correspondance est compatible avec les produits cartésiens sur V.
Corollaire 4. Soit G un préschéma en groupes sur V, H' un
sous-préschéma en groupes interligne : fermé de G_K, H le
sous-préschéma adhérence de H'. Alors H est un sous-préschéma en groupes
de G, plat sur V, dominant induisant H', et c'est le seul.
Il est évident que H est stable par symétrie ; reste à prouver que
p \colon G \times G \to G induit H \times H \to H, i.e. que le
sous-schéma interligne : fermé P de G \times G image inverse de
H par p
Prop. 2. Soit G un schéma en groupes sur S loc. noeth.,
G q.-projectif sur S ???
on suppose que \mathrm{Hilb}_{G/S}
\mathrm{Hilb}(G/S) existe. On s'intéresse à l'ens.
F(S) \subset \mathrm{Hilb}(G/S) formé des sous-schémas fermés de G,
propres et plats sur S, qui sont des schémas en s-groupes. Pour tout
S' sur S, on définit de même F(S') \subset \mathrm{Hilb}(G'/S'),
d'où un « sous-foncteur » de \mathrm{Hilb}_{G/S}. Je dis qu'il est
représentable et que le préschéma \mathcal{M} sur S est tel que le
morphisme induit \mathcal{M} \to \mathrm{Hilb}_{G/S} soit une immersion
fermée. Si G est propre sur S et \mathrm{Hilb}_{G/S} est réunion
disjointe d'ouverts interligne : H_i alors les H_i \cap \mathcal{M} = \mathcal{M}_i
\mathcal{M} est réunion disjointe des ouverts
\mathcal{M}_i = \mathcal{M} \cap H_i, dont les \mathcal{M}_i sont
propres sur S.
la marge porte, à gauche de la deuxième ligne, une note de sa main,
reproduite ci-dessus ; une flèche la rattache à « on suppose »
N.B. Si on s'intéresse à la classification des s-schémas
interligne : en groupes H de G qui sont finis
interligne : de type (déjà propres !)
(resp. séparables, resp. abéliens), on trouve des
sous-schémas ouverts de \mathcal{M}, le premier étant aussi fermé.
Les deux premières assertions résultent du fait suivant : Soit H un
sous-schéma fermé de G, interligne : propre et plat sur S. Alors
il existe un plus petit sous-schéma fermé T de S tel que pour
tout morphisme S' \to S, l'image inverse H' soit un
ss-groupe de G' ssi S' \to S se factorise par T. Or, il
faut exprimer, si H est 1°) la symétrie,
de H et \check{H} sont les mêmes 2°) l'
image image inverse de H \times H est majorée par celle de
P, où P = p^{-1}(H), p \colon G \times G \to G étant la
multiplication. Les deux
Pour la dernière assertion, la caractérisation
habituelle des propriétés comme en
Cor. 4 de prop. 1. OK.
Corollaires
titre isolé en tête du feuillet, souligné ; aucun corollaire ne suit
immédiatement
Proposition 3. Soit A un schéma abélien sur V, et
u' \colon A' = A_K \to B' une isogénie, où B' est un schéma abélien sur
K. Il existe alors un schéma abélien B sur V, et cette isogénie
homomorphisme A de schémas abéliens u \colon A \to B induisant
u' \colon A' \to B'.
N.B. On ne se sert pas du th. de Weil, disant que un V-morphisme
A_K \to B_K A' \to B' provient d'un morphisme
A \to B.
Dém. Soit H' le noyau de u', c'est un sous-groupe fini de
A', donc provient d'un sous-groupe V-plat H = \overline{H'} de A,
évidemment fini sur V, étant propre interligne : et
quasi-fini sur V : fibre générale finie.
Comme A est projectif sur V (), on considère le
interligne : schéma quotient A/\Gamma, qui est un schéma en groupes
sur V car A est plat sur V, plat sur V,
(à fibres ), propre sur V, et tel que
la lettre lue H, H' dans les deux premières lignes de la
démonstration pourrait être la même que le \Gamma qui la remplace à
partir de « A/\Gamma » et au feuillet 9 ; les deux glyphes se
ressemblent. La répétition « plat sur V, plat sur V » est sur la page
le noyau de A \to B soit précisément \Gamma,
Prouvons maintenant que B est un schéma abélien
Alors la formation du quotient commute avec le
changement de base, donc 1) B \otimes_V K \simeq A'/\Gamma' \simeq B'
2) B \otimes_V k est isomorphe à A \otimes k / \Gamma' \otimes k,
donc est un schéma abélien. Donc B est un schéma abélien.
Cqfd.
dans 2), l'indice de \Gamma' est tel qu'il est écrit ; on attendrait
\Gamma
Corollaire 1. Soit Si A' interligne : et B'
sont des schémas abéliens interligne : isogènes sur K, alors A'
se réduit bien par V ssi B' se réduit bien par V. S'il en est ainsi,
les
Corollaire 2 Conséquence : on voit donc
qu'une classe de variétés abéliennes mod isogénie (p.ex.
simple) se réduit bien ou non, et variétés interligne : schémas abéliens sur K qui se
réduisent bien, se réduit bien. En particulier, si les composantes simples
de
A' se réduisent bien, A' se réduit bien. On va prouver la
réciproque, qui s'exprime :
Théorème (Shimura – Koizumi). Si A' sur K se réduit bien,
tout schéma abélien quotient aussi.
On peut le prouver directement comme
proposition 3
la note marginale est écrite en oblique, à gauche de l'énoncé, les
mots séparés par des traits
On peut supposer que A' = A \otimes_V K, et le
quotient en question facteur direct. Il y a donc des
endomorphismes p', q' de A' tels que
p' + q' = \mathrm{id}, \qquad p'^2 = p', \qquad q'^2 = q' ;
les endomorphismes correspondants p, q de A satisfont les mêmes
conditions :
p + q = \mathrm{id}, \qquad p^2 = p, \qquad q^2 = q .
Donc on a un isom.
A = \operatorname{Ker} p \times \operatorname{Ker} q = A_1 \times A_2
(c'est « fonctoriel » !). Donc A_1 et A_2 sont propres sur
V, d'ailleurs le produit de leurs fibres en k étant
A \otimes k, qui est
conclusion.
Remarque. Soit A un schéma abélien sur V, B' un
sous-schéma abélien de A' = A_K. Il résulte de ce qui précède que B'
est de la forme B_K, où B est un schéma abélien sur V, et où
l'immersion B' \to A' est induite par un morphisme B \to A (ce dernier
point résulte aussi du th. de Weil). Mais Soit H le
sous-schéma fermé de A image de B, on voit facilement
interligne : tout de suite que H = \overline{B'} (car H induit
B', et donc H majore \overline{B'}, or B l'image inverse de
\overline{B'} est un sous-schéma fermé de B dominant B \otimes K, on
identifie : B, donc \overline{B'} majore H). C'est donc un
sous-schéma en groupes fermé de A, interligne : plat sur V
(cf. prop. 1, cor. 4). C'est un schéma abélien, et
B \to B' est un isom. (grâce au th. de Weil p.ex.), i.e. B \to A est
un monomorphisme, i.e. son noyau est
D'après Shimura – Koizumi, il n'en est
pas toujours ainsi, comme on voit ainsi. Soit
A B, tels que
\Gamma'_1 \cap \Gamma'_2 = (e), \Gamma_1 \cap \Gamma_2 \neq (e). On en
construit facilement, p.ex. en partant de B courbe elliptique telle que
B \otimes k n'ait pas de points d'ordre p (donc
B \otimes k a un seul sous-groupe fini d'ordre p) et B \otimes K
ayant deux sous-groupes distincts d'ordre p (c'est faisable
On pose A = B/\Gamma_1 \times B/\Gamma_2, et on y envoie B
diagonalement. OK.
L'exemple marche encore
quand pour B un schéma
Noter cependant que en car. 0 interligne : , tout
schéma en groupes de type fini sur un corps est séparable,
donc,
il est immédiat de prouver que A en groupes interligne : fermé B' de
A' = A_K est la restriction d'un tel tel que \mathrm{Hilb}_{A/S}
\mathrm{Hilb}(A/S) existe interligne : et soit loc. de
type fini (p.ex. si A projectif sur S) que le schéma \mathcal{M}
sur S de prop. 2 est tel que qui classifie les sous-schémas
abéliens () est tel que ses ()
loc. propre sur S. D'ailleurs, en caractéristique
, le S-schéma \mathcal{M}_1 interligne : en groupes finis
qui classifie les ss-schémas (séparables en
interligne : loc. non ramifié) de A est
En caractéristique 0 en combinant les deux propriétés, on voit ceci :
la phrase commencée par « Donc » est laissée en suspens ; « En
caractéristique 0 » la reprend à la ligne, et le feuillet s'arrête sur
les deux-points
Th. Proposition Soit A un schéma abélien sur le
Supposons schéma en groupes
tel que \mathrm{Hilb}_{A/S} existe et soit loc. de type
fini sur S [p.ex. que A soit projectif sur S]. Alors pour tout
sous-schéma en groupes B' de A' = A \otimes K, il existe un unique
sous-schéma en groupes multiabélien B de A, tel que
B' = B \otimes K. Si B' est abélien, B est abélien.
N.B. Il suffit que A soit propre plat sur S
la composante neutre de A
multiabélienne) et S
suffit
note marginale en oblique, à gauche de l'énoncé ; « normal » est
souligné et suivi d'un point d'interrogation. « Multiabélien » revient
au feuillet 15, « schémas multi-abéliens »
Pour un emploi de l'hypothèse : S normal,
Ce n'est pas bien :
S réduit ?
Question ? Est-il possible en car. 0 de définir, si A est un
Remarque. de interligne : loc. de type fini] est loc. ? non ramifié
et loc. propre sur S. D'où un théorème analogue au précédent sur
l'existence des \mathrm{Hom} de schémas multi-abéliens.
[Lemme. Soit Soit f \colon X' \to X un morphisme
fini et non ramifié, avec X normal loc. noeth.
unibranche. Alors toute section rationnelle de X' sur X est partout
définie.
En effet, on se ramène au cas où f X est intègre
interligne : affine, X' intègre, f \colon X' \to X dominant
affine non ramifié et birationnel, donc défini par une
algèbre
Proposition. Soient V un anneau de valuation discrète, de corps
K, A_K une V.A. définie sur K, X un préschéma projectif sur V,
et R_1 sur V [fibres plat, fibres simples en codim \leq 1],
u \colon X_K \to A_K une application rationnelle qui « engendre » A_K.
Alors A_K « se réduit bien » sur V, i.e. il existe un A abélien sur
V tel que A_K soit isomorphe à A \otimes_V K.
On sait que Soit C une « courbe générique » dans
X, successivement simple sur V. (On sait que
cela existe…). Considérons L'image Je
dis qu'on sait que alors
C_K \to A_K est un morphisme, et qui engendre A_K
[quitte à , sur un corps alg.
est injectif fait un
isomorphisme \mathrm{Pic}^0(A_K) se réduit
bien,
\mathrm{Pic}^0(C_K) \to A_K qui est surjectif [question
sur un corps]. Comme \mathrm{Pic}^0(C_K) se réduit bien grâce
à \mathrm{Pic}^0(C), il s'ensuit par le th. de
Koizumi – Shimura que \mathrm{Pic}\,A se réduit bien.
« dans X » : la lettre ressemble à un V ; « successivement » est
une conjecture sur un mot réduit à un trait. Le bloc biffé est encadré et
couvert de boucles ; la suite, \mathrm{Pic}^0(C_K) \to A_K, est écrite à
droite du bloc. Le passage de \mathrm{Pic}\,A à A n'est pas écrit
Th. Soient A V un anneau de valuation discrète, X
un préschéma projectif sur V, à fibres simples séparables
simples en codim \leq 1, interligne : X_K géom.
irréd. Alors \mathrm{Pic}^0(X_K)^{\uncertain{\mathrm{red}}}
et \mathrm{Alb}^0(X_K) se réduisent bien.
l'exposant de \mathrm{Pic}^0(X_K) est surchargé et peu lisible
Rappelons nous que s'il existe dans \mathrm{Pic}^0(X_K) un sous-schéma
abélien \mathrm{Pic}^0(X_K)', ayant même
ens. sous-jacent, et que \mathrm{Alb}^0(X_K) est défini comme le dual de
ce dernier.
\mathrm{Alb}^0(X_K) dual
une ligne biffée et encadrée, couverte d'un gribouillis
X_K \; x_1
Faisons une extension non ramifiée sur V, on peut supposer
que X a une section sur \mathrm{Spec}(V). Cette section
nous donne un
Ceci lorsque, en fait, on
prouve d'abord que
\mathrm{Pic}^{0}_{X/S} est ouvert, donc en l'occurrence
simple sur S.
note encadrée en tête du feuillet, reliée par une flèche au mot
« Théorème »
Théorème. Soient f \colon X \to S un morphisme projectif,
plat, interligne : et ? à fibres géométriques
intègres et simples en codim 1, le but étant loc.
noethérien et réduit. Alors il existe un sous-préschéma abélien unique A
de \mathrm{Pic}_{X/S}, dont l'ensemble sous-jacent soit la réunion des
composantes connexes neutres des fibres de
\mathrm{Pic}_{X/S}.
Prouvé seulement en car. 0 pour l'instant…
est-ce nécessaire ? Non, voir la
rigidité des Modules formels des V.A. *
la seconde note marginale est entourée et reliée par une flèche au mot
« réduite », souligné dans l'énoncé ; « neutres » manque à la lettre et
est suggéré par la suite (« ses fibres sont propres »)
Soit en effet P ladite réunion. Comme ses fibres sont propres sur k
[vrai …], il s'ensuit par un théorème connu
[renvoyant aux critères de propreté de Ch. II] que P est
propre sur S [question : en est-il de même de
\mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S} ? De façon générale, est-il vrai que
\mathrm{Pic}_{X/S} est réunion disjointe
de parties ouvertes propres sur S ?].
? Non seulement formel…
Nous cherchons un sous-schéma fermé de P, qui soit plat sur S et qui
soit un sous-préschéma en groupes de \mathrm{Pic}_{X/S}
interligne : et abélien sur S, ensemblistement égal à P
(
est représentable. En effet, laissant d'abord tomber la dernière
condition, on est ramené à un sous-schéma fermé de
\mathrm{Hilb}_{P/S} [formé des sous-schémas
interligne : plats de P qui sont des sous-groupes de
\mathrm{Pic}, et ouvert dans ce dernier par la condition
abélienne], montrons que la condition ensembliste est une condition
ouverte : elle est en effet invariante par changement de base,
et si elle est vérifiée par un A \subset P en un pt, elle
l'est par raison de dimensions, dans un voisinage. De plus, le morphisme
\mathcal{M} \to S de ce problème modulaire a les propriétés suivantes :
(i) Les Ses fibres géométriques sont isomorphes
à
(ii) Le morphisme \mathcal{M} \to S est propre. Il est en
effet de type fini, séparé, reste à vérifier le critère
valuatif, savoir ceci : dans le cas où S est le spectre d'un
anneau de valuation discrète, et où on se donne une section
interligne : rationnelle de \mathcal{M} sur S i.e. on
se donne l'unique A_K abélien sous-groupe de
\mathrm{Pic}^0(X_K) prouver que la section est partout
définie. Or par le théorème de Koizumi A_K « se réduit bien », i.e.
provient d'un schéma abélien A sur V. On va essayer de prolonger
Reste la question si u \colon A \to P est une immersion fermée, d'image
P. L'image et
[continuité de la dimension des fibres du noyau] donc de dim
égale à \dim \mathrm{Pic}(X_K) [théorème de continuité de la dimension
des fibres des Picards].
Attention, cela est-il vrai si f \colon X \to S n'est pas
simple ?!
dans le dernier \mathrm{Pic}(X_K), on attendrait la fibre spéciale
X_k ; l'indice est écrit comme les précédents. La démonstration continue
au feuillet 21 (batch 2) : « Donc l'image de A est P. »